Mais conteúdo relacionado
Semelhante a 3 อนุกรมเลขคณิต (20)
Mais de Toongneung SP (20)
3 อนุกรมเลขคณิต
- 1. อนุกรม
ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ เรียกว่ำ อนุกรม (series) และผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ
จำกัด ..., na เขียนในรูปของ จะเรียกผลรวมของพจน์ทุกพจน์ของ
ลำดับจำกัดว่ำ อนุกรมจำกัด
ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนอนุกรมจำกัดของลำดับจำกัดต่อไปนี้
(1)
(2)
(3)
(4)
วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ
(2) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ
(3) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ
(4) 3 3 3
1 2 3 ... เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ ...
1a , 2a , 3a , 1 2 3 na a a ... a
12, 9, 6, 3
1, 3, 9, 27, 81
1
,
2 2
1
,
2 3
1
,
2 4
1
,
2 5
1
,
2 6
1
,
2 7
1
2
3
1 , 3
2 , 3
3 , ..., 3
10
12 9 6 3 12, 9, 6, 3
1 3 9 27 81 12, 9, 6, 3
2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
1
,
2 2
1
,
2 3
1
,
2 4
1
,
2
5
1
,
2 6
1
,
2 7
1
2
3
1 , 3
2 , 3
3 ,
nS 1 2 3 na a a ... a
ข้อตกลง ถ้ำ 1a , 2a , 3a , ..., na เป็นลำดับจำกัด ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม
1 2 3 na a a ... a เขียนด้วยด้วย 5S
นั่นคือ 5S 1 2 3 4 5a a a a a
ในทำนองเดียวกัน ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรม 1 2 3 na a a ... a เขียนด้วยด้วย 6S
นั่นคือ 6S 1 2 3 4 5 6a a a a a a
ในกรณีทั่วไป จะเขียนแทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมด้วย nS
นั่นคือ nS 1 2 3 na a a ... a
จำกข้อตกลงนี้จึงได้ว่ำ
1S 1a
2S 1 2a a
3S 1 2 3a a a
.
.
.
- 2. ตัวอย่ำงที่ 2 กำหนดลำดับจำกัด
(1) จงเขียนอนุกรมของลำดับนี้
(2) จงหำผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1)
(3) จงหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1)
วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัด
(2) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1)
(3) ผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1)
2
1 , 2
2 , 2
3 , 2
4 , 2
5 , 2
6 , 2
7 , 2
8 , 2
9 , 2
10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2
1 , 2
2 , 2
3 ,
2
4 , 2
5 , 2
6 , 2
7 , 2
8 , 2
9 , 2
10
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
55
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
385
ข้อตกลง
1. เพื่อควำมสะดวก ต่อไปนี้จะเขียนอนุกรมจำกัดที่มีหลำยพจน์ โดยเขียนเฉพำะ 3 พจน์แรก และ
พจน์สุดท้ำย โดยละพจน์อื่นๆ ไว้ในฐำนที่เข้ำใจ เช่น ในตัวอย่ำงที่ 2 ข้อ (1) จะเขียนอนุกรม
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ย่อๆ เป็น 2 2 2 2
1 2 3 ... 10
2. อนุกรมที่เกิดจำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และอนุกรมที่เกิดจำกลำดับเรขำคณิต
เรียกว่ำ อนุกรมเรขำคณิต
- 3. กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด
กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด สำมำรถหำด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติได้ แต่กรณีที่อนุกรมจำกัดนั้นมี
หลำยๆ พจน์ กำรหำผลบวกของอนุกรมด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติจะไม่สะดวก
พิจำรณำผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
(1) 3 5 7 9 11
(2) 1 1 1
4 2 1
2 4 8
(3) 1 1 1 1 1 1
4 2 1
2 4 8 16 32 64
จะเห็นได้ว่ำ ผลบวกของอนุกรม 3 5 7 9 11 หำด้วยวิธีหำผลบวกปกติได้เท่ำกับ 35 ซึ่งหำได้
ง่ำยๆ
ผลบวกของอนุกรม 1 1 1
4 2 1
2 4 8
32 16 8 4 2 1
8
63
8
ผลบวกของอนุกรม 1 1 1 1 1 1
4 2 1
2 4 8 16 32 64
256 128 64 32 16 8 4 2 1
63
511
63
จะเห็นว่ำ ในบำงกรณีผลบวกของอนุกรมที่มีจำนวนพจน์หลำยๆ พจน์ จะหำผลบวกตำมปกติไม่
สะดวก ต้องหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตร
ในหัวข้อนี้ จะกล่ำวถึงกำรหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตรเฉพำะของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
เรขำคณิต ดังนี้
- 4. อนุกรมเลขคณิต
อนุกรมที่ได้จำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำดับ
เลขคณิต ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิต เช่น
เป็นลำดับเลขคณิต มีค่ำ
เป็นอนุกรมเลขคณิต มีค่ำ
กำรหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมนี้ (มีทั้งหมด 5 พจน์) ทำได้อีกวิธีหนึ่ง ดังนี้
เนื่องจำก
ดังนั้น
ในกรณีของกำรหำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต จะหำได้ดังนี้
จำก และ
จะได้
------------
d
3, 5, 7, 9, 11 d 2, 1a 3, 5a 11
3 5 7 9 11 d 2, 1a 3, 5a 11
3 5 7 9 11
11 9 7 5 3
14 14 14 14 14
14 14 14 14 14 5 14
3 5 7 9 11
5 14
2
35
n
nS 1 2 3 n 2 n 1 na a a ... a a a n 1a a n 1 d
nS 1 1 1 1 1a a d a 2d ... a n 3 d a n 2 d
1a n 1 d
อนุกรมที่ได้จำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำดับเลขคณิต
ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิต
สูตร อนุกรมเลขคณิต
หรือ
d
nS 1
n
2a n 1 d
2
nS 1 n
n
a a
2
- 5. จำก สำมำรถเขียน ในรูปผลบวกของพจน์ที่ เรียงตำมลำดับไปถึงพจน์ที่
1 ได้เป็น
------------
นำ จะได้
ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 1)
เรำสำมำรถแปลงสูตรที่ 1 ให้ง่ำยยิ่งขึ้น โดยใช้สูตร แทนในสูตรที่ 1 ดังนี้
จำก
จะได้
ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 2)
nS n
nS 1 1 1a n 1 d a n 2 d a n 3 d ...
1 1 1a 2d a d a
n nS S 1 1 1 1a a (n 1)d a d a n 2 d
1 1 1 1a 2d a n 3 d ... a n 3 d a 2d
1 1 1 1a n 2 d (a d) a n 1 d a
n2S
1 1 12a n 1 d 2a d nd 2d 2a 2d nd 2d ...
1 1 12a nd 3d 2d 2a nd 2d d 2a n 1 d
n2S
1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d ...
1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d
n2S 1n 2a n 1 d
n 1a a n 1 d
nS 1
n
2a n 1 d
2
nS 1 1
n
a a n 1 d
2
nS 1
n
2a n 1 d
2
nS 1 n
n
a a
2
- 6. ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณิตต่อไปนี้
(1)
(2)
(3)
วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้
ผลบวก
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้
ผลบวก
(2) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้
ผลบวก
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; 10a 47 จะได้
ผลบวก
3 5 7 9 11
2 7 12 17 22 27 32 37 42 47
4 5 7 8 10 11 13 14
1 2 3 4
3 3 3 3 3 3 3 3
3 5 7 9 11
35
nS 1 n
n
a a
2
n 5, 1a 3, 5a 11
5S
5
3 11
2
5
14
2
35
2 7 12 17 22 27 32 37 42 47
245
nS 1 n
n
a a
2
n 10, 1a 2,
10S
10
2 47
2
5 49
245
- 7. (3) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้
ผลบวก
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้
ผลบวก
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมที่กำหนดค่ำ และ ให้ดังนี้
(1)
(2)
(3)
วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
จำก
จะได้
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
4 5 7 8 10 11 13 14
1 2 3 4
3 3 3 3 3 3 3 3
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3
102
3
34
nS 1 n
n
a a
2
n 12, 1a 1, 12
14
a
3
12S
12 14
1
2 3
17
6
3
34
1a d
1a 3, d 2
1a 2, d 5
1a 8, d 2
nS 1 n
n
a a
2
8a 1a 7d
3 7 2
17
8S 1 8
8
a a
2
8
3 17
2
80
nS 1
n
2a n 1 d
2
5S
8
2 3 8 1 2
2
4 6 14
80
- 8. (2) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
จำก
จะได้
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
(3) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
จำก
จะได้
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
nS 1 n
n
a a
2
8a 1a 7d
2 7 5
37
8S 1 8
8
a a
2
8
2 37
2
156
nS 1
n
2a n 1 d
2
5S
8
2 2 8 1 5
2
4 4 35
156
nS 1 n
n
a a
2
8a 1a 7d
8 7 2
6
8S 1 8
8
a a
2
8
8 6
2
8
nS 1
n
2a n 1 d
2
5S
8
2 8 8 1 2
2
4 16 14
8
- 9. ตัวอย่ำงที่ 3 จงหำผลบวกของอนุกรม
วิธีทำ อนุกรมนี้มี จะต้องหำค่ำ
จำก
จะได้
จำก หำผลบวกของ หรือหำ
จำก
จะได้
ตัวอย่ำงที่ 4 กำหนดให้อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่ 2 เท่ำกับ 10 และมีผลต่ำงร่วมเท่ำกับ จงหำ
และ
วิธีทำ กำหนด และ
จำก
จะได้
จำก
จะได้
และ
ดังนั้น และ
5 9 13 17 ... 81
1a 5, na 81, d 4 n
na 1a n 1 d
81 5 n 1 4
81 5 4n 4
n 20
n 20 5 9 13 17 ... 81 20S
nS 1 n
n
a a
2
20S
20
5 81
2
860
3
15S 20S
2a 10 d 3
na 1a n 1 d
10 1a 2 1 3
10 1a 3
1a 7
nS 1
n
2a n 1 d
2
15S
15
2 7 15 1 3
2
15
14 42
2
420
20S
15
2 7 20 1 3
2
15
14 57
2
710
15S 420 20S 710
- 10. ตัวอย่ำงที่ 5 กำหนดให้อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 9 เท่ำกับ และ
ตำมลำดับ จงหำผลบวก 20 พจน์แรก
วิธีทำ กำหนด และ
จำก
-----------
-----------
;
แทนค่ำ ลงใน จะได้
จำก
ดังนั้น ผลบวก 20 พจน์แรก คือ
ตัวอย่ำงที่ 6 จงหำผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง
วิธีทำ เนื่องจำก เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี
จำก
จำก
จะได้
ดังนั้น ผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง เท่ำกับ
19 35
5a 19 9a 35
na 1a n 1 d
5a 1a 5 1 d
19 1a 4d
9a 1a 9 1 d
35 1a 8d
16 4d
d 4
d 4
19 1a 4(4)
1a 3
20a 1a 19d
3 19(4)
79
20S 1 20
20
a a
2
10 3 79
820
9 251
9 11 13 ... 251 1a 9, d 2
na 1a n 1 d
251 9 n 1 2
251 9 2n 2
n
244
2
122
nS 1 n
n
a a
2
122S
122
9 251
2
15,860
9 251 15,860
- 11. ตัวอย่ำงที่ 7 ผู้รับเหมำก่อสร้ำงคนหนึ่งนำปูนซีเมนต์วำงซ้อนกันเป็นชั้นๆ ถ้ำเขำวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นล่ำงสุด
ถุง และวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นบนสุดจำนวน 24 ถุง โดยให้แต่ละชั้นที่สูงขึ้นมีปูนซีเมนต์ลดลงชั้นละ ถุง
เสมอ จงหำว่ำ
(1) ปูนซีเมนต์กองนี้มีกี่ชั้น
(2) ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมดกี่ถุง
วิธีทำ (1) ถ้ำเรียงจำนวนถุงปูนซีเมนต์จำกบนลงล่ำงจะได้อนุกรมนี้ คือ
โดยที่
จำก
จะได้
100
ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มี ชั้น
(2) จำนวนถุงทั้งหมดของปูนซีเมนต์กองนี้ คือ หรือ
จำก
จะได้
ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมด ถุง
100 4
24 28 32 ... 100
1a 24, d 4
na 1a n 1 d
100 24 n 1 4
24 4n 4
4n 80
n 20
20
24 28 32 ... 100 20S
nS 1 n
n
a a
2
20S
20
24 100
2
1,240
1,240