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1. TEMA 6: GEOMETRÍA EN EL PLANO

2. Definiciones/Clasificaciones Fórmulas y teoremas
 Def. y Clasificación de polígonos:
• Regular o irregular
• Cóncavo o convexo
• Por número de lados:
o Triángulos:
• clasificación por lados y
ángulos.
• Elementos notables
(mediatriz, bisectriz…)
o Cuadriláteros: paralelogramos
(rectángulos, rombos y
romboides), trapecios y
trapezoides
 Circunferencia y círculo
 Movimientos rígidos del plano
(traslaciones, giros y simetrías)
• Fórmula del área de polígonos
regulares
• Fórmula del área de triángulos,
paralelogramos y trapecios, y del
área del rombo por las diagonales
• Dado un polígono de n lados, sus
ángulos interiores suman (n-2) x
180°
• Teorema de Pitágoras
• Fórmulas de la longitud de la
circunferencia y de un arco
• Fórmulas del área del círculo y un
sector circular
• Producto de movimientos
2

3. Definición: Un polígono (en griego, muchos ángulos) es la
superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.
Definición: Una línea poligonal es un conjunto de
segmentos unidos sucesivamente por sus extremos (el
extremo de cada segmento es origen del siguiente) tal
que ningún par de segmentos no consecutivos se corta.
Se considera cerrada cuando su principio y final
coinciden.
Polígonos
3

4. • Cada uno de estos
segmentos se denomina
lado
• Cada punto de unión o de
corte entre dos segmentos
se denomina vértice
¿Es un polígono?
4

5. • Lado: cada uno de los segmentos de la línea poligonal de un
polígono
• Vértice: cada punto de unión o de corte entre dos lados
• Angulo interior: ángulo formado, internamente al polígono, por
dos lados consecutivos
• Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos.
• Perímetro: es la suma de las longitudes de todos los lados del
polígono
Elementos de un polígono
5

6. 1) Según el número de lados
2) Según sus ángulos
3) Según ángulos y lados
Clasificación de polígonos:
6

7. 1) Clasificación de polígonos por nº lados:
7

8. • Polígono cóncavo: al menos uno de sus ángulos
interiores mide más de 180 grados
• Polígono convexo: todos sus ángulos interiores son
menores de 180 grados
2) Clasificación de polígonos según sus
ángulos:
8

9. (Mediante definiciones equivalentes)
 Polígono cóncavo: tiene alguna diagonal externa al
polígono
 Polígono convexo: tiene todas las diagonales internas
(caen dentro del polígono)
2) Clasificación de polígonos según sus
ángulos:
9

10. En general, ¿cuánto suman todos los ángulos de un
polígono?
Propiedad:
Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°
https://www.geogebra.org/m/TxJJHhDr
10

11. En general, ¿cuánto suman todos los ángulos de un
polígono?
Propiedad:
Dado un polígono de n lados, sus ángulos interiores suman
(n-2) x 180°
Dem.
• Dividimos el polígono en triángulos con
vértices los del polígono  hay n-2.
• La suma de los ángulos interiores del
polígono es igual a la suma de los ángulos
de los triángulos, que es (n-2) x 180° .
11

12. Polígonos equiláteros: tienen todos
sus lados iguales (misma longitud)
Polígonos equiángulos: tienen todos
sus ángulos iguales
3) Clasificación de polígonos según sus
lados y ángulos (igualdad entre ellos):
12

13. • Polígonos regulares: tienen todos sus lados y
ángulos iguales (es decir, son equiláteros y
equiángulos)
• Polígonos irregulares: no tienen todos sus
lados y ángulos iguales
3) Clasificación de polígonos según sus
lados y ángulos (igualdad entre ellos):
13

14. Ejemplos de polígonos regulares según
el número de lados
14

15. • Centro: el punto central equidistante de todos los
vértices (centro de la circunferencia circunscrita)
• Radio: el segmento que une el centro del polígono
con uno de sus vértices (también su medida).
• Apotema: segmento perpendicular a un lado, hasta el
centro del polígono.
Elementos notables de un polígono
regular
15

16. -Ángulo central: ángulo que tiene como vértice el centro del polígono,
y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Si el polígono regular
tiene n lados, los ángulos centrales miden
-Ángulo interior: el formado por dos lados consecutivos.
Se puede calcular mediante la fórmula
donde n es el número de lados del polígono regular
(n-2) × 180° : n
Ángulos centrales e interiores de un
polígono regular
360° : n
16

17. Algunos tipos de triángulos y cuadriláteros
tienen nombres especiales y necesitan ser
mencionados por separado porque son objeto
especial de estudio en Primaria
17

18. • Triángulo equilátero: tiene los tres lados iguales
(en particular, también es equiángulo, es regular)
• Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales
• Triángulo escaleno: tiene los tres lados diferentes
Clasificación INCLUSIVA de triángulos
según la longitud de sus lados:
¿Cómo sería la clasificación EXCLUSIVA?

19. • Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto
• Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso
(mayor de 90 grados)
• Triángulo acutángulo: tiene todos los ángulos agudos
(menor de 90 grados)
Clasificación de triángulos según sus
ángulos:
¿Cómo saber de qué tipo es un triángulo?
1. Midiendo los ángulos. 2. Gracias al T. Pitágoras (lo veremos más adelante) 19

20. La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un
triángulo es siempre mayor que la longitud del otro lado
Propiedad de los triángulos
20

21. Alturas  Las 3 se cortan en el ortocentro
Medianas  Las 3 se cortan en el baricentro
Mediatrices  Las 3 se cortan en el circuncentro
Bisectrices  Las 3 se cortan en el incentro
Otros elementos notables del triángulo
21

22. Alturas y ortocentro de un triángulo
Definición: la altura del lado de un triángulo es el segmento de
recta que es perpendicular a ese lado (llamado base) o a su
prolongación y que pasa por el vértice opuesto.
Propiedad 1: Las tres alturas de un triángulo se cortan en un
punto llamado ortocentro del triángulo.
22

23. Definición: El segmento de recta que va de un vértice al punto
medio del lado opuesto de un triángulo se llama mediana.
Propiedad 1: Las tres medianas de un triángulo se cortan en un
punto llamado baricentro del triángulo.
Propiedad 2: El baricentro divide a cada mediana en dos
segmentos que cumplen la siguiente propiedad: el que une el
baricentro con el vértice mide el doble que el que une el
baricentro con el punto medio del lado opuesto.
Medianas y baricentro de un triángulo

24. Definición: la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a
dicho segmento trazada por su punto medio
Propiedad 1: Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se
cortan en un punto llamado circuncentro del triángulo (centro de la
circunferencia circunscrita).
Propiedad 2: El circuncentro equidista de los 3 vértices del triángulo
Mediatrices y circuncentro
24

25. Bisectrices e incentro de un triángulo
Definición: la bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide
al ángulo en dos ángulos iguales.
Propiedad 1: Las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo
se cortan en un punto llamado incentro del triángulo (centro de
la circunferencia inscrita).
Propiedad 2: El incentro equidista de los 3 lados del triángulo.
25

26. Observación:
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no
equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta,
llamada recta de Euler.
26

27.  Paralelogramos
Son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos.
Se clasifican en: rectángulo (incluye al cuadrado), rombo (incluye al
cuadrado) y romboide.
 Trapecios
Son los cuadriláteros con solo un par de lados opuestos paralelos
Se clasifican en: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio
escaleno.
 Trapezoides
Son los cuadriláteros sin lados opuestos paralelos
Clasificación (exclusiva) de los cuadriláteros
según el paralelismo de sus lados
27

28. • El cuadrado es un paralelogramo de cuatro lados congruentes (igual medida) y cuatro
ángulos rectos.
• El rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos.
• El rombo es un paralelogramo de cuatro lados congruentes (igual medida).
• El romboide es un paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo.
Clasificación INCLUSIVA de los
paralelogramos
28

29. Las diagonales de un rombo son
perpendiculares
Propiedad de los rombos
29

30. • El trapecio isósceles es el trapecio cuyos dos lados no paralelos son de igual medida.
• El trapecio escaleno es aquel trapecio que no es isósceles.
• Un trapecio se dirá recto si posee dos ángulos rectos.
Clasificación de los trapecios
30

31. Definición: SUPERFICIE es una magnitud (una cualidad de los
objetos) susceptible de tomar diferentes valores numéricos.
Según la RAE, en física: “Magnitud que expresa la extensión de un
cuerpo en dos dimensiones, largo y ancho”.
Definición: ÁREA es la medida de la cantidad de la superficie.
 Para medir un trozo de superficie, se compara lo que queremos medir con
otro trozo de superficie que llamamos unidad y luego vemos cuántas veces lo
contiene.
Área de las figuras planas
31

32.  Área del rectángulo: está dada por la cantidad de unidades de superficie que
contenga, es decir, si el rectángulo tiene lados a y b, su área es:
 Área del rombo: en la figura, es la mitad del área del rectángulo dibujado. Así,
utilizando las medidas de las diagonales, D y d
se tiene que el área del rombo es:
a
b
Área del rectángulo= a x b
Área del Rombo=
𝑑×𝐷
2
Área de los paralelogramos
32

33.  Área del romboide: si uno de los lados mide b (base)
y la altura del romboide es h, entonces el área es: h (altura)
base
Área del romboide= b x h
https://www.geogebra.org/m/RGsEVG5S
Área de los paralelogramos
33

34.  Área del triángulo: si observamos la figura, vemos cómo hemos formado un
romboide a partir del triángulo. La altura y la base del triángulo de partida
coinciden con las del romboide que se forma. Así,
 Área del Rombo: en la figura se observa como el área del rombo es justamente
la mitad del área del rectángulo dibujado. Así,
utilizando l
Área del Rombo=
Área del triángulo =
𝑏×ℎ
2
Área del Triángulo
34

35. Área del Triángulo
𝐴 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
Donde s es el semiperímetro del triángulo, es decir:
𝑠 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
Fórmula de Herón:
Si tenemos la medida de los tres
lados a,b y c
35

36. Área del Rombo=
En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado mayor
(denominado hipotenusa) ha de ser igual a la suma de los
cuadrados de los lados que forman el ángulo recto (llamados
catetos).
Teorema de Pitágoras
Dem. (terminada en pizarra)
36

37.  Área del Rombo: en la figura se observa como el área del rombo es justamente
la mitad del área del rectángulo dibujado. Así,
utilizando las medidas de las diagonales, D y d
se tiene que el área del rombo es:
Área del Rombo=
Dado un triángulo de lados a, b y c (donde c es el de mayor longitud),
podemos:
• Comprobar si su ortocentro está en el interior, exterior o es un vértice del
triángulo (ya visto anteriormente):
o Ortocentro en el interior del triángulo  Acútángulo
o Ortocentro en el exterior del triángulo  Obtusángulo
o Ortocentro en un vértice  Rectángulo (y el ángulo recto es el que
corresponde a dicho vértice)
• Calcular 𝑎2 + 𝑏2 y 𝑐2 y comparar ambas cantidades:
o Si 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2  Rectángulo
o Si 𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2  Obtusángulo
o Si 𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2  Acutángulo
¿Cómo clasificar un triángulo según
sus ángulos?
37

38. • Primera demostración:
b

𝐵×ℎ
2

𝑏×ℎ
2
B
 Área del Rombo:
Área del Rombo=
Área del trapecio=
𝐵+𝑏 ×ℎ
2
h
Área del trapecio
b
B
38

39. Área del trapecio
Segunda dem.:
https://www.geogebra.org/m/j8dAKP6X
Área del Trapecio=
Área del romboide
2
Romboide
39

40.  Área del Rombo: en la figura se observa como el área del rombo es justamente
la mitad del área del rectángulo dibujado. Así,
utilizando las medidas de las diagonales, D y d
e tiene que el área del rombo es:
En general, se calcula el área de cada uno de
los triángulos interiores y se multiplica por
el número de triángulos (= nº de lados).
Área de un polígono regular
40

41. Hexágono regular:
Radio=lado  Apotema =
𝐿
2
3
Área cada triángulo equilátero=
𝐿2
4
3
Área del hexágono=
3 𝐿2
2
3
Área de un polígono regular
41

42. Circunferencia y círculo
42

43. Definición: una circunferencia es el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de un punto llamado
centro
Una circunferencia es por tanto una línea, y su medida es la longitud.
Definición: Radio es el segmento que une un punto
cualquiera de la circunferencia con su centro
(también su medida)
Definición: Diámetro es el segmento que pasa por el
centro de la circunferencia y cuyos extremos están en
la circunferencia (también su medida)
Definición: Arco es un trozo de circunferencia
Definición: Cuerda es el segmento que une
dos puntos de la circunferencia
Circunferencia
cuerda
43

44. Definición: Ángulo central es el ángulo
cuyo vértice está en el centro de la
circunferencia
Definición: Ángulo inscrito es aquel cuyo
vértice está sobre la circunferencia.
Propiedad 1. La medida de un ángulo
inscrito en una circunferencia es la mitad
del ángulo central correspondiente al
arco que abarca.
Circunferencia

45. Fórmula de la Longitud de la circunferencia:
𝐿 = 2 𝜋 𝑟
Fórmula de la Longitud del arco de una circunferencia:
𝐿 =
2 𝜋 𝑟 𝛼
360 °
Circunferencia
45

46. Definición: Un círculo es la superficie limitada por una
circunferencia
Definición: un sector circular es una porción de círculo limitado por
dos radios y un arco de circunferencia.
Círculo
46

47. Fórmula del área del círculo:
𝐴 = 𝜋 𝑟2
Fórmula del área de un sector circular:
𝐴 = 𝜋 𝑟2
𝛼
360 °
𝐴 = 𝜋 𝑟2 𝐿
2𝜋𝑟
=
𝑟 𝐿
2
, donde L=Longitud de arco del sector
Círculo
https://www.geogebra.org/m/fyqAUV22
47

48. TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
48

49. Definición: una transformación en el plano es una correspondencia
de los puntos del plano con otros puntos del plano.
Definición: Un movimiento en el plano es una transformación
geométrica que conserva las distancias (y, en particular, la forma y
el tamaño).
• TRASLACIONES
• GIROS O ROTACIONES
• SIMETRÍA
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
TIPOS
49

50. Definición: Un movimiento en el plano es una transformación
geométrica que conserva las distancias (y, en particular, la forma y
el tamaño).
TRASLACIONES
https://www.geogebra.org/m/m8atQ98v
GIROS O ROTACIONES
https://www.geogebra.org/m/TznxtNQ2
SIMETRÍA
https://www.geogebra.org/m/b5KpNfqR
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
50

51. Def.: Una traslación es el movimiento
de cada punto a una distancia
constante en una dirección dada. Viene
definida por una dirección, un sentido,
y la magnitud de la traslación.
Definición: Vector es un segmento libre con un origen
y un final (flecha) que marca una cierta dirección y sentido en el plano
 Definición: MÓDULO de un vector es la distancia entre el
origen y el extremo,
 Definición: DIRECCIÓN de un vector es la recta que
pasa por el origen y el extremo o cualquier recta paralela
a ella, y
 Definición: SENTIDO de un vector es el que va desde el origen
hacia el extremo y lo marca la flecha.
Un vector se puede representar con dos coordenadas (a, b), donde a representa el avance
y b la altura. Es decir, las coordenadas del extremo del vector respecto del origen.
TRASLACIONES

52. Propiedades de una traslación:
• Sea A’, B’ los transformados de A,B por traslación del vector v. Se verifica
siempre que |AB | = |A’B’ |
• La traslación transforma los segmentos en iguales y paralelos.
• La traslación transforma una recta en otra paralela (o ella misma).
• La traslación trasforma un punto en otro diferente a él (no puntos dobles).
• La traslación transforma triángulos en triángulos iguales (por tanto
transforma ángulos en ángulos iguales; de hecho, cualquier forma queda
constante).
• Composición o producto de traslaciones: Si aplicamos dos traslaciones
consecutivas, resulta una nueva traslación cuyo vector resulta de sumar los
vectores de las traslaciones que intervienen.
TRASLACIONES
52

53. Definición: Un giro, de centro un punto O y amplitud un
ángulo α, es el movimiento que transforma cada punto P del
plano en otro punto P’ de modo que el ángulo POP' es igual
a α y las distancias OP y OP' son iguales.
En cualquier rotación hay que tener en cuenta el sentido del giro. Se considera sentido
positivo al contrario a las agujas del reloj y sentido negativo el sentido horario.
GIRO
53

54. GIRO
Propiedades de un giro:
• Los giros transforman segmentos en segmentos de
igual longitud.
• Los giros transforman rectas en rectas siendo el
ángulo entre ellas igual a la amplitud del giro.
• Los giros transforman triángulos en triángulos
iguales (por tanto ángulos en ángulos iguales).
• El único punto doble en un giro de amplitud
distinta de 0° y 360° es el centro de giro.

55. Propiedades de un giro:
• A los giros de amplitud 180° sexagesimales,
se les denomina simetría central respecto
del centro de giro.
• El producto de dos giros con el mismo
centro es otro giro con el mismo centro de
giro y amplitud de giro la suma de las dos
anteriores.
GIRO
55

56. Una simetría axial respecto a un eje e es un movimiento que
transforma cada punto P del plano en otro P' de modo que la
recta e es la mediatriz del segmento de extremos P y P'.
SIMETRÍA AXIAL
56

57. Una simetría axial respecto a un eje e es un movimiento que
transforma cada punto P del plano en otro P' de modo que la
recta e es la mediatriz del segmento de extremos P y P'.
SIMETRÍA AXIAL
57

58. Propiedades de una simetría axial:
• Las simetrías axiales transforman los segmentos en segmentos
iguales (en tamaño).
• Las simetrías axiales transforman rectas en rectas paralelas o en
rectas que se cortan entre ellas en un punto sobre el eje de
simetría o en las mismas rectas. De hecho:
o Las rectas paralelas al eje de simetría se transforman en otra
recta paralela al eje de simetría.
o Las rectas perpendiculares al eje de simetría se transforman
en sí mismas. Es decir, estas rectas son elementos dobles pero
no de puntos dobles.
SIMETRÍA AXIAL
58

59. Propiedades de una simetría axial:
• Si se aplica dos veces la misma simetría a una figura, esta se
transforma en sí misma.
• Las simetrías transforman triángulos en triángulos iguales (por
tanto ángulos en ángulos iguales).
SIMETRÍA AXIAL
59

60. Propiedades de una simetría axial:
Composición de simetrías axiales: La aplicación consecutiva de dos
simetrías axiales, de ejes e y e', da lugar a un nuevo movimiento que
depende de la posición relativa de los ejes e y e':
 Si los ejes e y e' son paralelos,
el resultado es una traslación.
 Si los ejes e y e' se cortan en un punto, la composición da lugar a un
giro alrededor de dicho punto.
SIMETRÍA AXIAL
1
2
. .
.
.
3
.
60

61. Ejes paralelos:
 Si los ejes e y e' son paralelos, el
resultado es una traslación, cuyo
vector tiene una magnitud doble
de la distancia entre los ejes, la
dirección perpendicular a los ejes y
sentido el que va de uno a otro.
𝑨𝑨′′ = 𝑨𝑴 + 𝑴𝑨′ + 𝑨′𝑵 + 𝑵𝑨′′
= 𝟐𝑴𝑨 + 𝟐𝑨′𝑵 = 𝟐𝑴𝑵
SIMETRÍA AXIAL

62. Ejes secantes:
 Si los ejes e y e' se cortan en un punto,
la composición da lugar a un giro de
centro el punto de corte de los ejes y
amplitud el doble del ángulo formado
por ellos, con el sentido que va de uno
a otro.
1
2
. .
.
.
3
.
SIMETRÍA AXIAL
62