3. ÔØ Ö ½
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÄÓ × Ò ÐÐ Ø Ð ÙÐÙ× Ó ÓÑÔÙØ Ö × Ò º Ì Ö ÙÑ ÒØ
× Ø Ø ÐÓ ÔÐ Ý× ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÐ Ò ÓÑÔÙØ Ö × Ò º ÁÒ ¸ ÐÓ ÔÐ Ý×
Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò Ö × Ó ÓÑÔÙØ Ö × Ò × ×Ô Ö Ø × Ö Ø ØÙÖ
´ÐÓ Ø ×µ¸ ×Ó ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò ´×Ô ¬ Ø ÓÒ Ò Ú Ö ¬ Ø ÓÒµ¸ ÔÖÓ Ö Ñ¹
Ñ Ò Ð Ò Ù × ´× Ñ ÒØ ×¸ ÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò µ¸ Ø × × ´Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ð ¹
Ö Ò ËÉĵ¸ ÖØ ¬ Ð ÒØ ÐÐ Ò ´ ÙØÓÑ Ø Ø ÓÖ Ñ ÔÖÓÚ Ò µ¸ Ð ÓÖ Ø Ñ×
´ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÜÔÖ ×× Ú Ò ××µ¸ Ò Ø ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ´ Ò Ö Ð ÒÓØ ÓÒ×
Ó ÓÑÔÙØ Ð Øݵº
Ò Ø ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ ´ Å̵ × Ø ×ØÙ Ý Ó ÐÓ × ÓÒ Ð ×× × Ó ¬Ò Ø
×ØÖÙ ØÙÖ ×º ÅÌ ÖÓ× × Ò Ò Ô Ò ÒØ ¬ Ð Ó ÐÓ ÓÖ ÓÒ× Ö Ø ÓÒ Ó
ÔÖÓ Ð Ñ× Ò Ø ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö × Ò º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ ØÖ Ø ÓÒ Ð ÅÓ Ð
Ì ÓÖÝ ´Å̵¸ Û ÓÒ ÒØÖ Ø × ÓÒ Ò¬Ò Ø ÑÓ Ð׸ ÒÒÓØ ÐÔ Ù× Û Ø
¬Ò Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×º ÅÓ×Ø Ó Ø Ø ÓÖ Ñ× Ø Ø ÓÒ× ×Ø Ø × Ó ÅÌ Ó
ÒÓØ ÔÔÐÝ Ò Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ ØÓ ¬Ò Ø ÑÓ Ð׺ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÓÑÔ ØÒ ××
Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ø× Û ÑÓ×Ø Ó Ø Ø ÓÖ Ñ× Ó Å̺ ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓØ Ö Ö ×ÙÐØ×
×Ù × ÄÓÛ Ò Ñ¹Ë ÓÐ Ñ Ì ÓÖ Ñ Ö Ñ Ò Ò Ð ×׺ ÓÒ× ÕÙ ÒØÐÝ ÅÌ
× Ú ÐÓÔ ÒØÓ Ú ÖÝ « Ö ÒØ × ÔÐ Ò ÖÓÑ Å̸ Û Ø ×Ø Ò Ø Ñ Ø Ó ×¸
Ø Ñ × Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ó Ø× ÓÛÒº
Ì ¬Ö×Ø × Ö ×ÙÐØ Ó ÅÌ Û × ÓÙÒ Ò ½ ¼ Ý ÌÖ Ø Ò ÖÓØ ¾¾
Î Ð ØÝ ÓÚ Ö ¬Ò Ø ÑÓ Ð× × ÒÓØ Ö ÙÖ× Ú ÐÝ ÒÙÑ Ö Ð Û Ñ Ò× Ø Ø
ÓÑÔÐ Ø Ò ×× Ð× ÓÚ Ö ¬Ò Ø ÑÓ Ð׺ ÁÒ ½ ¼ Ù × ÓÛ Ø Ø Ö ÙÐ Ö
Ð Ò Ù × Ö ÔÖ × ÐÝ Ø Ó× ¬Ò Ð Ò ÑÓÒ × ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ ´ÅËǵ
ÓÚ Ö ×ØÖ Ò × ½½ º Ò ÔÖÓÚ Ò ½ Ø Ø ÆÈ ËÇ ´ Ü ×Ø ÒØ Ð × ÓÒ ¹
ÓÖ Ö ÐÓ µ Û × Ö Ñ Ö Ð × Ò Ø × Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ×× ÆÈ
Û Ó × ÒÓØ ÒÚÓ ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ×Ù × ÌÙÖ Ò Å Ò
¾¿ º
Ì Ñ Ò ×ÓÙÖ × Ó ÑÓØ Ú Ø ÓÒ Ð Ü ÑÔÐ × ÓÖ ÅÌ Ö ÓÙÒ Ò Ø ×
4. ¿
Ì ÓÖݸ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù ×º
Å ÒÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ× Ó Ø × Ì ÓÖÝ Ò ÓÖÑÙÐ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ×
Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð ÐÓ ¸ ÔÖÓÚ Ø Ø Û Ð Ñ Ø ÓÙÖ× ÐÚ × ØÓ ¬Ò Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×º
Ï Ð ÖÐÝ Ø × ×Ý×Ø Ñ× Ù× Ö Ø Ö Ó Ø ÑÓ Ð׸ ÖÓÑ Ø ÖÐÝ
¼³× Ø ÛÓÖÐ ×Û Ø ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÑÓ Ðº Ë Ò Ó ¸ Ø × ×
Ú Ò ÑÓ ÐÐ × ¬Ö×عÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Ò Ø × ÕÙ Ö ×
× Ñ ÔÔ Ò × ÖÓÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ×º ÁØ ×¸ Ò ¸
ÒÓØ ×ÙÖÔÖ × Ò Ø Ø Ø Ö × Ò ÒØ Ñ Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø × Ø ÓÖÝ
Ò Å̺ Ö×Ø ÓÖ Ö ÐÓ ´ ǵ Ð × Ø Ø ÓÖ Ó ÑÓ ÖÒ Ø × ×Ý×Ø Ñ×
´Ø ×Ø Ò Ö ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù × ×Ù × ËÉÄ Ò É Ö ×ÝÒØ Ø Ú Ö ÒØ×
Ó Çµº ÅÓÖ ÔÓÛ Ö ÙÐ ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù × Ö × ÓÒ ÜØ Ò× ÓÒ× Ó Ç Û Ø
Ö ÙÖ× ÓÒ ´Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ ×¸ Ø ºµº ÒØÖ Ð ØÓÔ Ó ÅÌ × ÐÛ Ý×
Ò Ø ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö Ó ÐÓ × ÓÒ ¬Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ×º Ì Ù×
ØÝÔ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÅÌ ÓÒ Ø × × × ØÓ Ð Û Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ× Ó Ø ×
Ò Û Ø Ò Ò Û Ø ÒÒÓØ ÜÔÖ ×× Ò Ú Ö ÓÙ× ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ×
ÒÓØ Ö ÒØÖ Ð ××Ù Ò Ò Ø ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ × Ø Ö Ð Ø ÓÒ× Ô ØÛ Ò
ÐÓ Ð ¬Ò Ð ØÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ï Û ÒØ ØÓ ÙÒ Ö×Ø Ò
ÓÛ Ø ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö Ó ÐÓ Ð ×Ý×Ø Ñ¸ ×Ù × ¬Ö×عÓÖ Ö ÓÖ × ÓÒ ¹
ÓÖ Ö ÐÓ ¸ Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ ¸ ÓÖ ÐÓ ¹ × Ø × ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù
×Ù × Ø ÐÓ ¸ × Ö Ð Ø ØÓ Ø× Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓÔ ÖØ ×º ÓÒÚ Ö× Ðݸ Û Û ÒØ
ØÓ Ö Ð Ø Ò ØÙÖ Ð Ð Ú Ð× Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ØÓ Ø ¬Ò Ò ÔÓÛ Ö
Ó ÐÓ Ð Ð Ò Ù ×º Ì ×Ô Ø× Ó Ò Ø ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ Ø Ø Ö Ö Ð Ø
ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ö Ð×Ó Ö ÖÖ ØÓ × × Ö ÔØ Ú ÓÑÔÐ Ü ØÝ
Ì ÓÖݺ Ò³× Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ÆÈ Ò ËÇ × Ø ÔÖÓØÓØÝÔ Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ø
¬ Ð º
Ï Ò ÓÑÔ Ö ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù × Ý ÒÚ ×Ø Ø Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ú Ð¹
Ù Ø Ò ÕÙ Ö × Ò Ø × Ð Ò Ù ×º Ì Ö Ö Ø Ö Û Ý× ØÓ Ñ ×ÙÖ Ø Óѹ
ÔÐ Ü ØÝ Ó Ú ÐÙ Ø Ò ÕÙ Ö × Ò ×Ô ¬ Ð Ò Ù º Ö×ظ ÓÒ Ò ¬Ü ×Ô ¬
ÕÙ ÖÝ Ò ×ØÙ Ý Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÔÐÝ Ò Ø ØÓ Ö ØÖ Ö ÐÝ Ø × ×º Óй
ÐÓÛ Ò Î Ö ¸ Û ÐÐ Ø × Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ¿¾ º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ðݸ ÓÒ Ò ¬Ü
×Ô ¬ Ø × Ò ×ØÙ Ý Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÔÐÝ Ò ÕÙ Ö × Ö ÔÖ × ÒØ
Ý Ö ØÖ ÖÝ ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ò Ø Ð Ò Ù ´ ÜÔÖ ×× ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Øݵº Ò ÐÐݸ
ÓÒ Ò ×ØÙ Ý Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÔÐÝ Ò ÕÙ Ö × Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ö ØÖ ÖÝ
ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ò Ø Ð Ò Ù ØÓ Ö ØÖ ÖÝ Ø × × ´ ÓÑ Ò ÓÑÔÐ Ü Øݵº
Å ÒÝ Ø Ñ × Ð Ò Ù × Û Ø Ø × Ñ ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö Ñ Ý « Ö Ö Ø
Ð ÓÒ Ø Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÒ Ú ÐÙ Ø Ò ÕÙ Ö ×º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÑÓÒ Ø ÐÓ
Ò ÅËÇ Ú Ø × Ñ ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö ÓÚ Ö ØÖ × ÙØ Ø Ö ÓÑ Ò
ÓÑÔÐ Ü Ø × Ö Ú ÖÝ « Ö Òغ ÅÓÒ Ø ÐÓ ÕÙ Ö × Ò Ú ÐÙ Ø Ò
Ø Ñ Ð Ò Ö ÓØ Ò Ø × Þ Ó Ø Ø ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ø × Þ Ó Ø ÒÔÙØ
ØÖ ½ º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÅËÇ ÕÙ Ö × × ÈËÈ ¹
ÓÑÔÐ Ø º Ì Ö ×ÓÒ ÓÖ Ø × « Ö ÒØ Ú ÓÙÖ × Ø Ø Ò ÅËÇ Û Ò
5. ÜÔÖ ×× ÕÙ Ö × ÑÙ ÑÓÖ ×Ù Ò ØÐݺ
ËÙ Ò ØÒ ×× × Ò ØÙÖ Ð Ñ ×ÙÖ ÓÖ ÓÑÔ Ö Ò Ø ×ØÖ Ò Ø Ó ÐÓ ×
Ø Ø Ú Ø × Ñ ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Öº ×× ÒØ ÐÐݸ Ø × ¬Ò Ö¹ Ö Ò Û Ý
Ó Ò Ð ØÓ × Ý Ø Ø ÓÒ ÐÓ × ÑÓÖ ÜÔÖ ×× Ú Ø Ò ÒÓØ Ö Ø Ö
Ø Ò ¬Ò ÔÖÓÔ ÖØ × ÒÓØ ¬Ò Ð Ò Ø ÓØ Ö ÐÓ ÓÖ Ø Ò ¬Ò Ø
× Ñ ÔÖÓÔ ÖØ × ÙØ Û Ø × ÓÖØ Ö ÓÖÑÙÐ º
ÁÒ Ø × Ø × ×¸ Û ×ØÙ Ý ×Ù Ò ØÒ ×× Ó ÐÓ × ÓÒ ØÖ ×º ÄÓ × ÓÚ Ö
´ÙÒÖ Ò µ ØÖ × Ø Ø ×¸ ØÖ × Ò Û ÒÓ × Ò Ú Ö ØÖ ÖÝ Ñ ÒÝ
Ð Ö Ò Ú Ö ÒØÐÝ Ö Ú ÑÙ ØØ ÒØ ÓÒ Ù ØÓ ÅÄ ÔÔÐ Ø ÓÒ׺
ÅÄ × Ø ÓÖÑ Ø Û × ÓÑ Ø Ð Ò Ù Ö Ò ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ
Ü Ò ÓÒ Ø ÏÓÖÐ Ï Ï º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÅÄ Ø × ØÝÔ ÐÐÝ
ÑÓ ÐÐ × Ð ÐÐ ÙÒÖ Ò ØÖ × ¿¿ ´ Ð ÐÐ ØÖ × ØÖ Ò Û
ÒÓ × Ú Ò ÙÒ Õ٠Реº
Ï Ò Ö ×ØÖ Ø Ò ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ Ð ÐÐ ØÖ ×¸ ÅËÇ × Ñ× ØÓ Ô Ö Ø Ø
× Ò ÔÖÓÔÓ× × Ý Ö ×Ø ÓÖ ÜÔÖ ×× Ú Ò ×× Ó ÅÄ ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ×
½ Ò ¸ Ù ØÓ Ø× ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÓ ¬Ò Ø ÙØÓÑ Ø ¸ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó
ÅËǹÕÙ Ö × ÓÒ ×ØÖ Ò × Ò Ð ÐÐ ØÖ × × Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º ÇÒ ¬Ò Ø
Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Ò Ò Ö Ð¸ ÓÛ Ú Ö¸ ÅËÇ Ò ÜÔÖ ×× ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ ¹
Ð Ñ× ÓÖ ÐÐ Ð Ú Ð× Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ö Ö Ý ½ ¸ º º¸ ÅËÇ Ò ÜÔÖ ××
ÕÙ Ö × Ø Ø Ö Ð Ú ØÓ Ö ØÓÓ Æ ÙÐØ ØÓ ÐÐÓÛ Æ ÒØ ÑÓ Ð ¹
Ò º
ÅÓÒ Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ ÅÄ È × Ò ØÙÖ Ð ÐÓ Û Ó× ÜÔÖ ×¹
× Ú Ò ×× Ð × ØÛ Ò Ø Ø Ó ¬Ö×عÓÖ Ö ÐÓ Ò ÑÓÒ × ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ º
ÅÄ È × Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó ¬Ö×عÓÖ Ö ÐÓ Ý Ñ Ò ×Ñ Ø Ø ÐÐÓÛ× ØÓ ¹
¬Ò ÙÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ× Ý Ò Ù Ø ÓÒº ÇÒ ¬Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Ò Ò Ö Ð¸
ÅÄ È × Ø Ò ÔÖÓÔ ÖØ × Ø Ø
½º Ì ÑÓ Ð¹ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ×ÓÐÚ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ò
Ð Ò Ö ×Ô Ø ÓÑÔÐ Ü Øݺ
¾º ÅÄ È × ×Ù Ø Ð ÓÖ Ø × Ö ÔØ ÓÒ Ó Ñ ÒÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ׺ ÓÖ
Ü ÑÔÐ ¸ Ø ØÖ Ò× Ø Ú ÐÓ×ÙÖ Ó Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ¸ ÓÖ Ø × Ø Ó Û ÒÒ Ò
ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Ñ × ÓÒ ¬Ò Ø Ö Ô × ½ Ò ×Ô ¬ Ý ÅÄ È¹
ÓÖÑÙÐ º
¿º ÇÒ ×ØÖ Ò × Ò Ð ÐÐ ØÖ ×¸ ÅÄ È Ú Ò × Ü ØÐÝ Ø × Ñ ÜÔÖ ×¹
× Ú Ò ×× × ÅËÇ ½ º
ÁÒ Ø × ×× ÖØ Ø ÓÒ Á Ñ Ö Ò Ò ÓÙØ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ò Ò¹
Ø Ö ×Ø Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ÖÒ Ò ×Ù Ò ØÒ ×× Ó ÐÓ × ÓÒ ØÖ ×º ÅÝ ÔÙÖÔÓ× ×
ØÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø × Ð ÖÐÝ × ÔÓ×× Ð Ø Ø ØÒ ×× Ó Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò
Ò Ø ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ Ò Ø × Ì ÓÖݺ Á Ó× ×Ù Ò ØÒ ×× Ù× Ø
6. ÓÑ Ò × ÐÐ Ø ÒØÖ Ð ØÓÔ × Ó Ò Ø ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ ÜÔÖ ×× Ú Ò ×׸ Ù¹
ØÓÑ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÅÄ Û × ÑÝ ÑÓØ Ú Ø ÓÒº Ì Ø
Ø Ø Ø Ñ Ø Ð Ò Ù Ö Ò Ó Ø Ü Ò ÓÒ Ø Û × Ö ÛÒ Ø
ØØ ÒØ ÓÒ Ó Ñ ÒÝ Ö × Ö Ö׺
ÁÒ Ø ÒÒ Ò Û ÔÖÓÚ Ø Ò ×× ÖÝ ÖÓÙÒ ´ ÖÓÑ Ñ Ø Ñ Ø ¹
Ð ÐÓ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ì ÓÖݵº Ï Ó Ù× ÓÒ Ø ÐÓ × Ø Ø Û Ö Ó Ò
ØÓ Ò Û Ö ÅËÇ Ò ÅÄ Èº Ï Ð×Ó Ñ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø
ÑÓ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÔØ Ö ¿ Ø Ö Û ÒØÖÓ Ù ØÖ ×¸ ÙØÓÑ Ø ¸
Ò ÅÄ Û ×ØÙ Ý Ø ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö Ó ÐÓ × ÓÒ ØÖ ×º ÁÒ ÔØ Ö ¸
Û × Ø Ñ Ò ÔØ Ö¸ Á ÔÖ × ÒØ ×ÓÑ Ö ×ÙÐØ× Ø Ø ÖÓ Ò Ë Û Ö Ø
Ú Ö ÛÒ Ý ÓÑÔ Ö Ò ×Ù Ò ØÒ ×× Ó ÅËÇ Ò ÅÄ È ½ º
7. ÔØ Ö ¾
ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
¾º½ ÄÓ
Ï Ó ÒÓØ ØØ ÑÔØ ØÓ Ú ÙÐÐÝ ÓÑÔÖ Ò× Ú ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ò Ø ÅÓ Ð
Ì ÓÖݺ Ì Ú Ö ÓÙ× Ø× Ø Ø Ö ÕÙÓØ Û Ø ÓÙØ ÔÖÓÓ Ò ÓÙÒ Ò Ø
×Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ × ¿¸ ¾ º Ï ÒØÖÓ Ù ×ÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒ
ÚÓ ÙÐ ÖÝ × ¬Ò Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ × Ø Ó ÓÒ×Ø ÒØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ÝÑ ÓÐ×
Û Ø ××Ó Ø Ö Ø ×º
= ÊÖ1
1 ÊÖÑÑ 1 Ò
¹×ØÖÙ ØÙÖ A × ØÙÔÐ ÓÒ× ×Ø Ò Ó ¬Ò Ø × Ø = ∅¸ Ø ÓÑ Ò Ó A¸
ØÓ Ø Ö Û Ø Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÊA
⊆ Ö
ÓÖ Ö Ð Ø ÓÒ ×ÝÑ ÓÐ Ê Ò ´Ö
× Ø Ö ØÝ Ó Êµ Ò Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ A
∈ ÓÖ ÓÒ×Ø ÒØ ×ÝÑ ÓÐ Ò
º ËÌÊÍ Ì[ ] × Ø Ð ×× Ó ÐÐ ¹×ØÖÙ ØÙÖ ×º
A = ÊA
1 ÊA
Ñ
A
1
A
Ò
ÌÝÔ Ð Ü ÑÔÐ × Ó ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö Ö Ô ×º Á × ×ÝÑÑ ØÖ ÖÖ Ü Ú
Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ò = Ø Ò ËÌÊÍ Ì[ ] × Ø Ð ×× Ó ÙÒ Ö Ø × ÑÔÐ
Ö Ô ×º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ø × × Ö Ù×Ø ¬Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ
ÓÚ Ö ×ÓÑ ÚÓ ÙÐ ÖÝ Ò Ø Ð × Ö Ð Ø ÓÒº
Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ø × ×←→ Ê Ð Ø ÓÒ Ð ËØÖÙ ØÙÖ ×º
Ì Ñ Ò Ù× Ó Ø × × ØÓ ÕÙ ÖÝ Ø× Ø º ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ×
Ð Ò Ù Ø Ø ÐÐÓÛ× Ö ØÖ Ú Ð Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÑ Ø × º
ÄÓ Ð ÓÖÑÙÐ Ò ÜÔÖ ×× ÕÙ Ö ×º
ÉÙ ÖÝ Ä Ò Ù ×←→ ÄÓ ×º
8. ¾º½º ÄÇ Á
Ï ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö × Ñ Ð Ö Û Ø ¬Ö×عÓÖ Ö ÐÓ ´ ǵ ½ Ò
Û Ø Ø × × Ó ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ º Ç ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ú ÖÝ ×Ù ×× ÙÐ
× ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù º Ì Ñ Ò Ö ×ÓÒ Ó Ø Ø × Ø Ø Ç Ò Æ ÒØÐÝ
ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ù× Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ð Ö ¸ Û ÔÖÓÚ × × Ø Ó × ÑÔÐ ÓÔ¹
Ö Ø ÓÒ× ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ× ÜÔÖ ×× Ò ÐÐ Ç ÕÙ Ö ×º Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ð Ö × Ù×
Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ø × × Û × ÒØÖÓ Ù Ý Ì Ó º À × Ö Ð Þ Ø ÓÒ
Ø Ø Ø Ð Ö Ò Ù× ØÓ Æ ÒØÐÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ç ÕÙ Ö × Ú Ø
Ò Ø Ð ÑÔ ØÙ× ØÓ Ø ÖØ Ó Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ø × ×Ý×Ø Ñ׺
ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ç × ÒÓØ Ø Ô Ö Ø ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù º Í× ÙÐ ÕÙ Ö ×¸ ×Ù
× ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó ¬Ò Ø Ö Ô ×¸ ÒÒÓØ ÜÔÖ ×× Ò Ç ¿ º ËÙ Ø×
Ú Ð ØÓ Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ó Ú Ö ØÝ Ó ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù × ÜØ Ò Ò Çº
Ö×Ø ÇÖ Ö Ð × Ó ÒÝ Ñ Ò ×Ñ ÓÖ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ö Ø ÓÒ× Ò ÒÒÓØ
Ñ Ö ÙÖ× Ú ¬Ò Ø ÓÒ׺ Ì Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó Ç ÐÐÓÛ Ò
Ø Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÙÖ× ÓÒ Ò ÜÔÖ ×× ÕÙ Ö × Ø Ø ÒÒÓØ ÜÔÖ ×× Ò Ç
Ð ØÓ ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ ×º
¾º½º½ Ü ¹ÈÓ ÒØ ÄÓ ×
ÓÖ Û ¬Ò ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ × Û ¬Ö×Ø Ö Ú Û Ø × × Ó ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ
Ø ÓÖݺ Ï Ð ÓÒÐÝ Û Ø ¬Ò Ø × Ø× ÐØ ÓÙ Ø × Ö ×ÙÐØ× ÓÐ ÓÖ
Ò¬Ò Ø × Ø׸ ØÓÓº
Ú Ò × Ø Ë Ð Ø P(Ë) Ø× ÔÓÛ Ö× Øº Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÒ × Ø Ë × Ñ Ô
: P(Ë) → P(Ë)º Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ×
• ÑÓÒÓØÓÒ ⊆ ⇒ ( ) ⊆ ( )¸ ÓÖ ÐÐ ∈ P(Ë)
• Ò Ø ÓÒ ÖÝ ⊆ ( )¸ ÓÖ ÐÐ ∈ P(Ë)
• Ò Ù Ø Ú ⊆ +1
ÓÖ ÐÐ Û Ö Û Ö 0
= ∅ Ò +1
= ( )º
Á × Ò Ù Ø Ú Û ¬Ò
∞
=
∞
=0
× Ë × ¬Ò Ø Ø × ÕÙ Ò ( ) ∈N ×Ø Ð Þ × Ø Ö ×ÓÑ ¬Ò Ø ÒÙÑ Ö
Ó ×Ø Ô׸ ×Ó Ø Ö × ÒÙÑ Ö Ò ×Ù Ø Ø ∞
= Ò
ÁØ³× ÒÓØ Ö ØÓ ×
Ø Ø Ò
= Ò+1
Ø Ò Ò
= Ò+
ÓÖ ÐÐ ≥ 0º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ø Ø Ø
Ø Ö Ö Ø ÑÓ×Ø |Ë| ×Ù × Ø× Ë1 Ë ∈ P(Ë) ×Ù Ø Ø Ë ⊂ Ë +1 ÓÖ
∈ {1 − 1} ÑÔÐ × Ø Ø Ò = min{Ñ | Ñ
= Ñ
+ 1} Ø Ò Ò ≤ |Ë|º
¬Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ú Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ : P(Ë) → P(Ë)¸ × Ø È ⊆ Ë ×
¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó (È) = Ⱥ ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ⊆ Ë × Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ
9. ¾º½º ÄÇ Á
⊆ Ê ÓÖ Ú ÖÝ ¬Ü ÔÓ ÒØ Ê Ó º Ï ÛÖ Ø Ð Ô ÓÖ ³× Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ Òظ
Ø × ÓÒ º
ËÓÑ Ó Ø Ö ×ÙÐØ× Ó ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ø ÓÖÝ Ø Ø Û Û ÐÐ Ò Ö Ø ÓÐÐÓÛ¹
Ò ½
ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ¾º½
½º Ú ÖÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ × Ò Ù Ø Ú º
¾º Ú ÖÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ × Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Û Ò ¬Ò
×
Ð Ô( ) = { | ( ) ⊆ }º
´ Ú ÖÝ × Ø ×Ù Ø Ø ( ) ⊆ × ÐÐ ÔÖ ¹¬Ü ÔÓ ÒØ Ó µº
¿º Á × Ò Ò Ù Ø Ú ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò Ð Ô( ) = ∞
¸ ÓÖ Ø × ÕÙ Ò
Ø Ø Û ¬Ò ÖÐ Öº
Ä ×Ø Ü ÈÓ ÒØ ÄÓ ´Ä ȵ
Ä Ø ÚÓ ÙÐ ÖÝ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ×ÝÑ ÓÐ Ó Ö ØÝ ÒÓØ Ò º
Ä Ø ( Ü1 Ü ) ¬Ö×عÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó ÚÓ ÙÐ ÖÝ ∪ { }º Ò
Ü1 Ü Ö ÓÒ× Ö ØÓ Ö Ò Ø ÓÖÑÙÐ º ÓÖ ÒÝ ¬Ü ¹×ØÖÙ ØÙÖ
A Ò ÒÝ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ê ⊆ ÓÖ ¸ ¬Ò × Ø ¹ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ
(A Ê)
= {¯ ∈ | (A Ê ¯) |= }
ËÓ ÓÖ A ∈ËÌÊÍ Ì Ø ÓÖÑÙÐ ¬Ò × Ò ÓÔ Ö ØÓÖ
A
: P( ) → P( )
Ì Ó ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ × × Ø Ø Û ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò ¬Ü ¹
ÔÓ ÒØ× Ó ÓÔ Ö ØÓÖ× A
Ì Ò ÜØ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ × ÓÒ× ÕÙ Ò Ó ÌÖ Ø Ò ÖÓØ³× Ø ÓÖ Ñ ¾¾ º
ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ¾º¾ ÁØ × ÙÒ Ð Û Ø Ö ¬Ö×عÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ( ¯Ü) ×
ÑÓÒÓØÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ º
10. ¾º½º ÄÇ Á
Ù× Ø × ÙÒ Ð Û Ø Ö ¬Ö×عÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ × ÑÓÒÓØÓÒ ¸ Û
ÒÒÓØ ¬Ò ÐÓ × ÓÒ Ø Ò ¬Ü ÔÓ ÒØ× Ó ÑÓÒÓØÓÒ ÓÖÑÙÐ ¸ ×
Ø Ö × ÒÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø ÖÑ Ò Û ×ØÖ Ò × Ö ÓÖÑÙÐ º ÌÓ Ö × Ù Ø
× ØÙ Ø ÓÒ Û Ö ÔÐ Ø ÙÒ Ð × Ñ ÒØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ñ Ý ÓÒÐÝ
ÛÖ Ø Ð Ô × ÑÓÒÓØÓÒ Û Ø Ð ×ÝÒØ Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ º Ú Ò
ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ñ Ý ÓÒØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ÝÑ ÓРʸ Û × Ý Ø Ø Ò Ó ÙÖ¹
Ö Ò Ó Ê × Ò Ø Ú Ø × ÙÒ Ö Ø × ÓÔ Ó Ò Ó ÒÙÑ Ö Ó Ò Ø ÓÒ׸
Ò × ÔÓ× Ø Ú Ø × ÙÒ Ö Ø × ÓÔ Ó Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó Ò Ø ÓÒ׺ Ï
× Ý Ø Ø ÓÖÑÙÐ × ÔÓ× Ø Ú Ò Ê Ø Ö Ö ÒÓ Ò Ø Ú Ó ÙÖÖ Ò × Ó Ê
Ò Øº ÅÓÖ ÓÚ Ö × ÑÓÒÓØÓÒ ¸ Ø Ö × ÔÓ× Ø Ú ×Ù Ø Ø Ð Ô = Ð Ô
ÓÖ Ú ÖÝ ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ø ÓÖÖ Ø ÚÓ ÙÐ Öݺ Ì Ö ÓÖ ¸ Ñ Ò Ø Ò
ÖÓÑ ÑÓÒÓØÓÒ ³ ØÓ ÔÓ× Ø Ú ³ Ó ×Ò³Ø Ö × Ø ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö Ó Ø
×Ý×Ø Ñ ¬Ò º
ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ¾º¿ Ä Ø (Ê ¯Ü) ∈ Ǻ Á × ÔÓ× Ø Ú Ò Ê Ø Ò A
× ÑÓÒÓ¹
ØÓÒ ¿ º
ÓÖ ÒÝ ÚÓ ÙÐ ÖÝ ¸ Ä È ÜØ Ò × Ç Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÙÐ
• Á (Ê ¯Ü) × ÓÖÑÙÐ ÔÓ× Ø Ú Ò Ê¸ Û Ö Ê ∈ × ¹ ÖÝ Ò ¯Ø ×
ØÙÔÐ Ó Ø ÖÑ׸ Û Ö |¯Ü| = |¯Ø| = ¸ Ø Ò [Ð ÔÊ ¯Ü (Ê ¯Ü)](¯Ø) × ÓÖÑÙÐ ¸
Û Ó× Ö Ú Ö Ð × Ö Ø Ó× Ó ¯Øº
Ì × Ñ ÒØ × × ¬Ò × ÓÐÐÓÛ×
A |= [Ð ÔÊ ¯Ü (Ê ¯Ü)](¯) « ¯ ∈ Ð Ô( A
)
ÅÓÒ Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ ´ÅÄ Èµ × ¬Ò × Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó
Ä È Û Ö Û Ò ÓÒÐÝ Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ× Ó ÙÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ׺
Ë ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÅÄ È ´Ë¹ÅÄ Èµ
Ä Ø ÚÓ ÙÐ Öݺ ÓÖ ∈ {1 Ò}¸ Ð Ø Ò Û ÙÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ
×ÝÑ ÓÐ Ò Ð Ø ÓÖÑÙÐ Û Ø Ö × ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ú Ö Ð × 1 Ò
Ò Ö ¬Ö×Ø ÓÖ Ö Ú Ö Ð × Ü1 ÜÒº
1(Ü1 1 Ò)
ººº
Ò(ÜÒ 1 Ò)
ÓÖÑÙÐ × ÔÓ× Ø Ú Ò ÐÐ Ø Ú Ö Ð × 1 Òº ÇÒ ÒÝ ¹
×ØÖÙ ØÙÖ A Ó Ø ¬Ò × ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ
A
: (P( ))Ò
→ P( )
11. ¾º½º ÄÇ Á ½¼
Ú Ò Ý
A
(Ê1 ÊÒ) = { ∈ | (A Ê1 ÊÒ ) |= }
ØÙÔÐ (Ê1 ÊÒ) × ÐÐ × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó ( 1 Ò) Ò A
« ÓÖ ÐÐ ≤ Ò¸ A
(Ê1 ÊÒ) = Ê º
ÓÖ ÐÐ ≤ Ò Ò × ∈ N Û ¬Ò
Ä0
A = ∅
Ä +1
A = A
(ÄA 1
ÄA Ò)
× Û × A
× ÑÓÒÓØÓÒ ×Ó ÄA ⊆ Ä +1
A ÓÖ ÐÐ ∈ N Ò × Ò ×
¬Ò Ø ÓÖ ×ÓÑ 0 Û Ú Ä 0
A = Ä 0+1
A = Ä∞
A ÓÖ ÐÐ ≤ Òº Ï ¬Ò
(Ä∞
A 1
Ä∞
A Ò) ØÓ Ø × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó ( 1 Ò) Ò
Aº
Ä Ø Ë¹ÅÄ È Ø ÐÓ Û Ó× ×ÝÒØ Ü × ¬Ò Ý ÜØ Ò Ò Ø ÖÙÐ ×
ÓÖ ¬Ö×Ø ÓÖ Ö Û Ø Ø ÖÙÐ ÓÖ ÓÖÑ Ò × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ×
ÓÚ ¸ Û Ø Ø × Ñ ÒØ × Ú Ò Ý
(A ¯) |= [Ð ÔÜ1 1 ÜÒ Ò( 1 Ò)] (¯Ý) ⇔ ¯ ∈ Ä∞
A
¾º½º¾ Ë ÓÒ ÇÖ Ö ÄÓ ´Ëǵ
ËÝÒØ Ü
Ï ××ÙÑ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ 0¸ Ø Ö Ö Ò¬Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ú Ö Ð ×
1 2 Ö Ò Ò ÓÚ Ö ¹ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ׺ ÓÖÑÙÐ Ó ËÇ Ò Ú ÓØ
¬Ö×عÓÖ Ö Ò × ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ö Ú Ö Ð ×º Ï ¬Ò ËÇ Ø ÖÑ׸ ÓÖÑÙÐ
Ò Ø Ö Ö Ú Ö Ð × ÓÚ Ö ÚÓ ÙÐ ÖÝ × ÓÐÐÓÛ×
• Ç Ú Ö Ð Ü Ò ÓÒ×Ø ÒØ ×ÝÑ ÓÐ Ó Ö Ç Ø ÖÑ׺ Ì
ÓÒÐÝ Ö Ú Ö Ð Ó Ø Ø ÖÑ Ü × Ø Ú Ö Ð Üº Ì ÓÒ×Ø ÒØ Ø ÖÑ
× ÒÓ Ö Ú Ö Ð ×º
• Ì Ö Ö Ø Ö Ò × Ó ØÓÑ ÓÖÑÙÐ
½º Ç ØÓÑ ÓÖÑÙÐ ´Ø = Ø Ê(¯Ø)¸ Û Ö Ø Ø Ö Ø ÖÑ׸ ¯Ø ×
ØÙÔÐ Ó Ø ÖÑ׸ Ò Ê × Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ÝÑ ÓÐ Ó ¸ Ø Ø × Ø
× Ñ Ö ØÝ × Ø Ð Ò Ø Ó ¯Øµº Ì Ö ¬Ö×عÓÖ Ö Ú Ö Ð × Ó Ø
ÓÖÑÙÐ Ø = Ø Ò Ê(¯Ø) Ö Ø ¬Ö×عÓÖ Ö Ú Ö Ð × Ó Ø Ø Ò ¯Ø
Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ
12. ¾º½º ÄÇ Á ½½
¾º (Ø1 Ø )¸ Û Ö Ø1 Ø Ö Ø ÖÑ׸ Ò × × ÓÒ ¹ÓÖ Ö
Ú Ö Ð Ó Ö ØÝ º Ì Ö ¬Ö×عÓÖ Ö Ú Ö Ð × Ó Ø × ÓÖÑÙÐ
Ö Ø Ö ¬Ö×عÓÖ Ö Ú Ö Ð × Ó Ø1 Ø º Ì Ö × ÓÒ ¹ÓÖ Ö
Ú Ö Ð × º
• Ì ÓÖÑÙÐ Ó ËÇ Ö ÐÓ× ÙÒ Ö Ø ÓÓÐ Ò ÓÒÒ Ø Ú × ∨ ∧ ¬
Ò ¬Ö×Ø ÓÖ Ö ÕÙ ÒØ ¬ Ø ÓÒ¸ Û Ø Ø Ù×Ù Ð ÖÙÐ × ÓÖ Ö Ú Ö Ð ×º
• Á (¯Ü ¯) × ÓÖÑÙÐ ¸ Ø Ò ∃ (¯Ü ¯) Ò ∀ (¯Ü ¯) Ö
ÓÖÑÙÐ ¸ Û Ó× Ö Ú Ö Ð × Ö ¯Ü Ò ¯º
Ë Ñ ÒØ ×
ËÙÔÔÓ× A ∈ËÌÊÍ Ì[ ]º ÓÖ ÓÖÑÙÐ (¯Ü ¯)¸ Û ¬Ò Ø ÒÓØ ¹
Ø ÓÒ (A ¯ ¯) |= (¯Ü ¯) Û Ö ¯ × ØÙÔÐ Ó Ð Ñ ÒØ× Ó Ó Ø × Ñ
Ð Ò Ø × ¯Ü Ò ÓÖ ¯ = ( 1 )¸ Û Ø Ò Ó Ö ØÝ Ò ¸
¯ = ( 1 )¸ Û Ö × ×Ù × Ø Ó Ò
º Ï Ú Ø × Ñ Ò¹
Ø × ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ× Ø Ø Ö « Ö ÒØ ÖÓÑ Ø Ó× ÓÖ Ç
• Á (¯Ü ) × (Ø1 Ø )¸ Û Ö × ¹ ÖÝ Ò Ø1 Ø Ö Ø ÖÑ׸
Û Ø Ö Ú Ö Ð × ÑÓÒ ¯Ü¸ Ø Ò (A ¯ ¯) |= (¯Ü ¯) « Ø ØÙÔÐ
(ØA
1 (¯) ØA
(¯)) × Ò º
• Á (¯Ü ¯) × ∃ (¯Ü ¯ )¸ Û Ö × ¹ Öݸ Ø Ò (A ¯ ¯) |= (¯Ü ¯)
ÓÖ ×ÓÑ ⊆ ¸ Ø × Ø × Ø Ø (A ¯ ¯ ) |= (¯Ü ¯ )
• Á (¯Ü ¯) × ∀ (¯Ü ¯ )¸ Û Ö × ¹ Öݸ Ø Ò (A ¯ ¯) |= (¯Ü ¯)
ÓÖ ÐÐ ⊆ ¸ Ø × Ø × Ø Ø (A ¯ ¯ ) |= (¯Ü ¯ )
ÅÓÒ × ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ ´ÅËǵ × ¬Ò × Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó ËÇ
Û Ö ÐÐ × ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð × Ú Ö ØÝ 1º
Ï Û ÐÐ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò ÐÝ× × Ó ÅÄ È Ò ÅËÇ Ò ÔØ Ö ¿º
¾º½º¿ Ê Ò ¹ ÌÝÔ ×
ÓÖ Û ÓÒØ ÒÙ Û Ò ¬Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò Ò Ö Ò ¹ ØÝÔ ×
ÓÖ ÅËÇ ÓÖÑÙÐ º ÁÒ ÓÖÑ ÐÐÝ ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò ÓÙÒØ× Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò ×Ø
ÕÙ ÒØ ¬ Ö× Ó ÓÖÑÙÐ º
¬Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Ì ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò Ó ÓÖÑÙÐ × ¬Ò Ý Ò Ù Ø ÓÒ
ÓÒ Ø ÓÖÑÙÐ ³× ×ØÖÙ ØÙÖ
• ÕÖ´ µ 0 × ØÓÑ ¸
13. ¾º½º ÄÇ Á ½¾
• ÕÖ´¬ µ ÕÖ´ µ¸
• ÕÖ´ ∧ µ ÕÖ´ ∨ µ max{ÕÖ´ µ¸ ÕÖ´ µ}¸
• ÕÖ´∃Ü µ ÕÖ´∀Ü µ ÕÖ´∃ µ ÕÖ´∀ µ ½·ÕÖ´ µº
Ä Ø ÅËÇ Ø × Ø Ó ÐÐ ÅËǹ ÓÖÑÙÐ Ó ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò Ø ÑÓ×Ø º
Ä ÑÑ ¾º½ Ú Ò ÚÓ ÙÐ ÖÝ Ò ÓÖ Ú ÖÝ ¸ ÅËÇ[ ] ÓÚ Ö ÓÒØ Ò×
ÓÒÐÝ ¬Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ Ú Ö Ð ×¸ ÙÔ ØÓ ÐÓ Ð ÕÙ Ú Ð Ò º
ÈÖÓÓ º Ì ÔÖÓÓ × Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ º
• Ì × × × ÅËÇ 0 º Ì Ö Ö ÓÒÐÝ ¬Ò Ø Ñ ÒÝ ØÓÑ ÓÖÑÙ¹
Ð ¸ Ò Ò ÓÒÐÝ ¬Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÓÓÐ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ó× ¸ ÙÔ ØÓ
ÐÓ Ð ÕÙ Ú Ð Ò º
• ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø ÓÐ × ÓÖ º
• ÓÖÑÙÐ (Ü1 ÜÑ 1 Ð) ÖÓÑ ÅËÇ + 1 × ÓÓÐ Ò
ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ∃Ü (Ü1 ÜÑ 1 Ð Ü) Û Ö Ü × ¬Ö×Ø ÓÖ × ¹
ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð Ò ∈ ÅËÇ º Ý Ø Ò Ù Ø Ú ÝÔÓØ × × Ø
ÒÙÑ Ö Ó ÅËÇ[ ] × ¬Ò Ø ´ÙÔ ØÓ ÐÓ Ð ÕÙ Ú Ð Ò µ Ò Ò Ø
× Ñ Ò ÓÒ ÐÙ ÓÙØ ÅËÇ + 1 ÓÖÑÙÐ Û Ø Ñ Ç Ö
Ú Ö Ð × Ò ËÇ Ö Ú Ö Ð ×º
Ò ÅËÇ Ñ ¹ØÝÔ × × Ø Ë ⊂ ÅËÇ Û Ø Ñ Ö ¬Ö×عÓÖ Ö Ú Ö Ð ×
Ò Ö × ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ú Ö Ð × ×Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ (Ü1 ÜÑ 1 )
ÖÓÑ ÅËÇ Ø Ö ∈ Ë ÓÖ ¬ ∈ ˺ Ú Ò ×ØÖÙ ØÙÖ A¸ Ò Ñ¹ØÙÔÐ
¯ ∈ Ñ
Ò Ò ¹ØÙÔÐ ¯Î Ó ×Ù × Ø× Ó ¸ Û ¬Ò Ø ÅËÇ Ö Ò ¹ ØÝÔ Ó
(¯ ¯Î ) Ò A Ø × Ø
Ñ×Ó¹ØÔ (A ¯ ¯Î ) = { (¯Ü ¯) ∈ ÅËÇ ] | A |= (¯ ¯Î )}
Ï Ò ÓØ ¯ ¯Î Ö ÑÔØݸ Ñ×Ó − ØÔ (A) × Ø × Ø Ó ÐÐ ÅËÇ × ÒØ Ò ×
Ø Ø Ö ØÖÙ Ò Aº
Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ ÓÖ ÒÝ Ñ
½º Ì Ö Ü ×Ø× ÓÒÐÝ ¬Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÅËÇ Ñ ¹ØÝÔ ×º
¾º Ä Ø Ì1 Ì× ÒÙÑ Ö Ø ÐÐ Ø ÅËÇ Ñ ØÝÔ ×º Ì Ö Ü ×Ø ÅËÇ[ ]
ÓÖÑÙÐ (¯Ü ¯) ∈ {1 ×}¸ ×Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ×ØÖÙ ØÙÖ A¸ Ú ÖÝ
ѹØÙÔÐ ¯ Ó Ð Ñ ÒØ× Ó Ò Ú ÖÝ ¹ØÙÔÐ ¯Î Ó ×Ù × Ø× Ó ¸ Ø Ø
× Ø Ø
14. ¾º½º ÄÇ Á ½¿
A |= (¯ ¯Î µ « Ñ×Ó − ØÔ (A ¯ ¯Î ) = Ì
¿º ÅËÇ ÓÖÑÙÐ Û Ø Ñ Ö ¬Ö×عÓÖ Ö Ú Ö Ð × Ò Ö × ÓÒ ¹
ÓÖ Ö Ú Ö Ð × × ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ×ÓÑ Ó Ø ³×º
ÈÖÓÓ º
½º Ï ÒÓÛ Ø Ø ÙÔ ØÓ ÐÓ Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÅËÇ × ¬Ò Ø ¸ ÓÖ ¬Ü
ÒÙÑ Ö Ñ Ó Ú Ö Ð ×º Ä Ø 1(¯Ü ¯) Ä(¯Ü ¯) ÒÙÑ Ö Ø ÐÐ Ø
ÒÓÒ¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖÑÙÐ Ò ÅËÇ[ ] Û Ø Ö Ú Ö Ð × ¯Ü = (Ü1 ÜÑ)
Ò ¯ = ( 1 )º Ì Ò Ò ÅËÇ Ñ Ð¹ØÝÔ × ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ø Ö¹
Ñ Ò Ý ×Ù × Ø Ó {1 Ä} ×Ô Ý Ò Û Ó Ø ³× ÐÓÒ ØÓ
غ ÙØ Ø Ö Ö ¬Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ×Ù ×Ù × Ø× ×Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó « Ö ÒØ
ÅËÇ Ñ ¹ØÝÔ × × ¬Ò Ø º
¾º Ä Ø Ã ⊆ {1 Ä} Ø × Ø Ø Ø Ø ÖÑ Ò × Ì Ò Ã (¯Ü ¯)
Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ
à (¯Ü ¯) ≡
∈Ã
∧
∈Ã
¬
ÓÖ Ú ÖÝ ¯ ∈ Ñ
Ò Ú ÖÝ ¯Î ∈ (P( )) A |= à (¯ ¯Î ) Ø Ò ÐÐ Ø
³× Û Ø ∈ Ã Ö × Ø ×¬ Ý ¯ ¯Î Ò Ø ³× Û Ø ∈ Ã Ö ÒÓØ
× Ø ×¬ Ý ¯ ¯Î º ËÓ
Ñ×Ó − ØÔ (A ¯ ¯Î ) = { (¯Ü ¯) ∈ ÅËÇ[ ] | A |= (¯ ¯Î )}
= { (¯Ü ¯) ∈ {1 Ä} | A |= (¯ ¯Î )}
= { (¯Ü ¯) ∈ à }
= Ì
¿º Ú ÖÝ ÅËÇ ÓÖÑÙÐ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ×ÓÑ º Ï Ð Ñ Ø Ø
(¯Ü ¯) ≡
∈Ã
Ã
ÁÒ A |= (¯ ¯Î ) Ø Ò ∈ Ñ×Ó − ØÔ (A ¯ ¯Î )º ÙØ Û ³Ú ÐÖ Ý
× ÓÛÒ Ø Ø Ñ×Ó − ØÔ (A ¯ ¯Î ) = Ìà ÓÖ ×ÓÑ Ò × Ö ×ÙÐØ A |=
(¯ ¯Î )º
ÓÒÚ Ö× Ðݸ A |= Ø Ò ∈ Ñ×Ó − ØÔ (A ¯ ¯Î ) ÓÖ ÒÝ ¯ ¯Î ×Ó
∈ Ã ÓÖ ÒÝ º
15. ¾º¾º ÇÅÈÍÌ ÌÁÇÆ Ä ÇÅÈÄ ÁÌ ½
¾º¾ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ × Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ö × Ò Ø Ø ÓÒØ Ñ¹
ÔÐ Ø × Ø Ö ×ÓÒ× Û Ý ×ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ× Ö ×Ó Ö ØÓ ×ÓÐÚ Ý ÓÑÔÙØ Ö× ¾ º
ËÓ Ø × Ø Ø ÓÖÝ Ø Ø ØÖ × ØÓ Ò×Û Ö Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ × Ø × Þ Ó Ø ÒÔÙØ
ØÓ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö × ×¸ ÓÛ Ó Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ×
Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò Û Ø Ö Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ× Ò Ö Ñ ¬ Ø ÓÒ× Ó
Ø Ø Ò
ÌÙÖ Ò Å Ò × ´Ìŵ Ö Ø ÑÓ×Ø Ò Ö Ð ÓÑÔÙØ Ò Ú ×º ×Ô Ø
Ø Ö × ÑÔÐ ØÝ Ø Ý Ò × ÑÙÐ Ø Ö ØÖ ÖÝ Ð ÓÖ Ø Ñ× Û Ø Ò ÓÒ× ÕÙ ÒØ Ð
ÐÓ×× Ó Æ Ò Ýº Ì Ý Û Ö × Ö Ò ½ ¿ Ý Ð Ò ÌÙÖ Ò ¾ º Ì
ÓÒ ÔØ Ó Ø ÌÅ × × ÓÒ Ø Ó Ñ Ò Ü ÙØ Ò Û Ðй ¬Ò
ÔÖÓ ÙÖ Ý Ò Ò Ø ÓÒØ ÒØ× Ó Ò ÙÒÐ Ñ Ø Ø Ô ¸ Û × Ú
ÒØÓ ×ÕÙ Ö × Ø Ø Ò ÓÒØ Ò ÓÒ Ó ¬Ò Ø × Ø Ó ×ÝÑ ÓÐ׺ Ì Ñ Ò
Ò × ØÓ Ö Ñ Ñ Ö ÓÒ Ó ¬Ò Ø × Ø Ó ×Ø Ø × Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ × ÓÖÑÙÐ Ø
Ò Ú ÖÝ × ×Ø Ô× Ò Ø ÓÖÑ Ó Á ÝÓÙÖ ×Ø Ø × ¾ Ò Ø ×ÝÑ ÓÐ ÝÓÙ
× × 0 Ø Ò Ö ÔÐ Ø × Û Ø 1 ¸ ÑÓÚ ÓÒ ×ÝÑ ÓÐ ØÓ Ø Ö Ø¸ Ò
ÑÓÚ ØÓ ×Ø Ø ½ º
¬Ò Ø ÓÒ ¾º¿ ´ Ø ÖÑ Ò ×Ø µ ÌÅ × ÕÙ ÖÙÔÐ Å = ( ×) Û Ö
• × ¬Ò Ø × Ø Ó ×Ø Ø ×º
• × ¬Ò Ø × Ø Ó ×ÝÑ ÓÐ׸ ´ Ø × Ð×Ó ÐÐ ÐÔ Øµº ÓÒØ Ò× Ø
Ð Ò ´ µ Ò Ø ¬Ö×Ø ´ºµ ×ÝÑ Óк
• : × → ( ∪{ ¸ Ý × ¸ ÒÓ }µ× ×{← → −}º Ï ××ÙÑ Ø Ø
´Ø ÐØ Ò ×Ø Ø µ¸ Ý × ´Ø ÔØ Ò ×Ø Ø µ¸ ÒÓ ´Ø Ö Ø Ò
×Ø Ø µ Ò Ø ÙÖ×ÓÖ Ö Ø ÓÒ× ← ÓÖ Ð Ø ¸ → ÓÖ Ö Ø Ò − ÓÖ
×Ø Ý ¸ Ö ÒÓØ Ð Ñ ÒØ× Ó ∪ ú
• × ∈ × Ø Ò Ø Ð ×Ø Ø º
Ä Ø Å Ìź Ì ÒÔÙØ Ó Å × Ø Ò Ø Ð ÓÒØ ÒØ× Ó Ø Ø Ô º ÁØ
× ÐÛ Ý× Ó Ø ÓÖÑ ºÛ Û Ö Û ∈ ( − { })∗
º ÇØ Ö Ø Ò Ø ¬Ò Ø ÛÓÖ
Û¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ó Ø Ø Ô × Ð Ò º ÁÒ Ø ÐÐÝ Ø ×Ø Ø × × Ò Ø ÙÖ×ÓÖ
× ÔÓ ÒØ Ò ØÓ Ø ¬Ö×Ø ×ÝÑ ÓÐ ´ºµº Ì Ò Ø Ñ Ò Ø × ×Ø Ô ÓÖ Ò
ØÓ ¸ Ò Ò Ø× ×Ø Ø ¸ ÔÖ ÒØ Ò ×ÝÑ ÓÐ Ò ÑÓÚ Ò Ø ÙÖ×ÓÖ Ø Ò Ø
Ø × ÒÓØ Ö ×Ø Ô¸º º º Ø º Ï × Ý Ø Ø Ø ÌÅ ÐØ× ÓÒ Ó Ø Ø Ö ×Ø Ø ×
Ý × ¸ ÒÓ ¸ × Ö º Ø Ø ¬Ö×Ø × Û × Ý Ø Ø Ø Ñ Ò ÔØ×
Ø× ÒÔÙØ ´Å(Û) = Ý × µ¸ Ø Ø × ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ø× ´Å(Û) = ÒÓ µ Ò
Ø Ø Ø Ö Ø Ø Ø ÓÙØÔÙØ ÓÒ ÒÔÙØ ºÛ × Û Û Ö Û × Ø ×ØÖ Ò Ó Ø
16. ¾º¾º ÇÅÈÍÌ ÌÁÇÆ Ä ÇÅÈÄ ÁÌ ½
Ø Ô Ø Ø Ø Ñ Ó ÐØ Ò ´Å(Û) = Û µº Á ÒÓÒ Ó Ø ÓÚ ×Ø Ø × Ö
Ö Û × Ý Ø Ø Å Ú Ö × Ò Û ÛÖ Ø Å(Ü) = º
ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø ÌÙÖ Ò Å Ò × ¬Ò × ÒÓÖÑ Ð ´ Ø ÖÑ Ò ×Ø µ
ÌÅ Æ = ( ×) Û Ø Ø Ø ÓÒÐÝ « Ö Ò Ø Ø × ÒÓØ ÙÒ Ø ÓÒ
ÙØ Ö Ð Ø ÓÒ ⊂ × × [( ∪ { ¸ Ý × ¸ ÒÓ }µ× × {← → −}]º ËÓ
Ø Ñ Ò × Ò ×Ø Ø Õ Ò × × ×ÝÑ ÓÐ ¸ Ø Ñ Ý Ø ÓÙ Ø Ó × ÑÓÚ Ò ØÓ
ÒÝ ×Ø Ø Õ ¸ ÛÖ Ø Ò ÒÝ Ö Ø Ö Ò ÑÓÚ Ò Ø Ò ÒÝ Ö Ø ÓÒ
×Ù Ø Ø (Õ Õ ) ∈ º Ï × Ý Ø Ø Ø Ñ Ò ÔØ× Ø Ð ×Ø ÓÒ
ÔÓ×× Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ô Ø ÔØ× ´Ö Ö Ð ×× Ó Û Ø Ö Ø ÓØ Ö× Ö Ø ÓÖ
Ú Ò Ø ÖÑ Ò Ø µ¸ Ö Ø× Ú ÖÝ Ô Ø Ö Ø× ´ Ò ¸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÒÓÒ ÔØ
Ò ÒÓÒ Ú Ö µ Ò ÓØ ÖÛ × Ú Ö ×º
¬Ò Ø ÓÒ ¾º Ä Ø Ä ⊂ ( − { })∗
Ð Ò Ù ´ × Ø Ó ×ØÖ Ò × Ó ×Ýѹ
ÓÐ×µº Ä Ø Å ÌÅ ×Ù Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ü ∈ ( − { })∗
Ü ∈ Ä Ø Ò Å(Ü) = Ý × Ò
Ü ∈ Ä Ø Ò Å(Ü) = ÒÓ º
Ì Ò Û × Ý Ø Ø Å × Äº
Ï × Ý Ø Ø Å ÔØ× Ä Û Ò Ú Ö ÓÖ ÒÝ Ü ∈ ( − { })∗
Ü ∈ Ä Ø Ò Å(Ü) = Ý × Ò
Ü ∈ Ä Ø Ò Å(Ü) = º
Á Ä × Ý ×ÓÑ ÅÌ Ø × ÐÐ Ö ÙÖ× Ú Ò Ø × ÔØ Ý ÓÒ
Ø × ÐÐ Ö ÙÖ× Ú ÐÝ ÒÙÑ Ö Ð º
Ä Ø Ä Ð Ò Ù Ý ÌÙÖ Ò Å Ò Å Ò : N → Nº Ï
× Ý Ø Ø Ø Ñ Ò Å ÓÔ Ö Ø Û Ø Ò Ø Ñ (Ò) Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò× Ø ÓÒ×
Å Ñ × ÓÖ ÔØ Ò ÓÖ Ö Ø Ò Ò ÒÔÙØ Ó × Þ |Û| × (|Û|)º Á Å
× Ø ÖÑ Ò ×Ø Û ÛÖ Ø Ä ∈ ÌÁÅ ( )¸ Å × ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø Ø Ò Û
ÛÖ Ø Ä ∈ ÆÌÁÅ ( )º
Ë Ñ Ð ÖÐÝ ËÈ ( (Ò)) ´Ö ×Ô Ø Ú ÐÝ ÆËÈ ( (Ò))µ × Ø × Ø Ó Ð Ò¹
Ù × Ø Ø Ö ÔØ Ý Ø ÖÑ Ò ×Ø ´Ö ×Ô Ø Ú ÐÝ ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø µ
ÌÙÖ Ò Å Ò × ×Ù × Ø Ð Ò Ø Ó Ø ×ØÖ Ò Ø Ú ÖÝ ×Ø Ó Ø Óѹ
ÔÙØ Ø ÓÒ¸ ÔÔ ÖØ ÖÓÑ Ø Ò¬Ò Ø × ÕÙ Ò Ó Ð Ò × Ø Ø Ò ¸ × Ø ÑÓ×Ø
|×| + (|×|) Û Ö × × Ø ÒÔÙغ ÁÒ Ø × Ó ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø ÌÙÖ Ò
Å Ò × Ø ÓÙÒ × ÓÒ Ø ÑÓÙÒØ Ó ×Ô Ù× Ø Ú ÖÝ ×Ø Ó Ú ÖÝ
ÔÓ×× Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº
Ï ÐÐ Ø ÓÚ × Ø× ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð ×× ×º Ì ×ع ÒÓÛÒ Ó Ø Ñ Ö
Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ä =
≥=0
ËÈ (log Ò )
17. ¾º¾º ÇÅÈÍÌ ÌÁÇÆ Ä ÇÅÈÄ ÁÌ ½
ÆÄ =
≥=0
ÆËÈ (log Ò )
È =
≥=0
ÌÁÅ (Ò )
ÆÈ =
≥=0
ÆÌÁÅ (Ò )
ÈËÈ =
≥=0
ËÈ (Ò )
Ò ÐÐÝ Û ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö × Ñ Ð Ö Û Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓØ Ø ÓÒ ´O ¸
Ò ¹ÒÓØ Ø ÓÒµ º
¾º¾º½ Ì ÅÓ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ì ÓÖÝ ¬Ò × Ø× Ñ Ò ÓÒ ÔØ× Ú ÔØ Ò Ó ×ØÖ Ò Ð Ò¹
Ù × Ý ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ú × ×Ù × ÌÙÖ Ò Å Ò ×º ËÓ Û Û ÒØ
ØÓ Ø Ð ÓÙØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ú ÐÙ Ø Ò ÓÖÑÙÐ ´ÓÖ ÕÙ Ö ×µ
ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Û ÑÙ×Ø ¬Ö×Ø Ò Ó ¬Ò Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × Ò ÐÓ Ð
ÓÖÑÙÐ × ×ØÖ Ò ×º
Ì Ö Ö × Ú Ö Ð Û Ý× ØÓ Ò Ó ×ØÖÙ ØÙÖ º ÓÖ ÚÓ ÙÐ ÖÝ ¸
Û Û ÐÐ ¬Ò Ó Ò Ò : ËÌÊÍ Ì[ ] → {0 1}∗
º ËÙÔÔÓ× Û Ú
×ØÖÙ ØÙÖ A ∈ËÌÊÍ Ì[ ] Û Ö = { 1 Ò}º ÌÓ Ó A Û ÑÙ×Ø
××ÙÑ Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ø× ÙÒ Ú Ö× º Ì ÓÖ Ö × ÒÓ « Ø ÓÒ Ø Ö ×ÙÐØ
Ó ÕÙ Ö ×¸ ÙØ Û Ò Ø ØÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ò Ó Ò Ó ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ø
Ø Ô Ó ÌÙÖ Ò Å Ò º Ä Ø 1 Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø
Ó× Ò ÓÖ Öº ¹ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÊA
Û ÐÐ Ò Ó Ý Ò Ò ¹ Ø ×ØÖ Ò
Ò (ÊA
) × ÓÐÐÓÛ׺ ÓÒ× Ö Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÐ ¹ØÙÔÐ × ÓÚ Ö ¸ Ò Ø
Ð Ü Ó Ö Ô ÓÖ Ö ´ º º¸ ( 1 Ò) ( 1 Ò) ¸ Ò ÓÒÐÝ ¸ Ø Ö ×
×ÓÑ ≤ Ò ×Ù Ø Ø = ÓÖ ÐÐ Ò µº Ä Ø ¯ Ø Ø
ØÙÔÐ Ò Ø × ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ø Ø Ø Ó Ò (ÊA
) × 1 ¯ ∈ ÊA
Ò 0
¯ ∈ ÊA
º ÓÒ×Ø ÒØ× Ö Ò Ó × ÙÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ× ÓÒØ Ò Ò ÓÒ Ð Ñ Òغ
Ì ÙÒ Ú Ö× × Ó × Ø Ò ÖÝ ×ØÖ Ò 1Ò
0¸ Û Ö Ò = | |º ÌÙÖ Ò
Å Ò ÑÙ×Ø ÒÓÛ |A| Ò ÓÖ Ö ØÓ Ù× Ø Ò Ó Ò Ó ×ØÖÙ ØÙÖ º Ï
××ÙÑ ¸ Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð Øݸ Ø Ø ÓÒØ Ò× ÓÒÐÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ×ÝÑ ÓÐ׸
= {Ê1 ÊÑ}º Ì Ò Ó Ò Ó ×ØÖÙ ØÙÖ A ∈ËÌÊÍ Ì[ ] ×
Ò (A) = 1Ò
0 Ò (ÊA
1 ) Ò (ÊA
Ñ)
Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ × Ù×Ù ÐÐÝ Ñ ×ÙÖ Ò Ø ÖÑ× Ó | |¸ ÒÓØ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø
Ð Ò Ø Ó Ø× Ò Ó Ò ¸ ÙØ Ø × ×Ø Ò Ø ÓÒ Ñ × Ð ØØÐ Ø ÓÖ Ø Ð « Ö Ò
× Ò Ø ÓÒÐÝ ÒØÖÓ Ù × ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØÓÖº
18. ¾º¾º ÇÅÈÍÌ ÌÁÇÆ Ä ÇÅÈÄ ÁÌ ½
Ë Ò Ø Ð Ò Ø Ó 1Ò
0 × Ò + 1 Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ò (ÊA
) × ÒÔ
Û Ö
Ô × Ø Ö ØÝ Ó Ê ¸ ×Ó Ø Ð Ò Ø Ó Ò (A)¸ ÒÓØ Ý | Ò (A)| ×
| Ò (A)| = (Ò + 1) +
Ô
=1
ÒÔ
Ä Ø = Ê1 ÊÒ ¸ ØÓ Ò Ó ÓÖÑÙÐ Û Ö ÔÖ × ÒØ Ø× ×ÝÒØ Ü ØÖ
× ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ø ÚÓ ÙÐ ÖÝ = Î Ê ÁËÌË Æ ÆÇÌ ÉÍ ÄË
Ë1 ËÒ Ò Û Ó Ø Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ×ØÖ Ò º Ì ÓÚ Ö Ð Ø ÓÒ× Ö
¬Ò × ÓÐÐÓÛ×
• Î Ê´ µ « × Ú Ö Ð ¸
• ÁËÌË´ µ « Ó × ∃Ü ¸ Û Ö Ü × Ø Ú Ö Ð Ó Ý Ò
× Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ý ¸
• Æ ´ µ « Ó × ∧ ¸ Û Ö Ò Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ó
Ý Ò Ö ×Ô Ø Ú Ðݸ
• ÆÇÌ´ µ « Ó × ¬ ¸ Û Ö × Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ý ¸
• ÉÍ ÄË´ µ « Ó × = ¸ Û Ö Ò Ö Ú Ö Ð ×¸
• Ë ( ) « Ó × Ê ( )º
Ì ÑÓ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ×¸ Ú Ò ÑÓ Ð A Ò ÓÖÑÙÐ Ó
ÐÓ L¸ Û Ø Ö A |= º Ô Ò Ò ÓÒ Û Ó Ø ØÛÓ Ô Ö Ñ Ø Ö× ´Ø
ÓÖÑÙÐ Ò Ø ×ØÖÙ ØÙÖ µ Ö ÓÒ× Ö ¬Ü ¸ Û Ø Ø Ø Ö ¬Ò Ø ÓÒ×
Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ ÐÓ Ø Ø Û Ð×Ó ¬Ò Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒº
¬Ò Ø ÓÒ ¾º Ä Ø C ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð ×× Ò L ÐÓ º Ï × Ý Ø Ø
• Ø ÓÑ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó L × C Ø Ð Ò Ù {( Ò (A) Ò ( )) |
∈ L Ò A |= } × Ò C¸
• Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó L × C ¸ ÓÖ Ú ÖÝ × ÒØ Ò ∈ L¸ Ø Ð Ò Ù
{ Ò (A) | A |= } × Ò Cº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ú ÖÝ Ð ×× Ó ×ØÖÙ ØÙÖ × Ø Ø
× ÓÑÔÙØ Ð Ò C × ¬Ò Ð Ò L¸ Û × Ý Ø Ø L ÔØÙÖ × C¸
• Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ØÝ L × C ¸ ÓÖ Ú ÖÝ ×ØÖÙ ØÙÖ A Ó ÔÔÖÓÔÖ Ø
ÚÓ ÙÐ Öݸ Ø Ð Ò Ù { Ò ( ) | A |= } × Ò Cº
ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ¾º Ì Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ç × Ò Äº
19. ¾º¾º ÇÅÈÍÌ ÌÁÇÆ Ä ÇÅÈÄ ÁÌ ½
ÈÖÓÓ º
Ï ¬Ü Ò Ç¹ ÓÖÑÙÐ º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Û Ò ØÓ ÓÒ×ØÖÙ Ø
Ø ÖÑ Ò ×Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ×Ô ÌÙÖ Ò Å Ò ¸ Å Ø Ø × Ø Ð Ò¹
Ù Ä = { Ò (A) | A |= }º Å ¬Ö×Ø ÓÑÔÙØ × = log Ò Ò ÛÖ Ø ×
Þ ÖÓ × ØÓ Ø× ÛÓÖ Ø Ô ÓÖ Ú Ö Ð Ò ´Û ××ÙÑ Ø Ø Ú ÖÝ ÕÙ ÒØ ¬ Ö
Ò Ò × Ö × Ú Ö Ð µº Ì × ¹ Ø ×ØÖ Ò × Û ÐÐ ×ØÓÖ Ø ÙÖÖ ÒØ ÒØ Ö¹
ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö Ð ×º Ì ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò × Ý Ò Ù Ø ÓÒ
ÓÒ ÕÖ´ µº
Á ÕÖ´ µ ¼ Ø Ò × ¬Ò Ø ÓÓÐ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ØÓÑ ÓÖÑÙÐ º
Ì Ñ Ò × Ù× × Ø Ø Ô ´Û Ö Ø Ò Ó Ò Ó Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ×ØÓÖ µ
ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ØÖÙØ Ó Ø × ØÓÑ ÓÖÑÙÐ Ò ØÙÖÒ Ò ØÓ ÓÑÔÙØ Ø
ÓÓÐ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒº ÆÓÒ Ó Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ× Ö ÕÙ Ö × ÑÓÖ Ø Ò ÐÓ Ö Ø ¹
Ñ ÑÓÙÒØ Ó ×ØÓÖ º
××ÙÑ Ø Ø Û Ú Ñ Ò × ÓÖ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ó ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò Òº Á
ÕÖ( ) = Ò + 1 Ø Ò × ¬Ò Ø ÓÓÐ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÖÑÙÐ ∃Ü Û Ø
ÕÖ( ) = Òº ÓÖ Ó Ø × Ò ØÙÖÒ Ø Ñ Ò ÐÓÓÔ× Ø ÖÓÙ ÐÐ ÔÓ×× Ð
¹ Ø ×ØÖ Ò × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð Ü Ò × ÑÙÐ Ø × Ø Ñ Ò
ÓÖ ÓÖ ÙÒØ Ð Ø Ø Ö ¬Ò × Ú ÐÙ ÓÖ Ü Ø Ø × Ø ×¬ × ÓÖ ¬Ò × Ø Ø
ÒÓÒ Óº ÁØ Ð×Ó Ö Ñ Ñ Ö× Ø ØÖÙØ Ú ÐÙ ÓÖ ×Ù ÓÖÑÙÐ Ò Ø× ×Ø Ø ×
Ò ÓÑÔÙØ × Ø Ö Ð Ú ÒØ ÓÓÐ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ø× ×Ø Ø ØÓ Ú Ø Ö ×ÙÐغ
Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Ì Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÅÄ È × Ò Èº
ÈÖÓÓ º
Ù× Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ø ÓÖ Ñ Ø ×ÙÆ × ØÓ × ÓÛ Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ø
ÓÖÑ Ð ÔÊ Ü Ò Ú ÐÙ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º Ï Ó × ÖÚ Ø Ø :
P( ) → P( ) × È¹ ÓÑÔÙØ Ð ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ¸ Ø Ò Ð Ô( ) Ò
ÓÑÔÙØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ò | |º ÁÒ Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ×ØÓÔ× Ø Ö Ø ÑÓ×Ø | | Ø Ö Ø ÓÒ× Ó Û Ò Ú ÐÙ Ø Ò
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º
20. ÔØ Ö ¿
ÄÓ ÓÒ ÌÖ ×
Ì ÔÙÖÔÓ× Ó Ø × ÔØ Ö × ØÓ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò ØÖ ×¸ Ù¹
ØÓÑ Ø Ò Åĺ Ï ×Ø ÖØ Ý Ñ Ò Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ØÖ ×ØÖÙ ØÙÖ ×
Ò Åĺ Ï Ø Ò ¬Ò È Ø ¸ ÔÓÔÙÐ Ö ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ÓÖ ÅÄ Ò
× ÓÛ Ø Ø Ú ÖÝ È Ø ¹ ¬Ò Ð ÕÙ ÖÝ × ÅËǹ ¬Ò Ð º ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Û
¬Ò ØÖ ÙØÓÑ Ø Ò Û ×ØÙ Ý Ø Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ ÅËǺ Ò ÐÐݸ Û Ù×
ÙØÓÑ Ø ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø¸ ÓÚ Ö ¬Ò Ø Ð ÐÐ ØÖ ×¸ ÅËÇ Ò ÅÄ È × Ø
× Ñ ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Öº
¿º½ ÌÖ ×
ÌÖ × Ö × Ú ÖÝÛ Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö × Ò ¸ Ò Ø Ö Ö ÒÙÑ ÖÓÙ× ÓÖ¹
Ñ Ð ×Ñ× Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÖ × Ö Ò Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ò ØÖ ×º ËÓÑ Ó
Ø × ÓÖÑ Ð ×Ñ× Ö Ð Ö Ø Ú Ò × ÓÒ ÐÓ Ð ×Ô ¬ Ø ÓÒ× ÓÖ Ü¹
ÑÔÐ ¸ ¬Ö×عÓÖ Ö ÐÓ ¸ ÑÓÒ × ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ ¸ Ò Ú Ö ÓÙ× Ø ÑÔÓÖ Ð
Ò ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ × ÓÚ Ö ØÖ ×º ÇØ Ö× Ö ÔÖÓ ÙÖ Ð ÓÖÑ Ð ×Ñ× ×Ù ×
Ú Ö ÓÙ× ÚÓÙÖ× Ó ØÖ ÙØÓÑ Ø ¸ ÓÖ ØÖ ØÖ Ò× Ù Ö׺ ÐÐ Ø × ÓÖÑ Ð ×Ñ×
Ú ÓÙÒ ÒÙÑ ÖÓÙ× ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ò Ú Ö ¬ Ø ÓÒ¸ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÐÝ× ×¸ ÐÓ
ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ¸ ÓÒ×ØÖ ÒØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ¸ Ð Ò Ù ×Ø ×¸ Ò Ø × ×º
ØÖ Ñ Ý Ö Ò ¸ Ú ÖÝ ÒÓ Û × ÒÓØ Ð × Ø × Ñ ÒÙѹ
Ö Ó Ð Ö Ò¸ ÓÖ ÙÒÖ Ò ¸ « Ö ÒØ ÒÓ × Ò Ú « Ö ÒØ ÒÙÑ Ö
Ó Ð Ö Òº Ï ÐÐ Ø Ö Ò ØÖ × Ò ÖÝ Û Ò Ø Ý Ú Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ
Ø Ø Ú ÖÝ ÒÓ Ø Ö × Ü ØÐÝ ØÛÓ Ð Ö Ò ÓÖ × Ð º ÅÓÖ ÓÚ Ö
ØÖ × ÐÐ ÓÖ Ö Û Ò Ø Ð Ö Ò Ó ÒÝ ÒÓ Ö ÓÖ Ö Ý × Ð Ò
ÓÖ Ö Ò º Ï Û ÐÐ Ó Ù× ÓÒ Ø Ð ×× Ó ÓÖ Ö ÙÒÖ Ò ØÖ ×º
ÆÓ × Ò ÓÖ Ö ÙÒÖ Ò ØÖ × Ö Ð Ñ ÒØ× Ó N∗
Ø Ø ×¸ ¬Ò Ø ×ØÖ Ò ×
Û Ó× Ð ØØ Ö× Ö Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö׺ ×ØÖ Ò × = Ò0Ò1 ¬Ò × Ô Ø ÖÓÑ
Ø ÖÓÓØ ØÓ Ú Ò ÒÓ ÓÒ Ó × ØÓ Ø Ò0Ø Ð Ó Ø ÖÓÓظ Ø Ò ØÓ Ø
21. ¿º½º ÌÊ Ë ¾¼
Ò1Ø Ð Ó Ø Ø Ð Ñ Òظ Ø º Ï × ÐÐ ÛÖ Ø ×1 ◦ ×2 ÓÖ Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ
Ó ×ØÖ Ò × ×1 Ò ×2¸ Ò ÓÖ Ø ÑÔØÝ ×ØÖ Ò º
Ï ÒÓÛ ¬Ò ×ÓÑ × Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ× ÓÒ N∗
º Ì Ð Ö Ð Ø ÓÒ ×
× ≺ × ⇔ × = × ◦ ÓÖ ×ÓÑ ∈ N
Ì Ò ÜØ¹× Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ × Ú Ò Ý
× ≺Ò× × ⇔ × = ×0 ◦ Ò × = ×0 ◦ ( + 1) ÓÖ ×ÓÑ ×0 ∈ N∗
Ò ∈ N
Ì Ø ×¸ × Ò × Ö ÓØ Ð Ö Ò Ó Ø × Ñ ×0 ∈ N∗
¸ Ò × × Ò ÜØ
Ø Ö × Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ö Ò Ó × Ð Ò ×º
Ï × ÐÐ Ù× Ø ×ÙÔ Ö× Ö ÔØ ∗ ØÓ ÒÓØ Ø Ö Ü Ú ¹ØÖ Ò× Ø Ú ÐÓ×ÙÖ Ó
Ö Ð Ø ÓÒº Ì Ù׸ ≺∗
× Ø × Ò ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ´ Ò ÐÙ Ò × Ð µ × ≺∗
× «
× × ÔÖ ¬Ü Ó × ÓÖ × = × º Ì ØÖ Ò× Ø Ú ÐÓ×ÙÖ Ó Ø Ò ÜØ¹× Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ¸
≺∗
Ò× × Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ò ÓÒ Ø Ð Ö Ò Ó ÒÓ × ◦ ≺∗
Ò× × ◦ « ≤ º
Ï × ÐÐ Ö ÖÖ Ò ØÓ ÝÓÙÒ Ö»ÓÐ Ö × Ð Ò × Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø × ÓÖ Ö Ò
´Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ × ◦ 1 × Ø ÓÐ ×صº
× Ø ⊆ N∗
× ÐÐ ÔÖ ¬Ü¹ ÐÓ× Û Ò Ú Ö × ∈ Ò × × ÔÖ ¬Ü
Ó × ´Ø Ø ×¸ × ≺∗
׸ Ø Ò × ∈ µº
¬Ò Ø ÓÒ ¿º½ ØÖ ÓÑ Ò × ¬Ò Ø ÔÖ ¬Ü¹ ÐÓ× ×Ù × Ø Ó N∗
×Ù
Ø Ø × ◦ ∈ ÑÔÐ × × ◦ ∈ ÓÖ ÐÐ º
Ä Ø ¬Ò Ø ÐÔ Øº Ï ¬Ò ¹ØÖ × × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ø Ø ÓÒ× ×Ø Ó
ÙÒ Ú Ö× Ò ÒÙÑ Ö Ó Ö Ð Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ÙÒ Ú Ö× º
¬Ò Ø ÓÒ ¿º¾ ´ ¹ØÖ µ Ò ÓÖ Ö ¸ ÙÒÖ Ò ¹ØÖ Ì × ×ØÖÙ ØÙÖ
Ì = ≺∗
≺∗
Ò× (È ) ∈ ¸
Û Ö × ØÖ ÓÑ Ò¸ ≺∗
Ò ≺∗
Ò× Ö Ø × Ò ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø
× Ð Ò ÓÖ Ö Ò ¸ Ò Ø È ³× Ö ÒØ ÖÔÖ Ø × × Ó ÒØ × Ø× Û Ó× ÙÒ ÓÒ ×
Ø ÒØ Ö ÓÑ Ò º Ï Ð Ø ÌÖ ×( ) Ø × Ø Ó ÐÐ ¹ØÖ ×º
Ò ÙÒÓÖ Ö ÙÒÖ Ò ØÖ × ¬Ò × ×ØÖÙ ØÙÖ ≺∗
(È ) ∈ ¸
Û Ö ≺∗
¸ Ò È ³× Ö × ÓÚ º
Ì Ù׸ ØÖ ÓÒ× ×Ø× Ó ØÖ ÓÑ Ò ØÓ Ø Ö Û Ø Ð ÐÐ Ò ÓÒ Ø×
ÒÓ ×¸ Û × ÔØÙÖ Ý Ø È ÔÖ Ø × × ∈ È ¸ Ø Ò Ø Ð Ð Ó ×
× º ÁÒ Ø × × Û ÛÖ Ø Ì (×) = ´Ø Ð ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒµº Ò ÐÐÝ Û Û ÐÐ
¬Ò Ò ÖÝ ØÖ × Ò ¬Ò Ð ØÖ Ð Ò Ù ×º
22. ¿º½º ÌÊ Ë ¾½
¬Ò Ø ÓÒ ¿º¿ Ò ÖÝ ØÖ ÓÑ Ò × × Ø ⊆ {1 2}∗
Ø Ø × ÔÖ ¬Ü¹
ÐÓ× º ÓÖ Ú ÖÝ × ∈ Ø Ö ÓØ × ◦ 1 Ò × ◦ 2 Ö Ò ÓÖ ÒÓÒ Ó Ø Ñ
× Ò º ¹ØÖ × Ô Ö ( ) Û Ö × ØÖ ÓÑ Ò Ò × Ø
Ð ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ´ ÖÓÑ ØÓ µº
Ï Ö ÔÖ × ÒØ ØÖ Ì = ( ) × ×ØÖÙ ØÙÖ
MÌ = ≺ (È ) ∈ ×Ù 1 ×Ù 2 º
Ì Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ≺ × ÒØ ÖÔÖ Ø × Ø ÔÖ ¬Ü Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ ¸ È × ÒØ Ö¹
ÔÖ Ø × {× ∈ | (×) = } Ò ×Ù (×1×2) ⇔ ×2 = ×1 ◦ º
Ì ÓÐÐÓÛ Ò ×Ø Ò Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö ÙÒÖ Ò ØÖ ×¸ Ø Ø Û ×
ÒØÖÓ Ù Ý ÓØØÐÓ Ò ÃÓ Ò ½ ¸ ÐÔ× Ù× ØÖ Ò×Ð Ø ÓÖ Ö ÙÒÖ Ò
ØÖ × ÒØÓ Ò ÖÝ ØÖ ×º
Ò1
Ò2 Ò3
Ò4 Ò5
Ò6
´ µ ÙÒÖ Ò ØÖ
Ò1
Ò2
¬Ö×Ø Ð
Ò3
Ò ÜØ× Ð Ò
Ò4
¬Ö×Ø Ð
Ò5
Ò ÜØ× Ð Ò
Ò6
Ò ÜØ× Ð Ò
´ µ Ò ÖÝ ØÖ
ÙÖ ¿º½ Ü ÑÔÐ Ó ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ
Ò ÙÒÖ Ò ÓÖ Ö ØÖ Ò ÓÒ× Ö × Ø ×ØÖÙ ØÙÖ
TÙÖ = Ì ÖÓÓØ Ð (Ð Ð ) ∈ ¬Ö×Ø Ð Ò ÜØ× Ð Ò Ð ×Ø× Ð Ò ¸
Û Ö Ì × Ø × Ø Ó ÒÓ × Ò Ø ØÖ ¸ ÖÓÓØ ¸ Ð ¸ Ð ×Ø× Ð Ò ¸ Ò Ø
Ð Ð Ö Ð Ø ÓÒ× Ö ÙÒ Öݸ Ò ¬Ö×Ø Ð Ò Ò ÜØ× Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ× Ö
Ò Öݺ ÅÓ×Ø Ö Ð Ø ÓÒ× Ö ¬Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö ÒØÙ Ø Ú Ñ Ò Ò × ÓÖ
Û Ö ¬Ò ÖÐ Ö ×Ó Û Ù×Ø Ó Ù× ÓÒ ØÛÓ Ó Ø Ñº ¬Ö×Ø Ð ´Ò1 Ò2µ ×
ØÖÙ « Ò2 × Ø ÓÐ ×Ø Ð Ó Ò1¸ Ò ÜØ× Ð Ò (Ò1 Ò2) × ØÖÙ «¸ ÓÖ ×ÓÑ
¸ Ò1 Ò Ò2 Ö Ø ¹Ø Ò ( + 1)¹Ø Ð Ö Ò Ó ÓÑÑÓÒ Ô Ö ÒØ ÒÓ ¸
23. ¿º¾º ÅÄ ¾¾
Ö ×Ô Ø Ú Ðݸ ÓÙÒØ Ò ÖÓÑ Ø Ð Øº Ò ÐÐݸ Ð ×Ø× Ð Ò ÓÒØ Ò× Ø × Ø Ó
ÝÓÙÒ ×Ø Ð Ö Ò Ó ÒÓ ×º ÙÖ ½ Ñ × Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ Ð Öº
Ä Ø × ÒØ Ò Ó ÐÓ L Ò Ð Ø MÌ Ø ØÖ ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ø
ØÖ Ìº ¬Ò × Ø × Ø Ó ØÖ × ´ØÖ Ð Ò Ù µ Ú Ò Ý
Ä( ) = {Ì | MÌ |= }º
¬Ò Ø ÓÒ ¿º ØÖ Ð Ò Ù Ä × ¬Ò Ð Ò ÐÓ L¸ ÓÖ × L¹ ¬Ò Ð ¸
Ø Ö Ü ×Ø× Ò L¹× ÒØ Ò ×Ù Ø Ø Ä = Ä( )º
Ï Û ÐÐ ¬Ò ÐÐÝ ¬Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó ×ØÖ Ò × Ò Û Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø
Û Ò ÒØ Ý ×ØÖ Ò Û Ø ØÖ º ×ØÖ Ò Û = Û0 ÛÒ−1 Ó Ð Ò Ø
|Û| = Ò ÓÚ Ö Ò ÐÔ Ø Ò ÓÒ× Ö × Ø ×ØÖÙ ØÙÖ
Û = {0 Ò − 1} ×Ù (È ) ∈
Û Ö ×Ù ÒÓØ × Ø Ò ÖÝ ×Ù ××ÓÖ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ {0 Ò − 1} Ò È =
{ | Û = }º
Ä Ø
ÌÛ = { 1 11 1Ò−1
} ×Ù 1 (ÈÌÛ) ∈
ÁØ × ×Ý ØÓ × Ø Ø ÌÛ × ÙÒ ÖÝ ØÖ Ú ÖÝ ÒÓ Ø Ö × Ü ØÐÝ ÓÒ
Ð ÓÖ × Ð Ò Ø Ø ÌÛ Ò Û Ö ×ÓÑÓÖÔ º
¿º¾ ÅÄ
Ø × × Ò Ø Ï Ö ÓÒÒ Ø Ø Ñ ÒÝ Ð Ú Ð׺ Ï Ô × Ö Ò¹
Ö × Ò ÐÝ ÔÓÛ Ö Ý Ø × ×º Ù× Ó Ø Ï ×ÓÑ Ó Ø ×
××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó Ø × Ì ÓÖÝ × ÓÙÐ Ö Ú × Ø º Ð ×× Ð ´Ö Ð Ø ÓÒ Ðµ
Ø × × Ó Ö ÒØÐÝ × Ò ×Ý×Ø Ñº Ì ×Ý×Ø Ñ ÑÔÓ× × Ö ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ Ò ÔÖÓÚ × ÕÙ Ö × Ò ÓÒØÖÓÐÐ ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ Ì Ï × Ô × ÒÝ
×Ù ÓÒØÖÓÐ × Ø × Ö ¹ ÚÓÐÚ Ò ¸ Ú Ö¹ Ò Ò ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø ×ÓÙÖ ×
Ó Ú Ö ÓÙ× ÓÖÑ׸ ÒØ Ö Ø Ò ÓÖ Ò ØÓ Ü Ð ÔÖÓØÓ Óк ËÓ Ø Ò ×× ØÝ
Ó Ø × ÑÓ Ð Ø Ø ÛÓÙÐ ÔÖÓÚ Ü Ð ÓÖÑ Ø ÓÖ Ø Ü Ò
ØÛ Ò « Ö ÒØ ØÝÔ × Ó Ø × × ÖÓ× ¿½ º ÙÖ Ò Ø Ð ×Ø Ý Ö× Ø
ÏÓÖÐ Ï Ï ÓÒ×ÓÖØ ÙÑ ´Ï¿ µ × ÓÔØ ÅÄ ´ Ø Ò× Ð Å Ö ÙÔ
Ä Ò Ù µ × Ø ×Ø Ò Ö ÓÖ Ø Ü Ò ÓÒ Ø Ï º À Ò ÅÄ ×
ÓÑ ÒØÖ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÑÓ ÖÒ Ø Ñ Ò Ñ Òغ ÍÒÐ Ø Ö ¹
Ð Ø ÓÒ Ð ÑÓ Ð¸ Û Ó× ÖØ Û × ÔÖ Ý ×ÓÐ Ø ÓÖ Ø Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ׸
ÅÄ × Ø ÖÙ Ø Ó Ò Ó Ø Ò ÓØ × Ò ÔÖÓ ×× ¿¼ º
Ò Û Ø ÑÓ Ð Ö ÕÙ Ö × Ò Û ØÓÓÐ× Ò Ò Û Ø Ò Õ٠׺ × Ò Ø
ÖÓ××¹ ÖØ Ð Þ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÐÓ Ò Ø × ×¸ ÅÄ ÑÔÓ× × Ò Û ÐÐ Ò ×
ÓÒ Ø Ö Ó ÙØÓÑ Ø Ò ÐÓ ¸ Û Ð Ø Ð ØØ Ö Ö Ò ÔÖÓÚ Ò Û
ØÓÓÐ× Ò Ø Ò ÕÙ × ÓÖ Ø Ò ¬Ø Ó ÅÄ Ö × Ö º
24. ¿º¾º ÅÄ ¾¿
¿º¾º½ ÅÄ Ó ÙÑ ÒØ× Ò Ë Ñ ×
ÅÄ × Ò Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÀÌÅÄ ¾ ¸ ¾ º ÀÌÅĸ × ÓÖØ ÓÖ ÀÝÔ ÖÌ ÜØ
Å Ö ÙÔ Ä Ò Ù ¸ × Ø ÔÖ ÓÑ Ò ÒØ Ñ Ö ÙÔ Ð Ò Ù ÓÖ Ø Ö Ø ÓÒ Ó
Û Ô × Ñ Ö ÙÔ × Ø ÔÖÓ ×× Ó Ø Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ø ÜØ Ò Ò ÜØÖ
×ÝÑ ÓÐ׺ Ò ÅÄ Ó ÙÑ ÒØ ÓÒ× ×Ø× Ó Ò ×Ø Ð Ñ ÒØ× Û Ø ÓÖ Ö ×Ù ¹
Ð Ñ ÒØ׺ Ð Ñ ÒØ × Ò Ñ ´ Ø ÓÖ Ð Ðµº
ÐÑ Ø ØÐ Ì ÓÙÒØ Ò
ØÓÖ
ÖÖ Ò ÖÓÒÓ × Ý
» ØÓÖ
Ý Ö
¾¼¼
»Ý Ö
ÖÙÒØ Ñ
Ñ Ò
»ÖÙÒØ Ñ
» ÐÑ
ÁØ Ò × ÐÝ × Ò Ø Ø ÅÄ Ø Ò ÑÓ ÐÐ × Ò ÓÖ Ö ¸
Ð ÐÐ ¸ ÙÒÖ Ò ØÖ º
ÐÑ
ØÓÖ
Ì Ì
Ö
Ì Ì
ÊÙÒØ Ñ
Ì Ì
Û Ø
• Ì ( ) = Ì ÓÙÒØ Ò
• Ì (11) = ÖÖ Ò ÖÓÒÓ × Ý
• Ì (21) = ¾¼¼
• Ì (31) = Ñ Ò
25. ¿º¾º ÅÄ ¾
Û Ö Ì × Ø Ð ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒº
Ò ÅÄ × Ñ × × Ö ÔØ ÓÒ Ó ØÝÔ Ó ÅÄ Ó ÙÑ Òظ ØÝÔ ÐÐÝ
ÜÔÖ ×× Ò Ø ÖÑ× Ó ÓÒ×ØÖ ÒØ× ÓÒ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ò ÓÒØ ÒØ Ó Ó ÙÑ ÒØ×
Ó Ø Ø ØÝÔ ¸ ÓÚ Ò ÝÓÒ Ø × ÓÒ×ØÖ ÒØ× ÑÔÓ× Ý ÅÄ Ø× Ð º
ÒÙÑ Ö Ó ×Ø Ò Ö Ò ÔÖÓÔÖ Ø ÖÝ ÅÄ × Ñ Ð Ò Ù × Ú Ñ Ö
ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ× Ó ÓÖÑ ÐÐÝ ÜÔÖ ×× Ò ×Ù × Ñ ×¸ Ò ×ÓÑ Ó Ø × Ð Ò¹
Ù × Ö ÅĹ × ¸ Ø Ñ× ÐÚ ×º Ì × × Ñ Ñ Ò ×Ñ ÓÖ ÅÄ
× ÔÖÓÚ Ý Ø ÌÝÔ ¬Ò Ø ÓÒ× ´ Ì ×µº Ì × ¬Ò × Ø Ð Ñ ÒØ×
Ø Ø Ñ Ý Ò ÐÙ Ò Ò ÅÄ Ó ÙÑ Òظ Û Ø ØØÖ ÙØ × Ø × Ð Ñ ÒØ×
Ú ¸ Ò Ø ÓÖ Ö Ò Ò Ò ×Ø Ò Ó Ø Ð Ñ ÒØ׺ Ò Û Ö ÅÄ × Ñ
Ð Ò Ù ¸ × Ö Ý Ø Ï¿ × Ø ×Ù ××ÓÖ Ó Ì ×¸ × ÅÄ Ë Ñ ¸
ÓÖ ÑÓÖ Ò ÓÖÑ ÐÐÝ Ö ÖÖ ØÓ Ý Ø Ò Ø Ð ×Ñ ÓÖ ÅÄ Ë Ñ Ò×Ø Ò ×¸
Ë ´ ÅÄ Ë Ñ ¬Ò Ø ÓÒµ ¾ º Ï Ð Ì ÔÖÓÚ × × Ö ÑÑ Ö
ÓÖ ¬Ò Ò Ò ÅÄ Ó ÙÑ ÒØ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÓÑÔÖ × Ø
× Ô Ó Ø Ó ÙÑ Òظ Ò ÅÄ Ë Ñ ÔÖÓÚ × Ø ×¸ ÔÐÙ× Ø Ð Û Ý
ØÓ ¬Ò Û Ø Ø Ø Ò Ò ÒÒÓØ ÓÒØ Òº × Ö ×ÙÐØ Ë × Ö Ö
ÑÓÖ ÔÓÛ Ö ÙÐ Ø Ò Ì × Ò × Ö Ò ÅÄ Ð Ò Ù ×º
¿º¾º¾ È Ø
È Ø × × ÑÔÐ Ð Ò Ù ÓÖ ÕÙ ÖÝ Ò Ò ÅÄ ØÖ Ò Ö ØÙÖÒ Ò × Ø
Ó ÒÓ × º ÁØ × Ò Ö × Ò ÐÝ ÔÓÔÙÐ Ö Ù ØÓ Ø× ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö Ò Ø×
ÓÑÔ Ø ×ÝÒØ Üº Ì × ØÛÓ Ú ÒØ × Ú Ú Ò È Ø ÒØÖ Ð ÖÓÐ ÓØ
Ò ÓØ Ö Ý ÅÄ ×Ô ¬ Ø ÓÒ× Ò ÅÄ ÔÔÐ Ø ÓÒ׺ ÁØ × Ò ÒØÖÓ¹
Ù Ý Ø Ï¿ × Ø ×Ø Ò Ö ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ÓÖ Ö ØÖ Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ
Ò ÅÄ Ó ÙÑ ÒØ׺ Ì ÙÖÖ ÒØ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø Ð Ò Ù × È Ø ¾º¼¸ ÙØ
Ú Ö× ÓÒ ½º¼ × ×Ø ÐÐ Ø ÑÓÖ Û ÐݹÙ× Ú Ö× ÓÒº
ÁÒ Ø Ö × ÑÔÐ ×Ø ÓÖÑ È Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ× ÐÓÓ Ð Ö ØÓÖÝ Ò Ú Ø ÓÒ
Ô Ø × º ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ø È Ø
» Ö ØÓÖ» ÒÖ »¬ÐÑ
Ò Ú Ø × ÖÓÑ Ø ÖÓÓØ Ó Ó ÙÑ ÒØ ´ × Ò Ø Ý Ø Ð Ò ×Ð × » µ
Ø ÖÓÙ Ø ØÓÔ¹Ð Ú Ð Ö ØÓÖ Ð Ñ ÒØ ØÓ Ø× ÒÖ Ð Ð Ñ ÒØ× Ò
ÓÒ ØÓ Ø× ¬ÐÑ Ð Ð Ñ ÒØ׺ Ì Ö ×ÙÐØ Ó Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö
ÜÔÖ ×× ÓÒ × Ø × Ø Ó ÐÐ Ø ¬ÐÑ Ð Ñ ÒØ× Ø Ø Ò Ö Ò Ø ×
Ñ ÒÒ Ö¸ Ö ØÙÖÒ Ò Ø ÓÖ Ö Ø Ý Ó ÙÖÖ Ò Ø Ó ÙÑ Òغ Ø
×Ø Ô Ò Ø Ò Ú Ø ÓÒ Ø × Ð Ø ÒÓ × ÓÖ Ø Ø ×Ø Ô Ò ¬ÐØ Ö Ù× Ò
ÕÙ Ð ¬ Ö׺ ÕÙ Ð ¬ Ö × ÓÓÐ Ò ÜÔÖ ×× ÓÒ ØÛ Ò Ö Ø× Ø Ø Ò Ø ×Ø
Ô Ø Ü ×Ø Ò º ËÓ Û × ÓÖ
26. ¿º¾º ÅÄ ¾
» Ö ØÓÖ» ÒÖ »¬ÐÑ Ý Ö
Ø Ò Ø Ö ×ÙÐØ × ÐÐ ¬ÐÑ Ð Ñ ÒØ× Ø Ø Ú Ð ×Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ
Ò Ñ Ý Ö º Ì × ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ × ÑÓÖ ÒØ Ö ×Ø Ò Û Ò ÓÑ Ò Û Ø
È Ø ³× Ô Ð ØÝ Ó × Ö Ò ÐÓÒ Ü × ÓØ Ö Ø Ò Ø × ÓÛÒ Ð Ö Ò Ó
Ü ×º ÁÒ Ø ÓÚ È Ø × × ÓÖØ Ò ÓÖ
» Ð Ö ØÓÖ» Ð ÒÖ » Ð ¬ÐÑ Ð Ý Ö ¸
Û Ö Ø × Ñ ÜÔÐ Ø Ø Ø Ô Ø ×Ø Ô × Ñ ÒØ ØÓ × Ö Ø Ð Ü ×
ÓÒØ Ò Ò ÐÐ Ð Ö Ò Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÓÒØ ÜØ ÒÓ º Á Û Ò×Ø × ÓÖ
» Ð Ö ØÓÖ» × Ò ÒØ ¶ Ð Ý Ö ¸
Ø Ò Ø Ð ×Ø ×Ø Ô × Ð Ø× ÒÓ × Ó ÒÝ Ò Ø Ø Ö ÑÓÒ Ø × Ò ÒØ×
Ó Ø ØÓÔ Ð Ñ ÒØ Ö ØÓÖ Ò Ú Ý Ö ×Ù ¹ Ð Ñ Òغ
Ä Ø³× ÒØÖÓ Ù Ø ×ÝÒØ Ü Ó È Ø º Ì ÔÖ Ñ ÖÝ ×ÝÒØ Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò
È Ø × Ø ÜÔÖ ×× ÓÒº
ÜÔÖ ×× ÓÒ = Ô | Ô
È Ø Ô = Ô1 Ô2 | Ô[Õ] | 1 ∪ 2 | 1 ∩ 2 | (Ô) | :: Ò
ÉÙ Ð ¬ Ö Õ = Õ Ò Õ | Õ ÓÖ Õ | ÒÓØ Õ |
Ü × Ð | × Ò ÒØ | × Ð | × Ò ÒعÓÖ¹× Ð | Ô Ö ÒØ | Ò ×ØÓÖ |
Ò ×ØÓÖ¹ÓÖ¹× Ð | ÓÐÐÓÛ Ò ¹× Ð Ò | ÓÐÐÓÛ Ò | ÔÖ Ò ¹× Ð Ò | ÔÖ Ò º
ÆÓ Ì ×Ø Ò = | ∗ Û Ö × Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÐÔ Ø Ó Ø
ÅĹ Ó ÙÑ Òغ
Ì ÓÖÑ Ð × Ñ ÒØ × ÙÒ Ø ÓÒ× Ë Ò ËÔ ¬Ò Ø × Ø Ó ÒÓ × Ö ØÙÖÒ
Ý ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ò Ô Ø ×¸ ×Ø ÖØ Ò ÖÓÑ ÓÒØ ÜØ ÒÓ Ü Ò Ø ØÖ º Ì
ÙÒ Ø ÓÒ ËÕ ¬Ò × Ø × Ñ ÒØ × Ó ÕÙ Ð ¬ Ö× Ø Ø × ÐÐÝ ×Ø Ø Ø Ü ×¹
Ø Ò ÓÖ × Ò Ó ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ Ô Ø × ÖÓÑ ÓÒØ ÜØ ÒÓ Üº Ì × Ñ ÒØ ×
Ó Ô Ø × Ù× × Ø Ò Ú Ø ÓÒ Ð × Ñ ÒØ × Ó Ü × Ë º Ö×Ø Û Û ÐÐ ¬Ò Ø
ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒ Ø ÓÒ×
• ÖÓÓØ´µ Ö ØÙÖÒ× Ø ÖÓÓØ Ó Ø ØÖ ¸
• Ð Ö Ò´Üµ Ö ØÙÖÒ× Ø × Ø Ó ÒÓ × Û Ö Ð Ö Ò Ó Ø ÒÓ Ü¸
• Ô Ö Òشܵ Ö ØÙÖÒ× Ø × Ø {Ý | Ü ∈ Ð Ö Ò(Ý)}¸
• Ø Ö Ð Ø ÓÒ ≺ ¬Ò × Ø ÓÖ Ö Ò
Ü ≺ Ý « Ø ÒÓ Ü × ÓÖ Ø ÒÓ Ý Ò Ø ÔØ ¹¬Ö×Ø ØÖ Ú Ö× Ð
ÓÖ Ö Ó Ø Ò¹ ÖÝ ÅÄ ØÖ ¸
27. ¿º¾º ÅÄ ¾
• Ò Ñ ´Üµ Ö ØÙÖÒ× Ø ÅÄ Ð ÐÐ Ò Ó Ø ÒÓ Ü Ò ØÖ º
Ë [ Ô] Ü = ËÔ [Ô] ÖÓÓØ()
Ë [Ô] Ü = ËÔ [Ô] Ü
ËÔ [Ô1 Ô2] Ü = {Ü2 | Ü1 ∈ ËÔ [Ô1] Ü ∧ Ü2 ∈ ËÔ [Ô2] Ü1}
ËÔ [Ô[Õ]] Ü = {Ü1 | Ü1 ∈ ËÔ [Ô] Ü ∧ ËÕ [Õ] Ü1}
ËÔ [ 1 ∪ 2] Ü = Ë [ 1] Ü ∪ Ë [ 2] Ü
ËÔ [ 1 ∩ 2] Ü = {Ü1 | Ü1 ∈ Ë [ 1] Ü ∧ Ü1 ∈ Ë [ 2] Ü}
ËÔ [(Ô)] Ü = ËÔ [Ô] Ü
ËÔ [ :: ×] Ü = {Ü1 | Ü1 ∈ Ë [ ] Ü ∧ Ò Ñ (Ü1) = ×}
ËÔ [ :: ∗] Ü = {Ü1 | Ü1 ∈ Ë [ ] Ü}
ËÕ[Õ1 Ò Õ2]Ü = ËÕ [Õ1] Ü ∧ ËÕ [Õ2] Ü
ËÕ[Õ1 ÓÖ Õ2]Ü = ËÕ [Õ1] Ü ∨ ËÕ [Õ2] Ü
ËÕ[ÒÓØ Õ]Ü = ¬ËÕ [Õ] Ü
ËÕ [ ] Ü = Ë [ ] Ü = ∅
Ë [ Ð ]Ü = Ð Ö Ò(Ü)
Ë [Ô Ö ÒØ]Ü =Ô Ö ÒØ(Ü)
Ë [ × Ò ÒØ]Ü = Ð Ö Ò+
(Ü)
Ë [ Ò ×ØÓÖ]Ü =Ô Ö ÒØ+
(Ü)
Ë [× Ð ]Ü = {Ü}
Ë [ × Ò ÒعÓÖ¹× Ð ]Ü = Ë [ × Ò ÒØ]Ü ∪ Ë [× Ð ]Ü
Ë [ Ò ×ØÓÖ¹ÓÖ¹× Ð ]Ü = Ë [ Ò ×ØÓÖ]Ü ∪ Ë [× Ð ]Ü
Ë [ÔÖ Ò ]Ü = {Ý | Ý ≺ Ü} − Ë [ Ò ×ØÓÖ]Ü
Ë [ ÓÐÐÓÛ Ò ]Ü = {Ý | Ü ≺ Ý} − Ë [ × Ò ÒØ]Ü
Ë [ ÓÐÐÓÛ Ò ¹× Ð Ò ]Ü = {Ý | Ô Ö ÒØ(Ý) = Ô Ö ÒØ(Ü) ∧ Ü ≺ Ý}
Ë [ÔÖ Ò ¹× Ð Ò ]Ü = {Ý | Ô Ö ÒØ(Ý) = Ô Ö ÒØ(Ü) ∧ Ý ≺ Ü}
× Û Ú ÐÖ Ý × Ò ÅĹ Ó ÙÑ ÒØ Ò × Ò × Ò ÓÖ Ö ¸
Ð ÐÐ ¸ ÙÒÖ Ò ØÖ º Ï Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø Ú ÖÝ ÜÔÖ ×× ÓÒ Ó È Ø Ò
ØÖ Ò×Ð Ø ÒØÓ ÅËÇ ÓÚ Ö ØÖ ×º Ö×Ø Û Ó × ÖÚ Ø Ø ÐÐ Ò Ú Ø ÓÒ Ð
ÔÖ Ñ Ø Ú × Ó È Ø Ö ÅËǹ ¬Ò Ð º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ü × × Ò ÒØ ÓÖ
× Ð Ó Ý Ò Ò ÅÄ ØÖ Ì « Ì |= Ý ≺∗
ܺ ÓÖ Ú ÖÝ Ü × Ó Ò ÅÄ ØÖ
Ì Û ¬Ò Ø ÅËǹ ÓÖÑÙÐ Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ü × Ó Ý « (Ü Ý)
ÓÐ × Ò Ìº Ò ÐÐÝ ÒÝ È Ø ÕÙ ÖÝ Ó ÓÒØ Ü Ü Ò Ö ×ÙÐØ Ý × ØÖ Ò×Ð Ø
ÒØÓ Ò ÅËÇ ÓÖÑÙÐ Ù× Ò Ø Ò ÜØ ¬ ÙÖ
28. ¿º¾º ÅÄ ¾
Ï [ Ô]Ý
Ü = ∃Þ(∀Û(Þ ≺∗
Û)) ∧ ÏÔ[Ô]Ý
Þ ´¿º½µ
Ï [Ô]Ý
Ü = ÏÔ[Ô]Ý
Ü ´¿º¾µ
ÏÔ[Ô1 Ô2]Ý
Ü = ∃Þ(ÏÔ[Ô1]Þ
Ü ∧ ÏÔ[Ô2]Ý
Þ) ´¿º¿µ
ÏÔ[Ô[Õ]]Ý
Ü = ÏÔ[Ô]Ý
Ü ∧ ÏÕ[Õ]Ý ´¿º µ
ÏÔ[ 1 ∪ 2]Ý
Ü = Ï [ 1]Ý
Ü ∨ Ï [ 2]Ý
Ü ´¿º µ
ÏÔ[ 1 ∩ 2]Ý
Ü = Ï [ 1]Ý
Ü ∧ Ï [ 2]Ý
Ü ´¿º µ
ÏÔ[(Ô)]Ý
Ü = ÏÔ[Ô]Ý
Ü ´¿º µ
ÏÔ[ :: ]Ý
Ü = (Ü Ý) ∧ Ý ∈ È ´¿º µ
ÏÔ[ :: ∗]Ý
Ü = (Ü Ý) ´¿º µ
ÏÕ[Õ1 Ò Õ2]Ü = ÏÕ[Õ1]Ü ∧ ÏÕ[Õ2]Ü ´¿º½¼µ
ÏÕ[Õ1 ÓÖ Õ2]Ü = ÏÕ[Õ1]Ü ∨ ÏÕ[Õ2]Ü ´¿º½½µ
ÏÕ[ÒÓØ Õ]Ü = ¬ÏÕ[Õ]Ü ´¿º½¾µ
ÏÕ[ ]Ü = ∃Ý(Ï [ ]Ý
Ü) ´¿º½¿µ
ÓÖ Ü ÑÔÐ ØÓ ØÖ Ò×Ð Ø Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ
Ð Ö ØÓÖ» × Ò ÒØ Ý Ö Ô Ö ÒØ ¬ÐÑ ¸
Û ÓÐÐÓÛ Ø Ò ÜØ ×Ø Ô× ´ Ø Ø Ò Ó ×Ø Ô Û Ú Ø ÖÙÐ Ø Ø Û
Ù× µ
• Ï Ð :: Ö ØÓÖ × Ò ÒØ :: Ý Ö[Ô Ö ÒØ :: ÐÑ]
• ∃Þ1 Ï[ Ð :: Ö ØÓÖ]Þ1
Ü ∧ Ï × Ò ÒØ :: Ý Ö[Ô Ö ÒØ :: ÐÑ]
´¿º¿µ
• ∃Þ1 Ð (Ü Þ1)∧Þ1 ∈ È Ö ØÓÖ ∧Ï[ × Ò ÒØ :: Ý Ö]Ý
Þ1
∧Ï [Ô Ö ÒØ ::
ÐÑ]
Ý
´¿º µ¸´¿º µ
• ∃Þ1 Ð (Ü Þ1) ∧ Þ1 ∈ È Ö ØÓÖ ∧ × Ò ÒØ(Þ1 Ý) ∧ Ý ∈ ÈÝ Ö ∧
∃Þ2(Ï[Ô Ö ÒØ :: ÐÑ]Þ2
Ý ) ´¿º µ¸´¿º½¿µ
• ∃Þ1 Ð (Ü Þ1) ∧ Þ1 ∈ È Ö ØÓÖ ∧ × Ò ÒØ(Þ1 Ý) ∧ Ý ∈ ÈÝ Ö ∧
∃Þ2(Ô Ö ÒØ(Ý Þ2) ∧ Þ2 ∈ È ÐÑ) ´¿º µ
29. ¿º¿º ÌÊ ÍÌÇÅ Ì ¾
¿º¿ ÌÖ ÙØÓÑ Ø
Ì Ó Ð Ó Ø × × Ø ÓÒ × ØÓ ×ØÙ Ý ØÖ ÙØÓÑ Ø Ò Ø Ö Ð Ò × Û Ø ÐÓ º
Ï ×Ø ÖØ Û Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ ØÖ ÙØÓÑ Ø º Ï Ø Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ò ¹
ØÝÔ × Ó ÅËÇ ÓÖÑÙÐ Ò Û ¬Ò × Ý ÔÖÓÚ Ò Ì Ø Ö Ò ÏÖ Ø³×
Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø Ð Ò Ù × ÔØ Ý ØÖ ÙØÓÑ Ø Ö Ü ØÐÝ Ø Ð Ò¹
Ù × ¬Ò Ý ÅËÇ ÓÖÑÙÐ º Ò ÙØÓÑ ØÓÒ × Ñ Ø Ñ Ø Ð ÑÓ Ð
ÓÖ ¬Ò Ø ×Ø Ø Ñ Ò ´ Ëŵº Ò ËÅ × Ñ Ò Ø Ø¸ Ú Ò Ò Ò¹
ÔÙØ Ó ×ÝÑ ÓÐ׸ ÙÑÔ× Ø ÖÓÙ × Ö × Ó ×Ø Ø × ÓÖ Ò ØÓ ØÖ Ò× Ø ÓÒ
ÙÒ Ø ÓÒº
Ì ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÙØÓÑ Ø Ò ÐÓ Ó × ØÓ ÛÓÖ Ó Ù
Ò Ð ÓØ ½¼ Û Ó × ÓÛ Ø Ø ¬Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò ÑÓÒ × ÓÒ ¹
ÓÖ Ö ÐÓ ´ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÚ Ö ¬Ò Ø ÛÓÖ ×µ Ú Ø × Ñ ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö
Ò Ø Ø Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ× ÖÓÑ ÓÖÑÙÐ ØÓ ÙØÓÑ Ø Ò Ú Ú Ö× Ö
« Ø Ú ¸ × Ò Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ× Ò ÓÑÔÙØ Ý ÌÙÖ Ò Å Ò º Ä Ø Ö¸
Ò ÛÓÖ Ó Ù ½½ ¸ Å Æ Ù ØÓÒ ½¾ Ò Ê Ò ½¿ ¸ ×Ù Ò ÕÙ Ú Ð Ò
Û × × ÓÛÒ Ð×Ó ØÛ Ò ¬Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò ÑÓÒ × ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ ÓÚ Ö
Ò¬Ò Ø ÛÓÖ × Ò ØÖ ×º
ÌÖ ÙØÓÑ Ø Ð Û Ø ØÖ ×ØÖÙ ØÙÖ ×¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ø ×ØÖ Ò × Ó ÑÓÖ
ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ×Ø Ø Ñ Ò ×º ÓÖ Ò ØÓ ÓÛ Ø ÙØÓÑ Ø ÖÙÒ ÓÒ Ø
ÒÔÙØ ØÖ ¸ ¬Ò Ø ØÖ ÙØÓÑ Ø Ò Ó ØÛÓ ØÝÔ × ´ µ ÓØØÓѹÙÔ¸ ´ µ
ØÓÔ¹ ÓÛÒº Ì × × Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ××Ù ¸ × ÐØ ÓÙ ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò ×Ø ØÓÔ¹
ÓÛÒ Ò ÓØØÓѹÙÔ ØÖ ÙØÓÑ Ø Ö ÕÙ Ú Ð Òظ Ø ÖÑ Ò ×Ø ØÓÔ¹ ÓÛÒ
ÙØÓÑ Ø Ö ×ØÖ ØÐÝ Ð ×× ÔÓÛ Ö ÙÐ Ø Ò Ø Ö Ø ÖÑ Ò ×Ø ÓØØÓѹÙÔ ÓÙÒ¹
Ø ÖÔ ÖØ׺ Ï Û ÐÐ ÓÒÐÝ Ð Û Ø ÓØØÓѹÙÔ ØÖ ÙØÓÑ Ø º
¿º¿º½ Ò ÖÝ ÌÖ ÙØÓÑ Ø
¬Ò Ø ÓÒ ¿º ´ÌÖ ÙØÓÑ Ø Ò Ö ÙÐ Ö ØÖ Ð Ò Ù ×µ ÒÓÒ ¹
Ø ÖÑ Ò ×Ø ØÖ ÙØÓÑ ØÓÒ × ØÙÔÐ A = (É Õ0)¸ Û Ö É × ¬Ò Ø
× Ø Ó ×Ø Ø ×¸ Õ0 ∈ É × Ø Ò Ø Ð ×Ø Ø ¸ ⊆ É × Ø × Ø Ó ¬Ò Ð ´ ÔØ Ò µ
×Ø Ø ×¸ Ò : É × É × → P(É) × Ø ØÖ Ò× Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒº
Ú Ò ØÖ Ì Û Ø ÓÑ Ò ÖÙÒ Ó A ÓÒ Ì × ÙÒ Ø ÓÒ Ö : → É
×Ù Ø Ø
• × × Ð Ð ÐÐ ¸ Ø Ò Ö(×) ∈ (Õ0 Õ0 )¸
• Ö(× ◦ 1) = Õ¸ Ö(× ◦ 2) = Õ Ò × × ÒÓ Ð ÐÐ ¸ Ø Ò Ö(×) ∈
(Õ Õ )
ÖÙÒ × ÔØ Ò Ö( ) ∈ ¸ Ø Ø ×¸ Ø ÖÓÓØ × Ò Ò ÔØ Ò ×Ø Ø º
ØÖ Ì × ÔØ Ý A Ø Ö Ü ×Ø× Ò ÔØ Ò ÖÙÒº Ï Ð Ø Ä(A) ÒÓØ
Ø × Ø Ó ÐÐ ØÖ × ÔØ Ý Aº ËÙ × Ø× Ó ØÖ × Û ÐÐ ÐÐ Ö ÙÐ Öº
30. ¿º¿º ÌÊ ÍÌÇÅ Ì ¾
Ì ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò ×Ø ØÖ ÙØÓÑ ØÓÒ × Ø × Ñ Û Ø Ø
Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø | (Õ Õ )| = 1 ÓÖ ÐÐ Õ Õ ∈ É Ò ÓÖ ÐÐ ∈ º ËÓ¸ Ò Ø
Ø ÖÑ Ò ×Ø × ¸ Û Û ÐÐ ØÖ Ø × ÙÒ Ø ÓÒ É × É × Σ → ɺ
¿º¿º¾ ÅËÇ Ò ÌÖ ÙØÓÑ Ø
Ï ÒÓÛ × ÓÛ Ø Ð Ò ØÛ Ò ÑÓÒ × ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ Ò ØÖ ÙØÓÑ Ø º
Ì ÓÖ Ñ ¿º½ ´Ì Ø Ö Ò ÏÖ Ø ¿ µ ØÖ Ð Ò Ù × Ö ÙÐ Ö «
Ø × ÅËǹ ¬Ò Ð º
ÈÖÓÓ º
Ä Ø Ä Ö ÙÐ Ö × Ø Ó ¹ØÖ ×º Ì Ò Ø Ö × ¬Ò Ø ØÖ ÙØÓÑ ØÓÒ
A Ø Ø ÔØ× Ü ØÐÝ Ø Ó× ØÖ × Ø Ø Ö Ð Ñ ÒØ× Ó Äº ××ÙÑ Ø Ø
É = {Õ0 ÕÑ−1} × Ø × Ø Ó ×Ø Ø × Ó A¸ Õ0 × Ø Ò Ø Ð ×Ø Ø ¸ ⊆ É Ø
× Ø Ó ÔØ Ò ×Ø Ø × Ò Ø ØÖ Ò× Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒº Ï Û ÐÐ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò
ÅËǹ ÓÖÑÙÐ Ø Ø ¬Ò × Äº Ä Ø Ø × ÒØ Ò
≡ ∃ 0 1 Ñ−1 [ Ô ∧ ∧ Ø ∧ ]
ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ì = ( ) × Ð ÐÐ Ò ÖÝ ØÖ Ò
MÌ = ≺ (È ) ∈ ×Ù 1 ×Ù 2
× Ø× ØÖ ×ØÖÙ ØÙÖ º Ì × Ø× 0 1 Ñ−1 Ó ×ÓÑ ÖÙÒ Ö Ó A ÓÒ Ì
Ò Ø × Ò× Ø Ø¸ ÓÖ ÐÐ Ò ∈ ¸ Û Û ÒØ Ò ∈ ⇔ Ö(Ò) = Õ º
Ì Ç¹ ÓÖÑÙÐ Ô Ø Ö ¬Ò × ÓÐÐÓÛ×
• Ô ×× ÖØ× Ø Ø 0 Ñ−1 × Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó º Ò ×Ý Û Ý ØÓ ÜÔÖ ××
Ø Ø Ò Ç ×
Ô ≡ ∀Ü
Ñ−1
=0
( (Ü)
=
¬ (Ü))
• ×× ÖØ× Ø Ø × × Ð Ð ÐÐ Ø Ò Ö(×) ∈ (Õ0 Õ0 )º
≡ ∀Ü (∀ݬ(Ü ≺ Ý)) →
∈Σ
È (Ü) ∧
Õ∈Æ(Õ0 Õ0 )
Õ(Ü)
• Ö ×× ÖØ× Ø Ø Ö(× ◦ 1) = Õ¸ Ö(× ◦ 2) = Õ Ò (×) = Ø Ò Ö(×) ∈
(Õ Õ )º
31. ¿º¿º ÌÊ ÍÌÇÅ Ì ¿¼
Ö ≡ ∀ÜÝÞ[(×Ù 1(Ü Ý) ∧ ×Ù 2(Ü Þ)) →
0≤ Ñ ∈Σ
( (Ý) ∧ (Þ) ∧
Õ ∈Æ(Õ Õ )
(Ü))]
• ×× ÖØ× Ø Ø Ø ÖÓÓØ × ÓÒ Ó Ø ÔØ Ò ×Ø Ø ×º
≡ ∀Ü((∀ݬ(Ý ≺ Ü)) →
Õ ∈
(Ü))
ÁØ × ×Ý ØÓ × Ø Ø MÌ |= ⇔ Ì ∈ Ä ×Ó Ä( ) = ĺ
ÓÒÚ Ö× Ðݸ Ð Ø ∈ ÅËÇ × ÒØ Ò Ó ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò Ö Ò Ø ÚÓ ¹
ÙÐ ÖÝ ÓÖ ¹ØÖ ×º Ï ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò ÙØÓÑ ØÓÒ A = É Õ0 Ø Ø
ÔØ× Ø Ò ÖÝ ØÖ Ì « MÌ |= º
Ä Ø 1 Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ¬Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ¹Ö ÅËǹ
ØÝÔ × Ó ¹ØÖ × ´ÑÓÖ ÔÖ × Ðݸ Ö 0 0¹ØÝÔ × ÓÖ¸ Ò ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ × ÒØ Ò ×µº
Ä Ø Ò ÅËÇ × ÒØ Ò Ó ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò Ö ¬Ò Ò Ø ØÝÔ º Ì Ò
MÌ |= ⇔Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ ) = º
Ë Ò × × ÒØ Ò Ó ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò Ö Ø ÑÙ×Ø × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ×ÓÑ
×Ù × Ø Ó Ø ≡ ∈Á º ÈÙØ É = { 1 } Ò Ð Ø = { | ∈ Á}º
Ï ÙÖØ Ö ××ÙÑ Ø Ø 1 × Ø ÑÔØÝ ØÝÔ Ó M Û Ö ÒÓØ × Ø
ÑÔØÝ ØÖ º Ì Ø ×¸ Ø × × Ø ÓÒÐÝ ØÝÔ ÑÓÒ Ø ³× Ø Ø × ÓÒ× ×Ø ÒØ
Û Ø ¬∃Ü(Ü = Ü)º Ä Ø Õ0 = 1º
Ì1 Ì2
Ì ØÖ Ò× Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ : É × É × → 2É
× ¬Ò ׸
32. ¿º º ÈÊ ËËÁÎ ÈÇÏ Ê Ç ÄÇ Á Ë ÇÆ ÌÊ Ë ¿½
∈ ( Ð ) ¸ Ò ÓÒÐÝ ¸ Ø Ö Ö ØÖ × Ì1 Ò Ì2 ×Ù Ø Ø⎛
⎜
⎜
⎝
Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ1 ) = Ò Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ2 ) = Ð
Ò Ì × Ø ØÖ Ó Ø Ò Ý Ò Ò
Ì1 Ò Ì2 × Ð Ö Ò Ó ÖÓÓØ ÒÓ
Ð ÐÐ ´ × ÓÚ µ Ø Ò Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ ) =
⎞
⎟
⎟
⎠
Í× Ò Ö Ò Ù Ø¹ Ö ×× Ñ × ¾¼¸ ¾½ Ø Ò × ÐÝ × ÓÛÒ Ø Ø
Ì1¸ Ì2¸ Ì3¸ Ì4 Ö ØÖ × Û Ø Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ1 ) =Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ3 ) Ò Ñ×Ó¹
ØÔ (MÌ2 ) =Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ4 ) Ø Ò Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ ) =Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ ) Û Ö Ì Ì
Ö Ø ØÖ × Ó Ø Ò Ý Ò Ò Ì1 Ì2 Ò Ì3 Ì4 Ö ×Ô Ø Ú ÐÝ × Ð Ö Ò
Ó ÖÓÓØ ÒÓ Ð ÐÐ º × Ö ×ÙÐØ A × Ø ÖÑ Ò ×Ø º
Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ ¸ Ý Ò Ù Ø ÓÒ Ø Ø Ì× × Ø Ò ÖÝ ×Ù ØÖ Ø Ø ÓÒ× ×Ø×
Ó × Ò Ú ÖÝ × ×Ù Ø Ø × ≺ × ¸ Ø Ò Ö(×) =Ñ×Ó¹ØÔ (MÌ×)º Á × = Ø Ò
Ö(×) = 1¸ Ø Ò Ø Ð ×Ø Ø º ÙØ 1 × Ø ÅËǹØÝÔ Ó Ø ÑÔØÝ ØÖ ×
Ö ÕÙ Ö º ÇØ ÖÛ × ¸ × × ÒÓ Û Ø Ð Ö Ò ×1 Ò ×2º ÓÖ ∈ {1 2}¸
Ð Ø Ì Ø ×Ù ØÖ ÖÓÓØ Ø × ´Ì1 = Ì2 = Ò Ø × Ø Ø × ×
Ð µº Ý Ø Ò Ù Ø Ú ÝÔÓØ × ×¸ Ö(× ) =Ñ×Ó¹ØÔÖ(Ì ) Ò ¸ Ý ¬Ò Ø ÓÒ Ó
¸ Ö(×) =Ñ×Ó¹ØÔ (Ì)¸ Û Ö Ì × Ø ×Ù ØÖ ÖÓÓØ Ø × × Ö ÕÙ Ö º
¿º ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö Ó ÐÓ × ÓÒ ØÖ ×
ÁÒ Ø × × Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø¸ ÓÚ Ö ¬Ò Ø Ð ÐÐ ØÖ ×¸ ÅËÇ × Ø × Ñ
ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Ö × ÅÄ Èº Ö×ظ Û Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ
Ø Ö × Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÅËǹ ÓÖÑÙÐ º ÓÒÚ Ö× Ðݸ × Ò Û Ú ÐÖ Ý × ÓÛÒ
Ø Ø Ú ÖÝ ÅËǹ ÓÖÑÙÐ Ò ØÖ Ò×Ð Ø ÒØÓ ØÖ ÙØÓÑ ØÓÒ¸ Û Ù×Ø
Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ú ÖÝ Ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù × ÅÄ È¹ ¬Ò Ð º ÌÓ Ó Ø Ø
Û Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø Ú ÖÝ ØÖ ÙØÓÑ ØÓÒ Ò ØÖ Ò×Ð Ø ÒØÓ Ò Ë¹ÅÄ È¹
ÓÖÑÙÐ Ò Ø Ø
ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ¿º½ ÇÚ Ö ¬Ò Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ÅÄ È = Ë − ÅÄ Èº
ÈÖÓÓ º
Ä Ø ÚÓ ÙÐ Öݸ Ò ∈ N Ò Ð Ø ÓÖ ≤ Ò¸ (Ü1 1 Ò)
Ò ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ ÔÓ× Ø Ú Ò 1 Òº Ï Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ
≤ Ò Ø Ö × Ò ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ (Ü) ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ A ∈ ËÌÊÍ Ì ¸
A |= ∀Ü( (Ü)) ↔ [Ð ÔÜ1 1 ÜÒ Ò( 1 Ò)] (Ü)
Ì ÔÖÓÓ × Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ Òº
• ÓÖ Ò = 1 Ø Ö × ÒÓØ Ò ØÓ ÔÖÓÚ º
• ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø ÓÐ × ÓÖ ÒÝ Òº
33. ¿º º ÈÊ ËËÁÎ ÈÇÏ Ê Ç ÄÇ Á Ë ÇÆ ÌÊ Ë ¿¾
• Ü Ò ≤ Òº Ý Ø Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × ÓÖ Ú ÖÝ ∈ {1 Ò}{ }
Ø Ö × Ò ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ Ò ÚÓ ÙÐ ÖÝ ∪{ } ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ
S ∈ ËÌÊÍ Ì[ ∪ { }]¸
S |= ∀Ü (Ü) ↔
[Ð ÔÜ1 1 Ü −1 −1 Ü +1 +1 ÜÒ Ò( 1 −1 +1 Ò)] (Ü)
Ä Ø (Ü ) Ø ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ Ó Ø Ò ÖÓÑ (Ü 1 Ò) Ý
Ö ÔÐ Ò Ú ÖÝ ØÓÑ Ó Ø ÓÖÑ (Ü)¸ ÓÖ = ¸ Û Ø Ø ÓÖÑÙÐ
(Ü)º Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø [Ð ÔÜ ( )](Ü) × Ø ÓÖÑÙÐ Û Ö ÐÓÓ Ò
ÓÖº
ÓÖ Ú ÖÝ Î ⊆ Ò Ú ÖÝ = Ð Ø
à (Î ) = { ∈ | (A Î ) |= ( )}
Ä = { ∈ | A |= [Ð ÔÜ ( )]( )}
Å = { ∈ | A |= [Ð ÔÜ1 1 ÜÒ Ò( 1 Ò)] ( )}
Ë Ò Ä × ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó Ò ÖÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Û Ú
Ä = { ∈ | A |= (Ã1(Ä ) Ã −1(Ä ) Ä Ã +1(Ä ) ÃÒ(Ä )}
ÅÓÖ ÓÚ Ö ÖÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Û Ú
à (Ä ) = { ∈ | A |= (Ã1(Ä ) à −1(Ä ) Ä Ã +1(Ä ) ÃÒ(Ä )}
×Ó (Ã1(Ä ) Ã −1(Ä ) Ä Ã +1(Ä ) ÃÒ(Ä )) × × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×
¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó ( 1 Ò) Ò Aº ÙØ (Å1 ÅÒ) × Ø Ð ×Ø ¬Ü ¹
ÔÓ ÒØ Ó ( 1 Ò) Ò A ×Ó Å ⊆ Ä º
ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò (Å1 Å −1 Å +1 ÅÒ) × × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ¬Ü ¹
ÔÓ ÒØ Ó ( 1 −1 +1 Ò) Ò (A Å ) Û Ð ×Ø × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×
¬Ü ¹ÔÓ ÒØ × (Ã1(Å ) à −1(Å ) à +1(Å ) ÃÒ(Å )) ×Ó Ã (Å )
⊆ Å ¸ ÓÖ ÐÐ = º Ï Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø Å × ÔÖ ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó
{ ∈ A | (A Å ) |= ( )} =
{ ∈ | A |= (Ã1(Å ) Ã −1(Å ) Å Ã +1(Å ) ÃÒ(Å )} ⊆
{ ∈ | A |= (Å1 Å −1 Å Å +1 ÅÒ} = Å
Ý ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ¾º½ Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Ð ×Ø ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ×
Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÔÖ ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ׸ × Ö ×ÙÐØ Ä ⊆ Å º
34. ¿º º ÈÊ ËËÁÎ ÈÇÏ Ê Ç ÄÇ Á Ë ÇÆ ÌÊ Ë ¿¿
Ë Ò Ä = Å
A |= ∀Ü (Ü) ↔ [Ð ÔÜ1 1 ÜÒ Ò( 1 Ò)] (Ü)
Û Ö (Ü) ≡ [Ð ÔÜ ](Ü)
Ì ÓÖ Ñ ¿º¾ ÇÚ Ö ¬Ò Ø Ð ÐÐ ØÖ × ÅËÇ = ÅÄ Èº
ÈÖÓÓ º × ÐÝ Ú ÖÝ ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÓÖÑ [Ð ÔÜ (Ü ¯Ý ¯ )](Þ) × ÕÙ Ú Ð ÒØ
ØÓ ∀ ∀Ü (Ü ¯Ý ¯) → (Ü) → (Þ)
ÓÖ Ø ÓÒÚ Ö× Ø ×ÙÆ × ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ö ÙÐ Ö ØÖ Ð Ò Ù × Ö Ë¹
ÅÄ È ¬Ò Ð º Ä Ø Ä Ö ÙÐ Ö ØÖ Ð Ò Ù ÔØ Ý Ò ÙØÓÑ ØÓÒ
Aº ××ÙÑ Ø Ø É = {Õ0 ÕÑ−1} × Ø × Ø Ó ×Ø Ø × Ó A¸ Õ0 × Ø
Ò Ø Ð ×Ø Ø ¸ ⊆ É Ø × Ø Ó ÔØ Ò ×Ø Ø × Ò Ø ØÖ Ò× Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒº
Ë Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¿º¾ Û ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ë¹ÅÄ È ÓÖÑÙÐ Ø Ø
¬Ò × Äº ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ì = ( ) × Ð ÐÐ Ò ÖÝ ØÖ Ò
MÌ = ≺ (È ) ∈ ×Ù 1 ×Ù 2
Ø× ØÖ ×ØÖÙ ØÙÖ º ÓÖ ∈ {0 Ñ − 1}¸ Ø × Ø Û ÐÐ Ø × Ø Ó ÒÓ ×
Ú Ó Ø ØÖ ×Ù Ø Ø Ø Ö × ÖÙÒ Ö Ó A ÓÒ Ì Û Ø Ö(Ú) = Õ º Ä Ø
(Ü) ≡ (∀ݬ(Ü ≺ Ý)) ∧
∈Σ × Ø Õ ∈ (Õ0 Õ0 )
È (Ü)
(Ü) ≡ ∃ÝÞ ×Ù 1(Ü Ý)∧×Ù 2(Ü Þ)∧
( Õ Õ ) × Ø Õ ∈ (Õ Õ )
(È (Ü)∧ (Ý)∧ (Þ))
Ä Ø Ð×Ó
(Ü) ≡ (Ü) ∨ (Ü)
(Ý) ≡ ∃Ü(∀Þ¬(Þ ≺ Ü) ∧
Õ ∈
(Ü))
ÓÖÑÙÐ × Ý× Ø Ø Ü × Ð Ó Ø ØÖ Ò Ø × Ð ÐÐ Û Ø ×ÝÑ ÓÐ
×Ù Ø Ø Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ ×Ø Ø Õ Û Ò Ø Ö × Ø Ð º
× Ý× Ø Ø Ü × Ð Ø Ð Ý Ò Ö Ø Ð Þ Ò Ø ×Ø Ø × Õ Ó Ý Ò Õ
Ó Þ Ö ×Ù Ø Ø¸ Û Ò Ø Ö Ø Ö × Ö Ø Ü¸ Ø Ñ Ò Ò ÑÓÚ
ÒØÓ ×Ø Ø Õ º Ò ÐÐÝ × Ý× Ø Ø Ø Ö × ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Ø ÛÓÖ Ø Ø × Ø
Ð ×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ò Ò Ò ÔØ Ò ×Ø Ø Û Ò Ø
Ö × Ø Ø ÒÓ º
36. ÔØ Ö
ËÙ Ò ØÒ ××
ËÙ Ò ØÒ ×× × Ò ØÙÖ Ð Ñ ×ÙÖ ÓÖ ÓÑÔ Ö Ò Ø ×ØÖ Ò Ø Ó ÐÓ × Ø Ø
Ú Ø × Ñ ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Öº ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ ÐÓ Ä1 × ÑÓÖ ×Ù Ò Ø Ø Ò
ÒÓØ Ö ÐÓ Ä2 ÐÐ ÔÖÓÔ ÖØ × Ø Ø Ò ÜÔÖ ×× Ò Ä2 Ò ÜÔÖ ××
Ò Ä1 Ý ÓÖÑÙÐ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ø × Ñ × Þ ¸ ÙØ ×ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ × Ò
ÜÔÖ ×× Ò Ä1 Ý × Ò ¬ ÒØÐÝ ×Ñ ÐÐ Ö ÓÖÑÙÐ º
ÁÒ Ò ØÙÖ Ð Û Ý¸ Û Ú Û ÓÖÑÙÐ × Ø Ö ×ÝÒØ Ü ØÖ ×¸ Û Ö Ð Ú ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÓ Ø ØÓÑ× Ó Ø ÓÖÑÙÐ ¸ Ò ÒÒ Ö Ú ÖØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÓ
ÓÓÐ Ò ÓÒÒ Ø Ú ×¸ ÕÙ ÒØ ¬ Ö× Ò ¬Ü ¹ÔÓ ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖ׺ Ï ¬Ò Ø
× Þ ´ÓÖ¸ Ð Ò Ø µ Ó ÓÖÑÙÐ × Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ × Ò Ø ×ÝÒØ Ü
ØÖ Ó º
ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ×ÝÒØ Ü ØÖ Ó
(Ù Ú) ≡ [Ð ÔÊ Ü Ý (Ü Ý) ∨ ∃Þ( (Ü Þ) ∧ Ê(Þ Ý))](Ù Ú)
× Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ð ÔÊ Ü Ý
∨
(Ü Ýµ ∃Þ
∧
(Ü Þ) Ê(Þ Ý)
37. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ¿
ËÓ = 7º
Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ù× × Ñ ×ÙÖ Ó ÜÔÖ ×× Ú Ò ×× × Ø Ö ÔÐ ×
ØÓ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÛ Æ ÙÐØ Ö Ø Ò Ú Ù Ð ÕÙ ×Ø ÓÒ× × Ò Ø ×
Ð Ò Ù ÓÑ Ò ÓÑÔÐ Ü Øݸ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ × Ñ ×ÙÖ Ó ×Ù ¹
Ò ØÒ ×× Ó Ø Ð Ò Ù Ù× Ø Ò×Û Ö× ØÓ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ ÀÓÛ Æ ÙÐØ
× Ò×Û Ö Ò « Ö ÒØ ÕÙ ×Ø ÓÒ× × Ò Ø × Ð Ò Ù
¬Ò Ø ÓÒ º½ Ä Ø Ä1 Ò Ä2 ÐÓ ×¸ Ð Ø Ð ×× Ó ÙÒ Ø ÓÒ× ÖÓÑ N
ØÓ N¸ Ò Ð Ø Ð ×× Ó ×ØÖÙ ØÙÖ ×º Ï × Ý Ø Ø Ä1 × ¹×Ù Ò Ø Ò Ä2
ÓÒ « Ø Ö × ÙÒ Ø ÓÒ ∈ ×Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ä1¹× ÒØ Ò 1 Ø Ö
× Ò Ä2¹× ÒØ Ò 2 Ó × Þ 2 ≤ ( 1 ) Û × ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ 1 ÓÒ ÐÐ
×ØÖÙ ØÙÖ × Ò º
ËÙ Ò ØÒ ×× × Ö Ú Ð ØØÐ ØØ ÒØ ÓÒ ×Ó Öº ÅÓ×Ø ÒÓÛÒ Ö ×ÙÐØ× Ö
ÓÙØ Ø ÑÔÓÖ Ð Ò ÑÓ Ð ÐÓ × ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ º Ì ÑÓØ Ú Ø ÓÒ× ÓÖ Ø ×
Ö ×ÙÐØ× × ÓÑ ÖÓÑ ÙØÓÑ Ø Ú Ö ¬ Ø ÓÒ Ò ÑÓ Ð¹ Ò º
º½ ÅËÇ Ú× ÅÄ È
Ï Ú ÐÖ Ý × ÓÛÒ Ø Ø¸ ÓÚ Ö ¬Ò Ø ØÖ ×¸ ÅËÇ Ò ÅÄ È × Ø × Ñ
ÜÔÖ ×× Ú ÔÓÛ Öº ÁÒ Ø × × Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÓÑÔ Ö Ø Ö ×Ù Ò ØÒ ×׺ Ø Ö Û
¬Ò ×ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø Ø Û Û ÐÐ Ò Ò ÓÙÖ ÔÖÓÓ ×¸ Û Ù× Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ
ÖÓÑ ÅËÇ ØÓ ØÖ ÙØÓÑ Ø ¸ Û Û ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÔØ Ö¸
ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÅËÇ × ÌÓÛ Ö(O(Ñ))ß×Ù Ò Ø Ò ÅÄ Èº Ø ÖÛ Ö × Û × ÓÛ
Ø Ø Û ÒÒÓØ Ó ×× ÒØ ÐÐÝ ØØ Ö Ý ÔÖÓÚ Ò Ø Ø ´ÙÒ Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ
Ø ÓÖ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒµ Ø Ö × ÒÓ ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ ÅËÇ ØÓ ÅÄ È Ó × Þ
ÌÓÛ Ö´Ó(Ñ)µº
¬Ò Ø ÓÒ º¾ Ä Ø ÌÓÛ Ö : N → N Ø ÙÒ Ø ÓÒ ¬Ò Ú
ÌÓÛ Ö(0) = 1
ÌÓÛ Ö(Ò + 1) = 2ÌÓÛ Ö(Ò)
Ä Ø Ì : N × N → N Ø ÙÒ Ø ÓÒ ¬Ò Ú
Ì(0 Ò) = Ò
Ì( + 1 Ò) = 2Ì ( Ò)
38. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ¿
Ä Ø Ð×Ó
log(0)
( ) =
log(Ò+1)
( ) = log(log(Ò)
( ))
Ò ÐÐÝ Ð Ø log∗
: N → N Ø ÙÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ
ÌÓÛ Ö(log∗
(Ò) − 1) Ò ≤ ÌÓÛ Ö(log∗
(Ò))
ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ × log∗
× Ø ÒÚ Ö× ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÌÓÛ Öº
Ì ÓÖ Ñ º½ ÅËÇ¹× ÒØ Ò × Ö ÌÓÛ Ö(O(Ñ))¹×Ù Ò Ø Ò ÅÄ È ÓÒ Ø
Ð ×× Ó ÐÐ Ð ÐÐ ØÖ ×º
ÈÖÓÓ º Ï Ú ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö × ÙÒ Ø ÓÒ : N → N¸ Û Ø ÓÙÒ
(Ñ) ≤ ÌÓÛ Ö(O(Ñ)) ×Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ÅËǹ ÓÖÑÙÐ 1 Ø Ö × Ò ÕÙ Ú¹
Ð ÒØ ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ 2 Ó × Þ 2 ≤ ( 1 )º
ÁÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÔØ Ö Û × ÓÛ Ø Ø Û Ò ØÖ Ò×Ð Ø Ò ÅËǹ ÓÖÑÙÐ ¸
1¸ Ó ÕÙ ÒØ ¬ Ö Ö Ò ÒØÓ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ A = É Õ0 Û Ö |É| ×
ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÅËÇ[ ]¹× ÒØ Ò ×º
Ï Ð Ñ Ø Ø Ø Ö Ö ÌÓÛ Ö(O( )) ÅËÇ[ ]¹× ÒØ Ò ×º Ý Ä ÑÑ ¿º½
Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö Ö ¬Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÅËÇ 0 ¹ ÓÖÑÙÐ º Ä Ø = |ÅËÇ[0]|º
Ï ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö Ì(Ò ) ÅËÇ Ò ØÝÔ ×º ÓÖÑÙÐ (Ü1 Ü×
1 ) ÖÓÑ ÅËÇ Ò + 1 × ÓÓÐ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÖÑÙÐ Ó Ø
ÓÖÑ ∃Ü (Ü1 Ü× 1 Ü) Û Ö Ü × ¬Ö×ع ÓÖ¹× ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð
Ò ∈ ÅËÇ Ò º ËÓ Ø Ö Ö 2Ì (Ò )
= Ì(Ò + 1 ) ÅËÇ Ò + 1 ØÝÔ × Ò
ÓÙÖ Ð Ñ × ÔÖÓÚ º
Í× Ò Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Û Ù× Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¿º¿ Û Ò
ØÖ Ò×Ð Ø Ò ÙØÓÑ ØÓÒ Û Ø ÌÓÛ Ö(O( )) ×Ø Ø × ÒØÓ Ò Ë¹ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ
3¸ Û Ö 3 ≤ ÌÓÛ Ö(O( ))º Ò ÐÐݸ Ý ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ¿º½¸ 3 × ÕÙ Ú Ð ÒØ
ØÓ Ò ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ 2 Ó Ð Ò Ø 2 ≤ ÌÓÛ Ö(O( ))º
Ì ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ×Ô ¬ × Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÓÚ ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ × Ø
× Ö ÔÖÓÔ ÖØ × ×Ó Ø ÔÖÓÓ × ÓÑÔÐ Ø º
ÓÖÑÙÐ × Ò ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ ´ Æ µ Ø × ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ
Ó Ð Ù× ×¸ Û Ö Ð Ù× × × ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ð Ø Ö Ð׺ Ï ÛÖ Ø Æ (Ò) ØÓ
ÒÓØ Ø Ð ×× Ó ÐÐ Æ ¹ ÓÖÑÙÐ Ø ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð × Ó Û Ö
ÑÓÒ 0 Ò−1º
Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ × Ù ØÓ ÖÓ Ò Ë Û Ö Ø ½ º
Ì ÓÖ Ñ º¾ Ä Ø ∈ Æ (Ò)¸ ÙÒÐ ×× Ë Ì × ×ÓÐÚ Ð Ý Ø ÖÑ Ò ×¹
Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ×¸ ÓÖ Ú ÖÝ ∈ N Ø Ñ ÓÙÒ ÐÓ ( )(Ò)
ÅËÇ × ÒÓØ
ÌÓÛ Ö(Ó(Ñ))¹×Ù Ò Ø Ò ÅÄ È ÓÒ Ø Ð ×× Ó ÐÐ ¬Ò Ø ØÖ ×º
39. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ¿
ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÚ Ø ÓÖ Ñ Û Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø ÅËÇ × ÌÓÛ Ö(Ó(Ñ))¹
×Ù Ò Ø Ò ÅÄ È Ø Ò Û Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø Ø ÖÑ Ò ×Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ×ÓÐÚ Ò
Ë Ì Ø Ø ×¸ ÓÖ Ú ÖÝ ∈ N¸ Ø Ñ ÓÙÒ log( )
(Ò)
º ÁØ × Ò Ö ÐÐÝ Ø ÓÙ Ø
Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Ë Ì¹×ÓÐÚ Ö Û Ø ×Ù Ø Ñ ÓÙÒ ×º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ¬ ÙÖ
× ÓÛ× Ø Ñ Ò ×Ø Ô× Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñº
1
→ Û
2
→ ∈ ÅËÇ
3
→ ∈ ÅÄ È
4
→ × ÆÓ
Ì Ë Ì¹ Ò×Ø Ò × Ø ÒÔÙغ ÁÒ (1) Û ÓÒ×ØÖÙ Ø ×ØÖ Ò Û Ø Ø
Ö ÔÖ × ÒØ× º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ò (2) ÓÑÔÙØ × Ò ÅËǹ ÓÖÑÙÐ (Ü) ×Ù
Ø Ø ×Ô ¬ × ´Û Ò Ú ÐÙ Ø Ò Ûµ ÒÓÒ Ð × Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ
º Ä Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ×Ô ¬ × Ø × Þ Ó Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ ÅËÇ
ØÓ ÅÄ Èº ÁÒ ×Ø Ô ´¿µ Û ÓÖ ÐÐ ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ Û Ö ≤ ( )
Û Ø Ö ×Ô ¬ × × Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ º Á Ø Ó × Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
ÔØ× Ø× ÒÔÙØ ÓØ ÖÛ × Ø Ö Ø׺
ÁØ × Ó Ú ÓÙ× Ø Ø × ÓÙÐ × × ÓÖØ × ÔÓ×× Ð ×Ó Ø Ø Ø ÓÑÔÙ¹
Ø Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Û Ø Ò Ø ×Ø Ø ØÓØ Ð Ø Ñ ÓÙÒ ×º ÌÓ Ú Ø Ø Û
Û ÐÐ Ù× Ò Ò Ó Ò Ø Ø Ö Ò ÖÓ ÒØÖÓ Ù Ò ¾ º
º½º½ ËÙ Ò Ø Ò Ó Ò ×
Ö×Ø Ó ÐÐ Û Û ÐÐ Ú ¸ ÓÖ Ú ÖÝ ≥ 0¸ Ò Ò Ó Ò Ó Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö× ×Ù
Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ò Ø Ö × ¬Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ð Ò Ø ´Ó Ø Ò ÖÝ Ò Ó Ò
Ó Ø ÓÖÑÙÐ µ O(Ò) ×Ø Ø Ò Ø Ø ØÛÓ ÛÓÖ × Ò Ó Ø × Ñ ÒÙÑ Ö Û Ö
≤ Ì( Ò)º Ï Û ÐÐ ¬Ò × ÕÙ Ò Ó Ò Ó Ò × ¸ ÓÖ ≥ 1¸ Ó Ò ØÙÖ Ð
ÒÙÑ Ö× Ý ÛÓÖ × ÓÚ Ö ÖØ Ò ¬Ò Ø ÐÔ Ø׺
ÓÖ ÐÐ ≥ 1 Û Ð Ø = {0 1 1 1 }º Ì
Ø × Ö ÔÖ × ÒØ × Ò Ð Ð ØØ Ö× Ó Ø ÐÔ Ø Ò Ö Ù×Ø Ó× Ò
ØÓ ÑÔÖÓÚ Ö Ð Øݺ Ä Ø Ä : N → N ×Ù Ø Ø Ä(Ò) × Ø Ð Ò Ø Ó Ø
Ò ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò − 1º ËÓ Ä(0) = 0¸ Ä(1) = 1 Ä(Ò) = log(Ò − 1) + 1
ÓÖ Ò ≥ 2º Ý Ø( Ò) Û ÒÓØ Ø ¹Ø Ø Ó Ø Ò ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó
Òº
Ï Ò Ó Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ò ∈ N Ý ×ØÖ Ò (Ò)¸ ×Ó × ÙÒ Ø ÓÒ
ÖÓÑ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö× ØÓ ¬Ò Ø ×ØÖ Ò × Ó ÐÔ Ø Û × Ò Ù Ø Ú ÐÝ
¬Ò × ÓÐÐÓÛ×
1(0) = 1 1
1(Ò) = 1 Ø(0 Ò − 1) Ø(1 Ò − 1) Ø(Ä(Ò) − 1 Ò − 1) 1
ÓÖ Ò ≥ 1º ÓÖ ≥ 2¸ Û Ð Ø
(0) =
40. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ¿
(Ò) =
−1(0) Ø(0 Ò − 1)
−1(1) Ø(1 Ò − 1)
ººº
−1(Ä(Ò) − 1) Ø(Ä(Ò) − 1 Ò − 1)
Ä ÑÑ º½
µ | (Ò)| ∈ O( log2
Ò)
µ Ì Ö × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø¸ Ú Ò Ò ∈ N¸ ÓÑÔÙØ × (Ò) Ò Ø Ñ
O(| (Ò)|)º
ÈÖÓÓ º
µ Ï ¬Ò ÙÒ Ø ÓÒ× Ä : N → N × ÓÐÐÓÛ× Ä1(Ò) = Ä(Ò)¸ ÓÖ ÐÐ
Ò ∈ N Ò Ä (Ò) = Ä −1(Ä(Ò)) ÓÖ ÐÐ Ò ∈ N Û Ø ≥ 2º Ï Ð×Ó ¬Ò
È : N → N ÓÖ ≥ 1 Û Ö
È (Ò) =
=1
Ä (Ò)
ÁØ × ×Ý ØÓ × Ø Ø ÓÖ ÐÐ ≥ 2 Ò Ò ≥ 0 Û Ú È (Ò) = Ä(Ò)È −1(Ä(Ò))º
Ï ¬Ö×Ø ÔÖÓÚ ¸ Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ ≥ 1¸ Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ò ≥ 0¸
| (Ò)| ≤ 4 · È (Ò) ´ º½µ
• ÓÖ = 1 Û Ú 1(Ò) = 2 + Ä(Ò) ≤ 4Ä(Ò) = 4È1(Ò)
• ËÙÔÔÓ× Ø Ø ´ º½µ ÓÐ × ÓÖ − 1¸ Û Ö ≥ 2º
• Ï Ò ØÓ × ÓÛ Ø Ø ´ º½µ ÓÐ × ÓÖ
| (Ò)| = 2 + Ä(Ò) +
Ä(Ò)
=0
| −1( )|
= 2 + Ä(Ò) + 2 +
Ä(Ò)
=1
| −1( )|
≤ 4 + Ä(Ò) +
Ä(Ò)
=1
4( − 1)È −1( )
41. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ¼
≤ 4 + Ä(Ò) + 4(Ä(Ò) − 1)( − 1)È −1(Ä(Ò))
≤ Ä(Ò) + 4( − 1)Ä(Ò)È −1(Ä(Ò))
≤ Ä(Ò) + 4( − 1)È (Ò)
≤ 4 È (Ò)
× Û ÒÓÛ Ä(Ò) ∈ (log Ò) ×Ó ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ð ÑÑ Ø
×ÙÆ × ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø Ö × ÓÒ×Ø ÒØ ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ ≥ 1 Ò ≥ 0 Û
Ú È (Ò) ≤ Ä(Ò)2
º Ë Ò Ä(Ä(Ò)) ∈ O(log log Ò) Ò Ä(Ò) ∈ (log Ò)¸
Ø Ö × Ò Ò0 ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ò ≥ Ò0 Û Ú
Ä(Ä(Ò))2
≤ Ä(Ò)
Ä Ø È = {È (Ñ) | Ñ Ò0 ≥ 1}º ÓÖ log∗
(Ò0) Û Ú Ø Ø
Ä (Ñ) ≤ Ä (Ò0) = 0 Ò × Ö ×ÙÐØ Ä (Ñ) = È (Ñ) = 0º ËÓ Ø Ö Ö ÓÒÐÝ
¬Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ú ÐÙ × Ó Ñ Ò0 Ò ÓÖ Û È (Ñ) 0º Ë Ò È ×
¬Ò Ø × Ø Û Ò ¬Ò = Ñ Ü(È)º Ï ÔÖÓÚ Ø Ø È (Ò) ≤ · Ä(Ò)2
Ý
Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ ≥ 1
• È1(Ò) = Ä(Ò)¸ ×Ó Ø × Ø × ØÖÙ ÓÖ = 1º
• ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ð×Ó ÓÐ × ÓÖ − 1¸ Û Ö ≥ 2º
• Ï Ú È (Ò) = Ä(Ò)È −1(Ä(Ò))º Á Ä(Ò) Ò0¸ Ø Ò È −1(Ä(Ò)) ≤
Ò Ø Ù× È (Ò) ≤ Ä(Ò)º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ä(Ò) ≥ Ò0¸ Û Ú
Ä(Ä(Ò))2
≤ Ä(Ò)º Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × ×¸ È −1(Ä(Ò)) ≤ Ä(Ä(Ò))2
×Ó
È (Ò) = Ä(Ò)È −1(Ä(Ò)) ≤ Ä(Ò) Ä(Ä(Ò))2
≤ Ä(Ò)2
µ Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × (Ò) Ò ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒÒ Öº
Ï Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÖÖ Ò ÓÖ Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ê( Ò)
Ê( Ò) ≤ O(Ä(Ò)) +
Ä(Ò)
=0
Ê( − 1 Ä( ))
Ì × Ö ÙÖÖ Ò × Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓÒ Û Ù× ÖÐ Ö Ò Ò × ÐÝ
×ÓÐÚ Ù× Ò Ø × Ñ Ñ Ø Ó ×º
Ä ÑÑ º¾ Ä Ø ≥ 1¸ ≥ 0º Ì Ö × Ò Ç´ µ¹ ÓÖÑÙÐ (Ü Ý) Ó × Þ
O( log + ) ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÛÓÖ × W ¸ Ò Ñ Ò ∈ {0 Ì( )} Ø
ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ × Á × Ø ¬Ö×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó ×Ù ÛÓÖ U W Û Ø U ∼= (Ñ)
Ò × Ø ¬Ö×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó ×Ù ÛÓÖ V W Û Ø V ∼= (Ò)¸ Ø Ò
42. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ½
(W ) |= (Ü Ý) ⇔ Ñ = Ò
ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø ÓÖÑÙÐ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ò Ò Ø Ñ
O( log + )º
ÈÖÓÓ º
Ì ÔÖÓÓ × Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ º Ä Ø = 1º Ê ÐÐ Ø Ø Ø 1¹ Ò Ó Ò Ó
Ò ÒØ Ö Ô ≥ 1 × Ù×Ø Ø Ò ÖÝ Ò Ó Ò Ó Ô−1 Ò ÐÓ× Ò ½ ¸ »½ º
À Ò ØÓ × Ý Ø Ø Ü Ò Ý Ö Ø ¬Ö×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ó Ø 1¹ Ò Ó Ò × Ó Ø
× Ñ ÒÙÑ Ö׸ Û Ú ØÓ × Ý Ø Ø Ü1 Ü Ö Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× ØÛ Ò
½ Ò »½ Ò Ý1 Ý Ö Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× ØÛ Ò ½ Ò »½ Ø Ò
Ü Ò Ý × ÓÙÐ ÓØ 1× ÓÖ 0׺ ÓÖ ÒÙÑ Ö× Ô ∈ {0 Ì(1 )}¸ Ø Ö Ö
Ø ÑÓ×Ø Ä(Ô) ≤ ÔÓ× Ø ÓÒ× ØÓ ÒÚ ×Ø Ø º ÌÓ ÜÔÖ ×× Ø ×¸ Û Ð Ø Ø
ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ
1 (Ü Ý) ≡ ∃Ü1 Ü Ý1 Ý
×Ù (Ü Ü1) ∧
−1
=1
(È 1 (Ü ) ∧ Ü = Ü +1) ∨ (¬È 1 (Ü ) ∧ ×Ù (Ü Ü +1)) ∧
×Ù (Ý Ý1) ∧
−1
=1
(È 1 (Ý ) ∧ Ý = Ý +1) ∨ (¬È 1 (Ý ) ∧ ×Ù (Ý Ý +1)) ∧
È 1 (Ü) ∧ È 1 (Ý) ∧
=1
(È0(Ü ) ↔ È0(Ý )) ∧ (È1(Ü ) ↔ È1(Ý ))
ËÙÔÔÓ× Ø Ø Û Ú ÐÖ Ý ¬Ò −1 (Ü Ý)º
Ö×Ø Û ¬Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ
ÒØ(Ü Ý) ≡ È (Ü) ∧ (Ü Ý) ∧ ∀Þ (Ü Þ ∧ Þ ≤ Ý) → ¬È (Þ)
Ð ×Ø(Ü Ý) ≡ È (Ü)∧(Ü Ý)∧È (Ý)∧∀Þ (Ü Þ∧Þ Ý) → ¬È (Þ)
Ì ¬Ö×Ø ÓÖÑÙÐ × Ý× Ø Ø Ý × Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ×Ù ÛÓÖ Ó Ø ÓÖÑ (Ô)
×Ø ÖØ Ò Ø Ü Ò Ø × ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ý × Ø Ð ×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø ×Ù ÛÓÖ Ó
Ø ÓÖÑ (Ô) ×Ø ÖØ Ò Ø Ü¸ ÔÖÓÚ ×Ù ×Ù ÛÓÖ Ò ×Ø ÖØ× Ø Üº
ÌÓ × Ý Ø Ø Ø ×Ù ÛÓÖ × ×Ø ÖØ Ò Ø Ü Ò Ý Ö ¹ Ò Ó Ò × Ó Ø
× Ñ ÒÙÑ Ö׸ Û Ú ØÓ × Ý Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÔÓ× Ø ÓÒ× Û ØÛ Ò Ü Ò Ø
Ò ÜØ ÐÓ× Ò » Ò ÐÐ ÔÓ× Ø ÓÒ× Þ ØÛ Ò Ý Ò Ø Ò ÜØ ÐÓ× Ò » ¸
Û Ò Þ Ö ¬Ö×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ó ×Ù ÛÓÖ × ×ÓÑÓÖÔ ØÓ −1(Õ) ÓÖ ×ÓÑ Õ ∈ N¸
Ø Ò Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× ÓÐÐÓÛ Ò Ø × ØÛÓ ×Ù ÛÓÖ × Ö Ø Ö ÓØ 1× ÓÖ ÓØ
0׺ ÓÖ ÐÐ ×Ù ÛÓÖ × Ó (Ô) Ó Ø ÓÖÑ −1(Õ) Û Ú Õ ∈ {0 Ä(Ô)}º
43. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ¾
ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÔÔÐÝ Ø ÓÖÑÙÐ −1 ØÓ Ø ×Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó ×Ù ×Ù ÛÓÖ ×¸ Û
ÑÙ×Ø Ú Õ ≤ Ä(Ô) ≤ Ì( − 1 )º Ç × ÖÚ Ø Ø ÓÖ ÐÐ ≥ 1 Û Ú
Ì( ) = Ñ Ü {Ò ∈ N | Ä(Ò) ≤ Ø( − 1 )}
ËÓ Ø Ð ×Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ × ÓÖ ÐÐ Ô ≤ Ì( )º Ì Ù× ÓÖ ×Ù Ô Û Ò Ù×
Ø ÓÖÑÙÐ −1 ØÓ Ø ×Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó ×Ù ÛÓÖ × Ó (Ô) Ó Ø ÓÖÑ −1(Õ)º
× ¬Ö×Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÓÙÖ ÓÖÑÙÐ ¸ Û Ð Ø (Ü Ý) Ø ÓÐÐÓÛ Ò
∀Û ÒØ(Ü Û)∧È −1 (Û) → ∃Þ ÒØ(Ý Þ)∧È −1 (Þ)∧ −1 (Û Þ) ∧
∀Þ ÒØ(Ý Þ)∧È −1 (Þ) → ∃Û ÒØ(Ü Û)∧È −1 (Û)∧ −1 (Û Þ) ∧
∀ÛÞ ÒØ(Ü Û) ∧ È −1 (Û) ∧ ÒØ(Ý Þ) ∧ È −1 (Þ) ∧ −1 (Û Þ)
→ ∃Û Þ ( −1
Ð ×Ø
(Û Û ) ∧ −1
Ð ×Ø
(Þ Þ ) ∧ È1(×Ù (Þ )) ↔ È1(×Ù (Û ))
Ì ¬Ö×Ø Ð Ò Ó Ø × ÓÖÑÙÐ × Ý× Ø Ø Ú ÖÝ ×Ù ÛÓÖ Ó Ø ÓÖÑ −1(Õ)
Ò Ø ×Ù ÛÓÖ Ó Ø ÓÖÑ (Ô) ×Ø ÖØ Ò Ø Ü Ð×Ó Ó ÙÖ× Ò Ø ×Ù ÛÓÖ Ó
Ø ÓÖÑ (Ô) ×Ø ÖØ Ò Ø Ýº Ì × ÓÒ Ð Ò × Ý× Ø Ø Ú ÖÝ ×Ù ÛÓÖ Ó Ø
ÓÖÑ −1(Õ) Ò Ø ×Ù ÛÓÖ Ó Ø ÓÖÑ (Ô) ×Ø ÖØ Ò Ø Ý Ð×Ó Ó ÙÖ× Ò
Ø ×Ù ÛÓÖ Ó Ø ÓÖÑ (Ô) ×Ø ÖØ Ò Ø Üº Ì Ø Ö Ò ÓÙÖØ Ð Ò × Ý
Ø Ø Û Ò Þ Ö Ø ¬Ö×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ó ×ÓÑÓÖÔ ×Ù ÛÓÖ × Ó Ø ÓÖÑ
−1(Õ)¸ Ø Ò Ø Ý Ö Ø Ö ÓØ ÓÐÐÓÛ Ý 1 ÓÖ ÓØ Ý 0 ´× Ò Ø
ÓÒÐÝ ØÛÓ Ð ØØ Ö× Ø Ø Ò ÔÔ Ö ÑÑ Ø ÐÝ Ø Ö ×Ù ÛÓÖ −1(Õ) Ò
ÛÓÖ (Ô) Ö 0 Ò 1µº Ì × ÓÖÑÙÐ × Ý× Û Ø Û Û Òظ ÙØ ÙÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ
Ø × ØÓÓ Ð Ö ØÓ Ú Ø × Ö ÓÙÒ ×º Ì ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø Ø Ö Ö
Ø Ö Ó ÙÖÖ Ò × Ó Ø ×Ù ÓÖÑÙÐ −1 (Û Þ)º Ï Û Ò × ÐÝ ÓÚ Ö ÓÑ
Ø × ÔÖÓ Ð Ñº Ï Ð Ø
(Û Þ) ≡ ∃Û Þ ( −1
Ð ×Ø (Û Û ) ∧ −1
Ð ×Ø (Þ Þ ) ∧ È1(×Ù (Þ )) ↔ È1(×Ù (Û ))) Ò
(Ü Ý) ≡ ∀Û∃Þ ÒØ(Ü Û) → ÒØ(Ý Þ)
∧ ÒØ(Ý Û) → ÒØ(Ü Þ) ∧ (È −1 (Û) → È −1 (Þ))
∧ ( ÒØ(Ý Û) ∨ ÒØ(Ü Û)) ∧ È −1 (Û) →
−1 (Û Þ) ∧ (Û Þ) º
Ç × ÖÚ Ò Ø Ø 1 ∈ O( ) Ò Ø Ø = −1 + log ÓÖ ×ÓÑ
ÓÒ×Ø ÒØ ¸ Û Ó Ø Ò Ø × Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø × Þ Ó Ø ÓÖÑÙÐ º ÌÓ ×
44. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È ¿
Û Ý Û Ò Ø ØÓÖ log Ö ¸ Ö ÐÐ Ø Ø × Ø Ð Ò Ø Ó Ò ÖÝ
Ò Ó Ò Ó º Ì ÚÓ ÙÐ ÖÝ Ó Ø ÓÖÑÙÐ × Ó × Þ O( )¸ Ø Ù× Ø
Ò ÖÝ Ò Ó Ò Ó Ø ×ÝÑ ÓÐ× Ò Ø × ÚÓ ÙÐ ÖÝ Û ÐÐ Ö ÕÙ Ö O(log ) Ø׺
Ì Ø Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ Ð Ò Ö Ò Ø × Þ Ó Ø ÓÙØÔÙØ
× ÑÑ Ø ÖÓÑ Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒº
ÇÙÖ Ó Ð × ØÓ Ò Ó Ë Ì Ò×Ø Ò ÓÖ Ò ÓØ Ö ÛÓÖ × Æ ÓÖÑÙÐ ×Ó
Û Ý Ó Û Ö ×Ó ÑÙ ÓÙØ Ò Ó Ò × Ó Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö× Ï Û ÐÐ × ÓÛ
Ø Ø Û Ò Ù× Ø Ò Ó Ò Û ¬Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù Ò Ò Ó Ò Ó Æ ¹
ÓÖÑÙÐ Û Ö Ø ÒÙÑ Ö× Û Ó Ö Ù× × Ø Ò Ñ × Ó Ø Ú Ö Ð ×
Ò Ó Ò × Ó ÓÖÑÙÐ º
ÌÓ Ò Ó Æ ¹ ÓÖÑÙÐ Ý ×ØÖ Ò Û Ù× Ø ÐÔ Ø
= ∪ { ×Ò ×Ò Ú Ð Ú Ð + − Ð Ø Ð Ø
Ð Ù× Ð Ù× Ò Ò }º
Ì Ð Ø Ö Ð× ¬ ¸ ∈ N¸ Ö Ò Ó Ý Ø ×ØÖ Ò ×
( ) = Ð Ø ( )+ Ð Ø
(¬ ) = Ð Ø ( )− Ð Ø
Ð Ù× = 1 ∨ ∨ Ѹ Û Ö Ö Ð Ø Ö Ð׸ × Ò Ó Ý Ø ×ØÖ Ò
( ) = Ð Ù× ( 1) ( Ñ) Ð Ù× º
Æ ¹ ÓÖÑÙÐ ≡ 1 ∧ ∧ × Ò Ó Ý
( ) = Ò ( 1) ( ) Ò º
Ò ÐÐÝ ØÓ Ñ Ø Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ó Ò × Ö¸ Û Ø
ÓÐÐÓÛ Ò ×ØÖ Ò ØÓ Øº
( 0 Ò−1) = ×Ò
Ú Ð (0) Ú Ð
ººº
Ú Ð (Ò − 1) Ú Ð
×Ò º
ËÓ Û Ò Ó ÓÖÑÙÐ ∈ Æ (Ò) Ý Ø ×ØÖ Ò
( ) = ( ) ( 0 Ò−1)
Ï ÐÐ ÒÝ ÙÒ Ø ÓÒ : { 0 Ò−1} → {ÌÊÍ ÄË } Ò ×× ÒÑ Òغ
Ä Ø È × Ø Ó ÔÓ× Ø ÓÒ× Ø Ø ÖÖÝ Ø Ð ØØ Ö Ò ( )º Ï Û ÐÐ ÐÐ Ô Ø
45. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È
¹ÔÓ× Ø ÓÒ Ö ØÐÝ Ø Ö Ø ×Ù ×ØÖ Ò ( )º ÁØ × ×Ý ØÓ × Ø Ø È ×Ô ¬ ×
Ò ×× ÒÑ ÒØ
È
( ) = ÌÊÍ ⇔ Ô ∈ È
ÅÓÖ ÓÚ Ö ÒÝ ×× ÒÑ ÒØ ×Ô ¬ × × Ø
È = {Ô | ( ) = ÌÊÍ }
Ö×Ø Û Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø ÓÙÖ Ò Ó Ò × ×Ù Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ò Óѹ
ÔÙØ Ý ×Ø Ð ÓÖ Ø Ñº Ý Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó ( ) Ò ( ) Ò Ù× Ò
Ä ÑÑ º½ Û Ò × ÐÝ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ä ÑÑ º¿ Ä Ø ∈ N Ò ∈ Æ (Ò) Ø Ò | ( )| = O( log2
Ò( +
Ò))º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÑÔÙØ × ( ) Ò Ø Ñ O( log2
Ò
( + Ò))´Ø Ø ×¸ Ð Ò Ö Ò Ø × Þ Ó Ø ÓÙØÔÙصº
Ä ÑÑ º ÓÖ ÐÐ ∈ N Ø Ö × Ç( )¹ ÓÖÑÙÐ (È)¸ Û Ö È ×
Ö × ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ú Ö Ð ¸ Ó × Þ O( log + ) ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ò ≤ Ì( )¸
∈ Æ (Ò)
( ) |= (È) ⇔ È
× × Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ º
ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø ÓÖÑÙÐ Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ O( log + )º
ÈÖÓÓ º
Ä Ø (Ü Ý) Ø ÓÖÑÙÐ ¬Ò Ò Ä ÑÑ º¾º Ï Ö Ó Ò ØÓ
Ù× Ø ØÓ ØÛÓ ×Ù ÛÓÖ × Ó ( ) Ø Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ú Ö Ð × ØÙ ÐÐÝ
Ö ÔÖ × ÒØ Ø × Ñ Ú Ö Ð º
Ð×Ó Ö ÐÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ð ×Ø(Ü Ý)¸ ¬Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º¾¸
Û × Ý× Ø Ø Ý × Ø Ð ×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø ×Ù ÛÓÖ Ó Ø ÓÖÑ (Ò)
×Ø ÖØ Ò Ø Üº
Ï ¬Ö×Ø ¬Ò ÓÖÑÙÐ Ð Ø
(Ü È) ×Ù Ø Ø Ø ×Ù ÛÓÖ Ó ×Ø ÖØ Ò
Ø Ü × Ø Ò Ó Ò Ó Ø Ð Ø Ö Ð Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Á Ø Ð Ø Ö Ð ×
Ó Ø ÓÖÑ Ø ¹ÔÓ× Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ó ÙÖ× Ü ØÐÝ Ø Ö Ø ×Ù ×ØÖ Ò ( )
ÐÓÒ × ØÓ È¸ ÓØ ÖÛ × Ø Ð Ø Ö Ð × Ó Ø ÓÖÑ ¬ ¸ Ô ∈ Ⱥ ËÓ Ð Ø
(Ü È)
× ØÖÙ Ø Ð Ø Ö Ð Ø Ø ×Ø ÖØ× Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ü Ú ÐÙ Ø × ØÓ ØÖÙ ÙÒ Ö Ø
×× ÒÑ ÒØ Èº
Ï Ð Ø
Ð Ø
(Ü È) ≡ ∃ÝÜ Ý È Ú Ð (Ý) ∧ (×Ù (Ü) ×Ù (Ý)) ∧ Ð ×Ø(×Ù (Ü) Ü ) ∧
Ð ×Ø(×Ù (Ý) Ý ) ∧ È+(×Ù (Ü )) ↔ È(×Ù (Ý )) º
46. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È
Ð Ø
(Ü È) × Ý× Ø Ø Ø Ö Ö ÔÓ× Ø ÓÒ× Ü ¸ Ý Ò Ý Ò Ø ÒÔÙØ ×Ù Ø Ø Ø
× Ñ ÒØ Ü Ü ¬Ò × Ð Ø Ö Ð Ò Ý Ý × Ø Ô ÖØ Ó Ø ×× ÒÑ ÒØ Ø Ø
Ú × Ú ÐÙ ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò Ø Ð Ø Ö Ð Ü Ü Ò Ø Ø Ø × Ú ÐÙ Ñ ×
Ø Ð Ø Ö Ð ØÖÙ º ÁÒ ÓØ ÓÖÑÙÐ ¸ ×Ù × Ù× × Ò Ö Ú Ø ÓÒ Û ÓÙÐ
Ö ÛÖ Ø Ø Ñ Û Ø ÓÙØ Øº
Æ Üظ Û ¬Ò ÓÖÑÙÐ Ð Ù×
(Ü È) ×Ù Ø Ø Ø ×Ù ÛÓÖ Ó
×Ø ÖØ Ò Ø Ü × Ø Ò Ó Ò Ó Ð Ù× ¸ Ø Ò Ø ÓÒØ Ò× Ý Ø Ø × Ø ×¬ ×
Ð Ø
¸ Ò ÓØ Ö ÛÓÖ × Ø Ð Ù× ÓÒØ Ò× × Ø ×¬ Ð Ø Ö Ðº Ï Ð Ø
Ð Ù×
(Ü È) ≡ È Ð Ù× (Ü) ∧ ∃Ý(∀Þ((Ü Þ ∧ Þ ≤ Ý) →
¬È Ð Ù× (Þ)) ∧ È Ð Ø (Ý) ∧ Ð Ø
(Ý È)
Ò ÐÐݸ Û Ð Ø
(È) ≡ ∀Ý(È Ð Ù× (Ý) → Ð Ù×
(Ý È))º
ÁØ × ×Ý ØÓ × Ø Ø Ø Ö × × Ø Ó ÔÓ× Ø ÓÒ× È Ø Ø × Ø ×¬ × Ø Ò
Ø ×× ÒÑ ÒØ È
× Ø ×¬ × Ò Ø Ø × × Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ
Ø Ò Ø × Ø È = È × Ø ×¬ × º
Ä ÑÑ º Ì Ö × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ú Ò ∈ N ÓÑÔÙØ × ´Ø Ò ÖÝ
Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó µ Ò ÅËǹ ÓÖÑÙÐ (Þ) Ò Ø Ñ O( log )¸ ×Ù Ø Ø ÓÖ
ÐÐ Ò ≤ ÌÓÛ Ö( )¸ ÓÖ ÐÐ ∈ Æ (Ò) Ò ÓÖ ÐÐ ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ó ( ) Û
Ú
( ) |= (Ô) «
Ò Ø Ð Ü Ó Ö Ô ÐÐÝ
×Ñ ÐÐ ×Ø × Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ ¸
Ø ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
ØÓ ÔÓ× Ø ÓÒ Ô × ×× Ò Ø Ú ÐÙ ØÖÙ º
Ì ´ Ò ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø µ ÓÖÑÙÐ (Þ) × × Þ = O( log )º
ÈÖÓÓ º
× Û ÔÖÓÚ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ð ÑÑ Û Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ç´ µ ÓÖÑÙÐ
(È) Û ÓÐ × Ò ( ) « È
× × Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ º ÓÖ
Û ÓÒ×ØÖÙ Ø Û Ú ØÓ ¬Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ≤Рܺ Ï Ð Ø
≤Ð Ü Ï ≡ (∀Ü (Ü) ↔ Ï(Ü))∨
∃Ý ¬ (Ý) ∧ Ï(Ý) ∧ ∀Ü Ü Ý → ( (Ü) ↔ Ï(Ü))
47. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È
Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ × Ø × Ö ÔÖÓÔ ÖØ × Ó
(Þ) ≡ ∃ ∀Ü( (Ü) → È (Ü)) ∧ (Þ) ∧ Ð( ) ∧
∀Ï ∀Ü(Ï(Ü) → È (Ü)) ∧ Ð( ) → ≤Ð Ü Ï
ÌÓ Ø Ö Ó Ø ØÓÑ× Ü Ý Ò (Þ) Û Ö ÔÐ Ø Ñ Ý Ø ÓÖÑÙÐ
∃ ( (Ý) ∧ ¬ (Ü) ∧ ∀Þ1Þ2 ×Ù (Þ1 Þ2) ∧ (Þ1) → (Þ2)
Ì Ö ×ÙÐØ Ò ÓÖÑÙÐ × (Þ)º
º½º¾ ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º¾
× Û × ÓÙÖ Ó Ð × ØÓ ÓÒ×ØÖÙ Ø ×Ø Ë Ì¹×ÓÐÚ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ËÓ Ö Û
ÒÓÛ Ø Ø Ø Ø Ñ Û Ò ÓÖ ×Ø Ô ½ × O( log2
Ò( + Ò))¸ Ò ÓÖ ×Ø Ô
¾ O( log )º
1
→ Û
2
→ ∈ ÅËÇ
3
→ ∈ ÅÄ È
4
→ × ÆÓ
Ä Ø ÙÒ Ø ÓÒ ×Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ÅËǹ ÓÖÑÙÐ Ø Ö × Ò ÕÙ Ú¹
Ð ÒØ ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ Ó × Þ ≤ ( )º × Û × Ò ×Ø Ô ¿ Û ÓÖ
ÐÐ Û Ö | ≤ ( ) Û Ø Ö Ø ×Ô ¬ × × Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ º
ÙØ ÓÛ Ñ ÒÝ ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ Ó Ð Ò Ø Ð ×× Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ ( ) Ö
Ø Ö ××ÙÑ Ø Ø ÓÙÖ ÚÓ ÙÐ ÖÝ × 1 ×ÝÑ ÓÐ׺ Ö×Ø Ò × ÓÒ ÓÖ Ö
Ú Ö Ð × Ò³Ø ÑÓÖ Ø Ò ( )º ËÓ Ð ØØ Ö Ó ÓÙÖ ×ØÖ Ò Ò ¬ÐÐ
Û Ø 1 + (| ) Û Ý׺ Ì Ö ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ×Ù ÓÖÑÙÐ × Ð ×× Ø Ò
ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ 1 + ( )
( )
≤ 2 2 ( ) log( ( ))
º
Ï ÑÙ×Ø Ð×Ó ÒÓÛ ÓÛ ÑÙ Ø Ñ Û Ò ØÓ ¬Ò ÓÙØ Û Ø Ö ×Ô ¬ ×
× Ø × Ý Ò ×× ÒÑ Òغ ÓÖ ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ Û Ö ≤ ( ) Û
ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò ×× ÒÑ Òغ ÓÖ ÐÐ ¹ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ò ( ) Û Û Ø Ö
( ) |= (Ô )¸ ×Ó Û × Ø ( ) = ÌÊÍ º Ò ÐÐÝ Û Û Ø Ö ×
× Ø × Ý Ò ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ º
Ä ÑÑ º Ì Ö × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø¸ Ú Ò Ò ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ (Þ)¸
×ØÖ Ò Û¸ ÔÓ× Ø ÓÒ Ô Ò Û¸ × Ò Ø Ñ |Û|Ç( )
Û Ø Ö Û |= (Ô)º
ÈÖÓÓ º
Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø Ú Ò Ò ÅÄ È¹ ÓÖÑÙÐ (Ü1 Ü 1 )¸
×ØÖ Ò Û¸ × ÕÙ Ò Ô1 Ô Ó ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Û¸ Ò × Ø× È1 È Ó ÔÓ× ¹
Ø ÓÒ× Ò Û Û Ò Ò Ø Ñ |Û|O( )
Û Ø Ö Û |= (Ô1 Ô È1
48. º½º ÅËÇ ÎË ÅÄ È
È )º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÔ Ö Ø × Ý Ö ÙÖ× ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó º Ï ÓÑ Ø
Ø ØÖ Ú Ð × × ØÓ Ü Ñ Ò Ø × Û Ò ≡ [Ð ÔÝ (Ý Ü1 Ü
1 )] (Ü )º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × Ø ×Ø × Ó ³× Ð ×Ø ¬Ü ¹
ÔÓ ÒØ
• Ä0
= ∅
• ÓÖ × = 1 ØÓ |Û| Ó
½º Ä×
= ∅
¾º ÓÖ Õ = 0 ØÓ |Û| − 1 Ó
Û Ø Ö Û |= (Õ Ä×−1
Ô1 Ô È1 È ) ×Ó¸ Ø Ò
Ò× ÖØ Õ ÒØÓ Ä×
º
• Û Ø Ö Ô ∈ Ä|Û|
×Ó¸ Ø Ò Ý × ¸ ÓØ ÖÛ × ÒÓ º
× ÐÝ Ø × ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø × O(|Û|2
|Û|O( )
) = |Û|O( )
×Ø Ô׺
ËÓ Ø Û ÐÐ Ø | ( )|O( ( )
×Ø Ô× ØÓ Û Ø Ö ( ) |= (Ô )º Ë Ò
×Ø Ô× ½ Ò ¾ Ò Ô Ö ÓÖÑ Û Ø Ò ÒÙÑ Ö Ó ×Ø Ô× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ¸
Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ×Ø Ô× Û ÐÐ
| ( )|O( ( )
· 2 2 ( ) log( ( ))
Û ¸ Ý Ä ÑÑ Ø º¿ Ò º ¸ × Ð ×× Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ
3 · · (log Ò)2
· ( + Ò) · 2 2 ( · ) log( ( · ))
≤ · ( · ) log( ( · ))
ËÓ Û ÔÖÓÚ Ø Ø · ( · ) log( ( · ))
≤ log( )
(Ò)
Û Ö ÓÒ º
Ä ÑÑ º Ä Ø : N → N ×Ù Ø Ø ( ) ≤ ÌÓÛ Ö(Ó( ))¸ Ð Ø Ð×Ó ∈ Nº
ÓÖ Ú ÖÝ ∈ N Ø Ö × Ò Ò0 ∈ N ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ò ≥ Ò0
· · log∗
(Ò) · log ( · log∗
(Ò)) ≤ log( )
(Ò)
ÈÖÓÓ º
Ï ÒÓÛ Ø Ø × Ò ( ) ≤ ÌÓÛ Ö(Ó( )) Ø Ö × Ò Ñ0 ∈ N Ò ÙÒ Ø ÓÒ
: N → N Û Ø ∈ (1) ×Ù Ø Ø (Ñ) ≤ ÌÓÛ Ö( Ñ
(Ñ)
)¸ ÓÖ ÐÐ Ñ ≥ Ñ0º ËÓ¸
ÓÖ Ø = · log∗
(Ò) Û Ú
· (Ø) · log( (Ø)) ≤ · ÌÓÛ Ö
Ø
(Ø)
· ÌÓÛ Ö
Ø
(Ø)
− 1
≤ ÌÓÛ Ö
Ø
(Ø)
+ 1 ´½µ
