Bái giảng Phương pháp tính 2015

1. CHƯƠNG II
SAI SỐ

2.  2.1. Tổng quan về phương pháp tính
 2.2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
 2.3. Cách biểu diễn số gần đúng
 2.4. Các quy tắc tính sai số

3.  Phương pháp tính (Computational method)
◦ Còn gọi là Toán học tính toán (Computational mathematics)
hoặc Giải tích số (Numerical analysis) - Là một lĩnh vực của
khoa học toán học
◦ Chuyên nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng các bài toán
bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng
dưới dạng số - Phương pháp giải các bài toán bằng những con số
cụ thể

4.  Phương pháp tính quan tâm đến hai vấn đề
◦ Phương pháp được dùng để giải bài toán
◦ Mối liên hệ giữa lời giải số gần đúng và lời giải đúng, hay vấn
đề sai số của lời giải có được
 Các dạng sai số thường gặp
◦ Sai số trong việc mô hình hóa bài toán
◦ Sai số phương pháp tính toán được áp dụng
◦ Sai số của số liệu vào
◦ Sai số của quá trình tính toán

5.  2.2.1 Sai số tuyệt đối
◦ Trong phương pháp tính ta chỉ làm việc với các giá trị gần đúng
của các đại lượng, cho nên vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là
vần đề sai số.
◦ Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a.
 Ta nói a xấp xỉ A ( hay a là số gần đúng của A) và ký hiệu a  A
◦ Giá trị tuyệt đối  A - a  được gọi là sai số tuyệt đối của số gần
đúng a so với A
 ? Xác định sai số tuyệt đối dễ hay khó ...
◦ Trên thực tế sai số tuyệt đối không thể xác định được

6.  2.2.1 Sai số tuyệt đối
◦ Phương pháp giải quyết
 Ước lượng sai số đó bằng một số dương a thoả mãn
 A - a   a
 Giá trị a được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng
a ( so với số đúng A )
◦ ? Sai số tuyệt đối giới hạn được xác định như thế nào ..
 Trên thực tế sai số tuyệt đối giới hạn thường được ước lượng
là giá trị a nhỏ nhất có thể tuỳ theo điều kiện cụ thể
 Khi đó a cũng được gọi là sai số tuyệt đối của a

7.  2.2.1 Sai số tuyệt đối
◦ Khi a là sai số tuyệt đối của a ta quy ước viết
A = a  a
◦ Ví dụ
 Bán kính của một ống nước là R = 1000 mm  1
 Khối lượng của một vật là M = 100 kg  0,25

8.  2.2.1 Sai số tuyệt đối
◦ Ví dụ: Số vô tỷ  - số siêu việt
 100 chữ số thập phân đầu tiên của số  là 3,14159 26535 89793 23846 26433
83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280
34825 34211 70679
 Giới hạn tìm ra số chữ số của số  : Tháng 10 năm 2014, kỷ lục là
13.300.000.000.000 chữ số
 Nhưng trong thực thế tính toán ta có thể chọn
   3
   3,1
   3,14

9.  2.2.2 Sai số tương đối
◦ Tỷ số
được gọi là sai số tương đối giới hạn của số gần đúng a
◦ Khi đã chọn sai số tuyệt đối a thì hiển nhiên a cũng xác định
và được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a
◦ Hiển nhiên ta có quan hệ ngược lại là a = a  a 
a
a
a




10.  2.2.2 Sai số tương đối
◦ Ví dụ
 Đo hai độ dài A, B được kết quả tương ứng là
a = 10 m và a = 0,05 m  a = 0,5 %
b = 2 m và b = 0,05 m  b = 2,5 %
 Chất lượng của phép đo thứ nhất tốt hơn phép đo thứ hai
 Sai số tương đối phản ánh chất lượng của số gần đúng

11.  2.3.1 Chữ số có nghĩa
◦ Một số thập phân có thể gồm nhiều chữ số
◦ Các chữ số khác không đầu tiên tính từ trái qua phải được quy
ước là các chữ số có nghĩa
◦ Ví dụ
 Số 123,5678 có 7 chữ số có nghĩa
 Số 0,001234 có 4 chữ số có nghĩa

12.  2.3.2 Chữ số đáng tin
◦ Giả sử biểu diễn thập phân của số a là
◦ Trong đó
 an là các số nguyên sao cho 0  an  9
◦ Ví dụ
 12,345 = 1.101 + 2.100 + 3.10-1 + 4.10-2 + 5.10-3
 a1 = 1, a0 = 2, a-1 = 3, a-2 = 4, a-3 = 5
= 10n
na a 

13.  2.3.2 Chữ số đáng tin
◦ Ký hiệu ak là chữ số đứng ở hàng thứ k trong biểu diễn thập
phân của số a
Nếu a  0,5.10k thì ta nói chữ số ak là chữ số đáng tin, trái
lại chữ số ak gọi là chữ số không đáng tin
 Nếu chữ số ak là chữ số đáng tin thì tất cả các chữ số có nghĩa
đứng bên trái nó cũng là chữ số đáng tin
 Nếu chữ số ak là chữ số không đáng tin thì tất cả các chữ số có
nghĩa đứng bên phải nó cũng là chữ số không đáng tin

14.  2.3.2 Chữ số đáng tin
◦ Ví dụ
 12,3456 = 1.101 + 2.100 + 3.10-1 + 4.10-2 + 5.10-3 + 6.10-4
 Cho a = 0,01 thì
 a = 0,01 0,5.101 = 5 nên chữ số a1 = 1 là chữ số đáng tin
 Tương tự, các chữ số a0 = 2, a-1 = 3 cũng là chữ số đáng tin
 Nhưng chữ số a-2 = 4 kế tiếp thì 0,5.10-2= 0,005 < a nên là chữ số không đáng
tin và dĩ nhiên các chữ số kế tiếp bên phải là chữ số 5, 6 cũng là những chữ số
không đáng tin

15.  2.3. 3 Biểu diễn số gần đúng
◦ Cách thứ nhất : Biểu diễn theo sai số tuyệt đối
 Khi a là sai số tuyệt đối của a ta quy ước viết
A = a  a
 R = 125 mm  0,01
◦ Cách thứ hai : Biểu diễn theo nguyên tắc các chữ số có nghĩa
đều là chữ số đáng tin ( làm tròn số)
 Điểm TBC học tập môn Toán của học sinh A là 7,8

16.  2.3.4 Quy tắc làm tròn số
◦ ? Hãy cho biết người ta làm tròn số như thế nào
◦ Quy tắc làm tròn số
 Khi có nhiều chữ số không đáng tin ta thường bỏ bớt một số
chữ số cuối để biểu diễn cho gọn - gọi là làm tròn số
 Sai số tuyệt đối sau khi làm tròn không lớn hơn một đơn vị của
hàng cuối cùng giữ lại ( hay tương ứng 5 đơn vị của hàng bỏ đi
đầu tiên )
 Chữ số bỏ đi  5 thì thêm 1 đơn vị vào hàng cuối cùng giữ lại

17.  2.3.4 Quy tắc làm tròn số
◦ Ví dụ
 Với số  ta có thể làm tròn với độ chính xác cao dần
  = 3,14159 . . . số vô tỷ ( và là số siêu việt )
   3,1
   3,14
   3,142
  = 3,1416

18.  2.4.1 Bài toán tổng quát
◦ Cho hàm số u = f(x, y) - hàm của hai biến x, y. Cho biết sai số
của x và y, hãy xác định sai số cho u ?
◦ Ta sẽ xét cho các trường hợp cơ bản nhất
 Sai số của một tổng u = x + y
 Sai số của một tích u = x.y
 Sai số của một thương u = x/y

19.  2.4.2 Sai số của một tổng
◦ Sai số tuyệt đối (giới hạn) của một tổng là tổng sai số tuyệt đối
(giới hạn) các hạng tử.
u = x + y

20.  2.4.3 Sai số của một tích
◦ Sai số tương đối (giới hạn) của một tích là tổng sai số tương đối
(giới hạn) các hạng tử.
u = x + y

21.  2.4.4 Sai số của một thương
◦ Sai số tương đối (giới hạn) của một thương là tổng sai số tương
đối (giới hạn) hai hạng tử.
u = x + y

22.  2.4.5 Công thức tổng quát
◦ Cho hàm u = f(x1,. . ., xn) thì
◦ Ví dụ
u = f(x, y) = 2x + y
u = 2.x + y
1
=
n
i
i i
f
u x
x
 
  
 


23.  Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
◦ Khái niệm, sự khác biệt ...
◦ Quan hệ giữa hai loại sai số, ý nghĩa ...
 Cách biểu diễn số gần đúng
◦ Hai cách biểu diễn ...
◦ Phạm vi sử dụng ...
◦ Quy tắc làm tròn số ...
 Các quy tắc tính sai số
◦ Quy tắc cộng, nhân, chia ...
◦ Quy tắc tổng quát ...