http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal1_Web/chap15.htm

1. สมการของเส้นตรง (Equation of a Straight Line)
1. สมการของเส้นตรงที่ขนานกับแกน x หรือ แกน y
ให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x จะเห็นได้ว่าจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนเส้นตรง L จะมี
พิกัดที่ 2 เท่ากันหมด ถ้าพิกัดที่ 2 เป็น b จะได้ว่า “จุด (x,y) ที่เป็นจุดบนเส้นตรง
L ก็ต่อเมื่อ y = b”
เส้นตรง L จะเป็นกราฟของความสัมพันธ์ r ที่นิยามว่า r = {(x,y) | y = b} หรือ
เส้นตรงที่มีสมการเป็น y = b
ในทานองเดียวกัน ถ้า L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน y จะเห็นว่าจุดต่าง ๆ
ที่อยู่บนเส้นตรง L จะมีพิกัดที่ 1 เท่ากันหมด ถ้าพิกัดที่ 1 เป็น a จะได้ว่า “จุด (x,y) ที่เป็นจุ
บนเส้นตรง L ก็ต่อเมื่อ x = a ”
เพราะฉะนั้นเส้นตรง L จะเป็นกราฟของความสัมพันธ์ r ที่นิยามว่า r = {(x,y) |
x = a} หรือเส้นตรงที่มีสมการเป็น x = a
สมการของเส้นตรงแบบจุดและความชัน (The Point-Slope Equation)
ถ้าให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชัน = m
ให้ (x,y) เป็นจุดใด ๆ บนเส้นตรง L จากนิยามความชันได้ว่า
ความชันของ L =
𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2
แต่กาหนดให้ความชันของ L เท่ากับ m
ดังนั้น m =
𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2
นั่นคือ y – y1 = m(x – x1) เป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1)
และมีความชันเท่ากับ m
ทฤษฎีบท 1.4 จะมีเพียงเส้นตรงเดียวเท่านั้นที่มีความชัน m และผ่านจุด (x1,y1)
และจะมีสมการเป็น y – y1 = m(x – x1)
ตัวอย่าง 1.10 จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2,3) และมีความชันเท่ากับ -4/5
วิธีทา y – y1 = m(x – x1)
สมการเส้นตรงเส้นนี้ คือ
y – 3 = (x + 2)
5y – 15 = -4x – 8
4x + 5y – 7 = 0

2. สมการของเส้นตรงแบบจุดสองจุด (The Two-Point Equation)
ถ้าให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) ถ้า x1 ¹ x2 เพราะฉะนั้น
ความชันของ P1P2 เท่ากับ
𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2
ซึ่งจะเท่ากับความชันของเส้นตรง L
แทนค่าในสมการเส้นตรงแบบจุดและความชัน จะได้
y – y1 =
𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2
(x – x1)
ถ้า x1 = x2 แล้ว เส้นตรง L จะขนานกับแกน y
เส้นตรง L จะมีสมการเป็น x = x1
ทฤษฎีบท 1.5 ถ้า L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และ (x2,y2)
ที่ x1 ¹ x2 แล้ว L จะมีสมการเป็น y – y1 =
𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2
(x – x1)
ตัวอย่าง 1.11 จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (4,1) และ (-2,2)
วิธีทา y – y1 =
𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2
(x - x1)
เพราะฉะนั้น สมการเส้นตรงที่ต้องการ คือ
y – 1 =
1−2
4+2
(x -4) , x + 6y – 10 = 0
สมการของเส้นตรงแบบความชันและจุดตัดแกน (The Slope-Intercept Equation)
นิยาม 1.8 จุดตัดแกน x (x-intercept) ของกราฟ คือ พิกัดที่ 1 ของจุดที่กราฟนั้นตัดกับแกน x
จุดตัดแกน y (y-intercept) ของ กราฟ คือ พิกัดที่ 2 ของจุดที่กราฟนั้นตัดกับแกน y
วิธีการหาจุดตัดแกน x ทาได้โดยการให้ y = 0 ในสมการแล้วแก้สมการหาค่า x
ทานองเดียวกัน การหาจุดตัดแกน y ทาได้โดยการให้ x = 0 ในสมการแล้ว แก้สมการ
หาค่า y
เช่น สมการ 2x + 7y – 6 = 0 ให้ y = 0 เพราะฉะนั้น x = 3
นั่นคือ จุดตัดแกน x ของกราฟ คือ 3
สมมุติให้ L เป็นเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ m และมีจุดตัดแกน y เท่ากับ b
จากรูป 1.20 แสดงว่า L จะต้องผ่านจุด (0,b) แทนค่าความชัน
เท่ากับ m และ (x1,y1) = (0,b) ในสมการจะได้ y – b = m(x – 0) นั่นคือ y = mx + b

3. รูปที่ 1.20
ทฤษฎีบท 1.6 สมการของเส้นตรงที่มีความชัน m และจุดตัดแกน y เป็น b คือ y = mx + b
ถ้าเส้นตรง L ผ่านจุดกาเนิด นั่นคือมีจุดตัดแกน y ที่ 0 (เพราะว่า b = 0)
เพราะฉะนั้นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกาเนิดที่ไม่ใช่แกน y คือ y = mx
ตัวอย่าง 1.12 จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ -3/4 และมีจุดตัดแกน y เท่ากับ 2
วิธีทา y = mx + b
แทนค่า ความชัน และจุดตัดแกน y จะได้
y = -3/4 x + 2
4y = -3x + 8
3x + 4y -8 = 0 จะเป็นสมการเส้นตรงที่ต้องการ
สมการของเส้นตรงแบบจุดตัดแกน (The Intercept Equation)
ให้ L เป็นเส้นตรงที่มีจุดตัดแกน x เท่ากับ a และจุดตัด
แกน y เท่ากับ b ; a ¹ 0 และ b ¹ 0 แสดงว่า L
เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (a,0) และ (0,b)
ความชันของเส้นตรง L คือ m =
0−𝑏
𝑎−0
=
𝑏
−𝑎
สมการของเส้นตรง L คือ
y = -
𝑎
𝑏
x + b
ay = - bx + ab
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1

4. ทฤษฎีบท 1.7 สมการของเส้นตรงที่มี จุดตัดแกน x และจุดตัดแกน y เท่ากับ a และ b
ตามลาดับ คือ
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
ถ้า a ¹ 0, b ¹ 0
ตัวอย่าง 1.13 จงหาสมการเส้นตรงที่มีจุดตัดแกน x เท่ากับ 2 และจุดตัดแกน y เท่ากับ 3
วิธีทา
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
3x + 2y – 6 = 0 เป็นสมการที่ต้องการ
นิยาม 1.9 สมการเชิงเส้น (Linear Equation) คือสมการที่อยู่ในรูป
Ax + By + C = 0
เมื่อ A, B และ C เป็นจานวนจริง ที่ A และ B จะเท่ากับ 0 พร้อมกันทั้งสองตัวไม่ได้
ทฤษฎีบท 1.8 โลกัสของสมการเชิงเส้นคือเส้นตรง
พิสูจน์ จากสมการเชิงเส้น Ax + By + C = 0
ถ้า B = 0 แล้ว A ¹ 0 หารทั้งสองข้างของสมการด้วย A สมการจะเป็น x =
𝐶
−𝐴
ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
ถ้า B ¹ 0 แล้ว หารทั้งสองข้างของสมการด้วย B สมการจะเป็น
y =
𝐴
−𝐵
x =
𝐶
𝐵
ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงแบบความชันและจุดตัดแกน เมื่อ
m =
𝐴
−𝐵
และ b =
𝐶
𝐵
ตัวอย่าง จงหาความชัน จุดตัดแกน x จุดตัดแกน y ของสมการเส้นตรง x + 2y = 1
วิธีทา จัดสมการเส้นตรงที่กาหนดให้ ให้อยู่ในรูปมาตรฐานของสมการเชิงเส้น จะได้
x + 2y – 1 = 0
A = 1, B = 2 แ ละ C = -1
นั่นคือ m =
1
−2
และ b =
1
2
หาจุดตัดแกน x โดยการแทนค่า y = 0 จะได้ x = 1
เพราะฉะนั้น ความชันเท่ากับ
1
−2
, จุดตัดแกน x เท่ากับ 1, จุดตัดแกน y เท่ากับ
1
2