Este documento presenta 10 problemas relacionados con capacitancia y dieléctricos. Los problemas involucran calcular la distribución de carga entre esferas cargadas, determinar la capacitancia y voltaje de sistemas de placas paralelas y coaxiales, y calcular la separación de placas y el volumen entre esferas para un capacitor esférico. Las soluciones implican aplicar fórmulas de capacitancia de placas paralelas y esferas para sistemas simples y complejos.

1. Problemas
Complementarios
Capacitancia y Dieléctricos
Clase 7a 13/Febrero/2015

2. Problemas
 Problema 5
 Dos esferas conductoras con diámetros de 0.4m y 1m están separadas por
una distancia que es grande comparada con los diámetros. Las esferas
están conectadas por medio de un alambre delgado y se cargan hasta
7𝜇𝐶 a) ¿Cómo se comparte esta carga total entre esferas? (ignore
cualquier carga en el alambre) b) ¿Cuál es la potencia del sistema de
esferas cuando el potencial de referencia se toma como 𝑉 = 0 𝑒𝑛 𝑟 = ∞ ?

3. Problemas
 Solución
 Datos: 2𝑅2 = 0.4𝑚, 2𝑅1 = 1𝑚, 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 7𝜇𝐶
𝑅1 𝑅2
1 2

4. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Datos: 2𝑅2 = 0.4𝑚, 2𝑅1 = 1𝑚, 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 7𝜇𝐶
 Sabemos que: 𝑉1 = 𝑉2
 ⟹
𝐾 𝑒 𝑄1
𝑅1
=
𝐾 𝑒 𝑄2
𝑅2
⟹ 𝑄1 ∙ 𝑅2 = 𝑄2 ∙ 𝑅1
 Como: 𝑄1 + 𝑄2 = 7𝜇𝐶
 Entonces: 7 − 𝑄2 𝑅2 = 𝑄2 ∙ 𝑅1

5. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Datos: 2𝑅2 = 0.4𝑚, 2𝑅1 = 1𝑚, 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 7𝜇𝐶
 ∴ 𝑄2 =
7𝑅2
𝑅2+𝑅1
=
7 0.2
0.7
 Por lo tanto: 𝑄2 = 2𝜇𝐶 𝑦 𝑄1 = 5𝜇𝐶

6. Problemas
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que: 𝑉 = 0 𝑒𝑛 𝑟 = ∞
 Entonces: 𝑉𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑉1 = 𝑉2 =
𝐾 𝑒∙𝑄1
𝑅1
 ⟹ 𝑉𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
8.99×109× 5×10−6
0.5
 ∴ 𝑉𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 89.9𝑘𝑉

7. Problemas
 Problema 6
 Considerando a la Tierra y una capa de nubes 800m sobre la superficie
terrestre como las “placas” de un capacitor, calcule la capacitancia si la
capa de nubes tiene un área de 1 𝑘𝑚2
. Suponga que el aire entre la nube
y el suelo es puro y seco. Suponga que la carga acumulada en la nube y
el suelo hasta un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 3 × 106 𝑁
𝐶
a través del espacio entre ellos hace que el aire se rompa y conduzca
electricidad como un relámpago. ¿Cual es la máxima carga que puede
soportar la nube?

8. Problemas
 Solución
 Datos: E = 3 × 106 𝑁
𝐶
, 𝐴 = 1𝑘𝑚2, 𝑑 = 800𝑚, 𝑄 = ?
𝐸 𝑑
+𝑄
−𝑄
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑝𝑢𝑟𝑜 𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑜

9. Problemas
 Solución
 Sabemos que la capacitancia de un capacitor de
placas paralelas es:
 𝐶 =
𝜖 𝑜 𝐴
𝑑
⟹ 𝐶 =
8.85×10−12× 1×106
800
∴ 𝐶 = 1.1 × 10−2
𝑚𝐹
 Por otro lado:
 ∆𝑉 = 𝐸 ∙ 𝑑 = 3 × 106
× 800 = 2.4 × 109
𝑉

10. Problemas
 Solución
 Luego por definición: 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
 ⇒ 𝑄 = 𝐶 × ∆𝑉 = 1.1 × 10−2
𝑚𝐹 × 2.4 × 109
 ∴ 𝑄 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 26.4 𝐶

11. Problemas
 Problema 7
 Un chip de memoria de computadora de un megabit contiene muchos
capacitores de 60𝑓 𝐹. Cada capacitor tiene un área de placa de 21 ×
10−12
𝑚2
. Determine la separación de placas de tal capacitor (suponga
que la configuración de placas paralelas). El diámetro atómico
característico es de 10−10
𝑚 = 0.1𝑛𝑚. Exprese la separación de placas en
nanómetros.

12. Problemas
 Solución
 Datos: 𝐴 = 21 × 10−12 𝑚2, 𝐶 = 60 𝑓𝐹, 𝑑 =?
−𝜎+𝜎
𝐴 𝐴
𝑑

13. Problemas
 Solución
 En un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es
igual a:
 𝐶 =
𝜖 𝑜∙𝐴
𝑑
 ⇒ 60 × 10−15
=
8.85×10−12× 21×10−12
𝑑
 ∴ 𝑑 = 3.1 × 10−9 𝑚 = 3.1𝑛𝑚

14. Problemas
 Problema 9
 Un cable coaxial de 50m de largo tiene un conductor interior con un
diámetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 𝑢𝐶. El conductor
circundante tiene un diámetro interior de 7.27 𝑚𝑚 y una carga de
− 8.10 𝜇𝐶 . A) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? B)¿Cuál es la
diferencia de potencial entre los dos conductores? Suponga que la región
entre los conductores es aire.

15. Problemas
 Solución
 Datos: 𝐿 = 50𝑚, 𝐷1 = 2.58 𝑚𝑚, 𝐷2 = 7.27 𝑚𝑚, 𝑄1 = 8.10 𝜇𝐶
−𝑄2
𝐿
𝐷2
𝐷1
𝑄1

16. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Sabemos que: ∆𝑉 = − 𝐷1
2
𝐷2
2
𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = − 𝐷1
2
𝐷2
2 2𝑘 𝑒∙𝜆
𝑟
∙ 𝑑𝑟
 ⟹ ∆𝑉 = 2𝑘 𝑒 ∙ 𝜆𝑙𝑛
𝐷2
2
𝐷1
2
=
2𝑘 𝑒∙𝑄
2
∙ 𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
 Luego: 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
=
𝑄
2∙𝐾 𝑒∙𝑄
𝐿
∙ 𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1

17. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Entonces
 𝐶 =
𝐿
2𝑘 𝑒 𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
=
50
2 8.99×109 ∙𝑙𝑛
7.27
2.58
∴ 𝐶 = 2.68 𝑛𝐹

18. Problemas
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que:
 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
 ⟹
𝑄
𝐶
= ∆𝑉 ⟹ ∆𝑉 =
8.10×10−6
2.68×10−9
 ∴ ∆𝑉 = 3.02 𝑘𝑉

19. Problemas
 Problema 10
 Un capacitor esférico de −20𝜇𝐹 esta compuesto de dos esferas metálicas,
una con radio dos veces mayor que la otra. Si la región entre las esferas es
le vacío, determine el volumen de esta región.

20. Problemas
 Solución
 Datos: 𝐶 = 20 𝜇𝐹, Volumén vacío = ?
(𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙)𝑉𝑎𝑐í𝑜 𝐷2
𝐷1𝑄1
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑡á𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠

21. Problemas
 Solución
 Sabemos que:
 ∆𝑉 = 𝑘 𝑒 ∙ 𝑄
𝑏−𝑎
𝑎𝑏
⟹ ∆𝑉 = 𝑘 𝑒 ∙ 𝑄
2𝑅−𝑅
2𝑅 𝑅
=
𝑘 𝑒∙𝑄
2𝑅
 Entonces: 𝐶 =
𝑄
∆𝑉
=
𝑄
𝐾 𝑒∙𝑄
2𝑅
=
2𝑅
𝑘 𝑒

22. Problemas
 Solución
 ⟹ 𝑅 =
𝐶∙𝐾 𝑒
2
; 𝑅 =
20×10−6 8.99×109
2
⟹∴ 𝑅 = 89.9 × 103 𝑚
 En consecuencia
 Volumen en el vacío
 𝑉 =
4𝜋
3
2𝑅 3 − 𝑅3 =
4𝜋
3
7𝑅3 =
4
3
𝜋 × 7 89.9 × 103 3⟹
 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜 = 2.13 × 1016
𝑚3