前回作成したスライドの中で、優劣比較のところが間違えていたので修正したものを再アップロードしました。間違えた点についてはスライドの最後のほうを確認してください。

1. スプラトゥーン2 × 線形代数学
固有値・固有ベクトルを用いたシューター系武器の順位付け
©たくのろじぃ×ぷらう

2. 目次
1. 固有値・固有ベクトル
2. 固有値・固有ベクトルの式（数学的証明ではないかも）
3. 固有値・固有ベクトルの例題と解法
4. 評価表の作成
5. 優劣割合の算出
6. 優劣割合を用いた行列の作成
7. 作成した行列における固有値・固有ベクトルの決定
8. 順位の決定
9. まとめ
準
備
本
当
に
や
り
た
い
こ
と

3. 固有値・固有ベクトル
正方行列・・・A
ベクトル・・・𝒙
スカラー・・・λ
としたときに
A𝒙 = λ 𝒙 が成り立つ
このとき、
𝒙 ・・・ Aの固有ベクトル
λ・・・ Aの固有値
x
λx
例えば・・・
8 −10
4 −6
10
4
=
80 − 40
40 − 24
=
40
16
となる。
行列𝑨 =
8 −10
4 −6
, 固有ベクトル𝒙 =
10
4
のとき、A𝒙(左辺)は
右辺 λ𝒙 のベクトル𝒙 =
10
4
なので、λ倍するとA𝒙になるための値を考える。
40
16
= λ
10
4
より、 λ=4である
よって、行列𝑨 =
8 −10
4 −6
, 固有ベクトル𝒙 =
10
4
のとき、固有値λは4である。
ベクトルの
イメージ

4. 固有値・固有ベクトルの式
A𝒙 = λ 𝒙 λxを左辺へ移項する
A𝒙 − λ𝒙 = 0 右辺は何もなくなるので零ベクトルになる
(A−λ)𝒙 = 0 式を整理するが・・・
でも、行列からスカラーを引くことはできない。行列同士なら引けるのに・・・
→そんな時は単位行列Eを使って仮の行列として組み込んでしまえばいい！
単位行列であれば何を掛けても答えは変わらない※
(A−λ𝑬)𝒙 = 0 単位行列Eを入れてみたらいい感じ♪
1 2
3 4
− 5 = ?
1 2
3 4
− 5
1 0
0 1
=
1 2
3 4
−
5 0
0 5
=…
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑎
𝑏
𝑐
=
𝑎
𝑏
𝑐
※単位行列であれば何を掛けても答えが変わらない
のは、対角成分が1でそれ以外が0だから
単位行列の
イメージ

5. 固有値・固有ベクトルの式
(A−λ𝑬)𝒙 = 0 この式を使えば固有値、固有ベクトルを求められそうだけど…
逆行列が存在する※とき、𝑥 = 0となってしまい、固有値・固有ベクトルが求められない。
(A − λ𝑬)−𝟏(A − λ𝑬)𝒙 = (A − λ𝑬)−𝟏 0
𝒙 = 𝟎
よって(A − λ𝑬)の逆行列が存在しなければいいので、 (A − λ𝑬)のスカラーが0ならいい。
𝒅𝒆𝒕 A − λ𝑬 = 𝟎
𝑨 − 𝜆𝑬 = 0
上記のほうがスッキリしてるので、こっちを使う。(意味は同じ)
※逆行列が存在するのは正則行列であるということ。単位行列になるような行列が存在するか。
正則行列の定義としては、正方行列をA,逆行列を𝑿, 単位行列を𝑬としたとき、以下の式が成り立つ。
𝑨𝑿 = 𝑿𝑨 = 𝑬
例）行列𝑨 =
3 1
5 2
ならば、単位行列𝑬 =
1 0
0 1
が成り立つための逆行列𝑿が存在するかどうか。
3 1
5 2
2 −1
−5 3
=
2 −1
−5 3
3 1
5 2
=
1 0
0 1
行列𝑨に対し、逆行列𝑿を掛けると単位行列𝑬が成り立つ。よって、正則行列であるということ。→逆行列が存在する
(定義はこのほかにもあります…)

6. 固有値・固有ベクトルの式
で、結局何が言いたいのかというと…
𝑨 − 𝜆𝑬 = 0
この式を使えば固有値・固有ベクトルを求めることができるということ。
というより、固有値が求められる！
固有値は複数の解が出る場合があるので、場合分けして解く
複数の解→行列の各成分（すなわち固有ベクトル）を表す。
𝜆 = 2, 3とでたら固有値は2と3を持ち、 𝑥成分を2, 𝑦成分を3として
各固有ベクトルを求めることができる

7. 固有値・固有ベクトルの例題と解法
問. 行列𝑨 =
1 1 2
0 1 0
1 0 2
の固有値および対応する固有ベクトルを求めよ。
STEP1 固有値・固有ベクトルの式を用いて表現する(𝐴に行列、𝑬に単位行列)
𝐴 − 𝜆𝐸 = 0とおく
1 1 2
0 1 0
1 0 2
− 𝜆
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 0
STEP2 式をまとめる(0はあると思って)
1 1 2
0 1 0
1 0 2
− 𝜆
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 − 𝜆 1 2
0 1 − 𝜆 0
1 0 2 − 𝜆

8. 固有値・固有ベクトルの例題と解法
STEP3 固有値𝜆を求める(式を整理して解いていく)
行列式の整理(くくる)→2行2列にてラプラス展開(余因子展開)→サラスの方法
1 − 𝜆 1 2
0 1 − 𝜆 0
1 0 2 − 𝜆
= 1 − 𝜆
1 − 𝜆 1 2
0 1 0
1 0 2 − 𝜆
= 1 − 𝜆 −1 2+2 1 − 𝜆 2
1 2 − 𝜆
= 1 − 𝜆 1 − 𝜆 2 − 𝜆 − 2 = 1 − 𝜆 2 − 𝜆 − 2𝜆 + 𝜆2
+ 2 ←式を展開して整理
= 1 − 𝜆 𝜆2 − 3𝜆 = 0 ←0を戻して因数分解
𝜆 𝜆 − 3 1 − 𝜆 = 0 ←各値を取り出す
∴ 𝜆 = 0, 1, 3 この３つが固有値
STEP4 固有値の場合分け
A𝒙 = λ 𝒙の式の𝜆に固有値を入れる。固有値の数𝑛だけ場合分けを𝑛個つくる。(今回は3つ)
また、 𝒙にあたる行列成分も𝑛個用意する。(こちらも3つ・文字はx,y,zを用意)
(i) 𝜆 = 0, A𝒙 = 0𝒙, 𝒙 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
(ii) 𝜆 = 1, A𝒚 = 1𝒚, 𝒚 =
𝑦1
𝑦2
𝑦3
(iii) 𝜆 = 3, A𝒛 = 3𝒛, 𝒛 =
𝑧1
𝑧2
𝑧3

9. 固有値・固有ベクトルの例題と解法
STEP5 場合分け(i)を解く
(i)𝜆 = 0, A𝒙 = 0𝒙, 𝒙 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
① 𝑨 − 𝜆𝑬 𝒙 = 0 に𝜆 = 0を代入する
1 − 𝜆 1 2
0 1 − 𝜆 0
1 0 2 − 𝜆
= 0 →
1 1 2
0 1 0
1 0 2
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
0
0
0
②ガウスの消去法 掃き出し法 を使って解く
1 1 2 0
0 1 0 0
1 0 2 0
→
1 0 2 0
0 1 0 0
0 0 0 0
③行列式を連立方程式にする
𝑥1 + 2𝑥3 = 0
𝑥2 = 0
この時点で𝑥2 = 0ということがわかる
④文字を置き換えて式を整理する
𝑥3 = 𝑠と置き換える
この時点で𝑥3 = 𝑠だということがわかる
𝑥1 + 2𝑠 = 0
𝑥1 = −2s
この時点で𝑥1 = −2𝑠ということがわかる
⑤各ベクトル成分（固有ベクトルの整理）
𝒙 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
−2𝑠
0
𝑠
= 𝑠
−2
0
1
固有値λ = 0 のとき固有ベクトルは𝑠
−2
0
1

10. 固有値・固有ベクトルの例題と解法
STEP6 場合分け(ii)を解く
(ii)𝜆 = 1, A𝒙 = 1𝒙, 𝒙 =
𝑦1
𝑦2
𝑦3
① 𝑨 − 𝜆𝑬 𝒚 = 0 に𝜆 = 1を代入する
1 − 𝜆 1 2
0 1 − 𝜆 0
1 0 2 − 𝜆
= 0 →
0 1 2
0 0 0
1 0 1
𝑦1
𝑦2
𝑦3
=
0
0
0
②ガウスの消去法 掃き出し法 を使って解く
0 1 2 0
0 0 0 0
1 0 1 0
→
1 0 1 0
0 1 2 0
0 0 0 0
③行列式を連立方程式にする
𝑦1 + 𝑦3 = 0
𝑦2 + 2𝑦3 = 0
④文字を置き換えて式を整理する
𝑦3 = 𝑡と置き換える
この時点で𝑦3 = 𝑡だということがわかる
𝑦1 + 𝑡 = 0
𝑦1 = −𝑡
この時点で𝑦1 = −𝑡ということがわかる
𝑦2 + 2𝑡 = 0
𝑦2 = −2𝑡
この時点で𝑦2 = −2𝑡ということがわかる
⑤各ベクトル成分（固有ベクトルの整理）
𝒚 =
𝑦1
𝑦2
𝑦3
=
−𝑡
−2𝑡
𝑡
= 𝑡
−1
−2
1
固有値λ = 1 のとき固有ベクトルは𝑡
−1
−2
1

11. 固有値・固有ベクトルの例題と解法
STEP7 場合分け(iii)を解く
(iii) 𝜆 = 3, A𝒛 = 3𝒛, 𝒛 =
𝑧1
𝑧2
𝑧3
① 𝑨 − 𝜆𝑬 𝒛 = 0 に𝜆 = 3を代入する
1 − 𝜆 1 2
0 1 − 𝜆 0
1 0 2 − 𝜆
= 0 →
−2 1 2
0 −2 0
1 0 −1
𝑧1
𝑧2
𝑧3
=
0
0
0
②ガウスの消去法 掃き出し法 を使って解く
−2 1 2 0
0 −2 0 0
1 0 −1 0
→
1 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
③行列式を連立方程式にする
𝑧1 − 𝑧3 = 0
𝑧2 = 0
この時点で𝑧2 = 0ということがわかる
④文字を置き換えて式を整理する
𝑧3 = 𝑢と置き換える
この時点で𝑧3 = 𝑢だということがわかる
𝑧1 − 𝑢 = 0
𝑧1= 𝑢
この時点で𝑧1 = 𝑢ということがわかる
⑤各ベクトル成分（固有ベクトルの整理）
𝒛 =
𝑧1
𝑧2
𝑧3
=
𝑢
0
𝑢
= 𝑢
1
0
1
固有値λ = 3 のとき固有ベクトルは𝑢
1
0
1

12. 固有値・固有ベクトルの例題と解法
問. 行列𝑨 =
1 1 2
0 1 0
1 0 2
の固有値および対応する固有ベクトルを求めよ。
答. 固有値λ = 0 のとき固有ベクトルは𝑠
−2
0
1
固有値λ = 1 のとき固有ベクトルは𝑡
−1
−2
1
固有値λ = 3 のとき固有ベクトルは𝑢
1
0
1
※ 𝑠, 𝑡, 𝑢は任意の定数倍

13. シューター系武器の順位付け ここからが本題
目的：エイム力とか立ち回りなどのプレイヤー個人の強さではなく、
武器そのもののパラメータを比較したらどの武器が優れているのかを確かめる。

14. 評価表の作成
まずは武器の各パラメータを評価する（10段階評価）
 赤線は目盛り線(1本あたり評価点1とする・線1本目は評価点0)
 目盛りは目分量で小数点以下を四捨五入
射程: 5
攻撃力: 5
連射力: 6
射程: 5
攻撃力: 8
連射力: 3
射程: 4
攻撃力: 2
連射力: 8
射程: 8
攻撃力: 4
連射力: 3

15. 評価表の作成
武器と各パラメータの関係を表にしてまとめる
スプラシューター .52ガロン シャープマーカー ジェットスイーパー
射程 5 5 4 8
攻撃力 5 8 2 4
連射力 6 3 8 3
武器
パラメータ

16. 優劣割合の算出
1
3
5
5 + 5
+
5
5 + 8
+
6
6 + 3
=
121
234
① スシのガロンに対する優位の割合
1
3
5
5 + 4
+
8
8 + 2
+
3
3 + 8
=
806
1485
④ガロンのシャプマに対する優位の割合
1
3
5
5 + 4
+
5
5 + 2
+
6
6 + 8
=
107
189
② スシのシャプマに対する優位の割合
1
3
5
5 + 8
+
8
8 + 4
+
3
3 + 3
=
121
234
⑤ ガロンのジェットに対する優位の割合
1
3
5
5 + 5
+
8
8 + 5
+
3
3 + 6
=
113
234
⑥ ガロンのスシに対する優位の割合
1
3
4
4 + 8
+
2
2 + 4
+
8
8 + 3
=
46
99
⑦ シャプマのジェットに対する優位の割合
1
3
4
4 + 5
+
2
2 + 5
+
8
8 + 6
=
82
189
⑧シャプマのスシに対する優位の割合
1
3
4
4 + 5
+
2
2 + 8
+
8
8 + 3
=
679
1485
⑨シャプマのガロンに対する優位の割合
1
3
8
8 + 5
+
4
4 + 5
+
3
3 + 6
=
163
351
⑩ジェットのスシに対する優位の割合
1
3
8
8 + 5
+
4
4 + 8
+
3
3 + 3
=
113
234
⑪ジェットのガロンに対する優位の割合
1
3
8
8 + 4
+
4
4 + 2
+
3
8 + 3
=
53
99
⑫ジェットのシャプマに対する優位の割合
1
3
5
5 + 8
+
5
5 + 4
+
6
6 + 3
=
188
351
③ スシのジェットに対する優位の割合
1
3
𝑎
𝑎 + α
+
𝑏
𝑏 + β
+
𝑐
𝑐 + γ
優位の割合の計算（評価項目3つの場合）
行列成分によって値が変わる
 優劣の元にする各パラメータを𝑎, 𝑏, 𝑐とする。
 比較対象の各パラメータを𝛼, β, γとする。
 そのパラメータの数で平均値を取る。

17. 優劣割合を用いた行列の作成
スシ ガロン シャプマ ジェット
𝑎11 ① ② ③
⑥ 𝑎22 ④ ⑤
⑧ ⑨ 𝑎33 ⑦
⑩ ⑪ ⑫ 𝑎44
→
スシ
ガロン
シャプマ
ジェット
優劣割合（先のスライドで求めた①～⑫）と対角成分を使って行列を作る
1
3
121
234
107
189
188
351
113
234
1
3
806
1485
121
234
82
189
679
1485
1
3
46
99
163
351
113
234
53
99
1
3
対角成分は平均値をとるための値・・・
1
3
※今回は行,列の優劣割合で行列を作成。行列𝐴と転置行列𝐴𝑡
の固有値は等しいので、転置行列でもOK

18. 固有値・固有ベクトルの算出
先ほどの手順で求めるのはキツイので、
計算サイトを使って固有値・固有ベクトルを求める
∴ 𝜆 = 1.82869
1.06903
1.03079
0.936083
1
スプラシューター
.52ガロン
シャープマーカー
ジェットスイーパー
のそれぞれの成分が大きいほど順位が高い
1
3
121
234
107
189
188
351
113
234
1
3
806
1485
121
234
82
189
679
1485
1
3
46
99
163
351
113
234
53
99
1
3

19. 順位の決定
各成分と武器をリンクさせて、成分の大きい順に順位付けをする
1.06903
1.03079
0.936083
1
1位
2位 3位
4位

20. まとめ
スプラトゥーン2の武器パラメータを使用し、
固有値・固有ベクトルから順位付けを行った結果
1位 スプラシューター
2位 .52ガロン
3位 ジェットスイーパー
4位 シャープマーカー
このような順位になった。
次のスライドに、前回間違えたスライドを差し込んでいるので、ご確認ください。
優劣割合の算出方法が間違っていましたので、今回のスライドで修正しました。
優劣割合の計算は関数電卓を使っていたのですが、今回はMicrosoft Mathematicsと
いうソフトを使って計算しました。とても楽です(￣▽￣)
【出典】
画像：game8 https://game8.jp/splatoon-2/
計算：WolframAlpha https://www.wolframalpha.com/

21. 優劣割合の算出（前回間違えた内容）
1
3
5
5 + 5 + 4
+
5
5 + 8 + 2
+
6
6 + 3 + 8
=
745
2142
① スシのガロン・シャプマに対する優位の割合
1
3
5
5 + 4 + 8
+
8
8 + 2 + 4
+
3
3 + 8 + 3
=
257
714
④ガロンのシャプマ・ジェットに対する優位の割合
1
3
5
5 + 4 + 8
+
5
5 + 2 + 4
+
6
6 + 8 + 3
=
206
561
② スシのシャプマ・ジェットに対する優位の割合
1
3
5
5 + 8 + 5
+
8
8 + 4 + 5
+
3
3 + 3 + 6
=
611
1836
⑤ ガロンのジェット・スシに対する優位の割合
1
3
5
5 + 5 + 4
+
8
8 + 5 + 2
+
3
3 + 6 + 8
=
3809
10710
⑥ ガロンのスシ・シャプマに対する優位の割合
1
3
4
4 + 8 + 5
+
2
2 + 4 + 5
+
8
8 + 3 + 6
=
166
561
⑦ シャプマのジェット・スシに対する優位の割合
1
3
4
5 + 8 + 5
+
2
2 + 4 + 8
+
8
8 + 3 + 3
=
113
357
⑧シャプマのジェット・ガロンに対する優位の割合
1
3
4
4 + 5 + 5
+
2
2 + 5 + 8
+
8
8 + 6 + 3
=
1588
5355
⑨シャプマのスシ・ガロンに対する優位の割合
1
3
8
8 + 5 + 5
+
4
4 + 8 + 5
+
3
3 + 3 + 6
=
569
1836
⑩ジェットのスシ・ガロンに対する優位の割合
1
3
8
8 + 5 + 4
+
4
4 + 8 + 2
+
3
3 + 3 + 8
=
11
34
⑪ジェットのガロン・シャプマに対する優位の割合
1
3
8
8 + 5 + 4
+
4
4 + 2 + 5
+
3
3 + 6 + 8
=
63
187
⑫ジェットのスシ・シャプマに対する優位の割合
1
3
5
5 + 8 + 5
+
5
5 + 4 + 8
+
6
6 + 3 + 3
=
164
459
③ スシのジェット・ガロンに対する優位の割合
1
3
𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
+
𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
+
𝑐
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
優位の割合の計算（評価項目3つの場合）
行列成分によって値が変わる
行と列の2つで比較するので、分母に3つ以上の成分要素を含めた比較は間違いです。

22. 固有値・固有ベクトルの算出（前回の計算）
先ほどの手順で求めるのはキツイので、
計算サイトを使って固有値・固有ベクトルを求める
∴ 𝜆 = 1.33169
1.07798
1.06091
0.95294
1
スプラシューター
.52ガロン
シャープマーカー
ジェットスイーパー
のそれぞれの成分が大きいほど順位が高い
1
3
121
234
107
189
188
351
113
234
1
3
806
1485
121
234
82
189
679
1485
1
3
46
99
163
351
113
234
53
99
1
3

23. 順位の決定（前回の結果）
各成分と武器をリンクさせて、成分の大きい順に順位付けをする
1.07798
1.06091
0.95294
1
1位
2位 3位
4位