O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.

3 booleanalgebra

1.915 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
  • Seja o primeiro a comentar

3 booleanalgebra

  1. 1. บทที่ 3 พีชคณิตบูลีน และการออกแบบ วงจรลอจิก (Boolean Algebra and Design of Logic Circuit)
  2. 2. กล่าวนำา อริสโตเติล นักปรัชญาชาวกรีกได้ทำาการ ศึกษาเกี่ยวกับ Logic และได้พัฒนามาใช้ เป็นเครื่องมือแก้ปัญหาทางปรัชญาของเขา หลักจากปี ค.ศ.1930 วงจร Logic ได้ถูก นำามาใช้ในการวิเคราะห์ระบบ Switching ของเครื่องชุมสายโทรศัพท์แบบอัตโนมัติ และในปัจจุบัน วงจร Logic เข้ามามี บทบาทในการรับส่งสัญญาณและข้อมูล ต่างๆ มากมาย เราจึงจำาเป็นต้องเรียนรู้และ ทำาความเข้าในสนหลักการและเทคนิคของ
  3. 3. •หลักการเบื้องต้นของวงจร Logic –การศึกษาวงจร Logic เบื้องต้น จะศึกษา เกี่ยวกับ Two – State Logic คือใช้ตัวแปร ค่า 2 สภาวะโดยมีข้อกำาหนดคือ Input และ Output ของวงจร Logic สามารถมีได้เพียง 2 สภาวะเท่านั้น และจะอยู่ในสภาวะใด สภาวะหนึ่งเท่านั้น จะอยู่ทั้ง 2 สภาวะในเวลา เดียวกันไม่ได้ Logic 2 สภาวะดังกล่าว อาจ ใช้แทนความหมายต่างๆ ได้ เช่น สูง-ตำ่า 1-0 ปิด-เปิด ใช้-ไม่ใช้ ทำางาน-ไม่ทำางาน มี-ไม่มี ฯลฯ
  4. 4. •ในระบบ Electronic Logic เราใช้ระดับ ของแรงดันไฟฟ้า (Voltage Level) แทน สภาวะทั้งสองเมื่อใช้ Logic 1 แทนแรงดัน ที่เป็นบวกมากกว่า เราก็ใช้ Logic 0 แทน แรงดันที่เป็นบวกน้อยกว่า ระบบเช่นนี้เรียก ว่า Positive Logic ในทางกลับกัน ถ้าใช้ Logic 1 แทนแรงดันที่เป็นลบมากกว่า เรา ก็ใช้ Logic 0 แทนแรงดันที่เป็นลบน้อย กว่า ระบบเช่นนี้เรียกว่า Negative Logic ตัวอย่างของ Positive และ Negative
  5. 5. ก. Positive Logic
  6. 6. ข. Negative Logic
  7. 7. •หลักการเบื้องต้นของพีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra) –พีชคณิตบูลีน เป็นเทคนิคแบบหนึ่งที่ใช้ ในการลดรูป Switching Function ซึ่ง ผู้คิดค้นนี้คือนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ชื่อ George Boole ในพีชคณิตบูลีน เราใช้ตัวอักษร A, B, C,……… แทน ตัวแปรค่า 2 สภาวะ คือ 0 หรือ 1 ความ สัมพันธ์ระหว่างตัวแปรแต่ละตัว เราใช้ เครื่องหมายทางเลขคณิตแทน ความ
  8. 8. เครื่องหมาย . แทนความ หมาย AND เครื่องหมาย + แทนความ หมาย OR เครื่องหมาย - (Bar) แทน ความหมาย NOT
  9. 9.  AND ND ใช้ Contact ข. วงจร AN รูปที่ 3.2 วงจร AND
  10. 10. 3.2 คือ ดวงไฟจะติดก็ต่อเมื่อสวิทช์ A และสวิทช์ B ปิด ดังได้กล่าวมา แล้วว่า เรากำาหนดให้ สวิทช์ปิด คือ Logic 1 สวิทช์เปิด คือ Logic 0ไฟติด คือ Logic 1 ไฟ ดับ คือ Logic 0 ดังนั้น เราสามารถเขียนตาราง ความจริง (Truth Table) สำาหรับวงจร
  11. 11. A B Y = A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ตารางที่ 3.1 Truth Table
  12. 12. 3.3.2 วงจร OR ก. วงจร OR ใช้ Contact ข. วงจร OR ใช้สวิทช์ รูปที่ 3.3 วงจร OR หน้าที่ OR อธิบายได้ตามรูปที่ 3.3 คือ ดวงไฟจะติดก็ต่อเมื่อสวิทช์ A หรือ สวิทช์ B ตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัวปิด ดังนั้นเรา สามารถเขียนตารางความจริงสำาหรับวงจร OR ได้ดังนี้
  13. 13. A B Y = A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ตารางที่ 3.2 Truth Table ของวงจร OR
  14. 14. 3.3.3 NOT หรือ Inverter NOT หรือ Inverter หมายถึงการกลับค่า สภาวะของตัวแปร ซึ่งกล่าวได้ว่า Output ของ วงจร NOT เป็น Complement ของ Input และเขียนตารางความจริงของวงจร NOT ได้ดังนี้ Y = AA 0 1 1 0 ตารางที่ 3.3 Truth Table ของวงจร NOT
  15. 15. การพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีชคณิตบูลีน การพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีชคณิตบูลีน สามารถทำาได้หลายวิธี แต่วิธีที่ง่ายและเห็นได้ชัดเจนที่สุด คือการพิสูจน์โดยใช้ตารางความจริง ดัง ตัวอย่างดังนี้
  16. 16. 3.5.1 พิสูจน์ว่า A + A.B = A * *A B A.B A + A.B 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 ตารางที่ 3.4 การพิสูจน์ว่า A + A.B = A
  17. 17. การใช้ทฤษฎีของ Boolean ลดรูป Switching Function การออกแบบวงจร Logic จาก Switching ใดๆ ก็ตาม เราจำาเป็นที่จะต้อง ลดรูป Switching Function นั้นๆ ให้น้อย ที่สุดก่อน ทั้งนี้ก็เพื่อวัตถุประสงค์ให้จำานวน อุปกรณ์ในวงจรมีน้อยที่สุด การลงทุนในการ สร้างวงจรที่ต้องการก็จะน้อยลงตามไปด้วย และข้อสำาคัญอีกประการหนึ่งก็คือ
  18. 18. ลดเวลาหน่วงลดเวลาหน่วง (Delay Time)(Delay Time) ของของ วงจรลงได้วงจรลงได้ (Delay Time(Delay Time หมายถึงหมายถึง เวลาที่ใช้ในการทำางานของวงจร นับเวลาที่ใช้ในการทำางานของวงจร นับ จากจาก InputInput ไปจนถึงไปจนถึง Output)Output) ดังดัง นั้นนั้น Switching FunctionSwitching Function ที่ยืดยาวที่ยืดยาว เราก็ต้องทำาการลดรูปให้สั้นลง ซึ่งเราก็ต้องทำาการลดรูปให้สั้นลง ซึ่ง เทคนิคการลดรูปวิธีหนึ่งที่นิยมใช้กันเทคนิคการลดรูปวิธีหนึ่งที่นิยมใช้กัน แพร่หลายก็คือ ใช้ทฤษฎีของแพร่หลายก็คือ ใช้ทฤษฎีของ BooleanBoolean จึงขอให้ลองทำาความจึงขอให้ลองทำาความ เข้าใจวิธีการลดรูปเข้าใจวิธีการลดรูป SwitchingSwitching
  19. 19. ษณ์ของ Gate และตารางความจริง (Tru 3.7.1 สัญลักษณ์ของ Gate แบบต่างๆ
  20. 20. AND Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Logic 1 ก็ต่อเมื่อ Input ทุกตัวเป็น Logic 1 และจะให้ Output เป็น Logic 0 ก็ต่อเมื่อ Input ตัวใดตัวหนึ่งหรือทุกตัว เป็น Logic 0 AND Gate
  21. 21. OR Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Logic 1 ก็ต่อเมื่อ Input ตัวหนึ่ง ตัวใดหรือทุกตัวเป็น Logic 1 และจะ ให้ Output เป็น Logic 0 ก็ต่อเมื่อ Input ทุกตัวเป็น Logic 0 OR Gate
  22. 22. •NOT Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Complement ของ Input
  23. 23. •NAND Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Logic 1 ก็ต่อเมื่อ Input ตัวใดตัวหนึ่งหรือทุกตัวเป็น Logic 0 และจะให้ Output เป็น
  24. 24. •NOR Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Logic 1 ก็ต่อเมื่อ Input ทุกตัว เป็น Logic 0 และจะให้ Output เป็น Logic 0 ก็ต่อเมื่อ Input ตัวใดตัว หนึ่งหรือทุกตัวเป็นLogic 1
  25. 25. Exclusive OR Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Logic 1 ก็ต่อเมื่อ Input มี Logic ต่าง กัน และจะให้ Output เป็น Logic 0 ก็ต่อเมื่อ Input มี Logic เหมือนกัน ตารางความจริง ของ Exclusive OR Gate รวมทั้งวงจรและสัญลักษณ์
  26. 26. 5 วงจรและสัญลักษณ์ของ Exclusive OR
  27. 27. 3.7.4 Exclusive NOR3.7.4 Exclusive NOR GateGate หรือหรือ ComparatorsComparators Exclusive NOR GateExclusive NOR Gate หรือหรือ ComparatorComparator คือวงจรคือวงจร GateGate ที่ให้ที่ให้ OutputOutput เป็นเป็น Logic 1Logic 1 ก็ต่อเมื่อก็ต่อเมื่อ InputInput มีมี LogicLogic เหมือนกันและจะให้เหมือนกันและจะให้ OutputOutput เป็นเป็น Logic 0Logic 0 เมื่อเมื่อ InputInput มีมี LogicLogic ต่างกัน เราต่างกัน เรา สามารถเขียนตารางความจริง
  28. 28. •3.7.5 Inhibit Gate • Inhibit Gate คือ AND Gate ที่มี NOT Gate อยู่หน้า Input อันหนึ่ง ซึ่งสามารถเขียน Truth Table และวงจร พร้อมทั้ง สัญลักษณ์ของ Inhibit Gate ได้ ดังนี้
  29. 29. เป็นตัวยับยั้ง (Inhibit) การทำางานของ AND Gate กล่าวคือ Output จะเป็น Logic 1 ก็ต่อเมื่อ Input ทุกตัวเป็น Logic 1 ยกเว้น Input C (Inhibit Gate มีชื่อ เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Anti – Coincidence Gate) 3.7.6 FAN-IN และ FAN-OUT FAN-IN คือ จำานวน Input ของ Gate ใด Gate หนึ่ง FAN-OUT คือ จำานวน Gate ที่สามารถ ต่อเข้ากับ Output ของ Gate อื่นๆ ได้ เพื่อความเข้าใจถึง FAN-IN และ FAN-
  30. 30. ตัวอย่างที่ 3.4 จงหาจำานวน FAN-IN และ FAN-OUT ของ Gate ทุกตัว จากวงจร Logic ตามรูปที่ 3.8
  31. 31. ที่ 3.8 แสดงจำานวน FAN-IN และ FAN-O Gate FAN-IN FAN- OUT 1 3 5 2 1 1 3 1 3 Gate อื่นๆ 2 -
  32. 32. 3.8 การเขียนวงจร Logic เบื้องต้น  การเขียนวงจร Logic จาก Boolean Expression หรือ Switching Function ให้ทำาตามลำาดับขั้นตอนดังนี้  รวมเทอมที่อยู่ในวงเล็บเข้ากับชนิดของ Gate นั้นๆ  เทอมที่คูณกัน ใช้ AND Gate หรือ NAND Gate ตาม Switching Function ที่กำาหนด
  33. 33.  3.93.9 การเขียนการเขียน SwitchingSwitching FunctionFunction จากวงจรจากวงจร LogicLogic  การเขียนการเขียน Switching FunctionSwitching Function จากวงจรจากวงจร LogicLogic ที่กำาหนดให้นั้น วิธีที่กำาหนดให้นั้น วิธี การเขียนต้องเริ่มต้นจากการเขียนต้องเริ่มต้นจาก InputInput มามา ทางทาง OutputOutput เรื่อยๆ ไปตามลำาดับ จงเรื่อยๆ ไปตามลำาดับ จง สังเกตจากตัวอย่างต่อไปนี้สังเกตจากตัวอย่างต่อไปนี้  ตัวอย่างที่ตัวอย่างที่ 3.63.6 จงหาจงหา OutputOutput ของของ GateGate แต่ละตัว จากวงจรแต่ละตัว จากวงจร LogicLogic ที่ที่
  34. 34. 3.10.13.10.1 Canonical FormCanonical Form Canonical FormCanonical Form หมายถึงหมายถึง Switching FunctionSwitching Function ที่เขียนอยู่ในรูปที่เขียนอยู่ในรูป ของของ Sum of ProductSum of Product หรือหรือ ProductProduct of Sumof Sum โดยที่แต่ละโดยที่แต่ละ CombinationCombination มีมี ตัวแปรอยู่เต็มจำานวน ถ้าเขียนอยู่ในรูปตัวแปรอยู่เต็มจำานวน ถ้าเขียนอยู่ในรูป ของของ Product of SumProduct of Sum ก็เรียกว่าก็เรียกว่า CanonicalCanonical Product of Sum FormProduct of Sum Form และถ้าเขียนอยู่ในรูปของและถ้าเขียนอยู่ในรูปของ Sum ofSum of ProductProduct ก็เรียกว่าก็เรียกว่า Canonical Sum ofCanonical Sum of Product FormProduct Form และก่อนที่เราจะศึกษาและก่อนที่เราจะศึกษา
  35. 35. Logic ในการออกแบบวงจร Logic จาก Boolean Expression หรือ Switching Function หรือ Truth Table นั้น เราจะต้องลดรูป Function ของ Output ให้เหลือน้อยที่สุดเสีย ก่อน โดยใช้ทฤษฎีของ Boolean หรือ วิธีอื่นๆ ซึ่งจะกล่าวในบทต่อไป ทั้งนี้ก็ เพื่อให้วงจร Logic ที่ต้องการมีจำานวน Gate น้อยที่สุด หรือมีการลงทุนในการ สร้างวงจรตำ่า นอกจากนี้ยังเป็นการลด เวลาหน่วง (Delay Time) ของวงจรอีก
  36. 36. Timing Diagram คือรูปกราฟแบบ หนึ่งที่ใช้แทนความหมายของสัญญาณ Input และ Output ที่มีความสัมพันธ์กันใน วงจร Logic หรือ Switching Network จากตัวอย่างที่ผ่านมา เราสามารถ ออกแบบวงจร Logic จาก Truth Table ท กำาหนดให้ได้ และในทำานองเดียวกัน เราก็ สามารถออกแบบวงจร Logic จาก Timing Diagram ได้เช่นเดียวกัน ตัวอย่างที่ 3.12 จงออกแบบวงจร Logic จาก Timing Diagram ต่อไปนี้
  37. 37. Output Y = 0 A = 0B = 0 C = 1 จะได้ Output Y = 1 A = 0 B = 1 C = 0 จะได้ Output Y = 1 A = 0 B = 1 C = 1 จะได้ Output Y = 1 A = 1 B = 0 C = 0 จะได้ Output Y = 0 A = 1 B = 0 C = 1 จะได้ Output Y = 1
  38. 38. เป็น Truth Table ได้ดังนี้ InputInput OutputOutput AA BB CC YY 00 00 00 00 00 11 00 00 11 11 22 00 11 00 11 33 00 11 11 11 44 11 00 00 00 55 11 00 11 11 66 11 11 00 00 77 11 11 11 11
  39. 39. โดยใช้ NAND หรือ NOR Gate เพียงอย่างเดียว เนื่องจาก NAND Gate และ NOR Gate เป็นเกทสากลที่ได้รับความนิยมใน การนำาไปใช้ในงานทั่วไป ดังนั้นการ ออกแบบวงจร Logic จึงมักนิยมที่จะ ออกแบบให้วงจรประกอบด้วย NAND Gate หรือ NOR Gate แต่เพียงอย่าง เดียว ด้วยเหตุผลคือ เราสามารถที่ ดัดแปลงวงจรที่ประกอบด้วย AND, OR หรือ NOT Gate ให้เป็นวงจรที่ประกอบ
  40. 40. •แต่ไม่สามารถที่ดัดแปลงวงจรให้ประกอบด้วยแต่ไม่สามารถที่ดัดแปลงวงจรให้ประกอบด้วย OROR หรือหรือ ANDAND เพียงอย่างเดียวได้ ด้วยเพียงอย่างเดียวได้ ด้วย เหตุผลดังกล่าว ทำาให้การลงทุนในการสร้างเหตุผลดังกล่าว ทำาให้การลงทุนในการสร้าง วงจรประหยัดลงไปได้มาก ทั้งนี้เป็นเพราะในวงจรประหยัดลงไปได้มาก ทั้งนี้เป็นเพราะใน IC 1IC 1 ตัว จะประกอบไปด้วยตัว จะประกอบไปด้วย GateGate ใดใด GateGate หนึ่งเพียงอย่างเดียวเท่านั้น เช่นหนึ่งเพียงอย่างเดียวเท่านั้น เช่น ICIC เบอร์เบอร์ 740740 00 หนึ่งตัว จะประกอบด้วยหนึ่งตัว จะประกอบด้วย NAND GateNAND Gate ชนิดชนิด 22 InputInput 44 ตัวตัว ICIC เบอร์เบอร์ 74027402 หนึ่งตัวหนึ่งตัว จะประกอบด้วยจะประกอบด้วย NOR GateNOR Gate ชนิดชนิด 22 InputInput 44 เป็นต้นเป็นต้น • จากตัวอย่างที่จากตัวอย่างที่ 3.123.12 วงจรที่ได้ต้องใช้วงจรที่ได้ต้องใช้ ICIC
  41. 41.  หลักการออกแบบวงจรให้ประกอบไปหลักการออกแบบวงจรให้ประกอบไป ด้วยด้วย NAND GateNAND Gate หรือหรือ NOR GateNOR Gate แต่เพียงอย่างเดียว มีวิธีง่ายๆ โดยใช้แต่เพียงอย่างเดียว มีวิธีง่ายๆ โดยใช้ ทฤษฎีของทฤษฎีของ BooleanBoolean เข้าช่วย กล่าวเข้าช่วย กล่าว คือคือ –จากจาก Switching FunctionSwitching Function ที่ได้ที่ได้ ให้ใส่ให้ใส่ complementcomplement เข้าไปเข้าไป 22 ครั้งครั้ง –ใช้ใช้ De Morgan TheoremDe Morgan Theorem 11
  42. 42. ตัวอย่าง 3.15 จาก Truth Table ที่กำาหนดให้ จงออกแบบวงจร Logicโดย a.ใช้ NAND Gate เพียงอย่างเดียว b.ใช้ NOR Gate เพียงอย่างเดียว
  43. 43. Input Output A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0
  44. 44. ตัวอย่าง 3.16 จงออกแบบ วงจร Logic จาก Timing Diagram ที่กำาหนดให้ โดย a.ใช้ NAND Gate เพียงอย่าง เดียว b.ใช้ NOR Gate เพียงอย่าง
  45. 45. ming Diagram ที่กำาหนดให้ เขียนเป็น Truth Table ไ InputInput OutputOutput AA BB CC YY 00 00 00 00 00 11 00 00 11 00 22 00 11 00 11 33 00 11 11 11 44 11 00 00 00 55 11 00 11 11 66 11 11 00 11 77 11 11 11 11

×