Taller álgebra

1. TALLER DE ÁLGEBRA LINEAL PARTE 1
1. Encuentre la magnitud y dirección del vector
a. 𝑢
⃗ = (1, −√3) b. 𝑢
⃗ = (−4, −4)
2. Demuestre que el vector (
3
5
,
−4
5
) es un vector unitario.
3. Encuentre la distancia entre los puntos
(3, −4,7), (3, −4,9)
4. Encontrar la proyección ortogonal de 𝑢
⃗ sobre 𝑣
a. 𝑢
⃗ = (−1, −2), 𝑣 = (−2,3)
b. 𝑢
⃗ = (3,1, −7), 𝑣 = (1,0,5)
5. Determinar el ángulo entre los vectores
a. 𝑢
⃗ = (6,1,4), 𝑣 = (2,0, −3)
b. 𝑢
⃗ = (2,4, −8), 𝑣 = (5,3,7)
6. Encontrar un vector que sea ortogonal tanto a 𝑢
⃗ como a 𝑣
a. 𝑢
⃗ = (−6,4,2), 𝑣 = (3,1,5)
b. 𝑢
⃗ = (−2,1,5), 𝑣 = (3,0, −3)
7. Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son P,Q y R.
P(2,6,-1), Q(1,1,1), R(4,6,2)
8. Encontrar el área del paralelogramo determinado por 𝑢
⃗ y 𝑣. Dibuje el paralelogramo.
a. 𝑢
⃗ = (1, −1,2), 𝑣 = (0,3,1)
b. 𝑢
⃗ = (3, −1,4), 𝑣 = (6, −2,8)
9. Encontrar el volumen del paralelepípedo cuyos lados son 𝑢
⃗ , 𝑣 y 𝑤
⃗⃗ .
𝑢
⃗ = (3,1,2), 𝑣 = (4,5,1), 𝑢
⃗ = (1,2,4)
10. Si los vectores 𝑢
⃗ = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3), 𝑤
⃗⃗ = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) tienen el mismo punto inicial, entonces están en el mismo plano, es decir, son coplanares, si y sólo si
𝑢
⃗ ∙ (𝑣𝑥𝑤
⃗⃗ ) = 0. Determine si los vectores 𝑢
⃗ = (−1, −2,1), 𝑣 = (3,0, −2), 𝑤
⃗⃗ = (5, −4,0) cuando se colocan de modo que coincidan sus puntos iniciales son coplanares.
11. Encuentre el área del paralelogramo con los vértices adyacentes dados. Dibuje el paralelogramo.
a. (7, −2, −3); (−4,1,6); (5, −2,3)
b. (7, −5,9); (−3, −6, −5); (2, −1, −3)
12. Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son P,Q y R. Dibuje el triángulo.
𝑃 = (2,6, −1), 𝑄 = (1,1,1), 𝑅 = (4,6,2)
13. Encuentre un vector que sea ortogonal tanto a 𝑢
⃗ como a 𝑣:
a. 𝑢
⃗ = (−3,1,4), 𝑣 = (2,1, −1)
b. 𝑢
⃗ = (1,2,3), 𝑣 = (−1,2, −2)
14. Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores. Dibuje el paralelepípedo.
a. 𝑖 − 𝑗, 3𝑖 + 2𝑘
⃗ , −7𝑗 + 3𝑘
⃗
b. 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑃𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑃𝑆
⃗⃗⃗⃗ , donde 𝑃 = (2,1, −1), 𝑄 = (−3,1,4), 𝑅 = (−1,0,2) y 𝑆 = (−3, −1,5).
15. Encuentre la distancia entre 𝑃1 y 𝑃2
a. 𝑃1(3, −4) y 𝑃1(−5,7)
b. 𝑃1(7, −5,1) y 𝑃1(−7, −2, −1)
16. Sean 𝑃(−2,1,4) y 𝑄(3,5, −8)
a. Dibuje el vector 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗
b. Encuentre la representación del vector 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ que tiene punto inicial en el origen y dibújelo.

2. c. Encuentre un vector unitario en la misma dirección de 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ . Dibuje el vector.
d. Encuentre un vector unitario cuya dirección es opuesta a la dirección de 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ . Dibuje el vector.
17. Dibuje los vectores 𝑢
⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 − 𝑘
⃗ , 𝑣 = −4𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘
⃗ , y calcule:
a. La magnitud de 𝑢
⃗ y 𝑣
b. La dirección de 𝑢
⃗ y 𝑣. Dibuje las direcciones.
c. Los cosenos directores de 𝑢
⃗ y 𝑣.
d. Los ángulos directores de 𝑢
⃗ y 𝑣.
e. El ángulo entre 𝑢
⃗ y 𝑣.
f. 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑣
⃗ 𝑢
⃗ . Dibuje el vector.
g. 𝑢
⃗ − 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑣
⃗ 𝑢
⃗⃗⃗ . Dibuje el vector.
18. Una persona se encuentra de pie (4,5,2) y ve hacia el punto (0.5,0,3). ¿Ve hacia arriba o hacia abajo?
19. La dirección de la recta dada por las ecuaciones
8−𝑥
4
=
𝑦+9
−3
=
𝑧+2
7
es el vector:_________________
20. Un punto de la recta con ecuaciones 𝑥 = −6 + 10𝑡, 𝑦 = 2 − 8𝑡; 𝑧 = −9 + 7𝑡 es __________________
21. El vector normal del plano con ecuación −7𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 + 12 = 0 es _____________
22. ¿Son los vectores 𝑢
⃗ = −3𝑖 + 𝑗 − 𝑘
⃗ y 𝑛
⃗ = 5𝑖 + 6𝑗 − 3𝑘
⃗ ortogonales? Justifique su respuesta.
23. Sean
𝑥 = 4 + 10𝑡, 𝑦 = −4 − 8𝑡; 𝑧 = 3 + 7𝑡;
𝑥 − 8
−2
=
9 − 𝑦
3
=
𝑧 + 2
−7
Las ecuaciones de dos rectas en el espacio. Encuentre la ecuación de una recta L ortogonal a las rectas dadas y que pase por el punto (−3, −1,5).
24. Determine una ecuación del plano que pasa por el punto (−2, 3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (4, −2,5); (0,2,4).
25. ¿Los puntos (−2, 4,2); (3,5,1); (4, 2, −1) están en la misma recta? Si la respuesta es afirmativa encuentre la ecuación de dicha recta.
26. Encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta indicada.
a. Contiene a (1,2,3) y (−1,2, −2)
b. Contiene a (2,3, −4) y (3,2,1)
c. Contiene a (−1, −6,2) y es paralela a 4𝑖 + 𝑗 − 3𝑘
⃗
Encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta indicada.
Contiene a (4,5,5) y es paralela a
8 − 𝑥
−2
=
𝑦 + 9
3
=
2 − 𝑧
−7
d. Contiene a (6,10,3) y es paralela a −10𝑖 + 7𝑗 + 9𝑘
⃗
e. Contiene a (4,5,5) y es paralela a
𝑥 − 8
−2
=
𝑦 + 9
3
=
𝑧 + 2
−7

3. f. Contiene a (−2,3,7) y es ortogonal a 3𝑗
27. Encuentre una recta L ortogonal a las dos rectas dadas y que pase por el punto dado:
a.
𝑥−2
−4
=
𝑦+3
−7
=
𝑧+1
3
;
𝑥+2
3
=
𝑦−5
−4
=
𝑧+3
−2
; (−4,7,3)
b. 𝑥 = 4 + 10𝑡, 𝑦 = −4 − 8𝑡; 𝑧 = 3 + 7𝑡; 𝑥 = −2𝑡, 𝑦 = 1 + 4𝑡; 𝑧 = −7 − 3𝑡; (4,6,0)
28. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto dado y tiene vector normal 𝑛
⃗ . Dibuje el plano.
a. 𝑃(−8,0,10) 𝑛
⃗ = −3𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘
⃗
b. 𝑃(1, −8, −7) 𝑛
⃗ = −5𝑖 + 7𝑗 − 5𝑘
⃗
29. Encuentre la ecuación del plano que contiene los tres puntos dados. Dibuje el plano
a. (7,2,1), (9, −4,5), (5, −3.1)
b. (1, −2, −4), (3,3,3), (0,0, −1)
c. (−4, −1, −1), (−2,0, −1), (−1, −2, −3).
30. ¿Qué restricciones se debe tener para 𝑥, 𝑦 y 𝑧 de modo que la terna (𝑥, 𝑦, 𝑧) represente un punto sobre el eje y? ¿Y sobre el eje z? ¿En el plano xz? ¿En el
plano yz?
31. Fuerzas con magnitudes de 500 libras y 200 libras actúan sobre una pieza de una máquina a ángulos de 30° y 45°, respectivamente con el eje x. Halle la
dirección y la magnitud de la fuerza resultante.
32. Imagen tomada del libro Cálculo II de Ron Larson-Bruce Edwards, Décima edición.
33. 3. Un estudiante se traslada en bicicleta para llegar al supermercado más cercano, primero se desplaza 300m al norte y después 400m al oeste. ¿Cuál es la
distancia total que recorre? ¿Cuál fue su desplazamiento (vector desplazamiento)?
Recuerde que la distancia es una cantidad escalar y se obtiene al sumar las dos distancias recorridas.
El desplazamiento es una cantidad vectorial medida en una dirección particular entre dos puntos.
34. Un automóvil se desplaza a una rapidez de 50km/h. Suponga que el eje positivo de las y es el norte, el eje positivo de las x es el este. Descomponga el vector
de velocidad del automóvil (en dos dimensiones) en sus componentes si viaja a cada una de las siguientes direcciones: este, sur, sureste, noreste.