1. Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
Địa chỉ: Đường Hoàng Minh Giám, Quận Cầu Giấy, Hà Nội.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ BÀI GIẢNG VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(PHẦN 1)
Giới thiệu: Lê Đức Thuận
r
Chú ý 1: Phương trình mặt phẳng (a ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n = ( A; B; C ) là:
A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0.
Ví dụ 1. (TSCĐ, ABD, 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;1;3) và
x y z -1
đường thẳng d : = = . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc với d .
1 -1 2
uu
r
Lời giải: Ta có VTCP của d là ud = (1; -1; 2 ) .
uu uu
r r
Vì ( P ) ^ d nên VTPT của d là nP = ud = (1; -1; 2 ) .
Từ đó, phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với d là:
1( x - 1) - 1( y - 1) + 2 ( z - 3) = 0 hay ( P ) : x - y + 2 z - 6 = 0 .
r r uu
r r r
Chú ý 2: Nếu u , v là cặp VTCP của mặt phẳng ( P ) thì VTPT của ( P ) là nP = éu; v ù .
ë û
Ví dụ 2. (Đề thi TSĐH, khối B, năm 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
A ( 0;1; 2 ) ; B ( 2; -2;1) ; C ( -2;0;1) . Hãy lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm A, B, C.
Lời giải::
uuur uuur
Ta có AB = ( 2; -3; -1) , AC = ( -2; -1; -1) .
uuu uuur
r
Vì hai vectơ AB, AC không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (a ) nên chúng lập
r uuu uuur æ -3 -1 -1 2 2 -3 ö
r
thành cặp VTCP của (a ) . Do đó n = é AB; AC ù = ç
ë û ; ; ÷ = ( 2; 4; -8 ) .
è -1 -1 -1 -2 -2 -1 ø
r
Chọn n = (1; 2; -4 ) .
r
Phương trình mặt phẳng (a ) đi qua A ( 0;1; 2 ) và có VTPT n = (1; 2; -4 ) là
x + 2 ( y - 1) - 4 ( z - 2 ) = 0 hay x + 2 y - 4 z + 6 = 0 .
Chú ý 3: Để viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d1 và song song với đường
thẳng d 2 ta làm như sau: Trước tiên, ta chọn một điểm A Î d1 thì A sẽ là điểm mà ( P ) đi qua.
uur uur
Sau đó ta viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và có cặp VTCP là ud1 ; ud2 .
1

2. Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
Địa chỉ: Đường Hoàng Minh Giám, Quận Cầu Giấy, Hà Nội.
www.VNMATH.com
Ví dụ 3. (TSĐH, khối A, năm 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1
là giao tuyến của hai mặt phẳng: ( Q ) : x - 2 y + z - 4 = 0; ( R ) : x + 2 y - 2 z + 4 = 0 và đường thẳng
ìx = 1+ t
ï
d 2 : í y = 2 + t . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 và song song với d 2 .
ï z = 1 + 2t
î
Lời giải:
ì -2 y + z = 4 ì y = -2
Gọi A ( 0; y; z ) là điểm nằm trên giao tuyến của (Q ) và ( R) Þ í Ûí
î 2 y - 2 z = -4 îz = 0
Þ A ( 0; -2;0 ) nằm trên ( P ) .
uu
r uu
r uur uu uu
r r
Ta có nQ = (1; -2;1) , nR = (1; 2; -2 ) Þ ud1 = é nQ ; nR ù = ( 2;3; 4 ) .
ë û
uur uur
Vì ( P ) chứa d1 và song song với d 2 nên ud1 ; ud2 là cặp VTCP của ( P). Do đó
uu
r uur uur
nP = éud1 ; ud2 ù = ( 2; 0; -1) .
ë û
Vậy, mặt phẳng ( P ) có phương trình là: 2 x - z = 0 .
Chú ý 4: Để viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d làm như
sau: Trước tiên ta lấy một điểm A nằm trên d. Sau đó ta viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua
uuur uu
r
M và có cặp VTCP là MA; ud .
Ví dụ 4. (CĐ Kỹ thuật Hà Tây, năm 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
M (1;0; -2 ) và đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng ( Q ) : x + z - 3 = 0 và mặt phẳng
( R ) : 2 y - 3z = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d.
Lời giải:
Chọn điểm A ( 3;0; 0 ) nằm trên giao tuyến của ( Q ) và ( R ) suy ra A nằm trên ( P ) .
uuur uu r uu
r uu
r
Ta có MA = ( 2; 0; 2 ) . Mặt khác nQ = (1;0;1) , nR = ( 0; 2; -3) Þ ud = ( -2;3; 2 ) .
uu
r uuur uu
r uur
Ta có nP = é MA; ud ù = ( -6; -8;6 ) Þ có thể chọn nP = ( 3; 4; -3) .
ë û
Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) là 3 x + 4 y - 3 z - 9 = 0 .
Ví dụ 5. (TSĐH, khối D, năm 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x -1 y + 2 z + 1 ìx + y - z - 2 = 0
d1 = = = và d 2 : í . Hãy chứng minh hai đường thẳng d1 ; d 2 song
3 -1 2 î x + 3 y - 12 = 0
song và viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa cả d1 ; d 2 . Đáp số: 15 x + 11 y - 17 z - 10 = 0.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2

3. Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
Địa chỉ: Đường Hoàng Minh Giám, Quận Cầu Giấy, Hà Nội.
www.VNMATH.com
Bài 1. (TSĐH, khối B, năm 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0;1; 2 ) và
ìx = 1+ t
x y -1 z + 3 ï
hai đường thẳng d1 : = = và d 2 : í y = -1 - 2t . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua
2 1 -1 ïz = 2 + t
î
A , đồng thời song song với d1 và d 2 . Đáp số: x + 3 y + 5 z - 13 = 0.
Bài 2. (TSĐH, khối B, năm 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng
ABC. A1 B1C1 với A ( 0; -3;0 ) ; B ( 4; 0;0 ) ; C ( 0;3;0 ) ; B1 ( 4; 0; 4 ) . Gọi M là trung điểm của A1 B1 .
Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A, M và song song với BC1 . Đáp số:
x + 4 y - 2 z + 12 = 0.
Bài 3. (TSCĐ, khối A-B-D, 2009) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A (1;1;1) và
đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0 và ( P2 ) : 3x + 2 y - z + 1 = 0.
1
Đáp số: 4 x - 5 y + 2 z - 1 = 0.
Bài 4. (CĐSP Quảng Ngãi, năm 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng (a ) : 2 x - y + 3z - 5 = 0; ( b ) : x + 2 y - z = 0 và mặt phẳng
( Q ) : x - 2 y + 2 z - 10 = 0. Hãy lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d1 và vuông
góc với ( Q ) . Đáp số: 4 x - 3 y + z - 5 = 0.
3