1. Застосування
визначеного інтеграла
до обчислення об’ємів
тіл обертання
Роботу виконала
Учениця 11 класу
Мар’янівської ЗШ І-ІІІ ст
Маловисківського району
Кіровоградської області
Самойленко Дарина

2. Тіла обертання
• Численні геометричні об’єкти й навіть напрями
геометричних досліджень ученим підказує сама
природа. Зокрема, чимало предметів, які вона
створила, мають форму тіл обертання. Циліндр,
конус і куля є лише абстрактними моделями тих
реальних предметів, які оточують нас у
повсякденному житті, тому загальні дослідницькі
підходи й результати, які будуть отримані при
дослідженні роботи, придатні для використання в
архітектурі, мистецтві, техніці.

3. Формули об’ємів
стандартних тіл обертання
Циліндр Конус Куля Зрізаний
конус

4. Проблема наукового
дослідження
• Ряд тіл мають форму, що не завжди є
стандартною моделлю. Як шукати
об'єм?
• Чи можна знайти універсальний підхід
до обчислення об'ємів?
• Як обчислити об'єм тіла, яке утворене
обертанням криволінійної трапеції
навколо осі Ох?

5. Загальна формула об’єму
Розглянемо спосіб обчислення
об’ємів тіл, у підґрунті якого
лежить поняття інтеграла, відоме
з курсу алгебри та початків
аналізу. Суть цього методу
полягає в наступному:
розмістити тіло у системі
координат навколо осі на
деякому проміжку. Розбити цей
проміжок на n-ну кількість рівних
між собою частин. При цьому
утворюються тіла, форма яких
близька до циліндричної.

6. Загальна формула об’єму
Для того щоб знайти площу всієї фігури, потрібно
знайти суму площ утворених тіл, форма яких
близька до циліндричної. Тому:
≈ S(𝑥1)∙ 𝛥 + S(𝑥2)∙ 𝛥 + … + S(𝑥n)∙ 𝛥 =
𝛥 . Саме ця сума відома в алгебрі та
початках аналізу, як визначений інтеграл на
проміжку [a; b]. Тому:
Враховуючи, що S(𝑥) = 𝜋r2; r = f( ), маємо
S(𝑥) = 𝜋 f 2( ).
TV 1x 2x nx
 
n
i
ixS
1
ix
 
b
a
T dxxSV
ix
ix

7. Загальна формула об’єму
Отже, шуканий об’єм
, або
Остаточно маємо:
 
b
a
T dxxfV 2
  
b
a
T dxxfV 2

 
b
a
T dxxfV 2


8. Розв’язування задач за
допомогою ПЗ «GRAN 3D»
Приклад. Обчислити об’єм тіла, що утворюється
при обертанні ф-ї f(x)=sin x навколо осі Ох та
обмежена прямими х=0 та х = (рис. 3.1).
Розв’яжемо її теоретичним шляхом.
Р о з в’ я з у в а н н я. Скористаємося вище
виведеною формулою (1.2).
2

 
  


2
0
2
0
2
2
2cos1
sin
 

dxx
xdx
 






2
0
42
2cos
2
1


 dx
x

9. Розв’язування задач за
допомогою ПЗ «GRAN 3D»
На рисунку бачимо графічну модель
розв’язування цієї задачі за допомогою
програмного засобу «GRAN 3D»:

10. Висновки
• Математичні положення мають прикладний
характер.
• Визначений інтеграл може бути застосований
для обчислення об’єму тіла, утвореного
обертанням криволінійної трапеції навколо осі
• Дане дослідження підтверджує цілісність
математики (алгебри та геометрії)
• У ході роботи опрацьовано та проаналізовано
велику кількість наукової та методичної
літератури, що не є предметом вивчення
шкільного курсу.
Ox

11. Висновки
Працюючи над цією роботою я переконалась у
прикладному характері математичних
положень, зокрема визначеного інтеграла.
Робота показує прямий зв’язок між
алгебраїчними поняттями та геометричними
задачами (взятими із практичних потреб),
тобто застосування їх до обчислення об’ємів тіл
обертання, помістивши тіло в систему
координат. Отже, цінність роботи полягає у
можливості застосування алгебраїчних формул
для відповідей на питання геометричних задач
– вміння обчислювати об’єми нестандартних
тіл обертання.

12. Дякую за увагу!!!