ejercicios de probabilidad y estadística distribución de probabilidades

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA ESTATAL DE QUEVEDO
FACULTAD CIENCIAS DE LA INDUSTRIA Y PRODUCCIÓN
CARRERA DE INGENIERÍA EN SEGURIDAD INDUSTRIAL
TEMA
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
INTEGRANTES
ALVARADO ALARCON ANTHONY (0,0,0)
CHINGA RAMOS JOHANNA (1,2,3)
ESPINOZA BRAVO YOSSELYN (0,0,0)
GAMBOA TUBAY ELKIN (0,0,0)
ZAMBRANO MEDINA MICHAEL (0,0,0)
DOCENTE
ING. BAYAS ZAMORA ABRAHAM, MSC.
MATERIA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CURSO
[3ER NIVEL] – B
QUEVEDO – LOS RÍOS – ECUADOR
2021 – 2022

2. FÓRMULAS:
 APROXIMACIÓN DELA DISTRIBUCIÓN BINOMIALA LA NORMAL
B(n, p)  N(np, √npq)
 DISTRIBUCIÓNT-STUDENT  t =
x−μ
s
√n
 DISTRIBUCIÓNJI-CUADRADA  x2
(df) = ∑
(Oi−Ei)2
Ei
1. El 20% de mercadería que se compran en una boutique de diseño exclusivo son vestidos. Si se toman
las ultimas 100 compras realizadas, calcular la probabilidad de que se hayan comprado entre 30 y 35
vestidos.
𝐵(100 ; 0,20)
𝑛 ∙ 𝑝 ≥ 20 → 100 ∙ 0,20 = 20
𝑛 ∙ 𝑞 ≥ 20 → 100 ∙ 0,80 = 80
√100 ∙ 0,20 ∙ 0,80 = 4
𝑃(29,5 < 𝑋 ≤ 35,5)
𝑍 =
𝑋
̅ − 𝜇
𝜎
→
29,5 − 20
4
= 2,37
𝑍 =
𝑋
̅ − 𝜇
𝜎
→
35,5 − 20
4
= 3,87
𝑃(2,37 < 𝑍 ≤ 3,83) = 𝑃(𝑍 ≤ 3,83) − 𝑃(𝑍 ≤ 2,37)
𝑃(2,37 < 𝑍 ≤ 3,83) = 0,99994 − [1 − 0,9911]
𝑃(2,37 < 𝑍 ≤ 3,83) = 0,991
USO DE DISTRIBUCIONESCONTINUAS
SEMANA13

3. 2. Para una distribución t de 15 grados de libertad, hallar el valor de t.
a) El área a la derecha de t sea de 0,01
b) El área a la izquierda de t sea de 0,95
c) El área conjunta a la derecha de t y a la izquierda de – t sea de 0,01
𝒱 = 15
1 − 0,01 = 0,99 → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 2,60
0.95 → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 1,75
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 → 0,99 + 0,005 = 0,995
3. En una encuesta realizada se refleja la cantidad de estudiantes, según la calificación obtenida en
historia en dos colegios:
Sobresaliente Excelente Bueno Total
“Simón Plata Torres” 5 11 7 23
“Juan XXIII” 20 32 3 55
Total 25 43 10 78
¿Influye en tipo de colegio en la calificación obtenida?
Margen de error: 0,05
H0= no influye
H1= si influye
5 →
25 ∙ 23
78
= 7,37 20 →
25 ∙ 55
78
= 17,63
11 →
43 ∙ 23
78
= 12,68 32 →
43 ∙ 55
78
= 30,32
7 →
10 ∙ 23
78
= 2,45 3 →
10 ∙ 55
78
= 7,05
0,99
0,055 0,055
t=2,60
0
t=1,75

4. 50
 50 50
     
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 = 𝑣 (𝑛° 𝑓 − 1) ∙ (𝑛°𝑐 − 1)
𝑣 = (2 − 1) ∙ (3 − 1) = 2
𝑥2
= ∑
(5 − 7,37)2
7,37
+
(11 − 12,68)2
12,68
+
(7 − 2,95)2
2,95
+
(20 − 17,63)2
17,63
+
(32− 30,32)2
30,32
+
(3 − 7,05)2
7,05
= 9,28
0.05 → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 5,9915
9,28 > 5,9915 → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎, 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑜 𝑠𝑖 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒
4. Un test de inteligencia consta de 200 preguntas de verdadero o falso.Para una persona que respondiese al azar, calcular la
probabilidad de que acertase:
a) 50 preguntas o menos
b) Más de 50 preguntas y menos de 100
c) Más de 120 preguntas
X "Número de preguntas acertadas sigue una binomial X ∼ B (200, 0,5)
Como el número de pruebas es elevado la distribución binomial se puede aproximar auna distribución normal de media
X ∼ Nn.p, n.p. q  N200.0,5, 200.0,5.0,5   N100, 50 
Para utilizar correctamente la transformación de una variable discreta en una variable
continua es necesario realizar una transformación de continuidad.
a) P X      X 100 50,5 100
 50  P X  50,5  P 

  Pz  7  Pz  7  0
b) P50  x  100  P50 0,5  X 100 0,5  P
50,5  X  99,5
 

50,5 100 X 100 99,5 100
P     P7  z  0,07  P0,07  z  7 

 Pz  0,07  Pz  7  0,4721 0  0, 4721
5.- Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lohacen de
acuerdo con una distribución de Poisson con una tasa promedio de 0,1 mensajes por
minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora?
50
50

5.  
4
b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegueningún
mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0,8
a) Sea la variable aleatoria X = "mensajes por minuto", donde X ∼ P (  0,1) Y =
"mensajes por hora" Y ∼ P (  60.0,1  6)
60
6 62
 6 6
PY  2  PY  0 PY  1  PY  2     .e  1 6  18. e  0,062
 0! 1! 2! 
b) Para hallar   tasa promedio de mensajes
0
 
PX  0  0,8 .e  0,8 e
0!
 0,8   Ln0,8  0,2231
Para conocer el intervalo de tiempo necesario se establece la proporción:
0,1 mensaje

0,2231 mensajes
x 
0,2231
 2,231 minutos
1 minuto x minutos 0,1
6 - Un banco recibe un promedio de 6 cheques falsos al día, suponiendo queel número de cheques
falsos sigue una distribución de Poisson. Se pide:
a) Probabilidad de que se reciban cuatro cheques falsos en un día
b) Probabilidad de que se reciban más de 30 cheques falsos en una semana
a) Sea la variable X = "cheques falsos al día", donde X ∼ P (2  6)
P (X  4)

6.
e6
4!
 0,133
b) Sea Y ="cheques falsos en una semana", Y ∼ P (n  7. 6  42)
Al ser   42  10, se aproxima a una distribución normal Y ∼ N} 42, 42 
P Y  30  P

6. 10. H El 45% de todos los empleados de una dependencia pública poseen título que los
acredita para el puesto. ¿Cuál es la probabilidad de que de los 160 empleados elegidos
al azar 75 posean título para el puesto?
Solución:
Datos: n = 160, x = 75, p = 0,45, q = 0,55
𝜇 = 𝑛𝑝𝜇
𝜇 = 160 ⋅ 0,45 = 72
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞
√160 ⋅ 0,45 ⋅ 0,55 = 6,29
𝑧1 =
(𝑥 + 1𝐼2) − 𝜇
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜎
→
75,5 − 72
6,29
= 0.56 = 0,21226
𝑧1 =
(𝑥 + 1𝐼2) − 𝜇
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜎
→
74,5 − 72
6,29
= 0.40 = 0,15542
P(74,5⩽x⩽75,5)=0,21226−0,15542=0,05684≈5,68%
La probabilidad de que 75 empleados elegidos aleatoriamente posean título para el
cargo es del 5,68%.
11. H Las medicionesde corriente enun alambre puedenrepresentarse comouna variable aleatoriaX
normalmente distribuidacon media10 mA y varianza 4 (mA)2. Determinarla probabilidadde que una
mediciónexcedalos13 mA.
𝑃(𝑋 > 13) = 𝑃
(𝑋 − 10)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2
>
13 − 10
2
= 0.56 =
P(Z,5≥1.5)=1−0,93319=0.06681%
10) Tenemos una moneda trucada cuya probabilidad de cara es de 1 / 3 y
cuya probabilidad de cruz es de 2 / 3. Antes de tirar 120 veces la moneda
hacemos la predicción de que el número de caras que saldrá estará entre 35
y 45, ambos inclusive. Calcula la probabilidad de no acertar la predicción.

7. 13.H
Explica en qué casos puedes utilizar la distribución normal para calcular de forma
aproximada probabilidades de distribución binomiales.
El 10 % de los artículos fabricados en una empresa de material cerámico tiene algún defecto.
Obtén (utilizando la aproximación citada, si lo consideras conveniente) la probabilidad de
que :
a) En un lote de 10 artículos se encuentre al menos uno defectuoso.
b) En un lote de 100 artículos hayan al menos 10 defectuosos.

8. 14.H Se lanza un dado 720 veces. Calcula la probabilidad aproximada de que salgan, al
menos, 110 seises.
15.H Tiramos una moneda perfecta 100 veces. Hacemos la predicción de que saldrá un
número de caras comprendido entre 40 y 53. Calcula la probabilidad de acertar.