Bài tập có lời giải chương 1

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2
Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một
số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn
giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt
BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Bài 1:
Tính hạng của ma trận:
1)
A =
2 -4 3 1 0
1 -2 1 -4 2
0 1 -1 3 1
1 -7 4 -4 5
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h1¾«¾h2®
1 -2 1 -4 2
2 -4 3 1 0
0 1 -1 3 1
1 -7 4 -4 5
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-2)+h2
¾h¾1(-¾1)+¾h4®
1 -2 1 -4 2
0 0 1 9 -4
0 1 -1 3 1
0 -5 3 0 3
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h¾2«¾h3®
1 -2 1 -4 2
0 1 -1 3 1
0 0 1 9 -4
0 -5 3 0 3
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h¾2(5¾)+h¾4®
1 -2 1 -4 2
0 1 -1 3 1
0 0 1 9 -4
0 0 -2 15 8
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h¾3(2¾)+h4¾®
1 -2 1 -4 2
0 1 -1 3 1
0 0 1 9 -4
0 0 0 33 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 4
2)
A =
0 2 -4
-1 -4 5
3 1 7
0 5 -10
2 3 0
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
¾h¾1«h¾2®
-1 -4 5
0 2 -4
3 1 7
0 5 -10
2 3 0
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
h1(3)+h3
h1(2)+h4 ¾¾¾¾®
-1 -4 5
0 2 -4
0 -11 22
0 5 -10
0 -5 10
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
h2 1
2
æ
è ç
ö
ø ÷
¾¾¾®
-1 -4 5
0 1 -2
0 -11 22
0 5 -10
0 -5 10
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
h2(11)+h3
h2(-5)+h4
h2(5)+h5 ¾¾¾¾®
-1 -4 5
0 1 -2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 2
1

2)
A =
2 -1 3 -2 4
4 -2 5 1 7
2 -1 1 8 2
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
h1(-2)+h2
¾h¾1(-1¾)+¾h3®
2 -1 3 -2 4
0 0 -1 5 -1
0 0 -2 10 -2
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h¾2(-2¾)+¾h3®
2 -1 3 -2 4
0 0 -1 5 -1
0 0 0 0 0
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
Þr(A) = 2
3)
A =
1 3 5 -1
2 -1 -5 4
5 1 1 7
7 7 9 -1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-2)+h2
h1(-5)+h3
h1(-7)+h4 ¾¾¾¾®
1 3 5 -1
0 -7 -15 6
0 -14 -24 12
0 -14 -26 6
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2(-2)+h3
h2(-2)+h4 ¾¾¾¾®
1 3 5 -1
0 -7 -15 6
0 0 6 0
0 0 4 -6
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h3 1
6
æ
è ç
ö
ø ÷
¾¾¾®
1 3 5 -1
0 -7 -15 6
0 0 1 0
0 0 4 -6
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h4(-4)+h4 ¾¾¾¾®
1 3 5 -1
0 -7 -15 6
0 0 1 0
0 0 0 -6
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 4
4)
A =
3 -1 3 2 5
5 -3 2 3 4
1 -3 -5 0 7
7 -5 1 4 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h1¾«¾h3®
1 -3 -5 0 7
5 -3 2 3 4
3 -1 3 2 5
7 -5 1 4 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-5)+h2
h1(-3)+h3
h1(-7)+h4 ¾¾¾¾®
1 -3 -5 0 7
0 12 27 3 -31
0 8 18 2 -16
0 16 36 4 -48
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h3
1
2
æ
è ç
ö
ø ÷
«h2
¾¾¾¾®
1 -3 -5 0 7
0 4 9 1 -8
0 12 27 3 -31
0 16 36 4 -48
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2(-3)+h3
h2(-4)+h4 ¾¾¾¾®
1 -3 -5 0 7
0 4 9 1 -8
0 0 0 0 -7
0 0 0 0 -16
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h3 -16
7
æ
è ç
ö
ø ÷
+ h4
¾¾¾¾¾®
1 -3 -5 0 7
0 4 9 1 -8
0 0 0 0 -7
0 0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 3
5)
2

A =
2 2 1 5 -1
1 0 4 -2 1
2 1 5 -2 1
-1 -2 2 -6 1
-3 -1 -8 1 -1
1 2 -3 7 -2
æ
ççççççç
è
ö
÷÷÷÷÷÷÷
ø
¾h¾1«h¾2®
1 0 4 -2 1
2 2 1 5 -1
2 1 5 -2 1
-1 -2 2 -6 1
-3 -1 -8 1 -1
1 2 -3 7 -2
æ
ççççççç
è
ö
÷÷÷÷÷÷÷
ø
h1(-2)+h2
h1(-2)+h3
h1+h4
h1(3)+h5
h1(-1)+h6
¾¾¾¾®
1 0 4 -2 1
0 2 -7 9 -3
0 1 -3 2 -1
0 -2 6 -8 2
0 -1 4 -5 2
0 2 -7 9 -3
æ
ççççççç
è
ö
÷÷÷÷÷÷÷
ø
¾h¾2«¾h3®
1 0 4 -2 1
0 1 -3 2 -1
0 2 -7 9 -3
0 -2 6 -8 2
0 -1 4 -5 2
0 2 -7 9 -3
æ
ççççççç
è
ö
÷÷÷÷÷÷÷
ø
h2(-2)+h3
h2(2)+h4
h2+h5
h2(-2)+h6
¾¾¾¾®
1 0 4 -2 1
0 1 -3 2 -1
0 0 -1 3 -1
0 0 0 -4 0
0 0 1 -3 1
0 0 -1 3 -1
æ
ççççççç
è
ö
÷÷÷÷÷÷÷
ø
h3+h5
h3(-1)+h6 ¾¾¾¾®
1 0 4 -2 1
0 1 -3 2 -1
0 0 -1 3 -1
0 0 0 -4 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
æ
ççççççç
è
ö
÷÷÷÷÷÷÷ Þr(A) = 4
ø
6)
A =
1 -1 2 3 4
2 1 -1 2 0
-1 2 1 1 3
1 5 -8 -5 -12
3 -7 8 9 13
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
h1(-2)+h2
h1+h3
h1(-1)+h4
h1(-3)+h5
¾¾¾¾®
1 -1 2 3 4
0 3 -5 -4 -8
0 1 1 3 7
0 6 -10 -8 -16
0 -4 2 0 1
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
¾h¾2«¾h3®
1 -1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 3 -5 -4 -8
0 6 -10 -8 -16
0 -4 2 0 1
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
h2(-3)+h3
h2(-6)+h4
h2(4)+h5 ¾¾¾¾®
1 -1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 -8 -13 -29
0 0 -16 -26 -58
0 0 6 12 29
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
h3(-1)+h4
¾h¾3+h¾5 ¾®
1 -1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 -8 -13 -29
0 0 0 0 0
0 0 -2 -1 0
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
¾h¾5(-¾4)+h¾3®
1 -1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 0 -9 -29
0 0 0 0 0
0 0 -2 -1 0
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
3

¾h¾5«¾h4«¾h3®
1 -1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 -2 -1 0
0 0 0 -9 -29
0 0 0 0 0
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 4
7)
A =
-3 2 -7 8
-1 0 5 -8
4 -2 2 0
1 0 3 7
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h¾1«h¾2®
-1 0 5 -8
-3 2 -7 8
4 -2 2 0
1 0 3 7
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-3)+h2
h1(4)+h3
h1+h4 ¾¾¾¾®
-1 0 5 -8
0 2 -22 32
0 -2 22 -32
0 0 8 -1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h¾2(-¾1)+h¾3®
-1 0 5 -8
0 2 -22 32
0 0 0 0
0 0 8 -1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h¾3«¾h4®
-1 0 5 -8
0 2 -22 32
0 0 8 -1
0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 3
8)
A =
-1 3 3 -4
4 -7 -2 1
-3 5 1 0
-2 3 0 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(4)+h2
h1(-3)+h3
h1(-2)+h4 ¾¾¾¾®
-1 3 3 -4
0 5 10 -15
0 -4 -8 12
0 -3 -6 9
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2 1
5
æ
è ç
ö
ø ÷
h3 1
4
æ
è ç
ö
ø ÷
¾¾¾®
h4 1
3
æ
è ç
ö
ø ÷
-1 3 3 -4
0 1 2 -3
0 -1 -2 3
0 -1 -2 3
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2+h3
h2+h4 ¾¾¾®
-1 3 3 -4
0 1 2 -3
0 0 0 0
0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 2
9)
A =
1 3 -1 6
7 1 -3 10
17 1 -7 22
3 4 -2 10
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-7)+h2
h1(-17)+h3
h1(-3)+h4 ¾¾¾¾®
1 3 -1 6
0 -20 4 -32
0 -50 10 -80
0 -5 1 -8
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2 1
4
æ
è ç
ö
ø ÷
¾¾¾®
h3 1
10
æ
è ç
ö
ø ÷
1 3 -1 6
0 -5 1 -8
0 -5 1 -8
0 -5 1 -8
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2(-1)+h3
h2(-1)h4 ¾¾¾¾®
1 3 -1 6
0 -5 1 -8
0 0 0 0
0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 2
10)
4

A =
0 1 10 3
2 0 4 -1
16 4 52 9
8 -1 6 -7
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h¾1«h¾2®
2 0 4 -1
0 1 10 3
16 4 52 9
8 -1 6 -7
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-8)+h3
h1(-4)+h4 ¾¾¾¾®
2 0 4 -1
0 1 10 3
0 4 20 17
0 -1 -10 -3
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2(-4)+h3
h2+h4 ¾¾¾¾®
2 0 4 -1
0 1 10 3
0 0 -20 5
0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Þr(A) = 3
Bài 2:
Biện luận theo tham số l hạng của các ma trận:
1)
A =
3 1 1 4
l 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h2¾«¾h4®
3 1 1 4
2 2 4 1
1 7 17 3
l 4 10 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾c1¾«c¾4®
4 1 1 3
1 2 4 2
3 7 17 1
1 4 10 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h1¾«¾h2®
1 2 4 2
4 1 1 3
3 7 17 1
1 4 10 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-4)+h2
h1(-3)+h3
h1(-1)+h4 ¾¾¾¾®
1 2 4 2
0 -7 -15 -5
0 1 5 -5
0 2 6 l - 2
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h2¾«¾h3®
1 2 4 2
0 1 5 -5
0 -7 -15 -5
0 2 6 l - 2
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2(7)+h3
h2(-2)+h4 ¾¾¾¾®
1 2 4 2
0 1 5 -5
0 0 20 -40
0 0 -4 l + 8
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h3
1
5
æ
è ç
ö
ø ÷
+ h4
¾¾¾¾®
1 2 4 2
0 1 5 -5
0 0 20 -40
0 0 0 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Vậy :
- Nếu l = 0 thì r(A) = 3
- Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 4
2)
A =
3 1 1 4
l 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h2¾«¾h4®
3 1 1 4
2 2 4 3
1 7 17 3
l 4 10 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾c1¾«c¾4®
4 1 1 3
3 2 4 2
3 7 17 1
1 4 10 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
5

¾c1¾«c¾2®
1 4 1 3
2 3 4 2
7 3 17 1
4 1 10 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-2)+h2
h1(-7)+h3
h1(-4)+h4 ¾¾¾¾®
1 4 1 3
0 -5 2 -4
0 -25 10 -20
0 -15 6 l -12
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2(-5)+h3
h2(-3)+h4 ¾¾¾¾®
1 4 1 3
0 -5 2 -4
0 0 0 0
0 0 0 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h3¾«¾h4®
1 4 1 3
0 -5 2 -4
0 0 0 l
0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Vậy:
- Nếu l = 0 thì r(A) = 2
- Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 3
3)
A =
4 1 3 3
0 6 10 2
1 4 7 2
6 l -8 2
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾C¾2«¾C4®
4 3 3 1
0 2 10 6
1 2 7 4
6 2 -8 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h1¾«¾h3®
1 2 7 4
0 2 10 6
4 3 3 1
6 2 -8 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(-4)+h3
h1(-6)+h4 ¾¾¾¾®
1 2 7 4
0 2 10 6
0 -5 -25 -15
0 -10 -50 l - 24
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2
1
2
æ
è ç
ö
ø ÷
¾¾¾®
1 2 7 4
0 1 5 3
0 -5 -25 -15
0 -10 -50 l - 24
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2(5)+h3
h2(10)+h4 ¾¾¾¾®
1 2 7 4
0 1 5 3
0 0 0 0
0 0 0 l + 6
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h3¾«¾h4®
1 2 7 4
0 -1 -5 -3
0 0 0 l + 6
0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Vậy:
- Khi l + 6 = 0Ûl = -6 thì r(A) = 2
- Khi l + 6 ¹ 0Ûl ¹ -6 thì r(A) = 3
4)
A =
-3 9 14 1
0 6 10 2
1 4 7 2
3 l 1 2
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷ ¾C¾2«¾C4®
ø
-3 1 14 9
0 2 10 6
1 2 7 4
3 2 1 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h1¾«¾h3®
1 2 7 4
0 2 10 6
-3 1 14 9
3 2 1 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h1(3)+h3
h1(-3)+h4 ¾¾¾¾®
1 2 7 4
0 2 10 6
0 7 35 21
0 -4 -20 l -12
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h2
1
2
æ
è ç
ö
ø ÷
¾¾¾®
1 2 7 4
0 1 5 3
0 7 35 21
0 -4 -20 l -12
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
6

h2(-7)+h3
h2(4)+h4 ¾¾¾¾®
1 2 7 4
0 1 5 3
0 0 0 0
0 0 0 l
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h3¾«¾h4®
1 2 7 4
0 1 5 3
0 0 0 l
0 0 0 0
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
Vậy :
- Nếu l = 0 thì r(A) = 2
- Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 3
7

BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Bài 1:
Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:
1)
A = 3 4
5 7
æ
è ç
ö
ø ÷
Ta có:
( A I ) = 3 4 1 0
5 7 0 1
æ
è ç
ö
ø ÷
h1 -5
3
æ
è ç
ö
ø ÷
+ h2
¾¾¾¾®
3 4 1 0
0 1
3
- 5
3
1
æ
ççç
è
ö
÷÷÷
ø
h1 1
3
4
¾h¾2(3)¾® 1 æ
è ç
ö
ø ÷
3
1
3
0
0 1 -5 3
æ
ççç
è
ö
÷÷÷
ø
h2 -4
¾¾¾¾® 3
1 0 7 -4
æ
è ç
ö
ø ÷
+h1
0 1 -5 3
æ
è ç
ö
ø ÷
ÞA-1 = 7 -4
-5 3
æ
è ç
ö
ø ÷
2)
A = 1 -2
4 -9
æ
è ç
ö
ø ÷
Ta có:
A-1 = 1 -2
4 -9
æ
è ç
ö
ø ÷
-1
= 1
ad -bc
d -b
-c a
æ
è ç
ö
ø ÷
= 1
1.(-9) - (-2).4
-9 2
-4 1
æ
è ç
ö
ø ÷
= 9 -2
4 -1
æ
è ç
ö
ø ÷
3)
A =
3 -4 5
2 -3 1
3 -5 -1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
Ta có:
( A I ) =
3 -4 5 1 0 0
2 -3 1 0 1 0
3 -5 -1 0 0 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h2¾(-1¾)+h¾1®
çç ö
1 -1 4 1 -1 0
2 -3 1 0 1 0
3 -5 -1 0 0 1
æ
è
÷÷
ø
h1(-2)+h2
h1(-3)+h3 ¾¾¾¾®
1 -1 4 1 -1 0
0 -1 -7 -2 3 0
0 -2 -13 -3 3 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h2¾(-2¾)+h¾3®
1 -1 4 1 -1 0
0 -1 -7 -2 3 0
0 0 1 1 -3 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h2¾(-1¾®)
1 -1 4 1 -1 0
0 1 7 2 -3 0
0 0 1 1 -3 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
h3(-7)+h2
h3(-4)+h1 ¾¾¾¾®
1 -1 0 -3 11 -4
0 1 0 -5 18 -7
0 0 1 1 -3 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h2¾+h¾1®
çç ö
1 0 0 -8 29 -11
0 1 0 -5 18 -7
0 0 1 1 -3 1
æ
è
÷÷
ø

8

Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A-1
=
8 29 11
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
- -
- -
5 18 7
-
1 3 1
4)
A =
2 7 3
3 9 4
1 5 3
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
Ta có:
( A I ) =
2 7 3 1 0 0
3 9 4 0 1 0
1 5 3 0 0 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h3¾«h¾1®
1 5 3 0 0 1
3 9 4 0 1 0
2 7 3 1 0 0
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
h1(-3)+h2
h1(-2)+h3 ¾¾¾¾®
1 5 3 0 0 1
0 -6 -5 0 1 -3
0 -3 -3 1 0 -2
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h3¾«h¾2®
1 5 3 0 0 1
0 -3 -3 1 0 -2
0 -6 -5 0 1 -3
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
¾h2¾(-2¾)+h¾3®
1 5 3 0 0 1
0 -3 -3 1 0 -2
0 0 1 -2 1 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
h2 -1
3
æ
è ç
ö
ø ÷
¾¾¾®
1 5 3 0 0 1
0 1 1 - 1
3
0 2
3
0 0 1 -2 1 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
h3(-1)+h2
h3(-3)+h1 ¾¾¾¾®
1 5 0 6 -3 -2
0 1 0 5
3
-1 - 1
3
0 0 1 -2 1 1
æ
çççç
è
ö
÷÷÷÷
ø
¾h2¾(-5¾)+h¾1®
1 0 0 - 7
3
2 - 1
3
0 1 0 5
3
-1 - 1
3
0 0 1 -2 1 1
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
ÞA-1 =
- 7
3
2 - 1
3
5
3
-1 - 1
3
-2 1 1
æ
ççççç
è
ö
÷÷÷÷÷
ø
5)
A =
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
Ta có:
9

1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0
2 1 2 0 1 0 0 3 6 2 1 0
2 2 1 0 0 1 0 6 3 2 0 1
æ ö ç ¸¾¾¾¾®ç ( )
æ ö
= - ( )
ç ¸ ç - - - ¸ ¸
çè - ø¸ èç - - - ø¸
( )
1 2 2
1 2 3
2 1
1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0
3
0 3 6 2 1 0 0 1 2 2 1 0
3 1 2 2 3 9
3 3
0 0 9 2 2 1 2 2 1 0 0 1
9 9 9
h h
h h
h
h h h
A
- +
- +
æ- ö çè ø¸
æ ö
- + çè ø¸
æ ö
ç ¸
æ ö ç ¸
¾¾¾¾®ç - - - ¸¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ ç ¸
ç - ¸
è ø
1 2 0 5 4 2 1 0 0 1 2 2
æ - ö æ ö ç ¸ ç ¸
ç 9 9 9 ¸ ç 9 9 9
¸
( )
( ) ( )
h - +
h
h - + h h - +
h
3 2 2
3 2 1 2 2 1
0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2
¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸
9 9 9 9 9 9
ç ¸ ç ¸
çç 0 0 1 2 - 2 1 ¸¸ çç 0 0 1 2 - 2 1
¸¸ è 9 9 9 ø è 9 9 9
ø
1
1 2 2
9 9 9
2 1 2
9 9 9
2 2 1
9 9 9
A-
æ ö
ç ¸
ç ¸
Þ = ç - ¸ ç ¸
ç ¸
çç - ¸¸ è ø
Bài 2
Giải các phương trình ma trận sau
1)
1 2 3 5
3 4 5 9
X æ ö æ ö
ç ¸ = ç ¸
è ø è ø
Đặt
1 2 3 5
A B æ ö æ ö
= ç ;
= è 3 4 ¸ ç ¸
ø è 5 9
ø
Ta có: AX = BÛ X = A-1B
1
1
1 2 4 2 2 1 1 1
3 4 1.4 2.3 3 1 3 1
2 2
d b
2 1 3 5 1 1
3 1 5 9 2 3
2 2
A
ad bc c a
X
-
-
- - æ - ö æ ö æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸= ç ¸= ç - ¸ è ø - è- ø - è- ø è ø
æ - ö - - ç ¸æ ö æ ö Þ = ç - ¸ç ¸= ç ¸ è ø è ø è ø
2)
3 2 1 2
5 4 5 6
X
æ - ö æ - ö
ç ¸= ç ¸ è - ø è- ø
10

Đặt
æ 3 - 2 ö æ - 1 2
ö
= ç ¸ = - è- ç ¸ è ø ø
A ;
B
5 4 5 6
Ta có: XA = BÛ X = BA-1
1
1
3 2 4 2 2 1 1 1
5 4 3.( 4) 5.( 2) 5 3 5 3
2 2
d b
2 1 1 2 3 2
5 3 5 6 5 4
2 2
A
ad bc c a
X
-
-
- - - æ - ö æ ö æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸= ç ¸= ç ¸ è - ø - è - ø - - - è - ø - è ø
æ - ö - - ç ¸æ ö æ ö Þ = ç ¸ç ¸= ç ¸ - è- ø è - ø è ø
æ 1 2 - 3 ö æ 1 - 3 0
ö
3)
ç ç 3 2 - 4 ¸ ¸ X
= ç ç 10 2 7
¸ ¸
çè 2 - 1 0 ø¸ èç 10 7 8
ø¸
Giải:
Đặt
æ 1 2 - 3 ö æ 1 - 3 0
ö
= ç ç 3 2 - 4 ¸ ç ¸ ; = ç 10 2 7
¸ ¸
çè 2 - 1 0 ø¸ èç 10 7 8
ø¸
A B
Ta có: AX = BÛ X = A-1B
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: 1
4 3 2
8 6 5
7 5 4
A-
æ - - ö
= ç - - ¸ ç ¸
çè - - ø¸
Suy ra:
4 3 2 1 3 0 6 4 5
8 6 5 10 2 7 2 1 2
7 5 4 10 7 8 3 3 3
X
æ - - öæ - ö æ ö
= ç - - ¸ç ¸= ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸
çè - - ø¸èç ø¸ èç ø¸
4)
5 3 1 8 3 0
1 3 2 5 9 0
5 2 1 2 15 0
X
æ ö æ - ö
ç - - ¸= ç - ¸ ç ¸ ç ¸
çè- ø¸ èç - ø¸
Đặt
æ 5 3 1 ö æ - 8 3 0
ö
= ç ç 1 - 3 - 2 ¸ ç- ¸ ; = ç 5 9 0
¸ ¸
çè - 5 2 1 ø¸ èç- 2 15 0
ø¸
A B
Ta có: XA = BÛ X = BA-1
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:
11

1
1 1 3
19 19 19
9 10 11
19 19 19
13 25 18
19 19 19
A-
æ - - ö ç ¸
ç ¸
= ç ¸ ç ¸
ç ¸
çç - - - ¸¸ è ø
Suy ra:
1
1 1 3
8 3 0 19 19 19 1 2 3
5 9 0 9 10 11 4 5 6
19 19 19
2 15 0 13 25 18 7 8 9
19 19 19
X BA- A
æ - - ö ç ¸
æ - öç ¸ æ ö
= = = ç - ¸ç ¸= ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸ çè - ø¸ç ¸ èç ø¸
çç - - - ¸¸ è ø
æ 3 - 1 ö 5 6 14 16
5)
ç ¸ X
æ ö æ ö
5 - 2 ç ¸= ç ¸ è ø è 7 8 ø è 9 10
ø
Đặt
æ 3 - 1 ö æ 5 6 ö æ 14 16
ö
= ç ¸ = - ç ¸ = ç ¸ è ø è ø è ø
A ; B ;
C
5 2 7 8 9 10
Ta có: AXB = C Û X = A-1CB-1
1
1
1
1
3 1 2 1
5 2 5 3
5 6 4 3
7 8 7 5
2 2
A
B
-
-
-
-
æ - ö æ - ö
= ç ¸ = ç ¸ è - ø è - ø
æ - ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸ è ø - è ø
Suy ra:
2 1 14 16 4 3 19 22 4 3 1 2
5 3 9 10 7 5 43 50 7 5 3 4
2 2 2 2
X
- æ - ö æ - ö æ öæ öç ¸ æ öç ¸ æ ö = ç ¸ç ¸ç ¸= ç ¸ç ¸= ç ¸ è - øè ø - è ø - è ø è ø è ø
12

BÀI TẬP VỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
x x x
x x x
x x x
+ + = ìï
7 2 3 15
1 2 3
5 3 2 15
10 11 5 36
- + = 1 2 3
î - + =
1 2 3
íï
Giải:
Ta có:
( ) 2( 1) 1 1( 2) 2
æ ö æ ö æ ö
= ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸
çè - ø¸ èç - ø¸ èç - ø¸
7 2 3 15 2 5 1 0 2 5 1 0
5 3 2 15 h h 5 3 2 15 h h
1 13 0 15
h h
10 11 5 36 0 5 1 6 0 5 1 6
1 13 0 15 1 13 0 15
2 5 1 0 0 31 1 30
0 5 1 6 0 5 1 6
A B - + - +
- +
2( 2) 3
æ - ö æ - ö
¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸ ç ¸
h « h h - +
h h
1 2 1( 2) 2 3
çè - ø¸ èç - ø¸
(6) 2
2(5) 3
1 13 0 15
0 1 7 6
0 5 1 6
1 13 0 15
0 1 7 6
0 0 36 36
h
h h
+
+
æ - ö
¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸
çè - ø¸
æ - ö
¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸
çè ø¸
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
x x x
x x x
x x
ì - = ì =
ï + = Ûï = - í í
ï = ï = î î
13 15 2
7 6 1
1 2 1
2 3 2
36 36 1
3 3
2)
x x x
x x x
x x x
+ - = ìï
2 2 10
1 2 3
3 2 2 1
5 4 3 4
+ + = 1 2 3
î + + =
1 2 3
íï
Giải:
Ta có:
( ) 1( 1) 2
æ 2 1 - 2 10 ö æ 2 1 - 2 10 ö æ 1 1 4 - 9
ö
ç ¸¾¾¾¾®ç h - +
h
= 3 2 2 1 h 1( - 2) + h 3 1 1 4 - 9 ¸¾¾¾®ç h 1 «
h
2
¸ ç ¸ ç ¸ ç 2 1 - 2 10
¸
çè 5 4 3 4 ø¸ èç 1 2 7 - 16 ø¸ èç 1 2 7 - 16
ø¸
æ - ö æ - ö
1 1 4 9 1 1 4 9
0 1 10 28 0 1 10 28
0 1 3 7 0 0 7 21
A B
h - +
h
h - + h h +
h
1( 2) 2
1( 1) 2 2 3
¾¾¾¾®ç - - ¸¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç
¸¸
çè - ø¸ èç - ø
13

x x x x
x x x
x x
ì + + 4 = - 9 =
1
ï- 1 2 3 ì 1
í - 10 = 28 Û ï í
= 2
2 3 2
ï- î = ï î
= - 7 21 3
3 3
3)
x x x
x x x
x x x
+ - = ìï
2 3
1 2 3
+ - = íï
î + + =
2 5 4 5
1 2 3
3 4 2 12
1 2 3
Giải:
Ta có:
( ) 1( 2) 2 2(2) 3
æ 1 2 - 1 3 ö æ 1 2 - 1 3 ö æ 1 2 - 1 3
ö
= ç ç 2 5 - 4 5 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 1 - 2 - 1 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 1 - 2 - 1
¸ ¸
çè 3 4 2 12 ø¸ èç 0 - 2 5 3 ø¸ èç 0 0 1 1
ø¸
A B h - + h h +
h
h 1( - 3) +
h 3
x x x x
x x x
x x
ì + - = ì =
ï - = - Ûï = í í
ï = ï = î î
2 3 2
2 1 1
1 1
1 2 3 1
2 3 2
3 3
4)
x x x
x x x
x x x
+ - = ìï
2 3 1
1 2 3
5 2 6 5
3 4 7
+ - = 1 2 3
î - - =
1 2 3
íï
Giải:
Ta có:
( ) 3( 1) 1 1( 1) 2
æ 2 1 - 3 1 ö æ - 1 2 1 - 6 ö æ- 1 2 1 - 6
ö
= ç 5 2 - 6 5 ¸¾¾¾¾®ç- h h ç ¸ ç 1 4 2 - 9 ¸¾¾¾¾®ç h h
¸ h h ¸ 0 2 1 - 3
h h
ç ¸
çè 3 - 1 - 4 7 ø¸ èç 3 - 1 - 4 7 ø¸ èç 0 5 - 1 - 11
ø¸
A B - + - +
- + +
3( 2) 2 1(3) 3
æ - - ö æ - -
ö æ- - ö
¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸
ç ¸ø çè ¸ø
1 2 1 6 1 2 1 6
0 2 1 3 0 1 3 5
0 1 3 5 0 2 1 3
¾¾¾¾®ç h 2( - 2) + h 3 - ¸¾¾¾®ç h 2 «
h
3
ç ¸
- - çè - - ø¸ è -
2( 2) 3
1 2 1 6
0 1 3 5
0 0 7 7
h - +h
x x x x
x x x
x x
ì- + + = - ì =
ï - = - Ûï = - í í
ï = ï = î î
2 6 3
3 5 2
1 2 3 1
2 3 2
7 7 1
3 3
5)
x x x
x x x
x x x
+ - = ìï + - = íï
î + - =
2 2 8
1 2 3
3 2 4 15
1 2 3
5 4 1
1 2 3
14

Giải:
Ta có:
( A B ) 2( - 1) + 1 1(3) +
2
2( 2) 3 1( 1) 3
2 3
2 1 2 8 1 1 2 7 1 1 2 7
3 2 4 15 h h 3 2 4 15 h h
0 1 2 6
h h h h
5 4 1 1 1 0 7 29 0 1 5 22
1 1 2 7
0 1 2 6
0 0 7 28
h h
- + - +
+
æ - ö æ- - - ö æ- - - ö
= ç - ¸¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸
çè - ø¸ èç- - ø¸ èç - ø¸
æ- - - ö
¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸
çè - ø¸
x x x x
x x x
x x
ì- - + 2 = - 7 ì =
1
ï- 1 2 3 1
í + = - Ûï í
= - 2 3 2
ï = - ï î î
= - 2 6 2
7 28 4
3 3
6)
x x x
x x x
x x x
+ - = ìï
2 3 1
1 2 3
+ - = íï
î + - =
2 5 8 4
1 2 3
3 8 13 7
1 2 3
Giải:
Ta có:
( ) 1( 2) 2 2( 2) 3
æ 1 2 - 3 1 ö æ 1 2 - 3 1 ö æ 1 2 - 3 1
ö
= ç 2 5 - 8 4 ¸¾¾¾¾®ç 0 1 - 2 2 ¸¾¾¾¾®ç ç ¸ ç ¸ ç 0 1 - 2 2
¸ ¸
çè 3 8 - 13 7 ø¸ èç 0 2 - 4 4 ø¸ èç 0 0 0 0
ø¸
A B h - + h h - +
h
h 1( - 3) +
h 3
ì + - = ï ï í Ûí = + Ûí = + Î î - = ï ï î tuøy î =
( )
x x x t
ì = - 3 - ì = - 3
-
1 3 1
1 2 3
2 3 2
2 3
3 3
2 3 1
2 2 2 2
2 2
ý
x x x
x x x t t R
x x
x x t
Bài 2:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ - + = ìï
2 2 4
1 2 3 4
4 3 2 6
8 5 3 4 12
3 3 2 2 6
+ - + = 1 2 3 4
ïí
+ - + = 1 2 3 4
î + - + =
1 2 3 4
Giải:
Ta ïï
có:
15

( )
( )
( )
æ - ö æ - ö
ç - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸
ç - ¸ ç - - ¸
ç - ¸ ç - ¸ è ø è ø
2 2 1 1 4 h1 - 2 +
h2
2 2 1 1 4
h1 - 4 +
h3
4 3 1 2 6 h1 3 çè æ- ö+ h4
0 1 1 0 2
2
ø¸
8 5 3 4 12 0 3 1 0 4
3 3 2 2 6 0 0 1/ 2 1/ 2 0
2 2 1 1 4 2 2 1 1 4
0 1 1 0 2 0 1 1 0 2
0 0 2 0 2 0
0 0 1/ 2 1/ 2 0
A B
æ - ö -
ç ¸ ¾¾¾¾®ç h2( - 3) + h3 - - ¸¾¾¾¾®
h3( - 1/4) +
h4
- - ç - ¸
ç - ¸ è ø
æ ö
ç ¸
ç ¸
ç 0 - 2 0 2
¸
ç ¸ è 0 0 0 1/ 2 - 1/ 2
ø
Khi đó (1) Û
( )
( )
( )
( )
x x x x
ì + - + =
ï - + = - ïïí
2 2 4 1
1 2 3 4
2 3
- = -
3
4
2 2
2 2 3
1 1 4
2 2
x x
x
x
ïï
ï = - î
Từ (4) 4 Þ x = -1
Thế 4 x = -1 vào (3) 3 Þ x = -1
Thế x3 vào (2) ta được: 2 x =1
Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: 1 x =1
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
1
2
3
4
1
1
1
1
x
x
x
x
= ìï
= ïí
= - ïï
î = -
hay (1, 1, -1, -1)
2)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + = ìï
2 3 11 5 2
1 2 3 4
+ + + = ïí
5 2 1
1 2 3 4
+ + + = - ïï
î + + + = -
2 3 2 3
1 2 3 4
3 4 3
1 2 3 4
Giải:
Ta có:
2 3 11 5 2 1 1 5 2 1
1 1 5 2 1 2 3 11 5 2
æ ö æ ö
ç ¸ ç ¸
= ç ¸¾¾¾®ç ¸
ç - ¸ ç - ¸
ç - ¸ ç - ¸ è ø è ø
( A /
B ) h1 «
h2
2 1 3 2 3 2 1 3 2 3
1 1 3 4 3 1 1 3 4 3
16

( )
( )
( )
h1 2 h2
h1 2 h3
h1 1 h4 h2 h3 h3 h4
h3(-3) h4
1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1
0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 7 2 5 0 0 6 1 5 0 0 2 2 4
0 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 0 6 1 5
1 1 5 2 1
0 1 1 1 0
0 0 2 2 4
0 0 0 7 7
- +
- +
- + + «
+
æ ö æ ö æ ö
ç ¸ ç ¸ ç ¸
¾¾¾¾® ç ¸¾¾¾® ç ¸¾¾¾® ç ¸
ç - - - - ¸ ç - - - ¸ ç - - ¸
ç - - ¸ ç - - ¸ ç - - - ¸ è ø è ø è ø
æ ö
çç
¾¾¾¾®
ç - -
ç - è
¸¸¸¸ø
Suy ra: (2) Û
+ + + = ìï
5 2 1 (1)
1 2 3 4
+ + = 2 3 4
ïí
- + = - 3 4
î - =
4
ïï
0 (2)
2 2 4 (3)
7 7 (4)
x x x x
x x x
x x
x
Từ (4) 4 Þ x = -1
Thế 4 x = -1 vào (3) 3 Þ x =1
Thế x3, x4 vào (2) ta được: 2 x = 0
Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: 1 x = -2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
ì
ï ï
í
ï ï
î
= -
x 2
=
1
x 0
=
2
x 1
= -
3
x 1
4
hay (-2, 0, 1, -1)
+ + + = íï
î + + + =
( ) h2(-1) h1
3)
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + = ìï
2 7 3 6
1 2 3 4
3 5 2 2 4
1 2 3 4
9 4 7 2
1 2 3 4
æ 2 7 3 1 6 ö æ- 1 2 1 - 1 2
ö
= ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸
çè ø¸ èç ø¸
A B +
/ 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4
9 4 1 7 2 9 4 1 7 2
æ- - ö æ- - ö
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
0 11 5 1 10 0 11 5 1 10
0 22 10 2 20 0 0 0 0 0
h1(3)+h2
h1(3)+h3 h2(-2) h3
¾¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç +
¸ ç ¸ ç - ¸
çè - ø¸ èç ø¸
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình:
17

x x x x
- + + - = ìí
î + - =
2 2 (1)
11 x 5 x x
10 (2)
x = x + x
-
x x x x x x x x
(2) : 11 5 10
(1) 2 11 5 10 2 9 4 8
( )
1 2 3 4
2 3 4
4 2 3
Û - + + - + - = Û = - - +
1 2 3 2 3 1 2 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
x x x
x
x
x x x
=- - + ìïïíïï
î = + -
9 4 8
1 2 3
x t s
x t
= + ìï
ï = í " Î = ïï
î = + -
tuøy yù
tuøy yù hay ( )
2
2
4 2 3
11 5 10
1
2
3
4
-9 - 4 8
,
11 5 10
t s R
x s
x t s
4)
- + + = î + - - =
Ta có:
( íï
)
x x x x
x x x x
x x x x
- + + = ìï
3 5 2 4 2
1 2 3 4
7 4 3 5
1 2 3 4
5 7 4 6 3
1 2 3 4
æ - ö æ - ö
= ç - ¸¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸
çè - - ø¸ èç - - ø¸
æ - - ö æ - - ö
A B +
( )
( )
¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸
( )
h1(-2) h2
1 3 2
1 2 1 5 3
2 1 3
3 5 2 4 2 3 5 2 4 2
/ 7 4 1 3 5 1 6 3 5 1
5 7 4 6 3 5 7 4 6 3
1 6 3 5 1 1 6 3 5 1
h h
3 5 2 4 2 0 23 11 19 1
5 7 4 6 3 0 23 11 19 2
1 6 3 5 1
0 23 11 19 1
h h h h
h h
- +
« - +
- +
çè - - ø¸ èç - - ø¸
- -
æ ö
ç ¸
ç ¸
çè - ø¸
¾¾¾¾® - -
0 0 0 0 1
Suy ra: (4) Û
+ - - = ìï
- + + = - íï
î = -
6 3 5 0
23 11 19 1
1 2 3 4
2 3 4
0 1
x x x x
x x x
Þ hệ vô nghiệm
5)
x x x x
x x x
x x x
x x x x
- + - = ìï
2 1
1 2 3 4
2 3 2
3 3
3 2 2 5 6
- - = ïí
1 2 4
1 3 4
- + = - î + - + = -
1 2 3 4
ïï
18

( )
æ 2 - 1 1 - 1 1 ö æ 0 0 1 2 - 1
ö
ç h 2( - 1) +
h
3
ç 2 - 1 0 - 3 2 ¸ ç ¸ ¸¾¾¾¾®ç h 2( - 1) +
h
4
2 - 1 0 - 3 2
h 2( - 1) +
h
1
¸ ç 3 0 - 1 1 - 3 ¸ ç 1 1 - 1 4 - 5
¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è 3 2 - 2 5 - 6 ø è 0 3 - 2 8 - 8
ø
æ - - ö -
ç - - ¸ - - ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - ¸
1 1 1 4 5 1 1 1 4
2 1 0 3 2 0 3 2 11
0 0 1 2 1 0 0 1 2
0 3 2 8 8 0 3
A B
h « h h - +
h
1 3 1( 2) 2
çç ¸¸ è - - ø -
2 4
5
12
1
2 8 8
1 1 1 4 5
0 3 2 11 12
0 0 1 2 1
0 0 0 3 4
h +h
æ - ö
ç ¸
ç ¸
ç - ¸
çç ¸¸ è - ø
æ - - ö
ç - - ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç - ¸
çç ¸¸ è - ø
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình:
= 1
ìï
ïî
ì + - + = - ï 1 2 3 4 ï = 2
ï - + - = 2 3 4
Ûí ï æ - ö í ï + = - = 3
è ç ¸ 3 4
ï ø
îï - = ï 4
= - 4
0
4 5 2
3 2 11 12 5 5 4 0,2, ,
2 1 3 3 3
3 4 4
3
x
x x x x x
x x x
x hay x x
x x
6)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + = ìï
2 3 4 11
1 2 3 4
+ + + = ïí
2 3 4 12
1 2 3 4
3 4 2 13
4 2 3 14
+ + + = 1 2 3 4
î + + + =
1 2 3 4
ïï
Giaûi
æ 1 2 3 4 11 ö æ 1 2 3 4 11
ö
ç 2 3 4 1 12 ¸ ç h - +
h
0 - 1 - 2 - 7 - 10
¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç h - +
h
¸ ç 3 4 1 2 13 ¸ h - +
h
ç 0 - 2 - 8 - 10 - 20
¸
çç è 4 1 2 3 14 ¸¸ çç ø è 0 - 7 - 10 - 13 - 30
¸¸ ø
( ) 1( 2) 2
1( 3) 3
1( 4) 4
æ ö
ç - - - - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾ ® ç - ¸
1 2 3 4 11
0 1 2 7 10
0 0 4 4 0
0 0 4 36 40
A B
æ ö
ç - - - - ¸ ¾ ç ¸ ç - ¸
çç ¸¸ è ø
h - + h h +
h
h - +
h
2( 2) 3 3 4
2( 7) 4
çç ¸¸ è ø
1 2 3 4 11
0 1 2 7 10
0 0 4 4 0
0 0 0 40 40
19

( )
x x x x x
ì + + + = ì =
ï - - - = - ï = ï Ûï í - + = í = ï ï
îï = ïî =
2 3 4 11 2
1 2 3 4 1
x x x x
2 7 10 1
2 3 4 2
3 4 3
4 4
2,1,1,1
4 4 0 1
40 40 1
hay
x x x
x x
7)
x x x x
- + - = ìï
2 3 4 4
1 2 3 4
x x x
- = - ïí
+ 3
2 3 4
x x x
+ - = ïï
î - + + = -
3 3 1
7 3 3
1 2 4
x x x
2 3 4
Giaûi
æ 1 - 2 3 - 4 4 ö æ 1 - 2 3 - 4 4
ö
ç 0 1 - 1 1 - 3 ¸ ç 0 1 - 1 1 - 3
¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 1 3 0 - 3 1 ¸ ç 0 5 - 3 1 - 3
¸
çç è 0 - 7 3 1 - 3 ¸¸ çç ø è 0 - 7 3 1 - 3
¸¸ ø
( A B ) h 1( - 1) +
h
3
æ - - ö - -
ç - - ¸ - - ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - ¸ -
æ ö
ç ¸
ç ¸
ç ¸
çç ¸¸ è ø
1 2 3 4 4 1 2 3 4 4
0 1 1 1 3 0 1 1 1
0 0 2 4 12 0 0 2 4
0 0 4 8 24 0 0 0 0
h - + h h +
h
h +
h
2( 5) 3 3(2) 4
2(7) 4
çç ¸¸ è - - ø
3
12
0
ì - + - = ï ï ï ï = + ï = + í - + = - Ûí Ûí Î ï ï = + ï = + î - = ï ï î tuøy yù î =
( )
ì = - ì = -
8 8
1 1
1 2 3 4
2 4 2
2 3 4
3 4 3
3 4
4 4
2 3 4 4
3 3
3
2 6 2 6
2 4 12
x x
x x x x
x x x t
x x x t R
x x x t
x x
x x t
8)
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + = ìï
3 4 2 3
1 2 3 4
6 8 2 5 7
9 12 3 10 13
+ + + = 1 2 3 4
î + + + =
1 2 3 4
íï
Giaûi
( ) 1( 2) 2 2( 4) 3
æ 3 4 1 2 3 ö æ 3 4 1 2 3 ö æ 3 4 1 2 3
ö
= ç ç 6 8 2 5 7 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 0 1 1 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 0 1 1
¸ ¸
çè 9 12 3 10 13 ø¸ èç 0 0 0 4 4 ø¸ èç 0 0 0 0 0
ø¸
A B h - + h h - +
h
h 1( - 3) +
h 3
20

ì = - - ï ì + + + = ï ï = í Ûí = Ûí Î î = ï ï =
( )
x t s
ì = - -
1
3 1 2
1 2 3 4 2
4
4 3
î 1 2
î
ï = 4
1 3 4
1 3 4
3 4 2 3
1 ,
1
1
x x x
x x x x x t
x t s R
x x s
x
x
,x tuøy yù
9)
x x x x
x x x x
x x x x
- + + = ìï
9 3 5 6 4
1 2 3 4
6 2 3 4 5
3 3 14 8
- + + = 1 2 3 4
î - + + = -
1 2 3 4
íï
Giaûi
( ) 3 1 1( 2) 2
æ - ö æ - - ö æ - - ö
= ç - ¸¾¾¾®ç - ¸¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸
çè - - ø¸ èç - ø¸ èç - - ø¸
A B « - +
1( 3) 3
2 1
æ - - ö -
3 3 4
3 1
4
9 3 5 6 4 3 1 3 14 8 3 1 3 14 8
6 2 3 4 5 h h 6 2 3 4 5 h h
0 0 3 24 21
h h
3 1 3 14 8 9 3 5 6 4 0 0 4 36 28
3 1 3 14 8 3 1 3
0 0 1 8 7
0 0 1 9 7
h
h h
h
- +
æ- ö çè ø¸ +
æ ö
çè ø¸
¾¾¾®ç - ¸¾¾¾® ç ¸
çè - - ø¸
æ 14 - 8
ö
ç 0 0 1 8 - 7
¸ ç ¸
çè 0 0 0 - 1 0
ø¸
ì = + ì = + ì - + + = - ï ï ï ïï ïï í + = - Ûí Ûí = Î
ï = ï = - ï = - î ï ï
( )
1 13 1 13
x x x t
1 2 1
3 3 14 8 3 3 3 3
1 2 3 4
x tuøy yù
3 4 2 2
4 3 3
4 4
8 7
0 7 7
0 0
x x x x
x x x t t R
x x x
x x
îï = îï =
10)
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
- - + = ìï
3 2 5 3
1 2 3 4
2 3 5 3
- + + = - 1 2 3 4
ïí
+ - = - ïï
î - - + =
2 4 3
1 2 4
1 2 3 4
4 9 22
Giaûi
æ 3 - 2 - 5 1 3 ö æ 1 2 0 - 4 - 3
ö
ç 2 - 3 1 5 - 3 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 - 3 1 5 - 3
¸ = ¸ ç 1 2 0 - 4 - 3 ¸ ç 3 - 2 - 5 1 3
¸
çç è 1 - 1 - 4 9 22 ¸¸ çç ¸¸ ø è 1 - 1 - 4 9 22
ø
( A B ) h 1 «
h
3
æ - - ö
ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - - ¸
æ - - ö
ç - ¸ ç ¸
ç - - ¸
çç ¸¸ è ø
1 2 0 4 3 1
0 7 1 13 3
0 8 5 13 12
0 3 4 13 25
h - +
h
h - + h h - +
h
h - + h h - +
h
1( 2) 2
1( 3) 3 3( 1) 2
1( 1) 4 3( 1) 4
çç ¸¸ è - - ø
2 0 4 3
0 1 6 0 9
0 8 5 13 12
0 5 1 0 13
21

æ - - ö æ - - ö
ç - ¸ ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - ¸
1 2 0 4 3 1 2 0 4 3
0 1 6 0 9 4 1 3
0 1 6 0 9
0 0 43 13 60 0 0 1 0 2
0 0 29 0 58 0 0 43 13 60
æ ö« + çè ø¸
- +
h h
h h
h h
2(8) 3 29
2( 5) 4
çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø
æ - - ö
ç ¸ ¾¾¾¾®ç - 3(43) 4
¸ ç - ¸
1 2 0 4 3
0 1 6 0 9
0 0 1 0 2
0 0 0 13 26
h +h
çç ¸¸ è ø
x x x x
x x x
x x
x x
ì - - = - ì =
ï + = - ï = ï Ûï í- = í = - ï ï
îï = ïî =
2 4 3 1
6 9 3
2 2
1 2 4 1
2 3 2
3 3
13 26 2
4 4
11)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x mx
+ - - = ìï
6 4 6
1 2 3 4
- - - = ïí
3 6 4 2
1 2 3 4
2 3 9 2 6
3 2 3 7
+ + + = 1 2 3 4
î + + + = -
1 2 3 4
ïï
Giaûi
æ - - ö æ - - ö
ç - - - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - - ø
æ - - ö
ç - - ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾ ® ç - ¸
1 1 6 4 6 1 1 6 4 6
3 1 6 4 2 h h
0 4 12 8 16
h h
2 3 9 2 6 h h
0 1 21 10 6
3 2 3 8 7 0 1 21 20 25
1 1 6 4 6
0 1 3 2 4
0 1 21 10 6
0 1 21 20 25
( ) 1( 3) 2
1( 2) 3
1( 3) 4
æ - - ö
ç - - ¸ ¾¾ ç ¸ ç - ¸
2 1
4 2 3
2( 1) 4
h
h h
h h
A B
- +
- +
- +
æ ö
çè ø¸ +
- +
çç ¸¸ è - - ø
1 1 6 4 6
0 1 3 2 4
0 0 24 12 10
0 0 18 18 21
çç ¸¸ è - ø
æ - - ö æ - - ö
ç - - ¸ ç - - ¸ ¾¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - ¸
1 1 6 4 6 1 1 6 4 6
0 1 3 2 4 0 1 3 2 4
0 0 6 6 7 0 0 6 6 7
0 0 12 6 5 0 0 0 6 9
4 1 3 1
3 2 3( 2) 4
æ ö« æ ö çè ø¸ èç ø¸ - +
h h
h h
çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø
22

= 1
ìï
1 2 3 4 2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
6 4 3 2
3 2 4 1
6 6 7 3
6 9 3
2
x
x x x x x
x x x
x x x
x x
ì + - - = - = ï ï ï + + = - ï í Ûí = ï + = - ï
îï- = ï = - ïî
12)
x x x x
x x x
x x x
x x x x
- + - = ìï
2 1
1 2 3 4
2 3 2
3 3
2 2 2 5 6
- - = 1 2 4
ïí
- + = - 1 3 4
î + - + = -
1 2 3 4
ïï
Giaûi
æ - - ö æ - - ö
ç - - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - - ¸ ç - - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø
æ - - ö -
ç - - ¸ - - ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - - ¸ - -
( )
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 0 3 2 h 1( - 1) +
h
2
0 0 1 2 1
h 1( - 1) +
h
3
3 0 1 1 3 h 1( - 1) +
h
4
1 1 2 2 4
2 2 2 5 6 0 3 3 6 7
1 1 2 2 4 1 1 2 2
0 0 1 2 1 ( )
0 0 1 2
12 1 1 1 1 0 3 5 5
0 3 3 6 7 0
A B
h « h h - +
h
1 3 2 2
çç ¸¸ è - - ø
+ «
3 4 2 3
( )
3 2 4
4
1
9
3 3 6 7
1 1 2 2 4 1 1 2 2 4
0 0 1 2 1 0 3 5 5 9
0 3 5 5 9 0 0 1 2 1
0 0 2 1 2 0 0 2 1 2
1 1 2 2 4
0 3 5 5 9
0 0 1 2 1
0 0 0 3 4
h h h h
h +
h
æ - ö
ç ¸
ç ¸
ç ¸
çç ¸¸ è - - ø
æ - - ö æ - - ö
ç - - ¸ ç - - ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç - - ¸ ç - - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø
æ - - ö
ç - - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç - - ¸
çç ¸¸ è - ø
= 1
ìï
1 2 3 4 2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
2 2 4 2
3 5 5 9 5
2 1 3
3 4 4
3
x
x x x x x
x x x
x x x
x x
ì + - + = - = ï ï ï- + - = ï í Ûí = ï- - = ï
îï- = ï = - ïî
23

13)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ - + = ìï
3 5 3 2 12
1 2 3 4
4 2 5 3 27
7 8 5 40
6 4 5 3 41
- + + = 1 2 3 4
ïí
+ - + = 1 2 3 4
î + + + =
1 2 3 4
ïï
Giaûi
æ - ö æ - ö
ç - ¸ ç - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è - - ø
æ - ö -
ç - ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç - ¸
3 5 3 2 12 3 5 3 2 12
4 2 5 3 27 h h
1 7 8 1 15
h h
7 8 1 5 40 h h
1 2 5 1 16
6 4 5 3 41 0 6 11 117
1 2 5 1 16 1 2 5
1 7 8 1 15
3 5 3 2 12
0 6 11 117
( ) 1( 1) 2
1( 2) 3
1( 2) 4
h h h h
1 3 1( 1) 2
h h
1( 3) 3
A B
- +
- +
- +
« - +
- +
çç ¸¸ è - - ø
+ «
- +
2(2) 3 2 4
2( 1) 4
æ ö æ - ö
ç ¸ ç - - ¸ 2 3
ç ¸¾¾¾®ç ¸ 2( 5) 4
ç - - ¸ ç ¸
çç è - - ¸¸ çç ¸¸ ø è - - ø
æ - ö æ - ö
ç ¾¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ¸¾¾¾®ç - - ¸ ç ¸ ç - ¸
1 16
0 5 3 0 1
0 11 18 1 36
0 6 11 1 17
1 2 5 1 16 1 2 5 1 16
0 5 3 0 1 0 1 8 1 18
0 1 12 1 38 0 1 12 1 38
0 1 8 1 18 0 5 3 0 1
1 2 5 1
0 1 8 1
0 0
h h h h
h h
h +
h
h - +
h
æ ö
ç - - ¸ ç ¸
ç - - - ¸
çç ¸¸ è - - ø
æ - ö æ - ö
ç - - ¸ ç - - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç - - - ¸ ç - - - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø
-
- -
¾¾¾¾®
-
( )
16 1 2 5 1 16
18 3 1
0 1 8 1 18
2
h
4 2 20 0 0 2 1 10
0 0 37 5 91 0 0 37 5 91
1 2 5 1 16 1 2 5 1 16
0 1 8 1 18 0 1 8 1 18
0 0 2 1 10 0 0 1 23 89
0 0 1 23 89 0 0 2 1 10
h h h h
3 18 4 3 4
æ - ö
ç - - ¸ ¾¾¾¾®ç h
¸ ç - ¸
æ- ö çè ø¸
+ «
çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è ø
3(2) 4
1 2 5 1 16
0 1 8 1 18
0 0 1 23 89
0 0 0 47 188
+h
çç ¸¸ è ø
x x x x x
x x x x
x x x
x x
ì - + + = ì =
ï- + - = ï = ï Ûï í- + = í = ï ï
îï = ïî =
2 5 16 1
8 18 2
23 89 3
1 2 3 4 1
2 3 4 2
3 4 3
47 188 4
4 4
24

14)
x x x x
x x x
x x x
+ + + = ìï
4 4 5 5 0
1 2 3 4
2 3 10
+ - = 1 3 4
ïí
+ - = - ïï
î + =
5 10
1 2 3
x x
3 2 1
2 3
Giaûi
Ta coù:
æ 4 4 5 5 0 ö æ 1 1 - 5 0 - 10
ö
ç 2 0 3 - 1 10 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 0 3 - 1 10
¸ = ¸ ç 1 1 - 5 0 - 10 ¸ ç 4 4 5 5 0
¸
çç è 0 3 2 0 1 ¸¸ çç ø è 0 3 2 0 1
¸¸ ø
( A B ) h 1 «
h
3
æ - - ö æ - -
ç - - ¸ ç - ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ç ¸ ç
1 1 5 0 10 1 1 5 0 10
0 2 13 1 30 0 1 15 1 31
0 0 25 5 40 0 0 25 5 40
0 3 2 0 1 0 3 2 0 1
h - + h h +
h
h - +
h
1( 2) 2 4 2
1( 4) 3
çç ¸¸ çç è ø è
1 1 5 0 10 1 1 5 0 10
0 1 15 1 31 h
3 1
0 1 15 1 31
0 0 25 5 40 0 0 5 1 8
0 0 43 3 92 0 0 43 3 92
1 1 5 0 10 1
0 1 15 1 31
0 0 5 1 8
0 0 2 12 20
h h
2( 3) 4 5
4 1 3
h h
h h
3(9) 4 2
æ ö
- + çè ø¸
æ ö« + çè ø¸
ö
¸¸¸¸¸ø
æ - - ö æ - - ö
ç - ¸ ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø
æ - - ö
ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç ¸
çç ¸¸ è - ø
3( 5) 4
1 5 0 10
0 1 15 1 31
0 0 1 6 10
0 0 5 1 8
1 1 5 0 10
0 1 15 1 31
0 0 1 6 10
0 0 0 29 58
h - +h
æ - - ö
ç - ¸ ç ¸
ç - ¸
çç ¸¸ è ø
æ - - ö
ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸
çç ¸¸ è - ø
x x x x
x x x x
x x x
ì + - 5 = - 10 ì =
1
ï 1 2 3 ï 1
ï + - = = - í Ûï ï + = - í ï
= îï- = ïî = -
15 31 1
6 10 2
29 58 2
2 3 4 2
3 4 3
x x
4 4
25

15)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
- + + = ìï
2 3 2 4
1 2 3 4
3 3 3 2 6
3 2 6
3 3 6
+ + + = 1 2 3 4
ïí
- - - = 1 2 3 4
î - + - =
1 2 3 4
ïï
Giải:
( ) 2( 1) 1
æ 2 - 1 3 2 4 ö æ- 1 - 4 0 0 - 2
ö
ç 3 3 3 2 6 ¸ ç 3 3 3 2 6
¸
= ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 3 - 1 - 1 - 2 6 ¸ ç 0 - 4 - 4 - 4 0
¸
çç è 3 - 1 3 - 1 6 ¸¸ çç ¸¸ ø è 0 - 4 0 - 3 0
ø
h - +
h
A B
h - +
h
h - +
h 2( 1) 3
2( 1) 4
æ - - - ö æ - - - ö
ç - ¸ ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾¾®ç ¸ ç - - - ¸ ç - ¸
1 4 0 0 2 1 4 0 0 2
0 9 3 2 0 3 1 2
0 1 1 1 0
0 4 4 4 0 0 9 3 2 0
0 0 4 1 0 0 0 4 1 0
1 4 0 0 2 1 4 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 12 11 0 0 0 4 1
0 0 4 1 0 0 0 12
æ- ö« + çè ø¸
- +
h h
h h
h h
1(3) 2 4
3( 1) 4
æ- - - ö - -
ç ¸
¾¾¾¾®ç h 2(9) + h 3 ¸¾¾¾® h 4 «
h
3
ç ¸
çç ¸¸ è ø
3( 3) 4
2
0
0
11 0
1 4 0 0 2
0 1 1 1 0
0 0 4 1 0
0 0 0 8 0
h - +h
æ - ö
ç ¸
ç ¸
ç ¸
çç ¸¸ è ø
æ- - - ö
ç ¸
¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸
çç ¸¸ è ø
x x x
x x x x
x x x
x x
ì- - = - ì =
ï + + = ï = ï Ûï í + = í = ï ï
îï = ïî =
4 2 2
1 2 1
2 3 4 2
3 4 3
0 0
4 0 0
8 0 0
4 4
16)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + = ìï
2 3 1
1 2 3 4
- - - = - ïí
3 2 4
1 2 3 4
2 3 6
+ - - = - 1 2 3 4
î + + - = -
1 2 3 4
ïï
2 3 4
Giải:
26

æ ö æ ö
ç - - - - ¸ ç - - - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - - - ¸ ç - - - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è - - ø è - - ø
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
3 1 1 2 4 h h
0 4 7 11 7
h h
2 3 1 1 6 h h
0 1 5 7 8
1 2 3 1 4 0 1 1 4 5
1 1 2 3 1 1 1 2
0 1 5 7 8
0 4 7 11 7
0 1 1 4 5
( ) 1( 3) 2
1( 2) 3
1( 1) 4
æ ö
ç ¾¾¾®ç - - - ¸ h 2 h 3 ¸¾¾¾¾® h 2(4) h
3
ç - - - - ¸
h 2( 1) h
3
A B
- +
- +
- +
« +
- +
çç ¸¸ è - - ø
æ 3 1
ö
ç ç 0 1 - 5 - 7 - 8
¸ ¸
ç 0 0 - 27 - 39 - 39
¸
çç è 0 0 6 3 3
¸¸ ø
æ ö æ ö
1
ç ¸ ç ¸ ¾¾¾®ç 3 - - - ¸¾¾¾¾®ç - - - 3 4( 5) 3
¸ ç ¸ ç - ¸
4 1
3
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
0 1 5 7 8 0 1 5 7 8
0 0 9 13 13 0 0 1 8 8
0 0 2 1 1 0 0 2 1 1
h
h h
h
æ- ö çè ø¸ - +
æ ö
çè ø¸
æ ö
ç ¸ ¾¾¾¾®ç - - - 3(2) 4
¸ ç - ¸
1 1 2 3 1
0 1 5 7 8
0 0 1 8 8
0 0 0 17 17
h +h
çç ¸¸ è ø
x x x x x
x x x x
x x x
x x
ì + + + = - ì = -
ï - - = - ï = - ï Ûï í- + = í = ï ï
îï = ïî =
2 3 2 1
1 2 3 4 1
5 7 8 1
8 8 0
2 3 4 2
3 4 3
17 17 1
4 4
17)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + = ìï
2 3 4 5
1 2 3 4
+ + + = ïí
2 2 3 1
1 2 3 4
3 2 2 1
4 3 2 5
+ + + = 1 2 3 4
î + + + = -
1 2 3 4
ïï
Giải:
( ) 1( 2) 2
æ 1 2 3 4 5 ö æ 1 2 3 4 5
ö
ç ç 2 1 2 3 1 ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç h - +
h
0 - 3 - 4 - 5 - 9
¸ = h 1( - 3) +
h
3
¸ ç 3 2 1 2 1 ¸ h 1( - 4) +
h
4
ç 0 - 4 - 8 - 10 - 14
¸
çç è 4 3 2 1 - 5 ¸¸ çç ø è 0 - 5 - 10 - 15 - 25
¸¸ ø
æ ö
ç ¸
1 2 3 4 5
0 1 4 5 5
0 4 8 10 14
0 1 2 5 11
A B
¾¾¾¾®ç ¸ ç - - - - ¸
h - + h h +
h
h - + h h
+
3( 1) 2 2(4) 3
3( 1) 3 2
çç ¸¸ è - - - - ø
4
1 2 3 4 5
0 1 4 5 5
0 0 8 10 6
0 0 2 0 6
h
æ ö
ç ¸
¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸
çç ¸¸ è - ø
27

æ ö æ ö
ç ¸ ç ¸
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
0 1 4 5 5 0 1 4 5 5
0 0 2 0 6 0 0 2 0 6
0 0 8 10 6 0 0 0 10 30
¾¾¾®ç h 3 «h 4 ¸¾¾¾¾®ç h 3( - 4) +h
4
¸ ç - ¸ ç - ¸
x x x x x
x x x x
x x
x x
ì + + + = ì = -
ï + + = ï = ï Ûï í = - í = - ï ï
îï = ïî =
2 3 4 5 2
4 5 5 2
1 2 3 4 1
2 3 4 2
2 6 3
3 3
10 30 3
4 4
18)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + = 1 2 3 4
ìï
+ + + = 1 2 3 4
ïí
+ + + = 1 2 3 4
î + + + =
1 2 3 4
ïï
2
2 3 4 2
2 3 5 9 2
2 7 2
Giải:
( ) 1( 1) 2
æ ö æ ö æ ö
ç ¸ ç ¸ ç ¸
ç ¸¾¾¾¾®ç h h
= h 1( 2) h 3 ¸¾¾¾¾®ç h 2( 1) h
3
¸ ç ¸ h 1( 1) h
4
ç - ¸ ç - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø è ø
A B
3( 1) 4
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
1 2 3 4 2 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0
2 3 5 9 2 0 1 3 7 2 0 0 1 4 2
1 1 2 7 2 0 0 1 6 0 0 0 1 6 0
1 1 1 1 2
0 1 2 3 0
0 0 1 4 2
0 0 0 2 2
h h
- +
- + - +
- +
- +
æ ö
ç ¸
¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸
ççè
¸¸
ø
x x x x x
x x x x
x x x
x x
ì + + + = ì = -
ï + + = ï = ï Ûï í + = - í = - ï ï
îï = ïî =
2 2
1 2 3 4 1
2 3 0 9
4 2 6
2 3 4 2
3 4 3
2 2 1
4 4
Bài 3:
Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
28

1)
ì
ïî
ïí
+ - =
2x x 4x 0
1 2 3
+ - =
3x 5x 7x 0
1 2 3
- - =
4x 5x 6x 0
1 2 3
æ 2 1 - 4 0 ö æ 1 11 - 5 0 ö æ 1 11 - 11 0
ö
= ç - ¸¾¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç - ¸ ç - ¸
çè - - ø¸ èç - - ø¸ èç - ø¸
( ) h1(-3)+h2
A B h3(-1) + h2 +
h1 h1(-4)+h3
/ 3 5 7 0 3 5 7 0 0 28 8 0
-49
28
4 5 6 0 4 5 6 0 0 49 14 0
h2 h3
1 11 11 0
0 28 8 0
0 0 0 0
+ æ ö
ç ¸
è ø
æ - ö
¾¾¾¾¾®ç - ¸ ç ¸
çè ø¸
Ta có: (1) Û
î í ì
+ - =
28x 8x 0 (2)
x 11x 11x 0 (1)
1 2 3
- + =
2 3
28
8
Từ (2) Þ x = x
3 2
11 11 28 55
x = - x + æç ö¸x = x è ø
Thế x3 vào (1), ta được: 1 2 2 2
8 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
ì
ï ï
í
ï ï
î
x =
55
1 2
=
2
2
28
x
8
x
x
2
x3
tuyøy ù
2)
ì
ï ï
í
ï ï
î
+ + =
3x 5x 2x 0
1 2 3
+ + =
4x 7x 5x 0
1 2 3
+ - =
x x 4x 0
1 2 3
+ + =
2x 9x 6x 0
1 2 3
29

æ ö æ - ö æ - ö
ç ¸ ç ¸ ç ¸
= ç ¸¾¾«¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸
ç - ¸ ç ¸ ç ¸
ç ¸ ç ¸ ç ¸
è ø è ø è ø
3 5 2 0 1 1 4 0 1 1 4 0
4 7 5 0 1 3 4 7 5 0 0 3 21 0 /
A B h h
( )
( )
( )
( )
h1 4 h2
h1 3 h3
h1 2 h4
1 1 4 0 3 5 2 0 0 2 14 0
2 9 6 0 2 9 6 0 0 7 14 0
1 1 4 0
0 1 7 0
0 1 7 0
0 1 2 0
2 1 , 3 1 , 4 1 2
3 2 7
h h h h
- +
- +
- +
æ ö æ ö æ ö
çè ø¸ èç ø¸ èç ø¸
æ - ö
ç ¸
¾¾¾¾¾¾®ç ¸
ç ¸
ç ¸
è ø
( )
( )
h
æ - ö æ - ö
ç ¸ ç ¸
- 1 +
3
- + «
1 1 4 0 1 1 4 0
0 1 7 0 0 1 7 0
0 0 0 0 0 0 5 0
0 0 5 0 0 0 0 0
¾¾¾¾®ç h 2 1 h 4 ¸¾¾¾®ç h 3 h
4
¸
ç ¸ ç - ¸
ç - ¸ ç ¸ è ø è ø
Ta có: (2) Û
+ - = ìï
4 0
7 0 0
5 0
1 2 3
+ = Þ = = = 2 3 1 2 3
î - =
3
íï
x x x
x x x x x
x
3)
x x x x
x x x x
x x x x
- + + = ìï
2 3 7 0
1 2 3 4
4 2 7 5 0
2 5 0
- + + = 1 2 3 4
î - + - =
1 2 3 4
íï
Giaûi
( ) 1( 2) 2 2(2) 3
æ 2 - 1 3 7 0 ö æ 2 - 1 3 7 0 ö æ 2 - 1 3 7 0
ö
= ç 4 - 2 7 5 0 ¸¾¾¾¾®ç ç ¸ ç 0 0 1 - 9 0 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 1 - 9 0
¸ ¸
çè 2 - 1 1 - 5 0 ø¸ èç 0 0 - 2 - 12 0 ø¸ èç 0 0 0 6 0
ø¸
A B h - + h h +
h
h 1( - 1) +
h 3
ì - + + = ï ï ï ï = ï = í - = Ûí Ûí Î ï ï = ï = î = ï ï î tuøy yù î =
( )
x x x t
ì = 2
ì =
2 1 1
1 2 3 4
3 2
3 4
4 3
4
1 4
2 3 7 0
0 2
9 0
0 0
0
0
x x x x
x x t
x x t R
x x
x
x x
4)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + - = ìï
2 4 3 0
1 2 3 4
+ + - = ïí
3 5 6 4 0
1 2 3 4
4 5 2 3 0
3 8 24 19 0
+ - + = 1 2 3 4
î + + - =
1 2 3 4
Giaûi
ïï
30

æ - ö æ - ö
ç - ¸ ç - - ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç - ¸ ç - - ¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø
( ( 3) 2
A B
) ( 4) 3
( 3) 4
æ - ö
ç ¸ ¾¾¾¾®ç - - 2( 3) 3
¸ 2(2) 3
ç ¸
1 2 4 3 0 1 2 4 3 0
3 5 6 4 0 0 1 6 5 0
4 5 2 3 0 0 3 18 15 0
3 8 24 19 0 0 2 12 10 0
1 2 4 3 0
0 1 6 5 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
h h
h h
h h
h h
h h
- +
- +
- +
- +
+
çç ¸¸ è ø
ì = - ï ì + + - = ï ï = - + í Ûí = - + Ûí Î î - - + = ï ï =
( )
ì = -
1
1 3 4
1 2 3 4 2
2 3 4
2 3 4 3
î 3 4
î
ï = 4
8 7
8 7
2 4 3 0 6 5
6 5 ,
6 5 0
x t s
x x x
x x x x x t s
x x x t s R
x x x x t
x
x s
,x tuøy yù
BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC
Bài 1
Tính các định thức cấp 2:
5 2 = 5.3 – 7.2 = 15 – 14 = 1
1) D = 7 3
3 2
2) D = 8 5
= 3.5 – 8.2 = 15 – 16 = -1
n 1 n
3) D = n n -
1
+
= (n+1)(n-1) – n2 = n2 - 1 - n2 = -1
a - a
cos sin
4) D = a a
sin cos
= cos2 a+sin2 a = 1
Bài 2:
Tính các định thức cấp 3:
2 1 3
1) D =
5 3 2
1 4 3
= 18+2+60-9-16-15 = 40
2) D =
3 2 1
2 5 3
3 4 2
= 30+18+8-15-36-8 = -3
3) D =
-
4 3 5
-
3 2 8
- -
1 7 5
= 40-24-105+10+224-45=100
31

4) D =
-
3 2 4
-
4 1 2
-
5 2 3
=-9-20-32+20+12+24= -5
5) D =
1 1 1
1 2 3
1 3 6
= 12 + 3 + 3 – 2 – 9 – 6 = 1
6)
a b
b c
c a
a b c
D b c a
c a b
=
= acb + bac + cba - c3 - a3 -b3 = 3abc - c3 - a3 - b3
7) D =
0 a 0
b c d
0 e 0
= 0
8)
a x x a x
D x b x x b
x x c x x
=
= abc + x3 + x3 - bx2 - ax2 - cx2 = abc - 2x3 - x2 ( a + b + c)
9)
a + x x x a +
x x
D = x b + x x x b +
x
x x c +
x x x
( ) ( ) ( ) 3 3 2 ( ) 2 ( ) 2
( )
( ) ( )
a x b x c x x x x b x x a x x c x
ab ax bx x c x x x bx x x a x x c x
abc abx acx ax bcx bx cx x x x bx x x a x x c x
abc abx acx bcx
= + + + + + - + - + - +
= + + + 2 + + 3 + 3 - 2 - 3 - 2 - 3 - 2 -
3
= + + + + + + + + + - - - - - -
= + + +
2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3
32

a b c a b c b c
b c a b c a c a
( )
1 1
1 1
3 2 1
10) 1 1
1 1
2 2 2 2 2
1 1
1 1
1 1 0
1 1
2 2
c c c
D c a b c a b a b
b c c a a b a b c c a a b
b c
c a
a b c a b
c a a b
+ +
+ +
+ +
= + +
+ + + + + + +
= + + =
+ +
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ
Bài 3
Tính các định thức:
h D a M b M c M d M
1) 3 3 1
31 32 33 34
2 3 4 1
4 2 3 2
( 1)
a b c d
3 1 4 3
+
-
-
= - éë - + - ûù
-
‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ
* 31 M =
-
3 4 1
-
2 3 2
-
1 4 3
= -27 -8 -8 + 3 +24 + 24 = 8
* 32 M =
2 4 1
4 3 2
3 4 3
= 18 + 24 + 16 – 9 – 16 – 48 = -15
* 33 M =
-
2 3 1
-
4 2 2
-
3 1 3
= -12 – 18 – 4 + 6 +4 +36 = 12
* 34 M =
-
2 3 4
-
4 2 3
-
3 1 4
= -16 -27 – 16 + 24 + 6 +48 = 19
Vậy: D = 8a+15b+12c-19d
2) ( ) 2 2 1
21 22 23 24
5 2 1
4 4 3
1
2 3 2
4 5 4
c
a
b
D a M b M c M d M
c
d
+
-
-
= - éë - + - ùû -
-
‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ
* 12 M =
-
4 4 3
-
2 3 2
-
4 5 4
= -48 – 32 – 30 + 36 + 40 + 32 = -2
* 22 M =
-
5 2 1
-
2 3 2
-
4 5 4
= -60 -16 – 10 + 12 + 50 +16 = -8
33

* 32 M =
-
5 2 1
-
4 4 3
-
4 5 4
= -80 – 24 – 20 + 16 + 75 + 32 = -1
* 42 M =
-
5 2 1
-
4 4 3
-
2 3 2
= -40 -12 – 12 + 8 + 45 + 16 = 5
Vậy: D = - (-2a + 8b – c - 5d) = 2a - 8b + c + 5d
3) 4 4 1 ( )
= ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ - + - = ´ =
44
3 0 5
3 0
0 0 2
( 1) 0 0
1 2 3
1 2
0 0 0
h
a
a
b
D d M d b abcd
c
c
d
= ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ - + = - ´ =
4) 4 4 1
41
1 0 2
0 2
2 0 0
( 1) 0 0
3 4 5
4 5
0 0 0
h
a
a
b
D d M d b abcd
c
c
d
Bài 4
Tính các định thức sau:
1)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 - 1 1 1 0 -
2 0 0
h - +
h
D
h - +
h
h - +
h 1( 1) 2
1( 1) 3
1( 1) 4
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ
= = ´ - ´ - ´ - = -
1 ( 2) ( 2) ( 2) 8
- -
1 1 1 1 0 0 2 0
1 1 1 - 1 0 0 0 -
2
2)
0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0
1 1 1 3
h h D « - +
- + = - -
( )
c c h h
1 2 1( 1) 3
1( 1) 4
-
-
= - ´ - -
-
= - + + = -
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ
3)
34

- - -
2 5 1 2 1 5 2 2 1 5 2 2
3 7 1 4 1 7 3 4 0 2 1 6
3 9 2 7 2 9 3 7 0 1 1 3
4 6 1 2 1 6 4 2 0 1 2 0
2 1 6 2 1
1 1 1 3 1 1
- - - - -
= - -
- - -
- - -
- -
( )
+
1 2
« - +
1 3 1( 2) 3
1( 1) 4
1 2 0 1 2
3 12 6 12 3
h h
c c h h
D
h - +
h = - ´ - -
- -
= - + - - =
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ
4)
- - - -
3 3 5 8 1 0 0 2 1 0 0 2
3 2 4 6 3 2 4 6 ( )
( )
0 2 4 12
2 5 7 5 2 5 7 5 ( )
0 5 7 9
4 3 5 6 4 3 5 6 0 3 5 14
2 4 12 1 2 6 1 2
1 5 7 9 1 2 5 7 9 5 7
- - - - -
=
‡ˆ ˆˆ ˆˆ + ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ+
ˆ ˆˆ †ˆˆ
- - - - - -
( ) ( )
- +
1 3 2
4 1 1 2 3
1 4 4
3 5 14 3 5 14 3 5
2 98 54 150 126 45 140 2 9
h h
h h h h
D
h - +
h - - - - -
- -
= - ´ - - = - ´ ´ - - - -
- -
= - + + - - - = - ´ - =
18
5)
-
- - -
=
3 9 3 6 1 4 0 4
5 8 2 7 1 3 1 5
4 5 3 2 4 5 3 2
7 8 4 5 3 3 1 3
h h
h h
h h D
++
3 1
3 2
3( 1) 4
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ
- - - - +
- - -
- - - - - -
h +
h
h - +
h
h - +
h
1 2
1( 4) 3
1( 3) 4
1 4 0 4
7 1 9 7 1
0 7 1 9
1 21 3 18 21 3
0 21 3 18
15 1 15 15 1
0 15 1 15
315 270 189 405 126 315 18
- -
-
= - - - - -
- - -
- - - - -
- - -
= - + - - + =
6)
35

1 0 1 1 2 1 0 1 1 2
1( 1) 3
1 4
1 5
1( 2) 2
1( 1) 3
1 1 2 1
0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
2 0 1 1
1 2 1 0 1 0 2 0 1 1 1
0 2 1 4
1 0 1 0 2 0 0 2 1 4
1 2 0 3
1 1 1 1 1 0 1 2 0 3
1 1 2 1
2 3 1 2 3
0 2 3 1
1 2 1 4 2 1
0 2 1 4
1 2 4 1 2
0 1 2 4
8 1
h h
h h
h h
h h
h h
D
- +
+
+
- +
- +
- -
-
- -
-
= - = ´
-
- -
-
-
- - - -
- -
= ´ - -
-
- -
-
= -
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ
2 - 4 +1-16 + 24 =1
7)
‡ˆ ˆˆ h ˆˆ ˆh
ˆ †ˆ
D «
1 3
1( 4) 4
1( 19) 5
2
0 0 5 0 0 1 3 18 6 2
0 2 0 2 0 0 2 0 2 0
1 3 18 6 2 0 0 5 0 0
4 17 9 15 2 4 17 9 15 2
19 20 24 3 5 19 20 24 3 5
1 3 18 6 2
2 0 2 0
0 2 0 2 0
0 5 0 0
0 0 5 0 0 1
5 63 9 6
0 5 63 9 6
37 318 117 33
0 37 318 117 33
h h
h h
h
- +
- +
-
- -
= - -
- -
-
-
-
- = - ´
- -
- -
- - -
- - -
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ
‡ˆ ˆ ˆ†
+ M
2 1
- - éë- ùû = - ´ -
22
ˆ ˆˆ
( )
- -
2 2 0 2 2
( 1) 5 5 5 9 6 5 9
- - -
37 117 33 37 117
= - - - + - = - ´ = -
5 594 444 1404 330 5 36 180
8)
36

- -
1 2 1 4 10 1 2 1 4 10
1 3 2 5 3 0 5 1 1 7
h h
D - +
1( 1) 2
5 1 1 7
5 3 7 9
0 5 3 7 9 0 5 3 7 9 1
0 2 3 7
0 0 2 3 7 0 0 2 3 7
0 0 3 15
0 0 0 3 15 0 0 0 3 15
5 1 1 7 5 1 1 7
0 2 6 16 0 2 6 16
0 2 3 7 0 0 3 9
0 0 3 15 0 0 3 15
h - + h h - + h h +
h
1( 1) 2 2( 1) 3 3 4
-
-
= = ´
- -
- -
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆ ˆ ˆ†
5 1 1 7
0 2 6 16
0 0 3 9
0 0 0 6
5 2 ( 3) 6 180
-
- -
= ´ ´ - ´ = -
ˆ ˆ ˆ ˆ
9)
7 3 2 6 7 3 2 6 1 12 2 3
8 9 4 9 h 1( 1) h
2
h 1( 1) h 3 1 12 2 3 h 1 h
2
7 3 2 6
7 2 7 3 h 1( 1) h
4
0 5 5 3 0 5 5 3
5 3 3 4 2 6 1 2 2 6 1 2
1( 7) 2
1(2) 4
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆ
1 12 2 3
87 12 15
0 87 12 15
1 5 5 3
0 5 5 3
0 30 5 4
h h
h h
D
- +
- + «
- +
- +
+
-
- -
= -
- - - - -
- - - - - - -
-
- -
- -
- = - ´ - -
- -
-
( )
29 4 5 29 4
3 5 5 3 5 5
30 5 4 30 5 4 30 5
3 580 360 125 750 435 80 3 ( 50) 150
- - -
= - ´ - - -
- - -
= - - + - + - = - ´ - =
37

BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KRAMER
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer:
1)
x x
x x x
+ = - ìï
2 1
1 3
+ + = íï
î + =
4 2 7
5 5
1 2 3
x x
2 3
Ta có:
* D =
2 0 1
1 4 2
0 5 1
= 8 + 5 – 20 = -7
* Dx1 =
-1 0 1
7 4 2
5 5 1
= - 4 + 35 – 20 + 10 = 21
* Dx2 =
2 -1 1
1 7 2
0 5 1
= 14 + 5 – 20 +1 = 0
* Dx3 =
2 0 -1
1 4 7
0 5 5
= 40 – 5 -70 = -35
Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất:
ì
ï ï ï
í
ï ï ï
î
21
Dx
= = - = -
0
Dx
= = - =
Dx
= = - - =
5
35
7
D
x
0
7
D
x
3
7
D
x
3
3
2
2
1
1
2)
ì
ïî
ïí
- + =
x x 3x 6
1 2 3
- = -
4x 5x 13
2 3
- =
3x 2x 1
1 3
Ta có:
* D =
-
1 1 3
-
0 4 5
-
3 0 2
= - 8 +15 – 36 = -29
38

* Dx1=
-
6 1 3
- -
13 4 5
-
1 0 2
= - 48 +5 -12 + 26 = -29
* Dx2 =
1 6 3
- - = 26 – 90 + 117 +5 = 58
0 13 5
-
3 1 2
* Dx3 =
-
1 1 6
-
0 4 13
3 0 1
= 4 + 39 – 72 = -29
ì
ï ï ï
í
ï ï ï
î
Dx
= = -
29
58
x Dx
= = - = -
=
Dx
= = -
-
=
-
1
29
29
D
x
2
29
D
1
29
D
x
3
3
2
2
1
1
3)
x x x
+ - = ìï
4 2
2 3 5 8
1 2 3
x x x
- - = - 2 3 4
ïí
x x
x x x
- = ïï
î - - =
Ta có:
2 5
1 3
2 3 0
1 2 4
- -
1 4 1 0 1 4 1 0
h h
1( 2) 3
h h
1( 1) 4
2 3 5 2 3
0 2 3 5 0 2 3 5
1 8 1 0 8 1
2 0 1 0 0 8 1 0
6 1 3 6 1
1 2 0 3 0 6 1 3
6 40 30 72 76
D
- +
- +
- - -
- - - -
= ====== = ´ - -
- -
- - -
- - - -
= - + - + =
- - -
2 4 1 0 1 4 2 0 1 4 2 0
8 2 3 5 3 2 8 5 0 10 14 5
5 0 1 0 1 0 5 0 0 4 3 0
0 2 0 3 0 2 0 3 0 2 0 3
10 14 5 10 14
- - - - - - ( )
- - -
= ====- =====-
- - ( )
-
( )
1
1 3 h1 3 h2
h1 1 h3
c c
1 4 3 0 4 3
2 0 3 2 0
90 30 168 228
x D
« - +
- +
- - - - - -
- - - - -
= - ´ - -
- - -
= - - + = -
39

- -
1 2 1 0 1 2 1 0
( )
( )
x D
2
h1 2 h3
h1 1 h4
8 3 5 8 3
0 8 3 5 0 8 3 5
1 1 1 0 1 1
2 5 1 0 0 1 1 0
2 1 3 2 1
1 0 0 3 0 2 1 3
24 5 10 9 0
- +
- +
- - - - -
- - - - - -
= ====== = ´
-
- - -
- - -
= - - - =
1 4 2 0 1 4 2 0
( )
( )
3
h1 2 h3
h1 1 h4
2 8 5 2 8
0 2 8 5 0 2 8 5
1 8 1 0 8 1
2 0 5 0 0 8 1 0
6 2 3 6 2
1 2 0 3 0 6 2 3
6 80 30 192 76
x D
- +
- +
- - -
- - - -
= ====== = ´ - -
-
- - - - -
- - - - -
= - - - + =
- -
1 4 1 2 1 4 1 2
( )
( )
4
h1 2 h3
h1 1 h4
2 3 8 2 3
0 2 3 8 0 2 3 8
1 8 1 1 8 1
2 0 1 5 0 8 1 1
6 1 2 6 1
1 2 0 0 0 6 1 2
4 18 64 48 2 48 76
x D
- +
- +
- - -
- - - -
= ====== = ´ - -
- -
- - -
- - -
= - + + - - + =
ì = 1
= = 1
ïïï
= 2
= = 2
ïíï
= 3
= =
3
4
4
228 3
76
0 0
76 (3,0,1,1)
76 1
76
76 1
76
x Dx
D
x Dx
D hay
x Dx
D
x Dx
D
ïïï
= = =
î
4)
x x x
x x x
- + = ìï
3 2
1 3 4
- - = ïí
2 0
1 2 4
x x x
x x
- + = ïï
î - =
Ta có:
2 5 2 5
2 3 4
3 4
2 4
- -
1 0 3 1 1 0 3 1
h h
1( 2) 2
1 6 3
2 1 0 1 0 1 6 3
1 2 5 2
0 2 5 2 0 2 5 2
3 0 1
0 3 0 1 0 3 0 1
5 36 – 45 12 2
D
- +
- -
- - - -
= ====== = ´ -
- -
-
- -
= - + + = -
40

- - -
2 0 3 1 1 0 3 2 1 0 3 2
0 - 1 0 - 1 - 1 - 1 0 0 ( )
0 - 1 -
3 2
= ======- ======-
5 2 5 2 2 2 5 5 0 2 1 1
4 3 0 1 1 3 0 4 0 3 3 6
1 3 2
1 2 1 1 6 9 12 6 3 36 0
( )
1
h1 h2
1 4 h1 2 h3
h1 h4
3 3 6
c c
x D
+
« - +
+
- -
- - -
- -
= - ´ = - - - - - - + =
-
- -
x D h h
2
1 2 3 1 1 2 3 1
4 6 3
2 0 0 1 0 4 6 3
1( 2) 2 1 5 5 2
0 5 5 2 0 5 5 2
4 0 1
0 4 0 1 0 4 0 1
20 48 – 60 30 2
- -
- - -
= - + = ´ -
- -
-
- -
= - + + = -
x D
3
1 0 2 1 1 0 2 1
h - +
h
1( 2) 2
1 4 3
2 1 0 1 0 1 4 3
1 2 5 2
0 2 5 2 0 2 5 2
3 4 1
0 3 4 1 0 3 4 1
5 – 24 – 24 45 8 – 8 2
- - -
- - - - -
= ====== = ´
-
- -
= + + =
x D
4
- -
1 0 3 2 1 0 3 2
h - +
h
1( 2) 2
1 6 4
2 1 0 0 0 1 6 4
1 2 5 5
0 2 5 5 0 2 5 5
3 0 4
0 3 0 4 0 3 0 4
20 90 60 48 2
- -
- - -
= ====== = ´ -
- -
= + - - =
ì
ï ï ï ï
í
ï ï ï ï
î
0
x Dx
= = - =
Dx
= = -
2
=
-
2
Dx
= = - = -
2
x Dx
= = - = -
1
2
D
1
2
D
x
1
2
D
x
0
2
D
4
4
3
3
2
2
1
1
41

BAØI TAÄP BIEÄN LUAÄN THEO THAM SOÁ
Baøi 1:
Giaûi vaø bieän luaän:
x x x x
x x x x
x x x x
x x x l x
+ + + = ìï
3 2 5 4 3
1 2 3 4
2 3 6 8 5
+ + + = 1 2 3 4
ïí
- - - = - ïï
6 9 20 11
1 2 3 4
4 + + 4 + = 2
1 2 3 G
4
iaûi:
( ) 1 î3
æ 3 2 5 4 3 ö æ 1 - 6 - 9 - 20 - 11
ö
ç 2 3 6 8 5 ¸ ç 2 3 6 8 5
¸
= ç ¸¾¾¾®ç ¸
ç 1 - 6 - 9 - 20 - 11 ¸ ç 3 2 5 4 3
¸
ç è 4 1 4 l 2 ¸ ç ø è 4 1 4 l
2
¸
ø
æ - - - - ö - -
ç ¸
1 6 9 20 11 1 6
0 15 24 48 27
0 20 32 64 36
0 25 40 80 46
A B
1( 2) 2 2 1
1( 3) 3 3
1( 4) 4 3 1
¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®
4
h h
h h h
h h
h h h
l
«
- + æ ö - + çè ø¸
- + æ ö
çè ø¸
ç ¸
ç + ¸ è ø
h - + h h «
h
h - +
h
2( 1) 3 3 4
2( 5) 4
x x x x
1 2 3 4
x x x
2 3 4
9 20 11
0 5 8 16 9
0 5 8 16 9
0 25 40 80 46
1 6 9 20 11 1 6 9 20 11
0 5 8 16 9 0 5 8 16 9
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0
6 9 20 11
ìïíï
(1) 5 8 16 9
l
l
l
æ - - ö
ç ¸
ç ¸
ç ¸
ç + ¸ è ø
æ - - - - ö æ - - - - ö
ç ¸ ç ¸
¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸
ç ¸ ç ¸
ç ¸ ç ¸
è ø è ø
- - - = -
Û + + =
( )
î =
4
1
2
l
l l
1) 0 : (2) 5
3
4
(2)
1
l l
1 3 4
5
1 9 8 16
1
l
l l
l
1 6 9 20 11
1 2 3 4
2) 0 : (3) 15 24 48 27 :
2 3 4
0 1
x
x t
x t
Khi t R
x t
x
x x x x
Khi l
x x x
ì = - ´ + - ïï
ï = - ´ - + + ¹ Ûï Î íï
=
ïï
= ïî - - - = - ìï
= Û + + = íï
î =
he ävo ânghieäm
Baøi 2:
Cho heä phöông trình:
42

x x x x
x x x x
x x x x
mx x x x
- + + = ìï
2 3 4 5
1 2 3 4
4 2 5 6 7
6 3 7 8 9
- + + = 1 2 3 4
ïí
- + + = 1 2 3 4
î - + + ïï
=
4 9 10 11
1 2 3 4
a) Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieäm
b) Giaûi heä phöông trình khi m = 10
Giaûi:
a) Ta coù:
æ 2 - 1 3 4 5 ö æ - 1 4 3 2 5
ö
ç ç 4 - 2 5 6 7 ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç - 2 6 5 4 7
¸ = ¸ ç 6 - 3 7 8 9 ¸ ç - 3 8 7 6 9
¸
çç ¸¸ çç ¸¸ è - ø è - ø
( ) c 1 c 4 c
1
m m
4 9 10 11 4 10 9 11
1 4 3 4 5 1 4
0 2 1 0 3
0 4 2 0 6
0 6 3 8 9
A B
æ - ö -
ç ¸ ¾¾¾¾®ç h 1( 2) h
2
- - - h 1( 3) h 3 ¸¾¾¾¾® h 2( 2) h
3
h 1( 4) h 4 ç - - - ¸
h 2( 3) h
4
m
« «
- +
- + - +
- + - +
çç ¸¸ è - - - - ø
3 4
3 4 5
0 2 1 0 3
0 0 0 0 0
0 0 0 8 0
1 4 3 4 5
0 2 1 0 3
0 0 0 8 0
0 0 0 0 0
h h
m
m
«
æ ö
ç - - - ¸ ç ¸
ç ¸
çç ¸¸ è - ø
æ - ö
ç - - - ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç - ¸
çç ¸¸ è ø
Ta thaáy: "mÎR : r ( A B) = r ( A) < 4 . Suy ra heä coù nghieäm vôùi moïi giaù trò
cuûa m
b) Giaûi heä khi m = 10:
Bieán ñoåi sô caáp treân haøng ta coù:
( )
æ 2 - 1 3 4 5 ö æ 2 - 1 3 4 5
ö
ç 4 - 2 5 6 7 ¸ ç ¸ = ç ¸® ®ç 0 1 - 6 - 10 - 14
¸
ç 6 - 3 7 8 9 ¸ ç 0 0 - 2 - 4 - 6
¸
ç 10 - 4 9 10 11 ¸ ç è ø è 0 0 0 0 0
¸ ø
ì - + + = ï ï ï = - Ûí - - = - Û í Î ï ï = - î- - = - ï î =
( )
/ ...
ì =
1
1 2 3 4
2
2 3 4
3
3 4
4
0
2 3 4 5
4 2
(1) 6 10 14
3 2
2 4 6
A B
x
x x x x
x t
x x x t R
x t
x x
x t
Baøi 3
Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l :
43

( )
( )
ì + x + x + x
=
ï
1 1
1 2 3
l
x x x
x x x
+ + + = íï
l l
1
1 2 3
( )
2
+ + + = îG
iaûi:
Ta coù
l l
1
1 2 3
+ + + +
1 1 1 3 3 3 1 1 1
1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h 3 ˆˆ + h ˆˆ 2 +
ˆh
ˆ 1
†ˆ
1 1 1 ( 3 )
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + = + +
1 1 1
3 0 0 3
0 0
( ) ( )
h h
h h
1( 1) 2 2
1( 1) 3
D
l l l l
l l l l
l l l
l l l l
l
- +
- +
+ + +
+ = +
1 1 1 1 1 1
1 1
‡ˆ ˆˆ h ˆˆ ˆˆ ˆˆ h
ˆˆ†ˆ
D - l
+
x h - +
h 1( ) 2
1( ) 3 2 2
= l l + - l
= ´
1 1 0 1 1 1
1 2
l
2 2 2
l
-
- l - l + l
+
1 1
l l + - l - l + l
+
l l l l l l l l l l l l l
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 3 3 2
= - + + - - - = - + + - + + - = - + = -
l l
+ +
‡ˆ ˆˆ ˆ«
ˆ ˆˆ†ˆ
= -
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ
- +
- + +
+ +
+
- - - = - ´
- - - -
( ) ( ) ( ) ( )
= - éë - - - - - - - ùû = - éë- - + + + - - ùû
= - = -
( )
2
1 3
2 2
- -
1( 1) 2
1( ( 1)) 3 2 2
2 2
- - - -
2 2 3 2 2 3 2
2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
0 1 1
1 2
0 1 2
1 2 1 2 2
2 2 1
c c
x
h h
h h
D
l
l l
l l l l
l
l l
l l
l l l l
l l l l
l l l l
l l
+ +
1 1 1 1 1 1
1 1 ‡ˆ ˆˆ c ˆ«
ˆ c
ˆˆ†ˆ
1 1
1 1 1 1
= + - +
1 1 1
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ
- + +
- +
( ) ( ) ( )
3
1 2
2 2
2
1( ( 1)) 2 2
1( 1) 3 2
2
2
2 3 2
2 1
0 2 1 1
1
0 1
2 1
1 1
2 1 1 2 1
x
h h
h h
D
l
l l l l
l l
l l
l l
l l
l l
l
l
l
l l l l l l l
- - -
- - - - = - ´
- -
- -
+ -
= ´
-
= éë + - + ùû = + - -
Ta thaáy:
44

ì ¹ -
(1) ( ) 2 3
= + 3 ¹ 0
Ûí î
¹ 0
D
l
l l
l
Khi ñoù heä coù nghieäm duy nhaát:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
ì - - ï = = =
2 2
1
1 2
+ + ï - - í = 2
= = 2 + 2
+ 3 ï = + 2
- -
3
ïï
ïï
= 3
2 2
3 3
2 1 2 1
3 3
2 1
3
x Dx
D
x Dx
D
x Dx
D
l l l
l l l l
l l l
l l l l
l l l
+ ïî
l l
(2) Neáu l = -3 thì 1 3(2 9) 21 0 x D = - = - ¹ : Heä voâ nghieäm
(3) Neáu l = 0 thì heä trôû thaønh:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
0
0
x x x
x x x
x x x
+ + = ìï
+ + = íï
+ + = îHeä voâ nghieäm
Baøi 4
Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l :
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x l
- + + = ìï
5 3 2 4 3
1 2 3 4
4 2 3 7 1
8 6 5 9
7 3 7 17
- + + = 1 2 3 4
ïí
- - - = 1 2 3 4
ïï
G
- + + = 1 2 3 4
iaûi
( ) 2( 1) î1
æ 5 - 3 2 4 3 ö æ 1 - 1 - 1 - 3 2
ö
ç 4 - 2 3 7 1 ¸ ç 4 - 2 3 7 1
¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç h h
¸
ç 8 - 6 - 1 - 5 9 ¸ h 2( 2) h
3
ç ¸ h 2( 1) h
4
ç 0 - 2 - 7 - 19 7
¸
ç ¸ è 7 - 3 7 17 l ø è 3 - 1 4 10 l
- 1
ø
æ - - - ö
ç - ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾
1 1 1 3 2
0 2 7 19 7
0 2 7 19 7
0 2 7 19 7
A B
h h h h
h h h h
1( 4) 2 2 3
1( 3) 4 2( 1) 4
l
- +
- +
- +
- + +
- + - +
ç - - - ¸
ç - ¸ è ø
4 3
1 1 1 3 2
0 2 7 19 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 3 2
0 2 7 19 7
0 0 0 0
0 0 0 0 0
h h
l
l
«
æ - - - ö
ç - ¸ ¾¾¾®ç ¸
ç ¸
ç ¸
è ø
æ - - - ö
ç - ¸ ¾¾¾®ç ¸
ç ¸
ç ¸
è ø
Heä phöông trình töông ñöông vôùi heä:
45

x x x x
3 2
1 2 3 4
x x x
2 7 19 7
2 3 4
0
l
- - - = ìï
+ + = - íï
î =
Ta thaáy:
(1) Khi l ¹ 0 thì heä voâ nghieäm
(2) Khi l = 0 thì heä trôû thaønh:
x x x x
- - - = ìí
î + + = -
3 2 (1)
1 2 3 4
x x x
x x x
2 7 19 7 (2)
2 3 4
(2) : = - 7 - 19 -
7
2 3 4
2 2
(1) Û x + 7 x + 19 x + 7 - x - 3 x = 2 Û x = - 5 x - 13 x
-
5
1 3 4 3 4 1 3 4
2 2 2 2
Vaäy nghieäm cuûa heä khi ñoù laø:
ì x = - x - x
- 1 3 4
ïïï
x x x
x x
= - - - 2 3 4
3 4
íïïïî
5 13 5
2 2
7 19 7
2 2
,
tuøy yù
Baøi 5
Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l
x x x x
x x x x
x x x x
x x x l x
+ + + = ìï
3 2 5 4 3
1 2 3 4
2 3 6 8 5
+ + + = 1 2 3 4
ïí
- - - = - ïï
6 9 20 11
1 2 3 4
4 + + 4 + = 2
1 2 3 G
4
iải
Ta có:
( ) 3 î1
æ 3 2 5 4 3 ö æ 1 - 6 - 9 - 20 - 11
ö
ç 2 3 6 8 5 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 3 6 8 5
¸
= h h
¸ ç 1 - 6 - 9 - 20 - 11 ¸ ç 3 2 5 4 3
¸
çç 4 1 4 l 2 ¸¸ çç è ø è 4 1 4 l
2
¸¸ ø
æ - - - - ö - -
ç ¸
æ - - ö
ç ¸
ç ¸
ç ¸
çç ¸¸ è + ø
1 6 9 20 11 1 6
0 15 24 48 27
0 20 32 64 36
0 25 40 80 46
A B
1( 2) 2 3 1 2
1( 3) 3 4
1( 4) 4
h h h h
h h
h h
l
«
- + æ ö« - + çè ø¸
- +
¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç ¸
çç ¸¸ è + ø
9 20 11
0 5 8 16 9
0 15 24 48 27
0 25 40 l 80 46
46

æ - - - - ö æ - - - - ö
ç ¸ ç ¸
1 6 9 20 11 1 6 9 20 11
0 5 8 16 9 0 5 8 16 9
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0
¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸
h 2( - 3) + h 3 h 3 «
h
4
h 2( - 5) +
h 4
l
çç ¸¸ çç ¸¸ è l
ø è ø
Khi đó:
(1) Nếu l ¹ 0 thì r ( A B) = r ( A) = 3 < 4 : hệ có vô số nghiệm (tìm nghiệm như bài
trên)
(2) Nếu l = 0 thì :
( )
3
( ) ( ) ( ) 2
r A B
r A B r A
r A
= ïüýÞ ¹
= ïþ
: hệ vô nghiệm
Baøi 6
Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l
( )
( )
ì + + + = +
x x x
l l l
1 3
x x x
x x x
l l l
1 3
( )
2
1 2 3
3 2
1 2 3
4 3
l l l
1 3
1 2 3
ïï
+ + + = + íï
îï + + + = +
Giaûi
Ta coù:
+ + + +
1 1 1 3 3 3 1 1 1
1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h 3 ˆˆ + h ˆ2 ˆ +
ˆh
ˆ 1
†ˆ
1 1 1 ( 3 )
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + = + +
1 1 1
3 0 0 3
0 0
( ) ( )
h h
h h
1( 1) 2 2
1( 1) 3
D
l l l l
l l l l
l l l
l l l l
l
- +
- +
+ + +
+ = +
( )
( )
( )
l + l l l
+
l l l l l l l l l l
l l l l l l l l
3 1 1 3 1 1 1 1 1
3 1 1 3 1 1 ( 3 )
1 1
3 1 1 3 1 1 1 1
= + + = + + = + +
+ + + + +
1 1 1
( ) ( )
+ - = + ´
3 0 1 1 3 1
- - + +
0 1 1
‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ
- +
- +
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
2
3 2 2
4 3 3 2
1 1
1( ) 2
1( ) 3 2 2
2 2
-
- - + +
1 1
= + éë- + + - - - ùû = + - + + - + + -
2 2 2 2 3
3 1 1 1 3 1 1
x
h h
h h
D
l
l
l
l l l l l
l l l
l l l
l (l 3) l 3 2l l 2 (l 3) ( 2 l 2 )
éë ùû
= + éë- + ùû = + -
47

( )
( )
( )
l l l l l l l
+ + + + +
1 3 1 1 3 1 1 1 1
1 3 1 1 3 1 ( 3 )
1 1
1 3 1 1 3 1 1 1
= + = + = +
l l l l l l l
l l l l l l l l
+ + + + +
l l
+ +
1 1 1 1 1 1
( ) ( )
‡ˆ ˆˆ ˆ« ˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ - ˆˆ +
ˆˆ ˆˆ†ˆ
- + - + - -
l l l l l l l
( )
2
2
3 2 2
4 3 3 2
1 3 1( 1) 2
3 1 1 3 0 1
1( ( 1)) 3
2 2 2
1 1 0 1 2
1
2 2
3 1
1 2
x
c c h h
h h
D
l
l l l l l l
l l
l l
l l l
- + +
+ - - - -
- -
= - + ´
- - - -
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
= - + éë - - 2 - - 2
- - - ùû
= - + éë- - + + + - - ùû
= - + - + = + -
3 1 2 1
3 3 2 2 2 2
3 2
3 2 2 2
3 2 1
l
l l l l l l l l
l l l l l l l l l
l l l l l l l
( )
( )
( )
l l l l l l l
+ + + + +
1 1 3 1 1 3 1 1 1
1 1 3 1 1 3 ( 3 )
1 1
1 1 3 1 1 3 1 1
= + + = + + = + +
l l l l l l l l l l
l + l l l +
l
1 1 1 1 1 1
( ) ( )
‡ˆ ˆˆ ˆ« ˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ - ˆˆ + ˆˆ ˆˆ +
ˆˆ†ˆ
3 1 1 3 0 2 1
1 1 0 1
2 1
( ) ( )
3
2
3 2 2
4 3 3 2
1 2 1( ( 1)) 2 2
1( 1) 3
2 2
2
2
3 1 3
2
1
x
c c h h
h h
D
l
l
l l l l l l l l
l l l
l l l
l l l l
l l
- +
+
- + + - + - - -
- -
- - -
= - + ´ = +
- -
+ -
2 1
1 l
2
-
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= l 2 l + éë l + l 2 - + ùû = l 2 l + l 3 + l 2
- l
-
Ta thaáy:
3 2 1 1 3 2 1
(1) Khi:
ì ¹
0
í Þ ¹ î ¹ -
0
3
D
l
l
. Suy ra heä coù nghieäm duy nhaát:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
ì 2 + 3 2
-
2
ï = = = -
1 2
1 2
+ ï 2
+ - í = 2
= = - 2 + 2
ï + 2 3 + 2
- - 3 ï = = ( )
= 3 + 2
- - 3 î +
ïï
2
ïï
2
3
3 2 1
2 1
3
3 2 1
2 1
3
x Dx
D
x Dx
D
x Dx
D
l l l
l
l l
l l l
l
l l
l l l l l
l l l
l l
(2) Khi
é =
0
ê Þ = ë = -
0
3
D
l
l
vaø 1 2 3 0 x x x D = D = D = suy ra heä coù voâ soá nghieäm
48

Bài tập có lời giải chương 1

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Último

Último (6)

Bài tập có lời giải chương 1