Chuong-4_Dang-Toan-Phuong.pdf

Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG
NỘI DUNG:
 4.1. Chéo hóa ma trận
 4.2. Dạng toàn phƣơng
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
2

4.1. CHÉO HÓA MA TRẬN
4.1.1. Phép biến đổi tuyến tính
1) Định nghĩa
Một phép biến đổi tuyến tính của không gian là một
hàm T từ tới chính nó thỏa mãn:
Qua định nghĩa trên ta nhận thấy rằng phép biến đổi
tuyến tính bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong
không gian vectơ .
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
3
n
n
     
 
n
n
x,y ;T x y T x T y
x , ;T x T(x)
    
     
n

2) Tính chất
a) T biến vectơ không thành vectơ không,
b) T biến một tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ thành
một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ ảnh,
c) T biến một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thành một
hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
4.1.2. Giá trị riêng, Vectơ riêng
1) Định nghĩa
Cho ma trận vuông A cấp n. Số là giá trị riêng của ma
trận A và vectơ n-chiều khác không x là vectơ riêng ứng
với giá trị riêng nếu
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
4


   
A x x
 

Trong đó ta ký hiệu:
2) Tính chất
a) Nếu A có vectơ riêng x ứng với giá trị riêng thì
cũng là vectơ riêng ứng với .
b) Nếu là giá trị riêng của A thì là giá trị riêng của
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
5
 
1
2
n
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 

 
cx c 0,c
   
 n

n
A

c) Nếu là giá trị riêng của A và thì
là giá trị riêng của
d) Nếu là giá trị riêng của A thì là giá trị riêng
của
e) Nếu là các giá trị riêng của A suy ra:
3) Định lý
là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi nó là
nghiệm của phương trình đặc trưng
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
6
  
det A 0
 n


n
A
  
f 
 
f A
1 2 n
, , ,
  
 
         
n
1 2 n i
i 1
n
1 2 n i
i 1
det A , , , ;
detf A f f f f


     
     



 
det A I 0
  

4) Ma trận đồng dạng
Hai ma trận vuông A và B cấp n là đồng dạng với nhau
nếu tồn tại một ma trận vuông không suy biến P sao cho
Hai ma trận đồng dạng với nhau có cùng tập hợp các
giá trị riêng.
4.1.3. Chéo hóa ma trận vuông
1) Định nghĩa
Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một
ma trận vuông P không suy biến thỏa mãn:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
7
1
A P BP


1
D P AP



Trong đó:
được gọi là ma trận chéo (dạng chéo của ma trận A).
Các phần tử nằm trên đường chéo chính của D chính là
các giá trị riêng của ma trận A.
 P được gọi là ma trận làm chéo A (ma trận làm cho A
chéo hóa được). Các cột của P chính là các vectơ riêng
tương ứng.
2) Chú ý: Ma trận A chéo hóa được khi nó đồng dạng
với ma trận D.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
8
1
2
n
D

 
 

 

 
 

 

3) Định lý
a) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ
khi A có n giá trị riêng phân biệt.
b) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ
khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.
b’) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ
khi A có n giá trị giá trị riêng (kể cả số lần bội) và ứng
với vectơ riêng bội m có m vectơ riêng độc lập tuyến
tính.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
9

4.1.4. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng
1) Định nghĩa
 A là ma trận đối xứng
 P là ma trận trực giao
 Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho là ma
trận chéo thì A là ma trận chéo hóa trực giao được và P
là ma trận làm chéo hóa trực giao A.
2) Định lý: a) Ma trận vuông A cấp n là đối xứng khi
và chỉ khi A chéo hóa trực giao được.
b) Mọi ma trận đối xứng A đều chéo hóa được, hơn nữa
luôn có thể tìm được ma trận trực giao P sao cho
là có dạng chéo.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
10
T
A A
 
T T T 1
P.P P .P I P P
    
1
P AP

T
P AP

4.1.5. Tính lũy thừa ma trận
Cho ma trận A chéo hóa được, khi đó tồn tại ma trận
không suy biến P sao cho:
Do đó ta tính được một cách đơn giản.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
11
1 1
n
1
n
n n 1 1
2
n
n
D P AP A PDP
A PD P P P
 
 
  
 

 

 
  
 
 

 
n
A

Ví dụ 4.1. Chéo hóa ma trận sau:
Ví dụ 4.2. Chéo hóa ma trận sau:
Ví dụ 4.3. Chéo hóa ma trận sau (nếu được):
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
12
2 1 0
A 0 1 0
0 0 2
 
 

 
 
 
3 2 1
A 0 2 0
1 2 3
 
 

 
 
 
2 4 3
A 4 6 3
3 3 1
 
 
   
 
 
 

Ví dụ 4.4. Tìm ma trận B thuộc sao cho
trong đó:
Ví dụ 4.5. Cho ma trận:
Tính
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
13
 
3
M 4
B A

11 5 5
A 5 3 3
5 3 3

 
 
  
 
 

 
1 2 1
A 1 1 0
2 0 1

 
 
 
 
 

 
2016
A ?

Ví dụ 4.6. Cho ma trận
Tính
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
14
1 3 3
A 3 5 3
3 3 1
 
 
   
 
 
 
n
A ?

4.2. DẠNG TOÀN PHƢƠNG
4.2.1. Khái niệm dạng toàn phƣơng
1) Dạng toàn phương của n biến (hay dạng
toàn phương trong ) là hàm Q từ đến cho bởi
biểu thức
với
Hoặc biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
15
1 2 n
x ,x , ,x
n n
n n
ij i j
i 1 j 1
Q(x) a x x
 
  ij ji
a a

   
Q x xA x


Trong đó A là ma trận đối xứng cấp n;
Và . Ma trận A và hạng của nó được gọi là ma
trận và hạng của dạng toàn phương
2) Dạng chính tắc là dạng toàn phương trong chỉ
chứa các bình phương của các biến
Khi đó ma trận của dạng chính tắc có dạng
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
16
 
1 2 n
x x ,x , ,x

  T
x x

 
Q x
n
  2 2 2
1 1 2 2 m m
Q x a x a x a x
   
1
2
m
a 0 0
0 a 0
A
0 0 a
 
 
 

 
 
 

Ta nhận thấy hạng của ma trận đường chéo chính bằng
số phần tử khác không trên đường chéo chính, do đó số
các hệ số khác không của dạng toàn phương chính tắc
bằng hạng của dạng toàn phương đó.
4.2.2. Đƣa dạng toàn phƣơng về dạng chính tắc
Sau đây là một số phương pháp đưa dạng toàn phương
về dạng chính tắc
1) Phương pháp Lagrange
Cho dạng toàn phương:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
17
  2
11 1 12 1 2 1n 1 n
Q x a x 2a x x 2a x x
    

 Trường hợp 1: ( tồn tại hệ số )
+ Bước 1: Giả sử , ta tách tất cả các số hạng chứa
trong và thêm hoặc bớt để có dạng:
Ta biến đổi:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
18
 
Q x ii
a 0

11
a 0

1
x  
Q x
 
 
2
11 1 12 1 2 1n 1 n
2
12 1n
11 1 2 n 1 2 3 n
11 11
Q x a x 2a x x 2a x x
a a
a x x x Q x ;x ; ;x
a a
    
 
    
 
 

Khi đó:
+ Bước 2: Tiếp tục làm như bước 1 cho
Cứ như vậy ta sẽ được dạng chính tắc của dạng toàn
phương .
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
19
 
 
12 1n
1 1 2 n
11 11
i i
12 1n
1 1 2 n
11 11
i i
a a
y x x x
a a
y x i 2, ,n
a a
x y x x
a a
x y i 2, ,n

   


  


   

 
  

   
2
11 1 1 2 3 n
Q x a y Q y ;y ; ;y
 
 
1 2 3 n
Q y ;y ; ;y
 
Q x

 Trường hợp 2: ( có tất cả các hệ số )
+ Bước 1: Giả sử , ta thực hiện đổi biến
Khi đó có hệ số của
+ Bước 2: Ta thực hiện theo trường hợp 1.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
20
 
Q x ii
a 0

12
a 0

 
1 1 2
2 1 2
i i
x y y
x y y
x y i 3, ,n
  

 

  

  2 2
12 1 12 2
Q x 2a y 2a y
   2
1
y 0


Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
21
JOSEPH LOUIS
LAGRANGE
(1736 – 1813)
JOSEPH LOUIS LAGRANGE
(1736 – 1813)
Lagrange là nhà toán học, cơ
học và thiên văn học. Ông sinh
ra tại Ý, năm 1787 ông di cư
đến Pháp. Các công trình nghiên
cứu của Lagrange có một ảnh
hưởng rất sâu xa trong việc
nghiên cứu toán học về sau. Ông
được xem là nhà Toán học lỗi
lạc nhất của thế kỷ XVIII và
được xem là một nhà giải tích
chân chính đầu tiên.

2) Phương pháp Jacobi
Cho dạng toàn phương có ma trận:
Thỏa điều kiện:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
22
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nm
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 

 
 
 
11 12 1n
11 12 21 22 2n
2 n
21 22
n1 n2 nn
a a a
a a a a a
D 0; ;D 0
a a
a a a
   
1 11
D a 0;
 

Khi đó dạng chính tắc của dạng toàn phương được xác
định như sau:
Ta có công thức đổi biển tương ứng
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
23
2 2 2 2
2 3 n
1 1 2 3 n
1 2 n 1
D D D
Q D y y y y
D D D 
    
1 1 2 21 3 31 n n1
2 2 3 32 n n2
3 3 n n3
n n
x y y b y b y b
x y y b y b
x y y b
x y
    

    


  







Với:
Trong đó: là định thức của ma trận có các phần tử
nằm trên giao của các dòng và các cột
(bỏ cột i) của ma trận A.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
24
   
i j j 1,i
ji
j 1
D
b 1 j i
D
 

  
j 1,i
D 
1,2, , j 1

1,2, ,i 1,i 1, , j
 

Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
25
CARL GUSTAV
JACOB JACOBI
(1804 – 1851)
CARL GUSTAV JACOB
JACOBI
(1804 – 1851)
Jacobi là nhà toán học người
Đức. Ông đã viết quyển sách
kinh điển về hàm số Elliptic và
nhiều ứng dụng quan trọng trong
toán lý. Phát minh về hàm số
theta của ông thường được dùng
trong chuỗi hypergeometric được
đặt theo tên ông và còn nhiều
công trình khác.

4.2.3. Xác định dấu của dạng toàn phƣơng
1) Định nghĩa
Cho dạng toàn phương:
với:
có ma trận:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
26
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 

 
 
 
 
n n
ij i j
i 1 j 1
Q x a x x
 
  ij ji
a a


Khi đó dấu của dạng toàn phương được xác định như
sau:
+ Nếu thì là xác định
dương.
+ Nếu thì là nửa xác định
dương.
+ Nếu thì là xác định âm.
+ Nếu thì là nửa xác định âm.
+ Nếu nhận cả giá trị âm và giá trị dương thì
không xác định.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
27
   
n
Q x 0, x O
    
Q x
  n
Q x 0, x
    
Q x
   
n
Q x 0, x O
    
Q x
  n
Q x 0, x
    
Q x
 
Q x  
Q x

2) Định lý 1
Cho có dạng chính tắc như sau:
a) xác định dương nếu mọi
b) nửa xác định dương nếu mọi
c) xác định âm nếu mọi
d) nửa xác định âm nếu mọi
e) không xác định nếu các trái dấu.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
28
 
Q x
  2 2 2
1 1 2 2 n n
Q x b x b x b x
   
 
Q x i
b 0

 
Q x i
b 0

 
Q x i
b 0

 
Q x i
b 0

 
Q x i
b

3) Định lý 2
a) xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó
có tất cả các giá trị riêng dương.
b) xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có
tất cả các giá trị riêng âm.
c) không gian xác định khi và chỉ khi ma trận
của nó có các giá trị riêng trái dấu.
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
29
 
Q x
 
Q x
 
Q x

4) Định lý 3 (Sylvester)
a) xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định
thức con chính của ma trận của nó dương; tức là
b) xác định âm khi và chỉ khi các định thức con
chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm; tức là
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
30
 
Q x
1 2 n
D 0,D 0, ,D 0
  
 
Q x
 
k
k
1 D 0 k 1,n
  

Ví dụ 4.7. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
Ví dụ 4.10. Xét tính xác định dấu của dạng toàn
phương:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
31
   
2 2
1 1 2 2
Q x ax 2bx x cx a 0
   
  2 2
2 3 1 2 1 3
Q x x 4x 2x x 4x x
    
  2 2 2
1 1 2 1 3 2 3
Q x 2x 3x x 4x x x x
    
  2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
Q x 4x 3x 3x 6x x 4x x 2x x
     

Ví dụ 4.11. Xét tính xác định dấu của dạng toàn
phương:
Ví dụ 4.12. Tìm m để dạng toàn phương sau là xác định
dương:
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
32
  2 2 2
1 2 3 1 2
Q x 2x 4x 3x 4x x
    
  2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
Q x x 4x mx 2x x 8x x 4x x
     

KẾT THÚC CHƢƠNG 4!
Toán
Cao
Cấp
-
ThS.
Lê
Trường
Giang
33

Chuong-4_Dang-Toan-Phuong.pdf

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Chuong-4_Dang-Toan-Phuong.pdf

Semelhante a Chuong-4_Dang-Toan-Phuong.pdf (20)

Chuong-4_Dang-Toan-Phuong.pdf