O slideshow foi denunciado.
Seu SlideShare está sendo baixado. ×

Unidad 4 funciones reales de varias variables

Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
1
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA
Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 4: FUNCIONES R...
2
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA
Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
Contenido
4.1 Definición de una función...
3
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA
Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
4.1 Definición de una función de varias...
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Anúncio
Carregando em…3
×

Confira estes a seguir

1 de 60 Anúncio

Mais Conteúdo rRelacionado

Diapositivos para si (20)

Quem viu também gostou (19)

Anúncio

Semelhante a Unidad 4 funciones reales de varias variables (20)

Mais recentes (20)

Anúncio

Unidad 4 funciones reales de varias variables

  1. 1. 1 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial CÁLCULO VECTORIAL UNIDAD 4: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES TERCER SEMESTRE JULIO 2015
  2. 2. 2 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Contenido 4.1 Definición de una función de varias variables. .........................................................................3 4.2 Gráfica de una función de varias variables. ..............................................................................7 4.3 Curvas y superficies de nivel...................................................................................................11 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica. ..........21 4.5 Derivada direccional...............................................................................................................41 4.6 Derivadas parciales de orden superior. ..................................................................................45 4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.....................................................................47 4.8 Derivación parcial implícita. ...................................................................................................52 4.9 Gradiente. ..............................................................................................................................53 4.10 Campos vectoriales. .............................................................................................................56 4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. ................................................58 Rotacional de un vector................................................................................................................58 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables..............................................................60
  3. 3. 3 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.1 Definición de una función de varias variables. Funciones de varias variables Introducción Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza , el volumen de un cilindro circular recto , el qrea de un triángulo , son todas funciones de dos variables. El volumen de una caja rectangular es una función de tres variables. Denotaremos una función de dos o más variables de la forma usual En esta sección se introduce otro importante concepto: las funciones de varias variables. Se introduce también el concepto de derivación parcial. Conceptos muy útiles en las aplicaciones. Se ha visto la gran utilidad de las funciones en la descripción de los diferentes fenómenos de la naturaleza. Hasta el momento se ha considerado solamente funciones de una variable funciones de una variable: f: R R x y = f(x) La explicación y uso del mundo natural y social han planteado, sin embargo, la necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo, considere el volumen de un cilindro circular recto:
  4. 4. 4 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial V r2 h. El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir V(r, h r2 h. Es decir, como una función de dos variables r y h. V: (r, h 2 h Por ejemplo: V (1,2 2 Los ejemplos son muchísimos: V(x, y, z) = x2 + y2 + z2 es una función de tres variables: x, y, z. En general, se puede hablar de funciones de varias variables. Funciones de dos variables En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:
  5. 5. 5 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z: Por ejemplo, si z = f(x) = Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centro en el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).
  6. 6. 6 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial o Nota: La ecuación z2 = 9 - x2 - y2 , o bien: z2 + x2 + y2 = 32 brinda la superficie de la esfera completa. Otro ejemplo: sea f(x,y) = 1. Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos (x,y,1)). Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.
  7. 7. 7 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.2 Gráfica de una función de varias variables. Definición (funciones de dos variables) Sea si a cada par ordenado hacemos corresponder un número real , entonces decimos que es una función de e , y escribimos . Al conjunto lo llamaremos dominio de y al correspondiente conjunto de valores lo llamamos recorrido de . Llamaremos a las variables e variables independientes y a la variable dependiente. Observación: de manera análoga podemos definir funciones de tres o más variables, . En todo caso el dominio será un subconjunto de y el recorrido un subconjunto de . Para efectos del curso nos limitaremos ha estudiar los casos . Ejemplo 1 Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones 1. 2. Solución Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadrada debe ser positivo o cero : Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura 1.
  8. 8. 8 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 1: dominio de f(x,y) Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo : Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábola misma, esto se muestra en la figura 2.
  9. 9. 9 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 1: dominio de g(x,y) Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable Suma y resta: Producto: Cociente: La función compuesta dada por se define solamente si es una función de dos variables y una función de una única variable. En este caso Para todo par en el dominio de . Por ejemplo, la función
  10. 10. 10 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Puede verse como la composición de la función de dos variables y la función de una variable Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma (donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos variables. Por ejemplo, la función Es una función poli nómica. Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas. Ejemplo 2 Determine el dominio de la función Solución Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemos que Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la figura 3.
  11. 11. 11 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 3: dominio de f(x,y) Bibliografía propuesta Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano 4.3 Curvas y superficies de nivel. Gráfica de funciones de dos variables Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional. Definición (gráfica de funciones de dos variables)
  12. 12. 12 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y . Es decir, Observación : La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en (figura 1). Figura 1. [ver en ambiente 3D] Ejemplo 1 Trace la gráfica de la función n Solución La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides (figura 2).
  13. 13. 13 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 2. [Ver en ambiente 3D] Observación : el paraboloide anterior tiene su eje de simetría paralelo al eje , es de esperar que un paraboloide como tenga su eje de simetría paralelo al eje . Ejemplo 2 Trace la gráfica de la función . Solución Esta es otra de las gráficas que usaremos con mucha frecuencia, se trata de un plano y + z = 2, su gráfica se muestra en la figura 3. Figura 3. Superficies Debido a que muchas de las superficies con las que trabajaremos no provienen de una función , es necesario extender nuestra definición de gráfica.
  14. 14. 14 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Definición (superficie) La gráfica de la ecuación es el conjunto de puntos tales que satisfacen ésta ecuación. Usualmente nos referimos a la gráfica de una ecuación como una superficie . Definición (traza de una superficie) La traza de una superficie en el plano , es la curva que resulta de la intersección entre ambos. Ejemplo 3 Compruebe que la traza de la esfera sobre el plano es una elipse. Solución Para hallar la ecuación de la traza debemos resolver el siguiente sistema que resulta ser una elipse: No se acostumbra escribir una curva en la forma anterior pues es difícil de manejar, resulta mucho más cómodo y provechoso trabajar con curvas planas o en el espacio, dadas en forma paramétrica. En este caso la curva se puede escribir paramétricamente como: con . La curva y las superficies se muestran en la figura 4.
  15. 15. 15 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 4. [Ver en ambiente 3D] Ejemplo 4 Dibuje las trazas del paraboloide sobre los planos , para cada . Solución En este caso las trazas corresponden a parábolas: es decir: en su forma paramétrica. En la figura 5 se muestran las trazas y la superficie.
  16. 16. 16 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 5. Otra manera de visualizar una superficie es por medio de sus curvas de nivel o mapas de contorno. Definición (curvas de nivel) La proyección perpendicular sobre el plano , de la traza de la superficie sobre el plano se conoce como curva de nivel o línea de contorno. Al conjunto de estas curvas de nivel se le llama mapa de contorno. Observación: también podemos definir curvas de nivel proyectando sobre el plano coordenado . Las trazas de la superficie sobre el plano o proyectando sobre el plano coordenado las trazas de la superficie sobre el plano . Aunque no se acostumbra hacerlo, pueden ser de utilidad al trazar la gráfica de una superficie. Ejemplo 5 Dibujar un mapa de contorno para el hiperboloide parabólico dado por La gráfica de esta función se muestra en la figura 6.
  17. 17. 17 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 6. Solución Para cada valor de , hacemos y dibujamos la curva resultante en el plano . Para esto analicemos tres casos : Si , digamos que , entonces Por tanto las curvas de nivel son hipérbolas con eje transversal horizontal y asíntotas . Si Si , digamos que , entonces Por tanto las curvas de nivel son hipérbolas con eje transversal vertical y asíntotas . El mapa de contorno se muestra en la figura 7.
  18. 18. 18 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 7. Ejemplo 6 Trazar el mapa de contorno para el paraboloide Solución Vamos a analizar tres casos: Si , digamos que con , entonces Entonces las curvas de nivel son círculos con centro en y radio . Si ,entonces lo cual corresponde al punto . Si , digamos que con , entonces Lo cual es imposible y no hay curvas de nivel si se corta con planos por debajo de . El mapa de contorno se muestra en la figura 8.
  19. 19. 19 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 8. ] Observación: un mapa de contorno muestra la variación de con respecto a e por el espaciado entre las curvas de nivel. Mucho espacio entre las curvas de nivel indica que varía lentamente, mientras que un espaciado pequeño indica un cambio rápido en .Otra cosa importante de notar en la figura 9, es que el radio de la curva de nivel (círculo) es proporcional al valor de , esto indica que va creciendo; lo cual concuerda con la forma de la superficie (paraboloide). Un comportamiento contrario indicaría que decrece. Por otro lado, para proyectar una buena ilusión tridimensional en un mapa de contorno es importante elegir los valores de de forma que estén espaciados uniformemente. Ejemplo En la figura 9 y la figura 10, se muestran algunas curvas de nivel y, en el ambiente 3D, las trazas. Algunas curvas de nivel para
  20. 20. 20 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 9. Algunas curvas de nivel para Figura 10.
  21. 21. 21 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica. Límites y continuidad Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno. El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto , como lo muestra la figura 1. Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de . Definición (Disco de radio y centro P) Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio y centro en es el conjunto de todos los puntos ) tales que su distancia a es menor que , es decir Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado Definición (Límite de una función)
  22. 22. 22 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Sea una función de dos variables definida en el disco abierto , excepto posiblemente en .Entonces si y sólo si para cada existe un correspondiente tal que Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera , el valor de está entre y , como se ilustra en la figura Figura 2. Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el punto se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de
  23. 23. 23 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a , entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta situación. Ejemplo 1 Compruebe que el siguiente límite no existe Solución El dominio de esta función es . Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto . Sobre el eje ( ) cada punto es de la forma y el límite en esta dirección es: Sobre la trayectoria cada punto es de la forma y el límite en esta dirección es Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en existen puntos en los cuales vale y . Luego no puede tener límite cuando .
  24. 24. 24 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Observación: en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes. Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe. Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra en siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Compruebe que Solución La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite de cero a través de muchas trayectorias esto no demuestre que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe. Sea , queremos encontrar un tal que es decir como
  25. 25. 25 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Por consiguiente, si elegimos , entonces Por consiguiente, por la definición Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las funciones de una sola variable, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3 Calcule los siguientes límites 1. 2. 3. Solución 1. Evaluamos directamente
  26. 26. 26 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 2. Para este límite, factorizamos el denominador 3. Para este límite racionalizamos el denominador Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de un límite. Ejemplo 4 Use coordenadas polares para comprobar que Solución Sean las coordenadas polares del punto . Entonces, como
  27. 27. 27 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial tenemos pues, para cualquier valor de . El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a pensar que el límite existe. Ejemplo 5 Estudie la existencia del siguiente límite Solución Si usamos trayectorias rectas que pasan por el origen , donde , tenemos Ahora usemos como trayectorias las parábolas de la forma , con .
  28. 28. 28 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero, observe que al usar la trayectoria , obtenemos Por tanto, el límite no existe. Definición (Continuidad en un punto) Sea una función de dos variables, sea y sea un disco abierto centrado en y de radio , decimos que es continua en si Decimos que es continua en la región si es continua en cada punto de la región. Límites y continuidad Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno. El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto , como lo muestra la figura 1.
  29. 29. 29 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 1. Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de . Definición (Disco de radio y centro P) Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio y centro en es el conjunto de todos los puntos ) tales que su distancia a es menor que , es decir Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado Definición (Límite de una función) Sea una función de dos variables definida en el disco abierto , excepto posiblemente en .Entonces
  30. 30. 30 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial si y sólo si para cada existe un correspondiente tal que Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera , el valor de está entre y , como se ilustra en la figura Figura 2. Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el punto se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de
  31. 31. 31 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a , entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta situación. Ejemplo 1 Compruebe que el siguiente límite no existe Solución El dominio de esta función es . Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto . Sobre el eje ( ) cada punto es de la forma y el límite en esta dirección es: Sobre la trayectoria cada punto es de la forma y el límite en esta dirección es Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en existen puntos en los cuales vale y . Luego no puede tener límite
  32. 32. 32 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial cuando . Observación: en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes. Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe. Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra en siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Compruebe que Solución La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite de cero a través de muchas trayectorias esto no demuestre que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe. Sea , queremos encontrar un tal que es decir como
  33. 33. 33 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Por consiguiente, si elegimos , entonces Por consiguiente, por la definición Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las funciones de una sola variable, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3 Calcule los siguientes límites 1. 2. 3. Solución 1. Evaluamos directamente
  34. 34. 34 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 2. Para este límite, factorizamos el denominador 3. Para este límite racionalizamos el denominador Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de un límite. Ejemplo 4 Use coordenadas polares para comprobar que
  35. 35. 35 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Solución Sean las coordenadas polares del punto . Entonces, como tenemos pues, para cualquier valor de . El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a pensar que el límite existe. Ejemplo 5 Estudie la existencia del siguiente límite Solución Si usamos trayectorias rectas que pasan por el origen , donde , tenemos
  36. 36. 36 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Ahora usemos como trayectorias las parábolas de la forma , con . Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero, observe que al usar la trayectoria , obtenemos Por tanto, el límite no existe. Definición (Continuidad en un punto) Sea una función de dos variables, sea y sea un disco abierto centrado en y de radio , decimos que es continua en si Decimos que es continua en la región si es continua en cada punto de la región. Observación : la segunda función del ejemplo 3 no es continua, pues no existe, pero podemos hacerla continua redefiniendo como .
  37. 37. 37 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Usando las propiedades de los límites podemos obtener el siguiente teorema sobre la continuidad de la suma producto y cociente. Ejemplo 6 Compruebe que la siguiente función es continua en . Solución Del ejemplo 2 tenemos que por lo cual, la función es continua en . La gráfica de la función se muestra en la figura
  38. 38. 38 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Figura 3. Observación: los ejes en la figura 3 se han variado un poco con respecto a la forma usual en la que los hemos estado usando con el propósito de que la superficie se pueda apreciar mejor. Ejemplo 7 Considere la función ¿Dónde es continua la función ? Solución Observe que la función no esta definida para los puntos en donde , por lo tanto es discontinua en dichos puntos. Es decir, es continua en :
  39. 39. 39 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial En la figura se muestra la región en la cual es continua. Figura 4. . Teorema (Operaciones con funciones continuas) Si es una función de dos variables continua en y sea una función de una sola variable, entonces la composición de funciones , definida por es continua en Ejemplo 8 Considere la función
  40. 40. 40 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial ¿Dónde es continua ? Solución Si y , entonces de modo que . Por otro lado, es un polinomio y es continua en todo , y es continua para . Por lo tanto, será continua en que corresponde al exterior del círculo , en la figura 5 se muestra esta región. Figura 5.
  41. 41. 41 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.5 Derivada direccional. Las derivadas parciales Considérese la función F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 . Si x, y, z varían entonces f(x, y, z) varía, y tiene sentido preguntarse, por ejemplo, por las razones de cambio y por las derivadas. Esto se hace de la siguiente forma: se considera que 2 de las variables son fijas, como constantes, y se calcula la derivada para la otra variable. Por ejemplo: la derivada de F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 si asumimos y y z Constantes y x variable, es solamente 2x (pues la derivada de (y2 ) y (z2 ) es cero). Cuando esto sucede se dice que se obtiene la derivada parcial de f(x, y, z) con respecto a x, y se denota (Símbolos un poco diferentes a los , Dx f, o D1 f) Entonces = Dx f (x, y, z) = 2x. Si se hace variar y (x y z se asumen constantes), entonces
  42. 42. 42 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Esta se denota También = 2z, Se denota. , Dz f, o D3 f.
  43. 43. 43 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
  44. 44. 44 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
  45. 45. 45 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.6 Derivadas parciales de orden superior. Derivadas parciales de orden superior La segunda derivada parcial (y en general todas las de orden superior) también se pueden calcular. Si = 2x, se repite el procedimiento para esta expresión = 2
  46. 46. 46 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial y se denota por (el 2 indica que se trata de la segunda derivada parcial) o por D f.. Ahora bien, si se empieza con (manteniendo y y z constantes), luego se puede seguir calculando la derivada parcial de con relación a y. Esto se escribe o D f o D f Ejemplo 8.Cálculo de derivadas parciales Dada f(x,y) = ex sen y calcular , , , , , , Solución: ® = = ex sen y (y constante y = ex ). ® = = ex cos y (x constante y = cos y). ® = = = ex sen y. ® = = = -ex sen y.
  47. 47. 47 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial ® = = = ex cos y. ® = = = ex cos y. ® = = = ex cos y. Las diferentes propiedades que hemos estudiado en las funciones de una variable se pueden generalizar y adaptar a funciones de varias variables. Cuando se habla de ecuaciones diferenciales parciales se refiere a ecuaciones diferenciales en las que aparecen derivadas parciales de una función de varias variables. Estas son probablemente las ecuaciones de mayor interés para la física-matemática y sus aplicaciones. Una de las más conocidas y útiles es la famosa ecuación de Laplace: + + = 0 que apareció por primera vez en la teoría newtoniana de la atracción gravitacional. También aparece en las teorías de elasticidad, sonido, luz, calor, electromagnetismo y del movimiento de fluidos. 4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena. Derivación de la función compuesta. Regla de la cadena Si se tienen dos funciones ufy y xgu Entonces xgfy es una función compuesta o función de función, y su derivada con respecto a x está dada por dx du du dy dx dy
  48. 48. 48 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial A esta expresión se le conoce como “Regla de la Cadena” La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas funciones. Ejemplos: 1) Sean wwy 42 y 12 2 xw Obtener dx dy Solución: 42w dw dy , 122 4 2 x x dx dw 12 2 42 2 x x w dx du du dy dx dy 12 2 4122 2 2 x x x 12 8 4 12 8124 22 2 x x x x xxx 2) Utilizar la regla de la cadena para derivar: 1 1 1 2 x y Si uy 1 , v u 1 , 12 xv La derivada será
  49. 49. 49 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial dx dv dv du du dy dx dy udu dy 12 1 , 2 1 vdv du , x dx dv 2 22 2 2 22 2 2 2 1 1 11 1 1 1 1 1 12 2 2 1 12 1 x x x x x x x v v x x vudx dy 2 3 222 2 2 22 2 2 11 1 1 1 xx x x x x x x x x x Derivación de funciones expresadas en forma paramétrica Dada y = f(x) , se puede representar en forma paramétrica como: btgy atfx Para calcular dx dy se aplica el siguiente razonamiento: Por la regla de la cadena: )c( dx dt dt dy dx dy En donde dx dy se puede obtener despejando t de la ecuación (a) . Lo cual no siempre es fácil, y a veces hasta imposible.
  50. 50. 50 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Otra forma de obtener dx dt es empleando la derivada de la función inversa. d dt dxdx dt 1 Sustituyendo (d) en (c) dt dxdt dy dx dy 1 dt dx dt dy dx dy (e) Para calcular la segunda derivada usamos (e) dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx yd 2 2 dt dx dt dy dt d dx dy dt d (f) Esto es: dt dx dt dy dt d dx dy dt d
  51. 51. 51 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 2 2 2 2 2 dt dx dt yd dt dy dt yd dt dx (g) Finalmente, sustituimos (g) en (f) 3 2 2 2 2 2 2 dt dx dt yd dt dy dt yd dt dx dx yd Ejemplo: Sea la función 1 2 2 ty ttx Obtener dx dy cartesianaecuaciónlaporb aparamétricderivaciónpora ) ) a) 14t dt dx tdt dy 2 1 142 1 14 2 1 ttt t dt dx dt dy dx dy b) De la segunda ecuación: t = (y+1)2 Sustituyendo. En la primera: x = 2 (y+1)4 – (y+1)2 Derivando implícitamente: dx dy y dx dy y 12181 3 1218 1 3 yydx dy
  52. 52. 52 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.8 Derivación parcial implícita. Derivación de funciones expresadas en forma implícita Frecuentemente se presentan funciones en las cuales no es posible despejar a y o resulta difícil hacerlo. En esta situación, debe derivarse la función tal como está dada, (recordando que y es función de x y aplicando la regla de la cadena para derivar los términos donde aparece y) y resolverse para dx dy Ejemplo: Obtener dx dy para las expresiones indicadas: 1.- 076325 yyxx 076325 dx d dx d y dx d yx dx d x dx d , dx dy y dy d 6 0065 523324 dx dy yx dx d yy dx d xx 06235 53224 dx dy yxy dx dy yxx 34522 2563 xyxyyx dx dy 522 34 63 25 yyx xyx dx dy
  53. 53. 53 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.9 Gradiente. El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Tiene múltiples aplicaciones (como la divergencia y el rotacional), las cuales describiremos más adelante. NOTA: No se asigna valor alguno al símbolo en sí mismo . Es un operador, en el mismo sentido que lo es d/ dx: Cuando opera sobre f (x, y) produce el vector f (x, y) Calcular el gradiente de: )2,1(ln),( 2 puntoelenxyxyyxf
  54. 54. 54 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
  55. 55. 55 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
  56. 56. 56 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 4.10 Campos vectoriales. Calcular el rot F para el campo vectorial siguiente:
  57. 57. 57 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Hemos visto que el rotacional de un campo vectorial es a su vez un campo vectorial. Otra importante función definida sobre un campo vectorial es la divergencia, que es una función escalar
  58. 58. 58 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Hallar la divergencia en el punto (2, 1, -1) del siguiente campo vectorial: 4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. Rotacional de un vector La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C1 F en R 3 . El campo vectorial Rot F definido como sigue: Sea y hagamos Esta fórmula es fácil de recordar si la escribimos con la operación de "operador". Introduzcamos formalmente el símbolo "del" o "nabla": es un operador; esto es, actúa u opera sobre funciones con valores reales. Específicamente, f, operando sobre f, esta dado por: es el gradiente de f. Esta notación formal es bastante útil; si vemos como vector con componentes , entonces podemos tomar también el producto cruz
  59. 59. 59 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Así, Rot F = x F. El teorema siguiente enuncia la relación básica entre el gradiente y el rotacional. Teorema: Para cualquier función f de clase C2 , tenemos esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero. PROPIEDADES DE LA DERIVADA. GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES CONCEPTOS BÁSICOS En funciones de varias variables, la operación de la derivación disfruta de propiedades parecidas a las que tiene en funciones de una variable, lo que resulta de muy fácil aplicación en casos de derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones. La operación que quizá acarrea ciertas dificultades operacionales es la derivación de composición de funciones. Para dos funciones f y g que se pueden componer entre sí, se verifica la siguiente forma matricial de la regla de la cadena: )()())(( 000 xDyDxD gfgf  En la práctica, sin embargo, raras veces practicamos el producto matricial, sino que aplicamos el primero y segundo caso especial de la regla de la cadena:
  60. 60. 60 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial x w w h x v v f x u u f x h zyxwzyxvzyxufgfzyxh zyxwzyxvzyxuzyxg gf dt dz z h dt dy y f dt dx x f tcf dt dh tztytxftcfth c f ));;();;;();;;(());;( ));;();;;();;;(();;( :;: )(· ))();();(())(()( : : 333 3 3  RRRR RR RR En el segundo caso, podemos escribir expresiones análogas para las derivadas de h respecto a y y respecto a z. El gradiente de una función de Rn en R es el vector de sus derivadas parciales: z f y f x f zyxf ;;);;( Las derivadas direccionales, notadas Duf, son límites de cocientes incrementales según una dirección de acercamiento u a un punto del dominio. Si tomamos la forma normalizada (vector unitario) de la dirección u, se puede mostrar que Duf(x0) = f(x0)·u; y el máximo valor de la derivada direccional se obtiene en la dirección del vector gradiente. Si se tiene una superficie definida por F(x; y; z) = 0, el gradiente F es un vector normal a la superficie en cualquier punto. 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.

×