Problemas complementarios potencial electrico clase 6a

1. Potencial Eléctrico, Ley de Gauss, Campo Eléctrico
Clase 6a 07/Octubre/14

2. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 1
 El modelo de gota liquida del núcleo sugiere que oscilaciones de alta energía de
ciertos núcleos pueden dividir el núcleo en dos fragmentos distintos más unos
cuantos neutrones. Los fragmentos adquieren energía cinética de su mutua
repulsión de Coulomb. Calcule la energía potencial eléctrica (en electrón volts) .
Calcule la energía potencial eléctrica (en electrón volts) de dos fragmentos
esféricos de un núcleo de uranio que tiene las siguientes cargas y radios 38푒 푦
5.50 × 10−15푚 ;54푒 푦 6.20 × 10−15푚 . Suponga que la carga esta distribuida de
manera uniforme por todo el volumen de cada fragmento esférico y que sus
superficies están inicialmente en contacto en reposo. (Los electrones que rodean el
núcleo pueden ignorarse).

3. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solucion
 Datos
 푅 = 6.20 × 10−15푚, 푟 = 5.50 × 10−15푚, 푈푠푖푠푡푒푚푎 = ?
푅 푟
54푒− 38푒−

4. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solucion
 Sabemos que
 푈푠푖푠푡푒푚푎 =
푘푒∙푄1∙푄2
푅+푟
⇒ 푈푠푖푠푡푒푚푎 =
푘푒 54푒− 38푒−
푅+푟
 ⇒ 푈푠푖푠푡푒푚푎 =
8.99×109 54 38 −1.6×10−19 2
11.70×10−15
 1 퐽푢푙푖표 = 6.2415 × 1018 푒푉
 ∴ 푈푠푖푠푡푒푚푎 = 253푀 푒푉

5. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 2
 En un dia seco de invierno usted arrastra sus zapatos con suela de cuero sobre
una alfombra y recibe una descarga cuando extiende la punta de su dedo hacia
una manija metálica. En un cuarto oscuro ve una chispa quizá de 5 mm de largo.
Realice estimaciones de orden de magnitud de a) su potencial eléctrico y b) la
carga sobre su cuerpo antes de que usted toque la manija. Explique sus
razonamientos.

6. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Datos
 퐿표푛푔푖푡푢푑 = 5 × 10−3푚
 Inciso a
 Sabemos que: 퐸푎푖푟푒 푠푒푐표 = 3 × 106 푉
푚
(푎푝푟표푥푖푚푎푑푎푚푒푛푡푒)
 Luego:

푑푉
푑푟
= −퐸푟 ⟹
푑푉
푑푟
푑푟 = − 3 × 106푑푟 ⟹ 푉 = −3 × 106 ∙ 푟
 ⇒ 푉 = −3 × 106 5 × 10−3 = −15푘푉

7. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que:
 푉 =
푘푒푄
푟
⟹ −15푘푉 =
8.99×109 푄
5×10−3
 ∴ 푄 = −8.34푛퐶

8. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 3
 A una cierta distancia de una carga puntual, al magnitud del campo eléctrico es de
500 푉/푚 y el potencial eléctrico es igual a −3푘푉. A) ¿Cuál es la distancia a la
carga? B) ¿Cuál es la magnitud de la carga? .

9. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso a
 Datos
 퐸 = 500
푉
푚
, 푉 = −3푘푉
 Sabemos que:
 퐸 =
푘푒푄
푟2 ⟹ 500 =
8.99×109 푞
푟2 …………………… (1)
 P표푟 표푡푟표 푙푎푑표 ∶ 푉 =
푘푒∙푞
푟
⟹ −3 × 103 =
8.99×109 푞
푟
… … … . (2)

10. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso a
 Sumamos (1) + (2):
 500 ∙ 푟2 = 8.99 × 109 푞
 −3 × 103 ∙ 푟 = 8.99 × 109 푞
 Un sistema equivalente seria el siguiente
 500 ∙ 푟2 = 8.99 × 109 푞
 3 × 103 ∙ 푟 = − 8.99 × 109 푞

11. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso a
 Por lo tanto tenemos que.
 500푟2 + 3 × 103푟 = 0 ⟹ 푟 500푟 + 3 × 103 = 0
 ∴ 푟1 = 0 푒푠푡푒 푣푎푙표푟 푛표 푛표푠 푖푛푡푒푟푒푠푎, 표푏푡푒푛푒푚표푠 푟2
 500푟 + 3 × 103 = 0 ⟹ 푟 = −
3×103
500
= −6, como no existen distancias negativas
decimos lo siguiente:
 ∴ 푟 = 6푚

12. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso b
 De (1) tenemos que:
 500 =
8.99×109× 푞
6 2 ⟹ 푞 =
500× 6 2
8.99×109 ∴ 푞 = 2휇퐶
 De (2) tenemos que
 −3 × 103 =
8.99×109×푞
6
⟹ 푞 =
−3×103×6
8.99×109 = −2휇퐶
 ∴ 푞 = −2휇퐶 푒푠 푙푎 푟푒푠푝푢푒푠푡푎 푐표푟푟푒푐푡푎
 푑푎푑표 푒푙 푝표푡푒푛푐푖푎푙 푒푙푒푐푡푟푖푐표 푑푒 3푘푉 푞푢푒 푡푒푛푒푚표푠

13. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 4
 Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un cascarón esférico de radio 퐸
hasta una carga total 푄.

14. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
푅 = 퐸
퐶표푛푑푖푐푖ó푛 푄 = 푄′
Cargar un cascaron de una carga inicial hasta una carga total

15. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Sabemos que por Gauus: Φ = 퐸 ∙ 푑퐴 =
푄푖푛푡
휀0
 ⟹ 퐸 4휋푅2 =
푄
휀0
(por dato y simetría)
 ∴ 퐸 =
푄
4휋휀0푅2 푟 , 푐표푛 푘푒 =
1
4휋휀0
, por lo tanto tendremos
 퐸 =
푘푒푄
푅2 푟 퐸푛푢푛푐푖푎푑표 퐶푢푎푛푡푖푡푎푡푖푣표 푑푒 푙푎 푙푒푦 푑푒 퐺푎푢푠푠

16. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Luego tenemos que:
 Cuando una carga de prueba positiva 푞0 se mueve entre los puntos 퐴 푦 퐵 de un
campo eléctrico 퐸, el cambio de energía potencial del sistema carga-campo es:
퐴
퐸 ∙ 푑푠
 Δ푈 = −푞0 퐵
 Por lo tanto tenemos que −Δ푈 = 푊퐹푒 = 푄′ 퐸 ∙ 푑푟 = 푄′
푅
푑푟
푘푒푄
푅2 0
 ∴ 푊 = 푄′
푘푒∙푄
푅2 푅 ⟹ 푊 =
푘푒∙푄2
푅

17. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 5
 ¿Cuántos electrones deberían extraerse de un conductor esférico, inicialmente
descargado, de 0.3푚 de radio, para producir un potencial de 7.5푘푉 en la
superficie?.
푅 퐴

18.  Sabemos que una superficie equipotencial es aquella en la cual todos sus puntos
están al mismo potencial eléctrico. Por lo tanto tenemos:
 Solución
 Datos
 푅 = 0.3푚, 푉퐴 = 7.5푘푉, 푛푒− =?
 Sabemos que por simetría:
 푉퐴 =
퐾푒∙푄
푅
⟹ 7.5푘푉 =
8.99×109× 푛 1.6×10−19
0.3
⟹ 푛 =
7.5푘푉×0.3
1.6×10−19 8.99×109
 ∴ 푛푒− = 1.56 × 1012 푒푙푒푐푡푟표푛푒푠

19. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 6
 Calcule la energía requerida para conformar el arreglo de cargas que se muestra
en la figura donde 푎 = 0.2푚, 푏 = 0.4푚 푦 푞 = 6휇퐶
푞
퐵 퐶
퐴
−2푞
2푞
퐷
3푞
푎
푏

20.  Solución
 Datos
 푎 = 0.2푚, 푏 = 0.4푚, 푞 = 6휇퐶, 푈푡표푡푎푙 =?
 La energía total requerida para que las cargas estén en posición mostrada y
mantengan dicha posición equidistantes entre ellas es:
 푈푡표푡푎푙 = 푈퐴퐵 + 푈퐵퐶 + 푈퐶퐷 + 푈퐷퐴 + 푈퐵퐷 + 푈퐶퐴
 ⟹ 푈푡표푡푎푙=
퐾푒 푞 2푞
푎
+
퐾푒 푞 −2푞
푏
+
퐾푒 −2푞 3푞
푎
+
퐾푒 3푞 2푞
푏
+
퐾푒 푞 3푞
2
푎2+푏2
+
퐾푒 2푞 −2푞
2
푎2+푏2

21.  Solución
 ⟹ 푈푡표푡푎푙=
퐾푒 푞 2푞
푎
+
퐾푒 푞 −2푞
푏
+
퐾푒 −2푞 3푞
푎
+
퐾푒 3푞 2푞
푏
+
퐾푒 푞 3푞
2
푎2+푏2
+
퐾푒 2푞 −2푞
2
푎2+푏2
 푈푡표푡푎푙 =
푘푒2푞2−6푞2푘푒
푎
+
−푘푒2푞2+6푞2푘푒
푏
+
3푞2퐾푒−4푞2퐾푒
2
푎2+푏2
 푈푡표푡푎푙 =
−4푘푒푞2
푎
+
4푞2푘푒
푏
−
푞2퐾푒
2
푎2+푏2
 푈푡표푡푎푙 = 푞2푘푒
−4
푎
+
4
푏
−
1
2
푎2+푏2

22.  Solución
 푈푡표푡푎푙 = 푞2푘푒
−4
푎
+
4
푏
−
1
2
푎2+푏2
 Reemplazando datos tenemos que
 푈푡표푡푎푙 = 6휇퐶 2 8.99 × 109 −4
0.2
+
4
0.4
−
1
2
0.22+0.4푏2
 푈푡표푡푎푙 = −3.96 퐽