Capital Económico - José Carlos Sánchez

Capital económico y
administración de riesgo
José Carlos Sánchez

20/05/2010

M2gR :Servicio de Modelos y Metodologías para la Gestión del riesgo

Agenda

Características del negocio bancario
Medidas adecuadas del riesgo
Formulación del modelo
Análisis de sensibilidad
Resultados portafolio Junio 2009
Conclusiones

2

Negocio bancario
Es un segmento riesgoso:
> Alto apalancamiento.
> Negocia con activos volátiles.
> Negocia con activos muy ilíquidos.
> Cumple una función de transformación de riesgos.
> Riesgo reputacional.
> Riesgo de crédito.
Requiere ser regulado?
> Si bien es riesgoso las ganancias o perdidas se transfieren
asimétricamente.
> Para la economía es muy costosa la quiebra de un banco.
Como se regula?
> Provisiones
> Requerimientos mínimos de Capital
3

Medidas adecuadas del riesgo (I)
Riesgo de Crédito: La posibilidad de generar “perdidas” producto del
“impago” de una contraparte.
Cada vez que ocurre un impago:
Perdida i =Deuda i*(1- Recuperación i)
Perdida=Σ (Deuda i*(1- Recuperación i))

E(Perdida i )=PD i*(Deuda i*(1- Recuperación i))
Perdida esperada=E(Perdida)= Σ PD i*(Deuda i*(1- Recuperación i))
Es el monto con una mayor probabilidad de ocurrencia, es ideal para
alinear la rentabilidad al riesgo de crédito.
Pr

Perdida Perdida
esperada
4

Medidas adecuadas del riesgo (II)
La perdida esperada solo cubriría aproximadamente un poco mas del
50% de las perdidas posibles.
Existe una alta probabilidad de que quiebre.
Se necesita una medida que permita cubrir un bloque aun mayor de las
perdidas:
F(Perdida i <=PNES)=99.9x%
Perdida no esperada es el monto que cumple con la condiciona anterior .
Como medida de solvencia, indica en que proporción de los eventos
posibles la institución tendrá suficientes recursos para salir airosa.

Provisiones Capital
Pr

1-99.9x%

Perdida Perdida Perdida
Esperada NO Esperada
5

Pérdida por riesgo de Crédito:
Lossi= LGDi*EADi *Di
Di =1 si el cliente i incumple
Di=0 si el cliente i no incumple
E(Di )=PDi
Loss = Σ(Lossi) =Σ(LGDi*EADi *Di )
Σ
El evento “default” se modela al estilo de Merton:
El cliente incumple si los retornos de sus activos normalizados
Xi caen debajo del umbral de incumplimiento ci.

[X = Zi i ] [
1 − ai2 + Mai ≤ ci = N −1 (PDi ) ]
Donde:
M ≡ N(0,1) Factor Sistémico
z ≡ N(0,1) Factor Idiosincrático
ai*aj ≡ Correlación de Activos
6

Capital Económico: Pérdida no esperada de una cartera a un
determinado nivel de confianza
Definición de Capital Económico:
α
$K = VaRα(Loss) - E(Loss)
$K = VaRα(Loss) - Σ(PI * PDI * EDI)
α
Frecuencia %
0.2

0.1
Nivel de
Confianza α

0.0
Expected loss Unexpected loss
Provisiones Capital

VaR
7

Componentes de los Modelos de Capital Económico
Cargas de capital a nivel portafolio
1. Determinar:
a) PI, PDI, EDI
b) M, se fija horizonte de simulación a X años
c) Definir la correlación de pérdidas vs factores macro: Usual es obtenerla a
partir de correlaciones de activos (supuesto IRB) o de retornos de activos
2. α
Para calcular el VaRα(Loss)
a) Mediante simulación:
i. Calcular la Pérdida = PDI * EDI, por evento de default,
ii. Se encuentra el cuantil α
iii. Se requieren por lo menos 30 000 simulaciones. (Dependiendo del
software entre 1 y dos minutos)
b) Analíticamente: Trabajos teóricos menos restrictivos que la formula IRB.
(Gordy, Tasche, Phyntkin, etc)
i. Haciendo supuestos se puede modelar la Función de Probabilidad
acumulada de las perdidas.
ii. Y a partir de la CDF se despeja el cuantil α de la función de pérdidas.

8

Cargas de capital a nivel individual
A nivel individual, se requiere calcular el capital adicional que se
incurre por un determinado Crédito.
1. Mediante simulación:
i. Capital marginal = VaR(Portafolio)-VaR(Portafolio-1)
ii. Se puede tener calculado el VaR( Portafolio) y solo cada vez calcular el
VaR( Portafolio-1) , pero esta diferencia requiere por lo menos 100 000
simulaciones.
iii. Se requiere alternativas menos costosas.

2. Analíticamente:
i. La carga de capital es el cambio en el VaR ante un cambio en el tamaño del

dVaRα (Loss )
portafolio.

 n 
d ∑ (EDI * LGD )
1 
9

Formulación del modelo: Analíticamente
Modelo unifactorial con correlación

xi = ai M + 1− ai2 Z i
La correlacion entre xi y xj es aiaj
La i’ecima empresa incumplirá hasta el momento T
si xi < N-1[PDi] o
N −1[Qi (T ) − ai M ]
Zi <
1 − ai2

La probabilidad de esto es
 N −1 [Q (T )] − a M 
 
PDi (T M ) = N  i i


 1 − ai2



Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 10
2005

Cálculo del VaR a partir del modelo unifactorial

Consideremos un portafolio de créditos muy grande y
perfectamente granular, donde cada uno tiene una
probabilidad de incumplir hasta el momento T de PD.
Suponga que la correlación entre 2 clientes son ρ por lo
tanto todas las ai son ρ
Estamos X% seguros que M es menor que N-1(1−X) =
−N-1(X)
Por lo tanto el VaR de la probabilidad seria:
 N −1 [PD ] + ρ N −1 ( X ) 
 
V ( X ,T ) = N  

 1− ρ 


Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 11
2005

Perdida No Esperada

Esta es la formula de basilea

 N −1 [PD ] + ρ N −1 (0.999) 
 
PNES (0.999, T ) = N   * EAD * LGD

 1− ρ 


Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull
2005 12

Supuestos de las soluciones Analíticas: Resumen
Modelo N Granularidad Parámetros
Simulación
Número Real
Montecarlo Cada exposición Cada exposición tiene
Ajuste de mantiene su su PD y correlación (ρi,
Granularidad peso. pdi)
(Gordy2)
Ajuste de
Granularidad El número de Nuevo PD=Φ(a) y
Semi-Asintótico deudores es Dos portafolios: correlacion(τ).
(Gordy) muy grande Nuevo: u. Previo PD=Φ(c) y
Enfoque (n->∞) Previo: 1-u. correlación ρ, igual
Semi-Asintótico entre deudores
(Tasche)
PD y correlación
Basilea II: IRB Mismo peso (1/n). iguales entre deudores
ρ, pd
13

Modelos de Capital Económico
Se espera que: Las medidas sean crecientes en pi , dado un tamaño y
una correlación.
.4
Requerimiento de capital %

k_tasche0 k_bis20
k_gordy0
.3
.2

Cambios de requerimiento
regulatorio ante cambios en PD
Manteniendo constante :
.1

ρ=0.173, Φ(c)=0.031
α=0.999, u=0.2%
0

0 .1 .2 .3 .4 .5
pi
14

Se espera que: Las medidas sean crecientes en pi , dado un tamaño y
una correlación.
Manteniendo constante : ρ=0.173, Φ(c)=0.031,α=0.999
α
Tasche Bis Gordy
.5
.5

.5

.5

.5
u = .2 % u = .5 % u = .8 % u = 1 .1 % u= 1 .4 %

.4
.4

.4

.4

.4
.3
.3

.3

.3

.3
.2
.2

.2

.2

.2
.1
.1

.1

.1

.1
0

0

0

0

0
0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5
pi pi pi pi pi
15

Se espera que, Las medidas sean crecientes en u, dado una correlación y una
pi.
Σ
u=(edi*pdi)/Σ (edi*pdi)

Cambios de requerimiento regulatorio ante cambios en el tamaño del
.25

Crédito (u)
Manteniendo constante :
ρ=0.173, Φ(c)=0.031
.2

τ=0.229, Φ(a)=0.002
α=0.999
.15

k_tasche0 k_bis20
k_gordy0
.1
.05

0 .02 .04 .06 .08 .1
u
Participación del Crédito en la cartera
16

Cambios de requerimiento regulatorio ante cambios en el tamaño del Crédito (u)
Manteniendo constante : ρ=0.173, Φ(c)=0.031, α=0.999

Tasche Bis Gordy
.6
.6

.6

.6

.6
pd= 1.4 % y corr= 11.98 %
pd= .2 % y corr= 21.73 %

pd= .6 % y corr= 17.81 %

pd= 1.8 % y corr= 9.83 %
pd= 1 % y corr= 14.6 %

.4
.4

.4

.4

.4
.2
.2

.2

.2

.2
0

0

0

0

0
-.2

-.2
-.2

-.2

-.2
0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 . 0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 . 1
u u u u u

Participación del Crédito en la cartera 17

Resultados Portafolio Julio 2009

Concentración, box-plots por deciles de PI
Σ
u=(edi*pdi)/Σ (edi*pdi)
.03
Participación del Crédito

.02
en la cartera
u
.01
0

1 2 3 5 6 7 8 9 10 (total)

18


Se espera que: Las medidas sean crecientes en pi , dado un tamaño
y una correlación.
.25

p_tasche p_bis

p_gordy2
.2
.15
.1
.05
0

0 .2 .4 .6
pi

Probabilidad de Incumplimiento
19

Se espera que, Las medidas sean crecientes en u, dado una correlación y
una pi.
.2

p_tasche p_bis

p_gordy2
.15
.1
.05
0

0 .01 .02 .03
u
Participación del Crédito en la cartera
20

Se espera que, Las medidas sean crecientes en u, dado una correlación y
una pi.
Tasche Bis Gordy
.2

.2

.2

.2

.2

.2
pi= .3 % pi= .5 % pi= 1.09 % pi= 1.28 % pi= 1.63 % pi= 2.27 %

.15

.15

.15
.15

.15

.15
.1

.1

.1

.1

.1

.1
.05

.05

.05
.05

.05

.05
0

0

0

0

0

0
0 .01 .02 .0 3 0 .01 .0 2 .0 3 0 .01 .0 2 .0 3 0 .01 .0 2 .0 3 0 .0 1 .0 2 .0 3 0 .0 1 .0 2 .0 3
u u u u u u

Participación del Crédito en la cartera 21

Se espera que, como mínimo las medidas generen resultados iguales a la
formula de Basilea.
Gordy2 Gordy Tasche
.25

p_irb p_gordy2

.25
.25
p_irb p_gordy p_irb p_tasche

.2
.2

.2
.15

.15
.15

.1
.1

.1
.05

.05
.05

0
0

0

0 .05 .1 .15 .2 .25 0 .05 .1 .15 .2 .25 0 .05 .1 .15 .2 .25
p_irb p_irb p_irb
22

En cuanto a Spread por riesgo, según se mide en la metodología de Pricing
(PI* PDI + K*ROE), se puede observar como el enfoque semiasintotico,
asigna un mayor spread a posiciones con mayor tamaño

0.1%<=u<0.2% 0.1%<=u<0.5% 0.5%<=u<2% u>=2%
.08

.08

.08

.08
. Tasche
Spread por riesgo

. Bis
.06

.06

.06

.06
.04

.04

.04

.04
.02

.02

.02

.02
0

0

0

0
0 .02 .04 .06 .08 0 .02 .04 .06 .08 0 .01 .02 .03 .04 .05 .005 .01 .015 .02
spread_bis spread_bis spread_bis spread_bis
23

Conclusiones
Tanto el Ajuste de Granularidad de Gordy , como el Enfoque
Semiasintotico de Tasche, muestran la relación positiva tanto entre
probabilidad de incumplimiento y requerimiento de capital, como entre
tamaño y requerimiento de capital.
Sin embargo, para niveles de PI superiores a 0.2% el Ajuste de
Granularidad de Gordy, no mantiene esta relación positiva entre tamaño
y requerimiento de capital.
Las relaciones teóricas entre PD y capital, y entre tamaño y capital se
mantienen.
El Ajuste de Gr. de Gordy, genera requerimientos mayores a IRB en
segmentos de alta concentración, pero menores en el resto de
segmentos.
El Enfoque Semiasintotico de Tasche, genera requerimientos mayores a
IRB en segmentos de alta concentración, y no se diferencia de IRB en el
resto de segmentos.

24

Conclusiones
El Ajuste de Granularidad puede generar requerimientos de mas del doble
de IRB en segmentos concentrados pero esto no necesariamente se
mantiene en tramos de mayor PD.
El Enfoque de Tasche, genera requerimientos similares a los encontrados
por Montecarlo, es estable en distintos tramos de pd, y creciente en
tamaño.
El Enfoque de Tasche, no genera incrementos de requerimiento de capital
superiores a 50% de los que se exigiría en IRB.
El Enfoque de Tasche, permite diferenciar por spread de riesgo entre
clientes de distintos tamaños, el spread máximo es comparable con el
spread que se requeriría al utilizar método estándar.

25

FORMULACION
Soluciones Analíticas: Basilea II
Supuestos:
• El numero de deudores es muy grande (n->∞)
• Todas las exposiciones son del mismo tamaño (1/n): Granularidad
• La PD y la correlación entre deudores son las mismas ρ, pd
n
Ln = ∑ ui 1{ ρ X + 1− ρ ξ i ≤ ci }
i =1
• Según Vasicek 1987, 1991:
 1 − ρ * Φ −1 (z ) − Φ −1 ( pd )
P(Li ≤ z ) = Φ  

 ρ 

• Despejando z, n n  Φ −1 ( pd ) + ρ * Φ −1 (α ) 
qα (Ln ) = ∑ ui * zi = ∑ ui Φ  
1 1 
 1− ρ 

 Φ −1 ( pd ) + ρ * Φ −1 (α ) n
qα (Ln ) = Φ   ∑ ui

 1− ρ  1

26

FORMULACION
Soluciones Analíticas: Ajuste de Granularidad de Gordy
Supuestos:
• La PD y la correlación entre deudores no son las mismas ρi, pdi
qα (Ln ) ≈ g n (q1−α ( X )) +
n 2 ρi 
∑ u i φ (H i )[1 − 2Φ (H i )] 
1 − ρi
 i =1


(
 * 2 g n (q1−α ( X ))
|
)−1

g n (q1−α ( X ))  n 2
 
[ ]

||
+ q1−α ( X ) + | ∑ ui Φ (H i ) − Φ ( H i )
2

  g n (q1−α ( X ))  i =1 

donde :
n  ci − ρ i q1−α ( X )  c − ρ i q1−α ( X )
g n ( x) = E (Ln | x ) = ∑ ui Φ   ; Hi = i
 1 − ρi  1 − ρi
i =1  
27

FORMULACION
Soluciones Analíticas: Ajuste de Granularidad semi-asintótico
Supuestos:
• Dos portafolios uno donde la PD y la correlación entre deudores son las
mismas ρ, pd_port=Φ(c), y otro de un solo nuevo credito con pd=Φ(a) y
correlacion(τ) distintas.
• Aplicando estos supuestos sobre la formula de Gordy.
 2 τ 
u φ (K )[1 − 2Φ(K )]  −1
 1 −τ    τ 
  u 1 − τ φ (K )
 

uΦ(K )    τ ρ    
qα (Ln ) ≈  +  (− K )φ (K ) + (1 − u ) (− L)φ (L) * 2 * 

+ (1 − u )Φ(L )  
u 
+ q1−α ( X ) +
1−τ 1− ρ  2
 
[
u Φ( K ) − Φ( K )
2
]
  + (1 − u ) ρ φ (L) 
  
  τ ρ 1− ρ 
  − u φ (K ) + (1 − u ) φ (L)     
 
   1 −τ 1− ρ  
 

donde :
a− τ q1−α ( X ) 
K =


 1 −τ 
c− ρ q1−α ( X ) 
L= 
 1− ρ 
 
n

∑u
i =2
i = 1 − u1
28

FORMULACION
Soluciones Analíticas: Enfoque semi-asintótico de Tasche
Supuestos:
• Dos portafolios uno donde la PD y la correlación entre deudores son las mismas ρ,
pd_port=Φ(c), y otro de un solo nuevo credito con pd=Φ(a) y correlacion(τ)
distintas.
• Se halla numéricamente el z que hace que P[ln(u)<=z]=0.999
n
L n = u 1{ τ X + 1 −τ ξ 1 ≤ a }+ ∑ u 1{ ρ
i=2
i i X + 1− ρ i ξ i ≤ ci }
   z−u 
  c− 1− ρΦ −1
  
P [L n (u ) ≤ z ] = p 1 − p − 1 Φ 2  a ,  1− u  ; τ 
  ρ 
  
  
   z  
  c− 1− ρΦ −1
  
+ (1 − p ) (1 − p ) Φ 2  − a , −
−1 1− u  ; τ 
  ρ 
  
   29

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