1. COLEGIO TECNICO MICROEMPRESARIAL EL
CARMEN
TECNOLOGIA E INFORMATICA
ANGIE BLANCO
VICTOR TORRES
FELIPE LEAL
11- 2
2014

2. Una superficie es
una variedad bidimensional, es decir, un
objeto topológico que localmente "se
parece" al plano euclídeo (técnicamente
localmente homeomorfo al plano). Eso
significa que si tomamos un área muy
pequeña de la superficie es parecida al
plano euclídeo, al igual que en medio de
una llanura la superficie local de la
tierra nos parece plana.

3. 
Más formalmente el homeomorfismo local entre
una superficie y el plano euclídeo implica que
para cada punto de una superficie hay una
vecindad de P (una pequeña región que la rodea)
que es homeomorfa a un disco abierto de . Esta
propiedad de ser homeomorfa con el plano
permite construir un sistema de coordenadas
local bidimensional en torno a cualquier punto en
la superficie. Se puede llamar al homeomorfismo
local que va de la superficie a como carta y al
inverso (de este
homeomorfismo) parametrización. No siempre es
posible parametrizar una superficie con un
único homeomorfismo local.

4. 





Superficies cerradas
Un ejemplo de una superficie cerrada y múltiplemente conexa es el
triple toro.
Intuitivamente una superfice cerrada en el espacio tridimensional
es cualquier superfice que encierra un volumen, dividiendo a dicho
espacio en una región "acotada" y una región "no acotada". En 4 o más
dimensiones también existen superficies cerradas pero la noción
intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más
dimensiones no dividen al espacio de esta forma.
Puede comprobarse que en tres dimensiones una superficie sin borde
encierra un volumen, como por ejemplo la esfera y el toro o "donut",
estas superficies son además superficies orientables. De hecho todas
las superficies cerradas inmersas en el espacio tridimensional son
orientables, a diferencia de lo que ocurre en más dimensiones.
Otras superficies cerradas más exóticas son el plano proyectivo y
la botella de Klein (definible en 4 dimensiones).
Un disco (en ), un cilindro de altura finita o la banda de Möbius son
ejemplos de superficies con frontera.

5. 





Superficies desarrollables, regladas y alabeadas
Artículos principales: Superficie desarrollable y Superficie reglada.
Algunas superficies tienen propiedades interesantes que son expresables
en términos de su curvatura, estos tipos son las superficies desarrollables,
regladas y alabeadas:
Intuitivamente una superficie es desarrollable si puede fabricarse a partir
de un plano euclídeo mediante "doblado". El cono y el cilindro son
desarrollables, lo cual se manifiesta en que se pueden construir modelos
apropiados a partir de una hoja de papel o cartulina plana. Formalmente
dada una superficie desarrollable existe una isometría entre la
superficie y el plano euclídeo. Una condición necesaria y suficiente para
que una superficie se desarrollable, se desprende del theorema
egregium de Gauss, es que la curvatura gaussiana de dicha superficie sea
idénticamente nula.
Una superfice reglada cuando el plano tangente para cada punto de la
misma contiene una línea recta completamente contenida sobre la
superficie. Una condición necesaria es que lasegunda forma
fundamental sea en ese punto una forma cuadrática indefinida y por tanto
la curvatura gaussiana es negativa.
Una superficie alabeada es una superficie reglada y no-desarrollable.

6. 




Superficies orientables
La banda de Möbius es una superficie no-orientable con una frontera (su
frontera es una curva cerrada simple).
Una última propiedad menos intutiva es la de orientabilidad, que permite
distinguir entre superficies orientables y no-orientables. Una superficie
orientable puede definirse simplemente como una variedad orientable de
dimensión dos, donde toda curva cerrada simple contenida, tiene una
vecindad regular homeomorfa a un cilindro abierto. Cualquier variedad de
dimensión dos que no es orientable es una superficie no-orientable.
Esto es, existe al menos una curva cerrada simple contenida, que tiene
una vecindad regular homeomorfa a una banda de Möbius.
Las superficies orientables cerradas tienen la propiedad de dividir el
espacio tridimensional (donde siempre pueden ser encajadas) en dos
regiones diferentes y disjuntas: una acotada por dicha superficie que es de
volumen finito y otra no acotada exterior a dicho volumen.
Este término se utiliza para distinguirlas de las superficies que no
encierran nada en su interior, como un plano infinito en referencia al
espacio tridimensional. Es imposible hablar de que las superficies no
orientables dividan el espacio tridimensional pues estas superficies no
pueden ser encajadas en él.