Este documento define conjuntos y describe sus operaciones básicas como la unión, intersección y diferencia. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten alguna propiedad, y que pueden definirse explícita o implícitamente. También describe gráficamente conjuntos usando diagramas de Venn y resuelve problemas aplicando las operaciones de conjuntos.
Usos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicas
CONJUNTOS MATEMATICA.pdf
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de popular para la educación Universitaria
Universidad Politécnica territorial “Andrés Eloy Blanco”
Presentación
Prof.:
Larry Segueri
Estudiante:
Víctor León C.I: 31.132.420
2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados
por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser
posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos
de los que consta entre llaves,
A= {1,2,3,4,5}, A= {1,2,3,4,5},
o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado
está o no en el conjunto,
A= {numeros naturales del 1 al 5}.
Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan especificados
como una lista, por tanto, A= {3,1,2,5,4}. En una definición explícita no se pueden
repetir elementos, así que {1,1,2,3,4,5} sería una manera incorrecta de expresar el
conjunto A.
Conjuntos de números
• N, los números naturales: 1, 2, 3, …
• N0 , los números naturales más el cero: 0, 1, 2, 3, …
• Z, los números enteros: …, -2, -1, 0, 1, 2, …
• Q, los números racionales
𝑝
𝑞
⁄
• R, los números reales.
• C, los números complejos.
Gráficamente se utiliza el diagrama de Venn, en homenaje a su creador, el
británico John Venn, que son líneas circulares u ovoides cerradas, donde se
disponen los elementos, señalados mediante puntos. El conjunto A mencionado
quedaría representado así:
3. Si definimos un conjunto por extensión, debemos enumerar cada uno de sus
elementos. En el caso de las vocales, se deben nombrar todas ellas: a, e, i, o, u,
como lo hemos hecho anteriormente. Si lo definimos por comprensión nombramos
solamente la propiedad o característica que los aglutina. En el mismo caso
diríamos A= {las vocales} o A= {X/X es una vocal} que corresponde leer: A es el
conjunto de X, tales que X es una vocal.
Se dice que un conjunto A está incluido en otro B, cuando todos los elementos de
A pertenecen a B.
Si dos conjuntos están formados por los mismos elementos se dice que son
conjuntos iguales.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
• Unión de conjuntos
Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de
A o de B, es decir:
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B= {b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
4. • Intersección de conjuntos
Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos
que son elementos de A y de B, es decir:
En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y
C = {a, t, u, v}.
Encuentre:
Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos
conjuntos, se tiene que:
Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo
anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.
5. • Diferencia de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:
Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.
En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:
A – B = {a} y B – A = {d, e}.
Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto
6. En el diagrama de Venn la diferencia simétrica está representada por las regiones
menos oscuras. (Lo que no tienen en común).
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}.
Entonces
• Complemento de un conjunto
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A '
formado por todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A
con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
Ejemplos:
a) Sean U = {m, a, r, t, e} y A = {a, e }
Su complemento de A es: A' = {m, t, r}
b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a }
7. Determinado por extensión tenemos
U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }
Su complemento es: A' = {r, t, m, c}
Problemas con operaciones con conjuntos
Mediante diagramas de Venn y las definiciones y aplicación de las distintas
operaciones con conjuntos se pueden resolver problemas, que nos preparan en el
campo de la lógica formal.
Ejemplo:
A una fiesta llegaron 150 personas, de las cuales 75 cantan, 85 bailan, 20 no
cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?
Solución: La pregunta lleva implícita una conectiva lógica y, que es parte
importante de la definición formal de la operación intersección. Por lo tanto,
podemos representar el problema de la siguiente manera:
8. NÚMEROS REALES DESIGUALDADES
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre
dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠,
mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole,
se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores
desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
• mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es
igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
• Menor que <
• Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
9. • Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros.
El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la
derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3𝑥 + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de
las expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
• Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
• Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad
se mantiene.
• Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la
desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo,
la desigualdad cambia de sentido.
• Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no
tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser
una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no tiene incógnitas.
10. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente
del signo que le preceda.
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de
eliminar el signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que
deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el
valor absoluto de x:
|𝒙| = 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En
cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con
un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es −(−10) = 10. Así, debemos destacar que el
valor absoluto siempre es positivo.
Propiedades del valor absoluto
Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes:
• El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el
valor de -19 y 19 es el mismo: 19.
• El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de
los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|𝒙 + 𝒚| ≤ |𝒙| + |𝒚|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
|8 + 9| ≤ |8| + |9|
|17| ≤ 8 + 9
17 ≤ 17
|12 − 25| ≤ |12| + | − 25|
| − 13| ≤ 12 + 25
13 ≤ 37
11. |16 + 31 − 21| ≤ |16| + |31| + | − 21|
|26| ≤ 16 + 31 + 21
26 ≤ 68
• Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa.
Esta nos indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de
los valores absolutos de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente:
|𝒙𝒚| = |𝒙|. |𝒚|
Lo anterior podemos comprobarlo en los siguientes ejemplos:
|3 × 4| = |3|𝑥|4|
|12| = 3 × 4
12 = 12
|6𝑥 − 5| = |6|𝑥| − 5|
| − 30| = 6 × 5
30 = 30
• Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de
preservación de la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una
división es igual al cociente de los valores absolutos de los mismos
elementos de dicha operación. Esto, siempre que el divisor no sea cero. Es
decir, se cumple que:
|𝒙/𝒚| = |𝒙|/|𝒚|
Podemos verlo en algunos ejemplos:
|60/5| = |60|/|5|
|12| = 60/5
12 = 12
| − 87/3| = | − 87|/|3|
| − 29| = 87/3
12. 29 = 29
Valor absoluto en una gráfica
A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en un plano
cartesiano.
En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de y
siempre será positivo, independientemente del valor de x.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
• Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | 𝑥 | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, 𝑥 > −4 Y 𝑥 < 4. El conjunto solución es
13. .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | 𝑎 | < 𝑏 ,
entonces 𝑎 < 𝑏 Y 𝑎 > − 𝑏 .
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
| 𝑥 – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
𝑥 – 7 < 3 𝑌 𝑥 – 7 > – 3
– 3 < 𝑥 – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
−3 + 7 < 𝑥 − 7 + 7 < 3 + 7
4 < 𝑥 < 10
La gráfica se vería así:
Ejemplo 2:
Resuelve la desigualdad ∣ 𝑥 + 4 ∣ −6 < 9
Despeja el valor absoluto:
∣ 𝑥 + 4 ∣ −6 < 9
∣ 𝑥 + 4 ∣< 9 + 6
∣ 𝑥 + 4 ∣< 15
14. ¿Es el número en el otro lado negativo? No, es un número positivo, 15.
Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en este problema es
un signo menor que, por lo que formamos una desigualdad de tres partes:
−15 < 𝑥 + 4 < 15
Resuelve la desigualdad:
−15 − 4 < 𝑥 < 15 − 4
−19 < 𝑥 < 11
• Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | 𝑥 | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, 𝑥 < −4 𝑂 𝑥 > 4. El conjunto solución es
.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | 𝑎 | > 𝑏,
entonces 𝑎 > 𝑏 𝑂 𝑎 < − 𝑏 .
Ejemplo 3:
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
15. La gráfica se vería así:
Ejemplo 4:
Resuelve la desigualdad
∣ 2𝑥 − 1 ∣ −7 ≥ −3
Despeja el valor absoluto:
∣ 2𝑥 − 1 ∣ −7 ≥ −3
∣ 2𝑥 − 1 ∣≥ −3 + 7
∣ 2𝑥 − 1 ∣≥ 4
¿Es el número en el otro lado negativo? No, es un número positivo, 4.
Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en este problema es
un signo mayor/igual que, por lo que formamos una desigualdad compuesta con la
palabra “o”:
2𝑥 − 1 ≤ −4 𝑜 2𝑥 − 1 ≥ 4
Resuelve las desigualdades:
2𝑥 − 1 ≤ −4 𝑜 2𝑥 − 1 ≥ 4
2𝑥 ≤ −3 𝑜 2𝑥 ≥ 5
𝑥 ≤ −
3
2
𝑜 𝑥 ≥
5
2
