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基礎からのベイズ統計学 3章(3.1~3.3)
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基礎からのベイズ統計学 3章(3.1~3.3)
1.
基礎からのベイズ統計学 第3章ベイズ推定(3.1~3.3)
2.
第3章の目的 確率に関する「ベイズの定理」 第1章
分布に関する「ベイズの定理」 第3章 拡張
3.
先週のおさらい ・確率変数 事象を引数、実現値が返り値となる関数のこと x = X(事象) x
従属変数(=現実値) X 関数(=確率変数) 事象 独立変数 ・確率分布 確率変数の実現値と、現実値に付与された確率の対応表 確率変数の特徴を表す (例1) ベルヌイ分布 f(x|θ) = θx(1-θ)1-x x=0,1 (例2) 2項分布 f(x|θ) = nCxθx(1-θ)n-x x=0,1・・・・,n
4.
第2章で、確率分布に関する色々な式変形を勉強 共通点 母数θが縦棒の右にある ≒ 分布の特徴が所与(given)ということを意味する ここまでは、伝統的な統計学者と同じ立場。 フィッシャーも異論なし!!
5.
ところが、 乗法定理のAiをθをみなして、Biをxとみなして書き換えると、立場が決裂 乗法定理 p(Ai, Bi) =
p(Bj | Aj) p(Aj) f(θ, x) = f(x |θ) f(θ) p(Ai, Bi) = p(Aj | Bj) p(Bj) f(θ, x) = f(θ|x) f(x) 伝統的な統計学では、上記の変換式を原則許さない 伝統的な統計学・・・母数θは未知だけど固定された非確率変数 ベイズ統計学・・・f(θ)を母数の分布として導入。母数θは確率変数として扱う
6.
ところが、 乗法定理のAiをθをみなして、Biをxとみなして書き換えると、立場が決裂 乗法定理 p(Ai, Bi) =
p(Bj | Aj) p(Aj) f(θ, x) = f(x |θ) f(θ) p(Ai, Bi) = p(Aj | Bj) p(Bj) f(θ, x) = f(θ|x) f(x) 伝統的な統計学では、上記の変換式を原則許さない 伝統的な統計学・・・母数θは道だけど固定された日確率変数 ベイズ統計学・・・f(θ)を母数の分布として導入。母数θは確率変数として扱う ベイズ統計学では、右辺を等式 でつなぎ、両辺をf(x)で割る 𝑓(𝜃|𝑥) = 𝑓 𝑥 𝜃 𝑓(𝜃) 𝑓(𝑥)
7.
分布に関するベイズの定理 𝑓(𝜃|𝑥) = 𝑓 𝑥
𝜃 𝑓(𝜃) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝜃|𝑥)・・・事後確率分布 𝑓(𝑥|𝜃)・・・尤度 𝑓(𝜃)・・・事前確率分布 𝑓(𝑥) = −∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃 𝑓(𝜃|𝑥) = 𝑓 𝑥 𝜃 𝑓(𝜃) −∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃 全確率の公式
8.
まとめ ベイズの定理 事前確率が客観確率である場合は、伝統的な統計学者も認 める。
分布に関するベイズの定理 θを確率変数とみるか、非確率変数とみるかによって、出発 点から伝統的な統計学とはたもとを分かつ。 数理的な仮定の問題なので、ベイズ統計学と伝統的統計 学のどちらが正しいかを判断することはできない。 出発点の仮定の違いによって長所・短所がある。それをき ちんと踏まえることが大事。
9.
確率分布に対する理解を深めましょう カーネル 正規化定数
10.
カーネル 確率分布や尤度において、母数と変数を含んだ部分。
確率分布や尤度の本質的な性質を決定する。 赤部分が2項分布の性質を決める。それを強調するために 2項分布の確率関数を下記のように示すこともある。 𝑓(𝜃|𝑥) = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜃 𝑥 1 − 𝜃 𝑛−𝑥 (例)2項分布 カーネル 𝑓(𝜃|𝑥) ∝ 𝜃 𝑥 1 − 𝜃 𝑛−𝑥
11.
正規化定数 確率分布の母数&変数(?)を含まない部分。
確率分布を確率変数で積分したら1になるようにする。 (参考) 𝑓(𝑥|𝑝, 𝑞) = 𝐵 𝑝, 𝑞 −1 𝑥 𝑝−1 1 − 𝑥 𝑞−1 (例)ベータ分布の確率密度関数 カーネル 𝐵 𝑝, 𝑞 = 0 −1 𝑥 𝑝−1 1 − 𝑥 𝑞−1 𝑑𝑥 正規化定数 𝐵 𝑝, 𝑞 の定義 すべての確率分布は、確率変数で積分すると1になるという性質がある ので↓↓↓ 0 1 𝑓(𝑥|𝑝, 𝑞) = 0 1 𝐵 𝑝, 𝑞 −1 𝑥 𝑝−1 1 − 𝑥 𝑞−1 𝑑𝑥 = 𝐵 𝑝, 𝑞 −1 0 1 𝑥 𝑝−1 1 − 𝑥 𝑞−1 𝑑𝑥 = 1
12.
ベイズの定理では、 データが所与のときの母数の確率分布(事後分布)を導 出する。 確率分布なので、確率変数θで積分すると1になるはず。
尤度と事前分布の積が事後分布のカーネルとなり、この 部分に、母数に関する情報が集約されている。 ベイズの定理による変形は、上式により積分が1である ことが保証されている。なので、正規化定数を無視して、 カーネルだけに注目してもその分布がなんであるかが わかる(そうすることがベイズ流!)。 0 1 𝑓 𝜃 𝑥 𝑑𝜃 = −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝜃 𝑓(𝜃) 𝑓(𝑥) 𝑑𝜃 = 𝑓 𝑥 −1 −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃 = 1 カーネル正規化定数
13.
自然共役事前分布 以下の例で、伝統的な統計学とベイズ統計学の違いを 考察しよう 正選手問題 ある高校のテニス部で、次の大会の正選手を1名だけ決めることになりま した。候補はA,Bの2選手です。ここ数日の正式記録によるとA対Bの戦績 は3勝4敗です。BがAより優勢です。しかし監督は正選手の決定に悩み ました。それ以前の1週間では8勝2敗ぐらいでAが優勢だと思ったからで す。しかしこれは正式記録としては全く残っておらず、あくまでも茫然とし た監督の個人的印象にしかすぎません。監督はAとBのどちらを正選手 に選ぶべきでしょう。
14.
自然共役事前分布 以下の例で、伝統的な統計学とベイズ統計学の違いを 考察しよう 伝統的な統計学
客観的なデータにだけ基づいて勝率を推定⇒Bの勝率 4/7 ベイズ統計学の私的分析 監督の主観も判断材料に利用する。普段はAの方がうまい けど、たまたま直前の1試合だけをポカしただけかもしれない。 正選手問題 ある高校のテニス部で、次の大会の正選手を1名だけ決めることになりま した。候補はA,Bの2選手です。ここ数日の正式記録によるとA対Bの戦績 は3勝4敗です。BがAより優勢です。しかし監督は正選手の決定に悩み ました。それ以前の1週間では8勝2敗ぐらいでAが優勢だと思ったからで す。しかしこれは正式記録としては全く残っておらず、あくまでも茫然とし た監督の個人的印象にしかすぎません。監督はAとBのどちらを正選手 に選ぶべきでしょう。
15.
ベイズが抱える問題と解決策 ベイズ統計学には、事後分布が常に計算可能とは限ら ないという問題がある。 分析者が主観的に決めてよいはずの事前分布を本当 に自由に決めてしまうと、ほとんどの場合に事前分布が 求まらない。 事後分布が求まるように事前分布を決め ればよい! この事前分布を「自然共役事前分布」と いう 事後分布が計算可能になるように事前 分信念を有するというのは恣意的! 計算の利便を優先した本末転倒である。 ライファ・シュレイファーのベイズ統計分 析は私的分析に分類すべき。
16.
自然共役事前分布と尤度の組み合わせ 尤度 事前分布
事後分布 ベルヌイ分布 ベータ分布 ベータ分布 2項分布 ベータ分布 ベータ分布 ポアソン分布 ガンマ分布 ガンマ分布 正規分布の平均 正規分布 正規分布 正規分布の分散 逆ガンマ分布 逆ガンマ分布 尤度がベルヌイ分布や2項分布である場合に、ベータ分布を共役事前分布とし て利用すると・・・ ∝ 𝜃 𝑥 1 − 𝜃 𝑛−𝑥 × 𝜃 𝑝−1 1 − 𝜃 𝑞−1 𝑓(𝜃|𝑥) ∝ 𝑓 𝑥 𝜃 𝑓 𝜃 ∝ 𝜃 𝑥+𝑝−1 1 − 𝜃 𝑛−𝑥+𝑞−1 ∝ 𝜃 𝑝−1 1 − 𝜃 𝑞−1
17.
事後分布の評価 事前知識 無作為に選んだ10人に、現在国会審議中のある法案に賛成か否かどう か質問したところ8人が賛成しました。標本比率は0.8(=8/10)です。しか し、別の10人、さらに別の10人、さらに更に調査することを考えます。標 本比率は調査のたびに違った値になり、それは分布を構成します。この ような分布を標本比率の標本分布という。 標本分布・・・データから計算される数的指標の分布 母比率E[X] の母集団からn人の標本を抽出した場合、 標本分布の平均はE[X] 分散はV[E]=E[x](1-[E])/n 母比率の代わりに標本比率を使って計算すると、V[E]=0.016、r=9 標本比率の標本分布はp=7.2、q=1.8のベータ分布で近似可能
18.
ベータ分布に関する知見 ベータ分布の確率密度関数は、θ=(p,q)として ベータ分布の平均と分散は
母数は平均と分散で表現すると便利 𝑓(𝑥|𝑝, 𝑞) = 𝐵 𝑝, 𝑞 −1 𝑥 𝑝−1 1 − 𝑥 𝑞−1 E 𝑋 = 𝑝 𝑝 + 𝑞 𝑝 = 𝑟𝐸 𝑋 𝑞 = 𝑟 1 − 𝐸 𝑋 𝑟 = 𝐸 𝑋 1 − 𝐸 𝑋 𝑉 𝑋 − 1 V 𝑋 = 𝑝𝑞 𝑝 + 𝑞 2 𝑝 + 𝑞 + 1
19.
事後分布の評価
20.
無情報的事前分布 以下の問題は、「正選手問題」と同型 治療問題 治療法Aを7人の病気αの患者に施し、経過を正式に記録したところ、3人 が治癒し、4人は治癒しませんでした。しかし当該医師は、これまで治療 法Aによって10人中8人は治癒したと信じています。しかし、これは正式 記録としては全く残っておらず、あくまでも茫然とした医師の個人的印象 にしかすぎません。治療法Aの治癒率を評価してください。
21.
私的分析再考 私的分析では、自己責任なのだから、事前分布を本当 に自由に選んでしまってよいのか? 入社試験問題 ある企業の入社試験では、毎年、同じ難しさの問題を7題出します。X大 学のxさんは3問正解、4問不正解でした。正解率をθxとします。Y大学の yさんは4問正解、3問不正解でした。正解率をθyとします。X大学とY大 学からは毎年たくさんの受験者がいます。調べてみると、X大学の受験生 の正解率は平均0.8、分散0.04のベータ分布で近似され、Y大学の受験 者の正解率は平均0.4、分散0.04のベータ分布で近似されることがわか りました。θxとθyを推定し、母数の値の大きな受験者を1人だけ入社させ るとしたら、xさんとyさんのどちらでしょう。
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