bocoran soal Asesmen Nasional

1. MATRIKS

2. DAFTAR SLIDE
Operasi Matriks
Jenis-Jenis Matriks
Matriks Transpose

3. DEFINISI MATRIKS
MATRIKS :
kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur
dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi
panjang, serta termuat diantara sepasang tanda
kurung.

4. NOTASI MATRIKS
 Nama matriks menggunakan huruf besar
 Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil
maupun angka
 Digunakan kurung biasa atau kurung siku
 Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan
banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya
kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks
tersebut.









6
7
5
2
3
1
A











i
h
g
f
e
d
c
b
a
H

5. NOTASI MATRIKS
 Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n
kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
 Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
Notasi A = (aij)
















mn
m
m
m
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
A =
Dengan
i = 1,2,...,m
j = 1,2,...,n

6. MATRIKS
 Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
 Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks
dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga
elemen atau unsur.














1
6
1
2
1
3
4
1
A

7. NOTASI MATRIKS













mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2
1
2
22
21
1
12
11
7
Baris
Kolom
Unsur Matriks
Matriks berukuran m x n
atau berorde m x n

8. MATRIKS BARIS DAN KOLOM
 Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris
 Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu
kolom.
 
4
1
2
1

C











4
3
1
E

9. JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang
berukuran n x n
 Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya
adalah bilangan nol
Sifat-sifat dari matriks nol :
-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
-A*0=0, begitu juga 0*A=0.







1
3
4
1
A











0
0
0
0
0
0
2
3x
O

10. JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen
diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan
sebagai D.
Contoh :
 Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonalnya sama











5
0
0
0
2
0
0
0
1
3
3x
D











5
0
0
0
5
0
0
0
5
3
3x
D

11. JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen
pada diagonal utamanya bernilai 1.
Sifat-sifat matriks identitas :
A*I=A
I*A=A
 Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di
bawah diagonal utamanya bernilai nol
 Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen
di atas diagonal utamanya bernilai nol











1
0
0
0
1
0
0
0
1
D











6
0
0
2
1
0
5
4
2
A











1
5
2
0
4
3
0
0
1
B

12. TRANSPOSE MATRIKS
 Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A
dinyatakan oleh A
ͭ
dan didefinisikan dengan matriks n x m
yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom
keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan
kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
 Contoh :
matriks A : berordo 2 x 3
transposenya : berordo 3 x 2







3
1
4
1
3
1
A











3
1
1
3
4
1
t
A

13. TRANSPOSE MATRIKS
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
kA
kA
A
B
AB
A
A
B
A
B
A






)
.(
4
)
.(
3
)
.(
2
)
.(
1

14. TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no1 :




























23
23
22
22
21
21
13
13
12
12
11
11
23
22
21
13
12
11
23
22
21
13
12
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
B
A







23
22
21
13
12
11
b
b
b
b
b
b
B







23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
A











23
13
22
12
21
11
a
a
a
a
a
a
AT











23
13
22
12
21
11
b
b
b
b
b
b
BT








































23
23
13
13
22
22
12
12
21
21
11
11
23
13
22
12
21
11
23
13
22
12
21
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
B
A T
T
TERBUKTI


















23
23
13
13
22
22
12
12
21
21
11
11
)
(
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A T

15. TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no 2 :







23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
A











23
13
22
12
21
11
a
a
a
a
a
a
AT


















23
22
21
13
12
11
23
13
22
12
21
11
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
T
T
T
TERBUKTI

16. MATRIKS A = B
 Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A
dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo
sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
 aij = bij dimana
- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j
- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
 A = B
dan
 A ≠ B
dan







1
0
4
2
A 






1
0
4
2
B







5
1
0
2
4
2
A 






1
3
4
1
B

17. PENJUMLAHAN MATRIKS
 Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya
sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang
seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
 Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
ditambahkan.
dan











33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A











33
32
31
23
22
21
13
12
11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B





















33
33
32
32
31
31
23
23
22
22
21
21
13
13
12
12
11
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A

18. PENJUMLAHAN MATRIKS
 Contoh Soal













2
2
3
1
2
4
A













2
1
1
2
4
3
B




















2
2
1
2
1
3
2
1
4
2
3
4
B
A














4
3
4
1
2
7
B
A

19. PENGURANGAN MATRIKS
 A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama,
maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan
mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian
dalam kedua matriks tersebut.
 Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
dikurangkan.
dan











33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A











33
32
31
23
22
21
13
12
11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B





















33
33
32
32
31
31
23
23
22
22
21
21
13
13
12
12
11
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A

20. PENGURANGAN MATRIKS
 Contoh :













0
4
3
3
2
2
1
0
1
A












2
4
3
4
2
1
1
1
1
B























2
0
4
4
3
3
4
3
2
2
1
2
1
1
1
0
1
1
B
A
















2
0
0
7
0
3
2
1
0
B
A

21. PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka
matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan
atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k







1
5
8
3
A 






1
*
4
5
*
4
8
*
4
3
*
4
4A 






4
20
32
12
4A

22. PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :
k(B+C) = kB + kC
k(B-C) = kB-kC
(k1+k2)C = k1C + k2C
(k1-k2)C = k1C – k2C
(k1.k2)C = k1(k2C)

23. PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Contoh :
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B








1
2
1
0
A 






1
1
4
3
B






























0
6
10
6
0
3
5
3
*
2
)
1
1
4
3
1
2
1
0
(
*
2
)
(
2 B
A






































0
6
10
6
2
2
8
6
2
4
2
0
1
1
4
3
*
2
1
2
1
0
*
2
2
2 B
A
TERBUKTI

24. PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Contoh :
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
(k1+k2)C = k1.C + k2.C








1
2
1
1
C


























5
10
5
5
1
2
1
1
*
5
1
2
1
1
*
)
3
2
(
*
)
( 2
1 C
k
k
TERBUKTI









































5
10
5
5
3
6
3
3
2
4
2
2
1
2
1
1
*
)
3
(
1
2
1
1
*
)
2
(
)
*
*
( 2
1 C
k
C
k

25. PERKALIAN MATRIKS
 Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak
bersifat komutatif.
 Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama
matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
 Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp
maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij )
berukuran mxp dimana

26. PERKALIAN MATRIKS
 Contoh :











0
1
3
B
     
11
)
0
*
1
(
)
1
*
2
(
)
3
*
3
(
0
1
3
*
1
2
3
* 














B
A
 
1
2
3

A
 

































0
0
0
1
2
3
3
6
9
1
*
0
2
*
0
3
*
0
1
*
1
2
*
1
3
*
1
1
*
3
2
*
3
3
*
3
1
2
3
*
0
1
3
* A
B

27. PERKALIAN MATRIKS
 Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ;
A³=A².A dan seterusnya
 Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C
(tidak berlaku sifat penghapusan)
 Apabila AB = AC belum tentu B = C
 Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau
B=0
 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB+AC
3. (B+C)A = BA+CA
4. A(B-C)=AB-AC
5. (B-C)A = BA-CA
6. A(BC) = (aB)C= B(aC)
7. AI = IA = A