Enviar pesquisa
Carregar
Bài giảng tích phân pham kimchung
•
1 gostou
•
229 visualizações
Thế Giới Tinh Hoa
Seguir
Denunciar
Compartilhar
Denunciar
Compartilhar
1 de 24
Baixar agora
Baixar para ler offline
Recomendados
Rで解く最適化問題 線型計画問題編
Rで解く最適化問題 線型計画問題編
Hidekazu Tanaka
Bpt mu-logarit-1
Bpt mu-logarit-1
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán tĩnh gia 1 th 2012 lần 2 k ab
Thi thử toán tĩnh gia 1 th 2012 lần 2 k ab
Thế Giới Tinh Hoa
Phan tu bac cao
Phan tu bac cao
Libra LuckyPig
Pt và bpt logarit
Pt và bpt logarit
Thế Giới Tinh Hoa
201 bài tập vi phân
201 bài tập vi phân
Thế Giới Tinh Hoa
Math
Math
Melchor13
Aljabar
Aljabar
Aidia Propitious
Recomendados
Rで解く最適化問題 線型計画問題編
Rで解く最適化問題 線型計画問題編
Hidekazu Tanaka
Bpt mu-logarit-1
Bpt mu-logarit-1
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán tĩnh gia 1 th 2012 lần 2 k ab
Thi thử toán tĩnh gia 1 th 2012 lần 2 k ab
Thế Giới Tinh Hoa
Phan tu bac cao
Phan tu bac cao
Libra LuckyPig
Pt và bpt logarit
Pt và bpt logarit
Thế Giới Tinh Hoa
201 bài tập vi phân
201 bài tập vi phân
Thế Giới Tinh Hoa
Math
Math
Melchor13
Aljabar
Aljabar
Aidia Propitious
Tich phan phamkimchung-www.mathvn.com
Tich phan phamkimchung-www.mathvn.com
Huynh ICT
Tema 3 (Soluciones cálculo de derivadas)
Tema 3 (Soluciones cálculo de derivadas)
jhbenito
[Math educare] 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 1
[Math educare] 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 1
Nguyen Vietnam
Cân bằng hệ số trong bđt AM-GM
Cân bằng hệ số trong bđt AM-GM
Nguyễn Việt Long
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
Sơn DC
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэл
Lhagvadorj_S
20091206 mfcs itsykson_lecture08
20091206 mfcs itsykson_lecture08
Computer Science Club
Nchuong3
Nchuong3
bookbooming1
Mat1 lec12
Mat1 lec12
byambahishig
Math jcskskdkkddjsodu90udsisyshchc kaala mari belajar bersama sama
Math jcskskdkkddjsodu90udsisyshchc kaala mari belajar bersama sama
Ekky Nova
S1 t1 cálculo diferencia_soto elkin
S1 t1 cálculo diferencia_soto elkin
elkin201
1sm ex-logique
1sm ex-logique
Amine Elkhomri
recta numerica
recta numerica
jek422
LINEA RECTA...
LINEA RECTA...
yekaortiz
PropuestanSolucionario 6 por David Hoyos y Andres Mella
PropuestanSolucionario 6 por David Hoyos y Andres Mella
David Steven Hoyos Gil
Lyapunov stability 2
Lyapunov stability 2
อิทธิเดช มูลมั่งมี
Integrales
Integrales
Ilse Jiménez Alarcón
Zetavalue
Zetavalue
guest1637f9
Www.mathvn.com bt-mu logarit-mathvn.com
Www.mathvn.com bt-mu logarit-mathvn.com
hao5433
Phuong trinh nghiem nguyen
Phuong trinh nghiem nguyen
lovemathforever
Thi thử toán quốc oai hn 2012 lần 1 k a
Thi thử toán quốc oai hn 2012 lần 1 k a
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thế Giới Tinh Hoa
Mais conteúdo relacionado
Mais procurados
Tich phan phamkimchung-www.mathvn.com
Tich phan phamkimchung-www.mathvn.com
Huynh ICT
Tema 3 (Soluciones cálculo de derivadas)
Tema 3 (Soluciones cálculo de derivadas)
jhbenito
[Math educare] 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 1
[Math educare] 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 1
Nguyen Vietnam
Cân bằng hệ số trong bđt AM-GM
Cân bằng hệ số trong bđt AM-GM
Nguyễn Việt Long
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
Sơn DC
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэл
Lhagvadorj_S
20091206 mfcs itsykson_lecture08
20091206 mfcs itsykson_lecture08
Computer Science Club
Nchuong3
Nchuong3
bookbooming1
Mat1 lec12
Mat1 lec12
byambahishig
Math jcskskdkkddjsodu90udsisyshchc kaala mari belajar bersama sama
Math jcskskdkkddjsodu90udsisyshchc kaala mari belajar bersama sama
Ekky Nova
S1 t1 cálculo diferencia_soto elkin
S1 t1 cálculo diferencia_soto elkin
elkin201
1sm ex-logique
1sm ex-logique
Amine Elkhomri
recta numerica
recta numerica
jek422
LINEA RECTA...
LINEA RECTA...
yekaortiz
PropuestanSolucionario 6 por David Hoyos y Andres Mella
PropuestanSolucionario 6 por David Hoyos y Andres Mella
David Steven Hoyos Gil
Lyapunov stability 2
Lyapunov stability 2
อิทธิเดช มูลมั่งมี
Integrales
Integrales
Ilse Jiménez Alarcón
Zetavalue
Zetavalue
guest1637f9
Www.mathvn.com bt-mu logarit-mathvn.com
Www.mathvn.com bt-mu logarit-mathvn.com
hao5433
Phuong trinh nghiem nguyen
Phuong trinh nghiem nguyen
lovemathforever
Mais procurados
(20)
Tich phan phamkimchung-www.mathvn.com
Tich phan phamkimchung-www.mathvn.com
Tema 3 (Soluciones cálculo de derivadas)
Tema 3 (Soluciones cálculo de derivadas)
[Math educare] 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 1
[Math educare] 201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan 1
Cân bằng hệ số trong bđt AM-GM
Cân bằng hệ số trong bđt AM-GM
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
201-bai-tap-phuong-trinh-vi-phan
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэл
20091206 mfcs itsykson_lecture08
20091206 mfcs itsykson_lecture08
Nchuong3
Nchuong3
Mat1 lec12
Mat1 lec12
Math jcskskdkkddjsodu90udsisyshchc kaala mari belajar bersama sama
Math jcskskdkkddjsodu90udsisyshchc kaala mari belajar bersama sama
S1 t1 cálculo diferencia_soto elkin
S1 t1 cálculo diferencia_soto elkin
1sm ex-logique
1sm ex-logique
recta numerica
recta numerica
LINEA RECTA...
LINEA RECTA...
PropuestanSolucionario 6 por David Hoyos y Andres Mella
PropuestanSolucionario 6 por David Hoyos y Andres Mella
Lyapunov stability 2
Lyapunov stability 2
Integrales
Integrales
Zetavalue
Zetavalue
Www.mathvn.com bt-mu logarit-mathvn.com
Www.mathvn.com bt-mu logarit-mathvn.com
Phuong trinh nghiem nguyen
Phuong trinh nghiem nguyen
Destaque
Thi thử toán quốc oai hn 2012 lần 1 k a
Thi thử toán quốc oai hn 2012 lần 1 k a
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thế Giới Tinh Hoa
Baigiang18 phương trình lượng giác
Baigiang18 phương trình lượng giác
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán trần phú ht 2012 lần 2
Thi thử toán trần phú ht 2012 lần 2
Thế Giới Tinh Hoa
1 ung dung tphan 2
1 ung dung tphan 2
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán phan bội châu py 2012
Thi thử toán phan bội châu py 2012
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Thế Giới Tinh Hoa
Chiếc vé vào cổng thiên đường xanh (tuyển tập truyện ngắn)truonghocso.com
Chiếc vé vào cổng thiên đường xanh (tuyển tập truyện ngắn)truonghocso.com
Thế Giới Tinh Hoa
Sáng kiến kinh ngiệm 2009
Sáng kiến kinh ngiệm 2009
Thế Giới Tinh Hoa
Thi thử toán minh khai ht 2012 lần 3
Thi thử toán minh khai ht 2012 lần 3
Thế Giới Tinh Hoa
Bất đẳng thức tích phân
Bất đẳng thức tích phân
Thế Giới Tinh Hoa
Dãy số nguyễn tất thu
Dãy số nguyễn tất thu
Thế Giới Tinh Hoa
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Thế Giới Tinh Hoa
Giới hạn và liên tục
Giới hạn và liên tục
Thế Giới Tinh Hoa
Dãy số vmo2009
Dãy số vmo2009
Thế Giới Tinh Hoa
Nang luc truyen thong
Nang luc truyen thong
Thế Giới Tinh Hoa
Phân tích tác phẩm bếp lửa của bằng việttruonghocso.com
Phân tích tác phẩm bếp lửa của bằng việttruonghocso.com
Thế Giới Tinh Hoa
Destaque
(17)
Thi thử toán quốc oai hn 2012 lần 1 k a
Thi thử toán quốc oai hn 2012 lần 1 k a
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Baigiang18 phương trình lượng giác
Baigiang18 phương trình lượng giác
Thi thử toán trần phú ht 2012 lần 2
Thi thử toán trần phú ht 2012 lần 2
1 ung dung tphan 2
1 ung dung tphan 2
Thi thử toán phan bội châu py 2012
Thi thử toán phan bội châu py 2012
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Chiếc vé vào cổng thiên đường xanh (tuyển tập truyện ngắn)truonghocso.com
Chiếc vé vào cổng thiên đường xanh (tuyển tập truyện ngắn)truonghocso.com
Sáng kiến kinh ngiệm 2009
Sáng kiến kinh ngiệm 2009
Thi thử toán minh khai ht 2012 lần 3
Thi thử toán minh khai ht 2012 lần 3
Bất đẳng thức tích phân
Bất đẳng thức tích phân
Dãy số nguyễn tất thu
Dãy số nguyễn tất thu
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Giới hạn và liên tục
Giới hạn và liên tục
Dãy số vmo2009
Dãy số vmo2009
Nang luc truyen thong
Nang luc truyen thong
Phân tích tác phẩm bếp lửa của bằng việttruonghocso.com
Phân tích tác phẩm bếp lửa của bằng việttruonghocso.com
Mais de Thế Giới Tinh Hoa
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Thế Giới Tinh Hoa
Lỗi web bachawater
Lỗi web bachawater
Thế Giới Tinh Hoa
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Thế Giới Tinh Hoa
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Thế Giới Tinh Hoa
thong tin lam viec tren lamchame
thong tin lam viec tren lamchame
Thế Giới Tinh Hoa
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Thế Giới Tinh Hoa
Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6
Thế Giới Tinh Hoa
Huongdansudung izishop
Huongdansudung izishop
Thế Giới Tinh Hoa
Ho so nang luc cong ty
Ho so nang luc cong ty
Thế Giới Tinh Hoa
seo contract
seo contract
Thế Giới Tinh Hoa
di google cong
di google cong
Thế Giới Tinh Hoa
E1 f4 bộ binh
E1 f4 bộ binh
Thế Giới Tinh Hoa
E2 f2 bộ binh
E2 f2 bộ binh
Thế Giới Tinh Hoa
E3 f1 bộ binh
E3 f1 bộ binh
Thế Giới Tinh Hoa
E2 f1 bộ binh
E2 f1 bộ binh
Thế Giới Tinh Hoa
E1 f1 bộ binh
E1 f1 bộ binh
Thế Giới Tinh Hoa
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Thế Giới Tinh Hoa
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Thế Giới Tinh Hoa
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Thế Giới Tinh Hoa
Những bài văn hay về nghị luận xã hộitruonghocso.com
Những bài văn hay về nghị luận xã hộitruonghocso.com
Thế Giới Tinh Hoa
Mais de Thế Giới Tinh Hoa
(20)
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Lỗi web bachawater
Lỗi web bachawater
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
thong tin lam viec tren lamchame
thong tin lam viec tren lamchame
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6
Huongdansudung izishop
Huongdansudung izishop
Ho so nang luc cong ty
Ho so nang luc cong ty
seo contract
seo contract
di google cong
di google cong
E1 f4 bộ binh
E1 f4 bộ binh
E2 f2 bộ binh
E2 f2 bộ binh
E3 f1 bộ binh
E3 f1 bộ binh
E2 f1 bộ binh
E2 f1 bộ binh
E1 f1 bộ binh
E1 f1 bộ binh
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn hay về nghị luận xã hộitruonghocso.com
Những bài văn hay về nghị luận xã hộitruonghocso.com
Bài giảng tích phân pham kimchung
1.
Së GD &
§t nghÖ an Tr−êng THPT §Æng thóc høa sin4x + cos2x ∫ sin x + cos x dx 6 6 tÝch ph©n 1 ( x +1) - ( x -1) 6 6 dx I= ∫ 8 x +1 2 ∫ = dx = ... x 8 +1 Gi¸o viªn : Ph¹m Kim Chung Tæ : To¸n N¨m häc : 2007 - 2008
2.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 “ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng, ng−êi ta ®i l¾m th× thμnh ®−êng th«i ! ” - Lç TÊn - ViÕt mét cuèn tμi liÖu rÊt khã, ®Ó viÕt cho hay cho t©m ®¾c l¹i ®ßi hái c¶ mét ®¼ng cÊp thùc sù ! Còng may t«i kh«ng cã t− t−ëng lín cña mét nhμ viÕt s¸ch, còng kh«ng hy väng ë mét ®iÒu g× ®ã lín lao v× t«i biÕt n¨ng lùc vÒ m«n To¸n lμ cã h¹n .. Khi t«i cã ý t−ëng viÕt ra nh÷ng ®iÒu t«i gom nhÆt ®−îc t«i chØ mong sao qua tõng ngμy m×nh sÏ lÜnh héi s©u h¬n vÒ m«n To¸n s¬ cÊp..qua tõng tiÕt häc nh÷ng häc trß cña t«i bít b¨n kho¨n, ng¬ ng¸c h¬n.. Vμ nÕu cßn ai ®äc bμi viÕt nμy nghÜa lμ ®©u ®ã t«i ®ang cã nh÷ng ng−êi thÇy, ng−êi b¹n cïng chung mét niÒm ®am mª sù diÖu k× To¸n häc . Thö gi¶i mét bμi to¸n khã…... nh−ng ch−a thËt hμi lßng ! 1 ( x + 1) - ( x - 1) 1 ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( 2 - 1) x ⎦ 1 (x ( - 1) ⎡ x 4 - 2x 2 + 1 + 2 + 1 x 2 ⎤) ( ) 6 6 ⎡ 2 ⎤ 4 2 2 2 dx ⎣ ⎦ dx ∫ x8 + 1 = 2∫ dx = 2∫ dx + 2∫ (x + 1) - ( 2x ) (x + 1) - ( 2x ) ( x 4 + 1) - ( 2x 2 ) 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 x2 + 1 ( 2 -1 ) ( x + 1) x 2 2 1 x2 - 1 ( 2 +1 ) (x 2 - 1) x 2 = 2 ∫ x 4 + 2x2 + 1 dx + 2 ∫ (x 4 )( - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1 ) dx + 2 ∫ x 4 + 2x2 + 1 dx + 2 ∫ (x 4 )( - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1 ) 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 1+ 2 2 -1 ( ⎝ ) ⎜ 1+ 2 ⎟ dx x ⎠ 1 1- 2 2 +1 ⎜ 1 - 2 ⎟ dx ⎝ x ⎠ ( ) = ∫ 2 x dx + ∫ ⎡⎛ 1 ⎞2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ + 2 x dx + ∫ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ ( ) 2 2 2 ⎛ 1⎞ 1⎞ ( ) ( ) 2 1⎞ 2 1⎞ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎢ ⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎝ x⎠ ⎢ ⎣ ⎝ x⎠ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎝ x⎠ ⎥ ⎦ ⎝ x⎠ ⎢ ⎣ ⎝ x⎠ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎝ x⎠ ⎥ ⎦ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 = ∫ d⎜x - ⎟ ⎝ x⎠ 2 -1 ( d⎜x - ⎟ ⎝ x⎠ ) 2 -1 d⎜x - ⎟ ⎝ x⎠ 1 ( ⎝ ) d⎜x + ⎟ x⎠ 2 +1 d⎜x + ⎟ ⎝ x⎠ 2 +1 d⎜x + ⎟ ⎝ x⎠ ( ) ( ) 4 2 ∫ ⎡⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ + - + + - 2 ⎤ 2 ⎤ ⎤ ( ) 2 2 2 2 2 ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎝ x⎠ 1⎞ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ 1⎞ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎝ x⎠ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ( ) ( ) ⎣⎝ ⎢ x⎠ ⎥ ⎦ ⎣⎝ ⎢ x⎠ ⎥ ⎦ ⎢⎝ ⎣ x⎠ ⎥ ⎦ ⎢⎝ ⎣ x⎠ ⎥ ⎦ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎜x + ⎟ - 2+ 2 ln ⎝ x⎠ ln ⎝ 2+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2 x⎠ 1 = u+ v+ + +C ( Víi x - = 2 + 2 tgu = 2 - 2 tgv ) 8 8 16 ⎛ 1⎞ 16 ⎛ 1⎞ x ⎜x + ⎟+ 2- 2 ⎜x + ⎟+ 2+ 2 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ (NÕu dïng kÕt qu¶ nμy ®Ó suy ng−îc cã t×m ®−îc lêi gi¶i hay h¬n ?.. ) _____________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 __________________________________ Trang 1
3.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 PhÇn lý thuyÕt §Þnh nghÜa : Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vμ b lμ hai phÇn tö bÊt k× cña K, F(x) lμ mét nguyªn hμm cña f(x) trªn K . HiÖu sè F(b) - F(a) ®−îc gäi lμ tÝch ph©n tõ a ®Õn b cña f(x) vμ ®−îc kÝ hiÖu lμ b b ∫ f ( x )dx . Ta dïng kÝ hiÖu F ( x ) a ®Ó chØ hiÖu sè : F(b) – F(a) a b b C«ng thøc Newton – Laipnit : ∫ f ( x )dx = a F (x) a = F(b) – F(a) 1 x3 1 1 3 = (1 − 03 ) = 1 ∫ x dx = 2 VÝ dô : 0 3 0 3 3 b Chó ý : TÝch ph©n ∫ f ( x )dx a chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phô thuéc vμo kÝ hiÖu biÕn sè tÝch ph©n . V× vËy ta b b b cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) = ∫ f ( x )dx = a ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du ... a a C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n . a 1. ∫ f ( x )dx = 0 a b a 2. ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx a b b b b 3. ∫ ⎡αf ( x ) ± βg ( x )⎤dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx a ⎣ ⎦ a a e e e ⎛ 3⎞ e e VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x 2 + 3 ln x = ( e2 − 1) + 3 (1 − 0 ) = e2 + 2 1 1⎝ x⎠ 1 1 x 1 1 c b c 4. ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx a a b 1 0 1 0 1 x2 0 x2 1 VD : −1 ∫ x dx = ∫ −1 x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = − 0 −1 0 + 2 −1 2 0 =1 b 5. f(x) ≥ 0 trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ a 0 b b 6. f(x) ≥ g(x) trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a π π 2 2 VD : Chøng minh r»ng : ∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx 0 0 b b b 7. m ≤ f(x) ≤ M trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a) a a a 2 ⎛ 1⎞ 5 VD : Chøng minh r»ng : 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1⎝ x⎠ 2 1 5 HD . Kh¶o s¸t hμm sè y = x + trªn ®o¹n [1; 2] ta cã : max y = ; min y = 2 x [1;2] 2 [1;2] 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 2
4.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 2 2 ⎛ 1⎞ 5 2 2 2⎛ 1⎞ 5 2 2 ⎛ 1⎞ 5 Do ®ã : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 1 ⎝ x⎠ 21 1 1⎝ x⎠ 2 1 1 ⎝ x⎠ 2 PhÇn ph−¬ng ph¸p Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : t = v(x) . 1 x VD . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 2 dx 0 x +1 §Æt : t = x 2 + 1 . Khi x= 0 th× t=1, khi x=1 th× t=2 . dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx . Do ®ã : 2 1 2 x 1 dt 1 2 1 I=∫ 2 dx = ∫ = ln t = ln 2 0 x +1 21 t 2 1 2 b b Quy tr×nh gi¶i to¸n . ∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx a a B−íc 1 . §Æt t = v(x) , v(x) cã ®¹o hμm liªn tôc, ®æi cËn . B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b) B−íc 3 . TÝnh ∫ v(a) g ( t )dt . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : e2 2 1 3 dx dx x 2 dx xdx 1. ∫ e x ln x 2. ∫ ( 2x − 1) 1 2 3. ∫ x3 + 1 0 4. ∫x 4 −1 2 π 2 1 4 dx dx dx 5. ∫ sin3 x π 6. ∫ ( 2x + 1) 0 x +1 7. ∫ x (1 + 1 x ) 4 Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : x = u(t) . 1 sinx VD . TÝnh tÝch ph©n : ∫ 0 1 − x 2 dx ⎛ ⎡ π π⎤⎞ π §Æt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t= ⎝ ⎣ 2 2⎦ ⎠ 2 ⎡ π⎤ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡0;1⎤ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt . ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ O cosx π π π 1 2 2 2 Do ®ã : ∫ 1 − x dx = 2 ∫ 1 − sin t cos tdt = 2 ∫ cos t cos tdt = ∫ cos 2 tdt = 0 0 0 0 π π 2 1 + cos 2t 1⎛ 1 ⎞ π =∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ 2 = 0 2 2⎝ 2 ⎠0 4 b Quy tr×nh gi¶i to¸n . ∫ f ( x )dx a B−íc 1 . §Æt x = u(t), t ∈ ⎡α; β⎤ sao cho u(t) cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n ⎡α; β⎤ , f(u(t)) ®−îc x¸c ®Þnh trªn ®o¹n ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣α; β⎦ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b . ⎡ ⎤ 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 3
5.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β B−íc 3 . TÝnh ∫ g ( t )dt α . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1 1 2 1 dx dx dx 1. ∫ 2. ∫ 3. ∫x 0 1 + x2 0 1− x 2 0 2 + x +1 5 5+x 1 1 2 ∫ 1 − x 2 dx ∫ 1 + x 2 dx ∫ 2 3 4. x 5. x 6. dx ( §Æt x=5cos2t) 0 0 0 5−x Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : u(x) = g(x,t) 1 VD1 . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 0 1 + x 2 dx t2 − 1 C¸ch (1) §Æt 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x = 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do ®ã : 2t 2 1⎛ 1 ⎞ 1− 2 1− 2 4 1− 2 1− 2 1− 2 − t2 − 1 t2 + 1 1 t + 2t 2 + 1 1 I= ∫ . 2 dt = − ∫1 dt = − ⎜ ∫ tdt + 2 ∫ dt + ∫ 3 dt ⎟ = 2t 2t 4 − t 3 ⎜ 4 ⎝ −1 t t ⎟ −1 −1 −1 ⎠ t2 1 − 2 1 1− 2 1 1− 2 = − 8 −1 − ln t 2 −1 + 2 8t −1 1 = − ln 2 ( 2 −1 + ) 2 2 ⎡ π⎤ π C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = ⎣ ⎦ ⎣ 4⎦ 4 1 vμ dx= dt . Do ®ã : cos2 t π π π π π 1 4 1 4 1 1 4 1 4 cos t 4 d ( sin t ) ∫ 1 + x 2 dx = ∫ 1 + tg 2 t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ = (1 − sin t ) 2 0 0 cos 2 t 0 2 cos t cos t 3 0 cos t 4 0 cos t 0 2 π 2 π 2 1 4 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ 1 1 ⎤ = ∫⎢ ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ + ⎥ d ( sin t ) = 4 0 ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ π 2 π π π 1 ⎡ 4 1 1 ⎤ 1 4 d (1 − sin t ) 1 4 d ( sin t ) 1 4 d (1 + sin t ) = ∫⎢ + ⎥ d ( sin t ) = − ∫ + ∫ + ∫ = 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ 4 0 (1 − sin t ) 2 2 0 (1 − sin t )(1 + sin t ) 4 0 (1 + sin t )2 π π π π 1 1 + sin t 1 1 + sin t 1 ⎡ 1 = .⎢ − 1 ⎤ ⎥ 4 + ln 4= 1 sin t 4 ⎣1 − sin t 1 + sin t ⎦ 0 4 1 − sin t 0 2 cos t 0 4 1 − sin t 0 2 4 + ln 1 4 = − ln 2 − 1 + 2 2 2 . ( ) B×nh luËn : Bμi to¸n nμy cßn gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Cßn víi 2 c¸ch gi¶I trªn râ rμng khi b¾t gÆp c¸ch 1) ta nghÜ r»ng nã sÏ chøa ®ùng nh÷ng phÐp tÝnh to¸n phøc t¹p cßn c¸ch 2) sÏ chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n ®¬n gi¶n h¬n. Nh−ng ng−îc l¹i sù suy ®o¸n - c¸ch 2) l¹i chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n dμi dßng vμ nÕu qu¶ thËt kh«ng kh¸ tÝch ph©n th× ch−a h¼n ®· lμ ®−îc hoÆc lμm ®−îc mμ l¹i dμi dßng h¬n . 1 1 VD2 . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 0 1 + x2 dx 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 4
6.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 t2 − 1 C¸ch (1) §Æt 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x = 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do ®ã : 2t 2 1− 2 1− 2 −2t t 2 + 1 1 I= ∫ 2 . dt = − ∫ dt = −1 t + 1 2t 2 −1 t 1− 2 = − ln t −1 = − ln ( 2 −1 ) ⎡ π⎤ π C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = ⎣ ⎦ ⎣ 4⎦ 4 1 vμ dx= dt . cos2 t π π π π 1 4 4 4 4 1 1 1 cos t 1 cos t Do ®ã : ∫ 0 1 + x2 dx = ∫ 0 1 + tg t 2 2 cos t dt = ∫ 0 2 cos t dt = ∫ 0 cost dt = ∫ 0 cos2 t dt = π π d ( sin t ) 1 1 − sin t ( ) 4 = ∫ (1 − sin t ) 0 2 = ln 4 = − ln 2 1 + sin t 0 2 −1 . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 2 2 0 x2 1. ∫ 1 x 2 − 1dx 2. ∫ 1 x2 − 1 dx 3. ∫ −1 x 2 + 2x + 2dx 1 2 −1 1 dx dx xdx 4. ∫1+ 0 x − 4x + 3 2 5. ∫ 1+ −2 1 − 2x − x 2 6. ∫x+ 0 x2 − 1 Chó ý : Khi ®øng tr−íc mét bμi to¸n tÝch ph©n, kh«ng ph¶i bμi to¸n nμo còng xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó chóng ta sö dông ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè . Cã nhiÒu bμi to¸n ph¶i qua 1 hay nhiÒu phÐp biÕn ®æi míi xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó ®Æt Èn phô ( sÏ nãi ®Õn ë phÇn Ph©n Lo¹i C¸c d¹ng To¸n ) Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . NÕu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm sè cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× : b b b ∫ u ( x )v' ( x ) dx = ( u ( x ) .v ( x ) ) - ∫ v ( x )u' ( x ) dx a a a hay b b b ∫ u ( x )dv = ( u ( x ) .v ( x ) ) a a ∫ - v ( x )du a π 2 VD1. TÝnh ∫ x cos xdx 0 ⎧u=x ⎧du = dx §Æt ⎨ , ta cã : ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 5
7.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 π π π 2 π 2 π π ∫ x cos xdx = ( x sin x ) 2 − ∫ sin xdx = 2 + cosx 2 = 2 − 1 0 0 0 0 ⎧u = cosx NhËn xÐt : Mét c©u hái ®Æt ra lμ ®Æt ⎨ cã ®−îc kh«ng ? ⎩ dv = xdx π π π π 2 ⎛ x2 ⎞ 12 2 ∫ x cos xdx = ⎜ cosx ⎟ 2 + ∫ x 2 sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫x 2 Ta h·y thö : sin xdx cßn phøc t¹p h¬n tÝch 0 ⎝ 2 ⎠ 0 20 0 ph©n cÇn tÝnh . VËy viÖc lùa chän u vμ dv quyÕt ®Þnh rÊt lín trong viÖc sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Ta h·y xÐt mét VD n÷a ®Ó ®i t×m c©u tr¶ lêi võa ý nhÊt ! 2 ln x VD2. TÝnh ∫ 5 dx 1 x ⎧ 1 ⎪u = 5 Ta thö ®Æt : ⎨ x râ rμng ®Ó tÝnh v= ∫ ln xdx lμ mét viÖc khã kh¨n ! ⎪ dv = ln xdx ⎩ ⎧ 1 ⎧ u = ln x ⎪ du = x ⎪ ⎪ Gi¶i . §Æt ⎨ 1 ta cã : ⎨ ⎪dv = x 5 dx ⎪ v = 1 dx = − 1 ⎩ ⎪ ⎩ ∫ x5 4x 4 2 2 ln x ⎛ ln x ⎞ 2 1 dx ln 2 1 ⎛ 1 ⎞ 2 15 ln 2 Do ®ã : ∫ 5 dx = ⎜ − 4 ⎟ + ∫ 5 = − + ⎜− ⎟1= − 1 x ⎝ 4x ⎠ 1 4 1 x 64 4 ⎝ 4x 4 ⎠ 256 64 NhËn xÐt : Tõ 2 VD trªn ta cã thÓ rót ra mét nhËn xÐt ( víi nh÷ng tÝch ph©n ®¬n gi¶n ) : ViÖc lùa chän u vμ dv ph¶i tho¶ m·n : 1 du ®¬n gi¶n, v dÔ tÝnh . 2 TÝch ph©n sau ( ∫ vdu ) ph¶i ®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©n cÇn tÝnh ( ∫ udv ) . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π π 1 1 2 6 1 ∫ xe dx ∫ ∫ ( x − 1)cosxdx ∫ ( 2 − x ) sin 3xdx ∫x e x 3x 2 −x 1. 2 . xe dx 3. 4. 5. dx 0 0 0 0 0 π π 2 2 e 5 e ∫ ∫ ∫ 9. 2x ln ( x − 1)dx ∫ ∫ ( ln x ) dx 2 2 6 . x sin xdx 7. e x cosxdx 8. ln xdx 10. 0 0 1 2 1 Mçi d¹ng to¸n chøa ®ùng nh÷ng ®Æc thï riªng cña nã ! PhÇn ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n TÝch ph©n cña c¸c hμm h÷u tû P (x) A. D¹ng : I = ∫ dx ( a ≠ 0) ax + b 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 6
8.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 α α C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫ dx = ln ax + b + C ax + b a TÝnh I1 = x + 1 dx ∫ x −1 TÝnh I2 = x − 5 dx 2 ∫ x +1 x3 TÝnh I3 = ∫ 2x + 3 dx Ph−¬ng ph¸p : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng : α I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ dx ( Trong ®ã Q(x) lμ hμm ®a thøc viÕt d−íi d¹ng khai triÓn ) ax + b P (x) B. D¹ng : I = ∫ 2 dx ( a ≠ 0) ax + bx + c 1. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c cã hai nghiÖm ph©n biÖt . u' ( x ) C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C 2 ☺ TÝnh I = ∫x 2 −4 dx C¸ch 1. ( ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ) ⎧ 1 2 A B ⎧A + B = 0 ⎪A = 2 ⎪ = + ⇒ 2 ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ ⇔ ⎨ x −4 x −2 x +2 ⎩A − B = 1 2 ⎪B = − 1 ⎪ ⎩ 2 2 1 1 1 1 1 x −2 Do ®ã : I = ∫x 2 −4 dx = ∫ 2 x −2 dx - ∫ 2 x+2 dx = ln 2 x+2 +C C¸ch 2. ( ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ) 2 1 ⎡ 2x 2x − 4 ⎤ 1 Ta cã : I = ∫ 2 dx = ⎢ ∫ 2 dx − ∫ 2 dx ⎥ = ln x 2 − 4 − ln x + 2 + C x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ 2 α < Tæng qu¸t >TÝnh I = ∫ 2 dx x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx 9 − x2 3x + 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 5x + 6 3x 3 TÝnh I = ∫ x 2 − 3x + 2 dx Ph−¬ng ph¸p : Khi bËc cña ®a thøc P(x) <2 ta sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh hoÆc ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu. Khi bËc cña ®a thøc P(x) ≥ 2 ta sö dông phÐp chia ®a thøc ®Ó ®−a tö sè vÒ ®a thøc cã bËc < 2 . 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 7
9.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 2. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( αx + β )2 cã nghiÖm kÐp . u' ( x ) 1 C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫u 2 (x) dx = − u(x) +C 1 d ( x − 2) 1 TÝnh I = ∫ dx = ∫ =− +C x 2 − 4x + 4 ( x − 2) x −2 2 4x TÝnh I = ∫ 4x 2 − 4x + 1 dx . ⎧ dt ⎪ dx= §Æt : 2x – 1 = t ⇒ ⎨ 2 , lóc ®ã ta cã : ⎪2x = t + 1 ⎩ t +1 dt dt 2 I = 2∫ 2 dx = 2∫ + 2∫ 2 = 2 ln t − + C t t t t x −3 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 4x + 4 x3 TÝnh I = ∫ 2 dx x + 2x + 1 t −β Ph−¬ng ph¸p : §Ó tr¸nh phøc t¹p khi biÕn ®æi ta th−êng ®Æt : αx + β = t ⇒ x = vμ thay vμo biÓu thøc α trªn tö sè . 3. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c v« nghiÖm . 1 TÝnh I = ∫x 2 +1 dx 1 §Æt : x = tgα ⇒ dx = dα , ta cã : cos2 α 1 I= ∫ cos α ( tg α + 1) dα = ∫ dα = α + C 2 2 , víi ( tgα = x ) 1 a < Tæng qu¸t > TÝnh I = ∫ dx . HD §Æt x = atgα ⇒ dx = dα , ta cã : x + a2 2 cos 2 α dα α I= ∫ a = +C a 2 TÝnh I = ∫ x 2 + 2x + 2 dx 2x + 1 TÝnh I = ∫ x 2 + 2x + 5 dx x2 TÝnh I = ∫ x 2 + 4 dx x3 TÝnh I = ∫ x 2 + 9 dx P (x) C. D¹ng : I = ∫ dx (a ≠ 0) ax + bx 2 + cx + d 3 1. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm béi ba. 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 8
10.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 1 1 C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫x dx = − +C ( n ≠ 1) n ( n − 1) x n −1 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 ( x − 1) −2 1 1 dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) = −3 NÕu x > 1 , ta cã : I = ∫ +C= − +C . ( x − 1) −2 2 ( x − 1) 3 2 (1 − x ) −2 1 1 dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = −3 NÕu x < 1 , ta cã : I = − ∫ +C = − +C (1 − x ) −2 2 ( x − 1) 3 2 1 1 VËy : I = ∫ dx = − +C ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 2 1 Chó ý : = x − m , víi x > 0 xm x TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 t +1 ⎛1 1 ⎞ 1 1 §Æt : x – 1 = t ta cã : I = ∫ dt = ∫ ⎜ 2 + 3 ⎟dt = − − 2 + C t3 ⎝t t ⎠ t 2t x2 − 4 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 x3 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 x4 TÝnh I = ∫ dx ( x + 1) 3 2. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã hai nghiÖm . 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 1)( x + 1) 2 1 dt §Æt : x + 1 = t , ta cã : I = ∫ t ( t − 2 ) dt = ∫ t 2 3 − 2t 2 C¸ch 1 < Ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu > 1 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t 2 − 4t − 4 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t + 2 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3 2 ⎞ Ta cã : 3 = 3 − ⎜ ⎟= − ⎜ ⎟= − ⎜ + ⎟ t − 2t 2 t − 2t 2 4 ⎝ t 3 − 2t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t t2 ⎠ 3t 2 − 4t 1 ⎛3 2 ⎞ 3 1 ∫ t3 − 2t2 dt − 4 ∫ ⎜ t + t2 ⎟dt = ln t − 2t − 4 ln t + 2t + C . Do ®ã : I = 3 2 ⎝ ⎠ C¸ch 2 < Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh > ⎧ 1 ⎪B = − 2 ⎧ −2B = 1 ⎪ 1 At + B C ⎪ ⎪ 1 = + ⇒ 1 ≡ ( A + C ) t + ( −2A + B ) t − 2B ⇒ ⎨−2A + B = 0 ⇒ ⎨ A = − 2 t − 2t 3 2 t 2 t−2 ⎪ A+C =0 ⎪ 4 ⎩ ⎪ 1 ⎪ C=4 ⎩ 1 1 ⎡t + 2 1 ⎤ 1 ⎡1 2 1 ⎤ 1⎡ 2 ⎤ Do ®ã : ∫t 3 − 2t 2 dt = − ∫ ⎢ 2 − 4⎣ t ⎥ dt = − ∫ 4 ⎢ t + t 2 − t − 2 ⎥ dt = − 4 ⎢ln t − t − ln t − 2 ⎥ + C t − 2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 9
11.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 Ph−¬ng ph¸p “nh¶y tÇng lÇu” ®Æc biÖt cã hiÖu qu¶ khi tö sè cña ph©n thøc lμ mét h»ng sè . Ph−¬ng ph¸p “hÖ sè bÊt ®Þnh” : bËc cña ®a thøc trªn tö sè lu«n nhá h¬n bËc mÉu sè 1 bËc . 2x + 1 TÝnh I = ∫ x ( x − 2 ) dx 2 §Ó sö dông ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ta sÏ ph©n tÝch nh− sau : 2x + 1 2 1 = + x2 ( x − 2) x ( x − 2) x2 ( x − 2) x2 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) ( x + 2 ) 2 x2 Ax + B C Sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh : = + ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) x+2 2 2 ≡ ( x + 2 )( Ax + B ) + C ( x − 1) 2 Do ®ã : x 2 4 Cho : x=-2, suy ra : C = 9 2 x=0 , suy ra : B = − 9 5 x=1, suy ra : A = 9 Ph−¬ng ph¸p trªn gäi lμ ph−¬ng ph¸p “g¸n trùc tiÕp gi¸ trÞ cña biÕn sè” ®Ó t×m A, B, C. x3 − 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x + 2x 2 + x 3. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã ba nghiÖm ph©n biÖt . 1 ☺ TÝnh I = ∫ x (x 2 − 1) dx 1 ⎡ 3x 2 − 1 3x 2 − 3 ⎤ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 C¸ch 1. Ta cã : ⎢ 3 − = ⎥= ⎢ 3 − ⎥ x ( x − 1) 2 ⎢ x − x x ( x 2 − 1) ⎥ 2 ⎣ x − x x ⎦ ⎣ 2 ⎦ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 3 Do ®ã : I = ∫ ⎢ 3 − ⎥ dx = ln x 3 − x − ln x + C 2⎣ x − x x⎦ 2 2 ⇒ 1 ≡ A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) 1 A B C C¸ch 2 . Ta cã : = + + x ( x 2 − 1) x x − 1 x + 1 Cho x=0, suy ra A = -1 . 1 x=1, suy ra B = 2 1 x=-1, suy ra C = 2 1 Do ®ã : I = − ln x + ln x − 1 + C 2 2 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 10
12.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 x +1 TÝnh I = ∫ x (x 2 − 4) dx x2 TÝnh I = ∫ dx ( x 2 − 1) ( x + 2 ) x3 TÝnh I = ∫ (x 2 − 1) ( x − 2 ) dx dx TÝnh I = ∫ ( 2x + 1) ( 4x 2 + 4x + 5 ) dt §Æt : 2x + 1 =t ⇒ dx = , ta cã : 2 1 dt 1 ⎡ 3t 2 − 6 3t 2 − 18 ⎤ 1 I= 2 ∫ t ( t2 − 6 ) 24 ⎢ t − 6t = ⎢∫ 3 dt − ∫ 2 dt ⎥ = t ( t − 6 ) ⎥ 24 ln t 3 − 6t − 3 ln t + C ⎣ ⎦ 4. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm (kh¸c béi ba) 1 ☺ TÝnh I = ∫ 3 dx x −1 §Æt x – 1 = t ⇒ dx = dt , ta cã : dt 1 ⎡ t 2 + 3t + 3 t 2 + 3t ⎤ 1 ⎡ dt t+3 ⎤ I= ∫ 2 = ⎢∫ 2 dt − ∫ 2 dt ⎥ = ⎢ ∫ − ∫ 2 dt = t ( t + 3t + 3 ) 3 ⎢ t ( t + 3t + 3 ) t ( t + 3t + 3 ) ⎥ 3⎣ t t + 3t + 3 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 dt 1 2t + 3 3 dt ⎥ = 1 ln t − 1 ln t 2 + 3t + 3 − α 3 + C ( Víi x = 3 tgα ) = ⎢∫ − ∫ 2 dt − ∫ 3 ⎢ t 2 t + 3t + 3 2 ⎛ 3⎞ 2 3⎥ 3 2 2 ⎢ ⎜t + ⎟ + ⎥ ⎢ ⎣ ⎝ 2⎠ 4⎥ ⎦ 1 TÝnh I = ∫ dx x ( x 2 + 1) 1 TÝnh I = ∫ x (x 2 + 2x + 2 ) dx x2 TÝnh I = ∫ x 3 + 1 dx x3 TÝnh I = ∫ 3 dx x −8 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x − 3x 2 + 3x − 2 Tãm l¹i : Ta th−êng sö dông hai phÐp biÕn ®æi : Tö sè lμ nghiÖm cña mÉu sè . Tö sè lμ ®¹o hμm cña mÉu sè . vμ ph©n thøc ®−îc quy vÒ 4 d¹ng c¬ b¶n sau : 1 1 1 ax + b øng víi ∫ ax + b ↔ { dx = ln ax + b + C a u' u' u øng víi ∫ u ↔ { dx = ln u + C 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 11
13.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 u' u' 1 ( n ≥ 2 ) ↔ ∫ n dx = - { +C un øng víi u ( n - 1) un-1 1 1 a ↔ ∫ { dx = + C , víi x + d = atgα ( x + d ) + a øng víi ( x + d ) + a 2 2 2 2 a Q (x) D. D¹ng : I = ∫ dx < P(x) lμ ®a thøc bËc cao> Vμ mét sè kÜ thuËt t×m nguyªn hμm . P (x) 1. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa nghiÖm cña mÉu sè . dx TÝnh I = ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) x ( x + 7 ) − ( x − 1)( x + 8 ) HD : I = ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) dx dx TÝnh I = ∫x 4 + 10x 2 + 9 1 ( x + 9 ) − ( x + 1) 2 2 dx HD : I = ∫ 2 ( x + 1)( x 2 + 9 ) 8 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 9 ) = dx TÝnh I = ∫x 6 + 6x 4 − 13x 2 − 42 dx HD : I = ∫ (x 2 − 3 )( x 2 + 2 )( x 2 + 7 ) dx TÝnh I = ∫ 5x 5 + 20x 1 ( x + 4) − x 4 4 1 dx HD : I = ∫ 5 x ( x 4 + 4 ) 20 ∫ x ( x 4 + 4 ) = dx TÝnh I = ∫x 7 − 10x 3 1 x − ( x − 10 ) 4 4 dx HD : I = ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) 10 ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) = dx TÝnh I = ∫ (x 2 − 2 )( 2x 2 + 1)( 3x 2 − 4 ) dx TÝnh I = ∫x 8 − 10x 6 + 35x 4 − 50x 2 + 24 dx TÝnh I = ∫ ( x + 1) ( x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x − 9 ) x 2 dx TÝnh I =∫ x4 − 1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x −1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 6 x −1 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 12
14.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 x 6 dx TÝnh I = ∫ x6 − 1 dx TÝnh I = ∫ 100 3x + 5x dx TÝnh I = ∫ x ( 2x 50 + 7 ) 2 (1 − x ) dx 2000 TÝnh I = ∫ x (1 + x ) 2000 P(x) 2. KÜ thuËt ®Æt Èn phô víi tÝch ph©n cã d¹ng : I = ∫ dx ( α ≠ 1) ( ax + b )α x3 + x + 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 2) 30 ⎧ dx = dt §Æt x – 2 = t ⇒ ⎨ , ta cã : ⎩x = t + 2 ( t + 2) 3 +t+3 t 3 + 6t 2 + 13t + 11 ⎡ 1 1 1 1 ⎤ I= ∫ t 30 dt = ∫ t 30 dt = − ⎢ ⎣ 26t 26 +6 27t 27 + 13 28t 28 + 11 29t 29 ⎥ ⎦ + C =… x4 TÝnh I = ∫ ( x − 3) 45 dx 3x 4 − 5x 3 + 7x − 8 TÝnh I = ∫ dx ( x + 2) 50 Chó ý : Víi lo¹i to¸n nμy trong cuèn “TÝch Ph©n – T.Ph−¬ng ” ®· sö dông ph−¬ng ph¸p khai triÓn Taylor nh−ng t«i c¶m thÊy c¸ch lμm nμy kh«ng nhanh h¬n l¹i g©y nhiÒu phøc t¹p cho häc sinh nªn ®· kh«ng nªu ra . 3. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa ®¹o hμm cña mÉu sè . xdx TÝnh I = 4 ∫x −1 §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt x 3 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x −1 2 ☺ TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 1 ⎛ 1⎞ 1− 2 d⎜ x + ⎟ x −1 2 x dx = ⎝ x⎠ 1 x2 − x 2 + 1 I= ∫ 4 dx = ∫ ∫ ⎛ 1 ⎞2 = ln +C x +1 1 x2 + x 2 + 1 x + 2 ( ) 2 2 2 2 x ⎜x + ⎟ − 2 ⎝ x⎠ x +1 2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 x2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 TÝnh I = ∫ 4 ( x 2 − 1) dx x − 5x 3 − 4x 2 − 5x + 1 TÝnh I = ∫ 4 ( x 2 + 1) dx x + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 1 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 13
15.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 TÝnh I = ∫ (x 2 − 2) dx x 4 − 3x 3 + 11x 2 − 6x + 4 TÝnh I = ∫ ( x2 + 3) dx x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 6x + 9 dx TÝnh I = ∫ 4 x + x2 + 1 dx TÝnh I = ∫ 4 x − 3x 2 + 4 B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho x 2 . Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ ra mét ph−¬ng ph¸p nμo kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ . ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ ®Ñp lμm ng−êi ta söng sèt”. x5 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 x TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 1 dt §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt , ta cã : I = ∫ 3 2 t −1 x3 TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 x4 + 1 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 1 d(x ) 1 d(x ) 3 2 x3 + x TÝnh I = ∫ 6 dx HD : I = ∫ 6 + ∫ 6 x +1 3 x +1 2 x +1 3 x2 d ( x2 ) x 1 TÝnh I = ∫ 6 dx HD : I = ∫ x +1 2 ( x 2 )3 + 1 TÝnh I = ∫ (x 2 + 1)( x 2 + 2x − 1) dx x 6 − 14x 3 − 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ 1 + 2 ⎟⎜ x − + 2 ⎟ ⎜ x − + 2⎟ ⎛ 1⎞ HD : I = ∫ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ dx = ⎝ x ⎠ ⎛ 3 1 ⎞ ∫ ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎞ d⎜x − ⎟ ⎝ x⎠ ⎜ x − 3 ⎟ − 14 ⎜ x − ⎟ + 3 ⎜ x − ⎟ − 14 ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 19 x TÝnh I = ∫ dx ( 3 + x10 ) 2 x10 .10x 9 x10 ∫ 3 + x10 2 d ( x ) 1 HD . I = ∫ dx = 10 (3 + x )10 2 10 ( ) x 99 TÝnh I = ∫ dx ( 2x − 3) 50 7 x 2n −1 TÝnh I = ∫ dx ( ax + b) n k 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 14
16.
12
∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 4. KÜ thuËt chång nhÞ thøc . C¬ së cña ph−¬ng ph¸p : a b ( ax + b ) n , ⎛ ax + b ⎞ c d §Ó t×m nguyªn hμm cã d¹ng : I = ∫ ( cx + d ) m dx , ta dùa vμo c¬ së : ⎜ ⎟ = ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d ) 2 vμ ph©n tÝch biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vÒ d¹ng : ⎛ ax + b ⎞ dx ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ I = k∫ f ⎜ ⎟ = k∫ f ⎜ ⎟d⎜ ⎟ ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d )2 ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ VD . TÝnh ( 3x − 5 ) 10 10 10 11 ⎛ 3x − 5 ⎞ dx 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ ⎛ 3x − 5 ⎞ 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ I= ∫ dx = ∫ ⎜ 11 ∫ ⎝ x + 2 ⎠ ⎟ = ⎜ ⎟ d⎜ ⎟= ⎜ ⎟ +C ( x + 2) ⎝ x+2 ⎠ ( x + 2) x + 2 ⎠ 121 ⎝ x + 2 ⎠ 12 2 ⎝ (7x − 1) 99 TÝnh I = ∫ dx ( 2x + 1) 101 dx TÝnh I = ∫ ( x + 3) ( x + 5) 5 3 ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 6 dx 1 1 1 1 dx dx HD . I = ∫ =∫ 6 ∫ 5 ⎢ ⎥ = ⎛ x + 3 ⎞ ( x + 5) ( x + 5) x+5 ( x + 5) 5 5 6 2 2 ⎛x +3⎞ 2 ⎛x +3⎞ ⎣ ⎦ ( x + 5) 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x +5⎠ ⎝ x +5⎠ ⎝ x +5⎠ §Ó tr¸nh sù ®å sé trong tÝnh to¸n ta cã thÓ sö dông phÐp ®Æt Èn phô nh− sau : ⎧ 1 dt ⎪ dx = x+3 ⎪ ( x + 5) 2 2 §Æt =t⇒⎨ , nªn ta cã : x+5 ⎪x + 5 − 2 = t ⇒ 1 = 1− t ⎪ x+5 ⎩ x+5 2 ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 ( t − 1) dt 6 6 1 1 dx 6 ∫ 5 ⎢ ⎥ =∫ x+5 ( x + 5) 2 2 ⎛x+3⎞ ⎣ ⎦ 27 t5 ⎜ ⎟ ⎝x+5⎠ dx TÝnh I = ∫ ( 3x − 2) ( 3x + 4 ) 7 3 dx TÝnh I = ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3 4 3x − 1 1 1 §Æt =t⇒− dx = dt vμ = 2t − 3 2x − 1 ( 2x − 1) 2x − 1 2 ( 2t − 3 ) 5 dx dx dt Do ®ã ta cã : I = ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3 4 = ∫ ⎛ 3x − 1 ⎞ 4 = −∫ t4 ( 2x − 1) 7 ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠ 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 15
Baixar agora