Unidad 3 funciones vectoriales de una variable real

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA
Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 3: FUNCIONES VECTORIALES DE UNA
VARIABLE REAL
TERCER SEMESTRE
JULIO 2015

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Contenido
3.1 Definición de función vectorial de una variable real. ...............................................................2
3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t....................................................................3
3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades. ..........................................................3
3.4 Integración de funciones vectoriales........................................................................................7
Integración vectorial ........................................................................................................................8
3.5 Longitud de arco.......................................................................................................................8
3.6 Vector tangente, normal y binormal. .....................................................................................10
3.7 Curvatura................................................................................................................................11
3.8 Aplicaciones............................................................................................................................12
3.1 Definición de función vectorial de una variable real.
Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial A (t) es un vector
dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x, y, z, o sea:
A( t ) = Ax( t )i + Ay( t )j + Az( t )k
Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son
aplicables a las funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del
vector.

3
3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t.
3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
(4.46)
No está definida la derivada respecto de una variable vectorial.
Derivada del producto escalar.

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Derivada del producto vectorial.
Derivada de un vector respecto a un escalar
Sea a un vector cuyas componentes son función continua de una magnitud escalar t.
Entonces,
La derivada de un vector a respecto de un escalar t, es un vector, cuya dirección es
tangente a la curva descrita por los extremos del vector a, en el punto considerado, y
cuyas componentes son las derivadas, respecto del escalar, de las componentes de
a.
Coordenadas Cartesianas
Sea a=axi+ayj+azk
La derivada del vector a respecto del escalar t es:

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Coordenadas intrínsecas:
Sea el vector a=aua, donde u es un vector unitario en la dirección de a. Derivemos
dicha expresión, teniendo en cuenta que las reglas del cálculo diferencial se pueden
aplicar formalmente, sin modificarse, en los casos de las funciones vectoriales:
Matemáticamente nos indica que la derivada de un vector se puede descomponer
como suma de dos vectores, uno que lleva la dirección del vector sin derivar y el otro
una dirección perpendicular.
El significado físico es mucho más interesante, ya que dicha descomposición nos
permite separar las variaciones en el módulo de ; de las variaciones en
dirección : .
Derivada de un vector unitario:
De la misma forma, se demuestra que:
Principales reglas de derivación:

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3.4 Integración de funciones vectoriales.
Integrales.
(4.49)

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Integración vectorial
Si un vector a es función de un escalar t, y sus componentes son funciones
integrables, se define la integral indefinida de a(t)como
De manera que, en general,
En donde c es un vector arbitrario y constante (que no depende de t).
La integral definida de la misma función vectorial a(t) entre los limites a y b será
De manera que, en general,
3.5 Longitud de arco.
Vamos a calcular la longitud de una curva en un intervalo cuya
derivada sea continúa en ; a esta porción de gráfica se le llama arco .
Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que
aproxime la longitud en cada intervalo.

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Se hace una partición (puede ser regular) del intervalo ;
para P y para P de
manera que el segmento P P tiene longitud calculada por el teorema de Pitágoras
Si se suma la longitud de cada segmento, P P P P ,... , P P se obtiene una
aproximación a la longitud total s
.
Para poder ahora tomar el límite de la suma cuando la norma de la partición
, utilizaremos que la función es derivable y contínua
en (condición que se puso para que fuera un arco) y por lo tanto lo es en cada
sub intervalo por lo que satisface el teorema del valor medio.
Luego existe tal que remplazando
s . Si
s
Ejemplo 1: Encontrar la longitud del segmento de parábola en el intervalo
s . Resolviendo ahora con

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s
(Unidades lineales)
3.6 Vector tangente, normal y binormal.
Vector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el
espacio descrita por r (t) = f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas
derivadas.
Vector tangente unitario
T = r’ (t) / r´ (t)
Vector bi-normal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X N
Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente
ortogonales de orientación derecha, llamado triado móvil
Radio de curvatura.-El reciproco de la curvatura, p = 1/k se llama radio de curvatura.
El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia
que se ajusta a la curva mejor que cualquier otra.
Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que
se mueve sobre una circunferencia.

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3.7 Curvatura.
En la forma cartesiana
La expresión cartesiana de la curvatura de la curva es:
En la forma paramétrica
La expresión paramétrica de la curvatura formando la curva como
es:

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3.8 Aplicaciones.
Las relaciones entre rapidez, longitud de arco y aceleración hacen acto de presencia
en muchos problemas prácticos de física y de ingeniería, en particular cuando actúa
una fuerza de rozamiento.
Supongamos un móvil de masa “m” en contacto con un objeto estacionario, la fuerza
total requerida para producir una aceleración “a” a lo largo de una cierta trayectoria
es
NmaTmaN
dt
ds
mkT
dt
sd
mmaF nt
2
2
2
)()(

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La porción de esta fuerza que es ejercida por el objeto en reposo se llama fuerza de
rozamiento(o de fricción).Así, si un automóvil toma una curva a una velocidad
constante, la carretera ejerce una fuerza de rozamiento que impide que el automóvil
se salga de ella. Si el coche no desliza, la fuerza de rozamiento es perpendicular a la
dirección del movimiento y su magnitud es igual a la componente normal de la
aceleración. La fuerza de rozamiento en una curva puede aumentarse peraltando la
carretera.
Resolver los siguientes reactivos
1) Un kart de 360 Kg. viaja a 60 km/h por una pista circular de 12 metros de radio
¿Qué fuerza de rozamiento hace falta para impedir que deslice?
a) 8333.33
a) 8564.81
a) 8796.29

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