1. Кузбасский государственный технический университет
Кафедра обогащения полезных ископаемых
Лектор к.х.н., доцент Суслина Л.А.

2. 1. Суслина Людмила Алексеевна. «Научные основы инженерной
деятельности»: материалы к лекционному курсу (Научные основы
инженерной деятельности.ppt) [Электронный ресурс]: для
студентов очной и заочной формы обучения специальности
130405 «Обогащение полезных ископаемых»/ Л. А. Суслина. –
Электрон. дан. – Кемерово: ГУ КузГТУ, 2010. – 1 электрон. опт.
диск (CD-ROM); зв.; цв.; 12 см. – Систем. требования: Pentium IV;
ОЗУ 8 Мб; Windows 95; (CD-ROM-дисковод); мышь. - Загл. с
экрана.
2. Суслина Л. А. «Научные основы инженерной деятельности»:
учебное пособие для студентов специальности 130405
«Обогащение полезных ископаемых» очной и заоч-ной формы
обучения. – Кемерово: КузГТУ, 2013.
(http://library.kuzstu.ru/meto.php?n=91125&type=utchposob:common)

3. Литература
1. Барский Л. А., Козин В. З. Системный анализ в
обогащении полезных ископаемых. – М.: Недра, 1978. –
486 с.
2. Шупов Л. П. Прикладные математические методы обогащения полезных ископаемых. – М.: Недра,
1982. – 168 с.
3. Фоменко Т. Г. Исследование углей на обогатимость. – М.: Недра, 1972.
4. Леонов С. Б., Белькова О. Н. Исследование полезных ископаемых на обогатимость: Учеб. пособие. –
М.: Интермет инжиниринг, 2001. – 631 с.

4. Дисперсионный
анализ

5. Условия проведения
1. Подвергаемый анализу ряд должен
содержать значения экспериментальных данных, подчиняющиеся
закону нормального распределения ошибок;
2. Дисперсии, обусловленные ошибками воспроизводимости, для
всех серий измерений должны
быть однородны.

6. Условия нормального
распределения ошибок:
1.Ряд ошибок непрерывен.
2.Ошибки одинаковые по величине, но
различные по знаку появляются одинаково
часто.
3.С увеличением размера ошибок
вероятность их появления уменьшается.

7. Применение:
для исследования влияния как количественных (расход реагента,
время флотации и т. д.) так и
качественных факторов (тип
реагента, метод исследования,
квалификация экспериментатора, качество отбора проб и
работы аппаратов)

9. При однофакторном дисперсионном анализе исследуется влияние
одного
качественного
p
факто-ра
, имеющего
F
уровней:; F2 ; F3 ;...Fp
F1
Например, необходимо выбрать
наилучший метод исследования,
тогда:
F - метод исследования, p - их количество.
Проверяют принятую нулевую
гипотезу о равенстве выборок.

10. Результаты экспериментов
записывают в таблицу:
Номер
испытания
i = 1, q
1
2
3
.
.
q
Методы исследования Fj j = 1, p
F1
F2
.
Fp
x11
x21
x31
.
.
xq1
x12
x22
x32
.
.
xq2
.
.
.
.
.
.
x1p
x2p
x3p
.
.
xqp

11. 1. По результатам наблюдений рассчитывают
q
- групповое сред∑ xij
нее для каждого x грj = i =1 ;
q
фактора j :
- общее среднее
x=
(по выборкам) :
p
q
∑ ∑ xij
j =1 i =1
pq
pq = n - общее количество
;

12. 2.
Для расчета дисперсий
определяют
следующие
суммы:
- общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего:
p
q
(
C x = ∑ ∑ xij − x
j =1 i =1
)
2

13. (Примечание: используя формулы приближенного умноже2
ния:
p q


 ∑ ∑ xij 
p q
2
 j =1 i =1 
C x = ∑ ∑ xij −
j =1 i =1
pq
или
Cx =
p
q
2
∑ ∑ xij
j =1 i =1
2
− n x ),

14. - факторную сумму квадратов
отклонений групповых средних от общего среднего:
C F = q ∑ ( x грj − x )
p
j =1
2

15. (Примечание: используя формулы приближенного умноже2
ния:
p q
p q


2
CF =
∑ ∑ xij
j =1 i =1
q
p
или
CF =
 ∑ ∑ xij 
 j =1 i =1 
−
pq
q
2
∑ ∑ xij
j =1 i =1
q
2
− n x ),

16. - остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых
значений от своей групповой
средней:
p
q
(
)
2
Cост = ∑ ∑ xij − x грj .
j =1 i =1

17. Между данными суммами
существует связь:
Cост = C x − C F ,
- характеризует рассеяние между группами (уровнями
фактора);
Cост - характеризует рассеяние внутри группы (на одном
уровне фактора).
CF

18. 3. На основе указанных сумм
определяют
следующие
дисперсии:
- общую :
2
σx
Cx
Cx
=
=
;
pq − 1 n − 1
- факторную :
2
σF
CF
=
;
p −1

19. - остаточную :
2
σ ост
Cост
=
.
p( q − 1)

20. 4. Затем проверяется гипотеза о равенстве этих дисперсий по критерию Фишера:
2
σF
F= 2 .
σ ост

21. Если F < Fт , для степеней свободы f1 = p − 1 и f 2 = p( q − 1) при
выбранном уровне значимости, то дисперсии отличаются незначительно. Это означает, что любой метод
исследования выдает результаты с одинаковой степенью
точности.

22. (Примечание: если σ < σ , то
гипотеза о равенстве групповых средних выполняется и
нет необходимости в дополнительной проверке по критерию Фишера).
2
F
2
ост

23. Следует различать рассеяние (дисперсию) в столбце,
которое будет определяться
ошибкой воспроизводимости
и рассеяние между столбцами, которое зависит от
систематической ошибки
метода исследования.

24. Представим модель эксперимента в виде
xij = x + b j + ε ij ,
где x – общее среднее (по
выборкам)
p
q
∑ ∑ xij
x=
j =1 i =1
pq
;

25. b j - эффект j-го метода
b j = x грj − x;
ε ij
– погрешность
эксперимента
.
ε ij = tσ ост .

26. Предсказание
зультата:
лучшего
xij = x + b j max + ε ij .
.
ре-

28. Если уровни, вызывающие изменНапример:
чивость
1 факторсредних принадлежат
– качество работы
двум факторам аппаратов
обогатительныхF и H , то адекватность ; H ;...; H .
H1; H 2 результатов, либо
3
p
преимущественное
влияние
2 фактор – квалификация экспеодно-го из факторов можно
риментаторов
опреде-лить по двухфакторному
F1; F2 ; F3 ;...Fq .
дис-персионному анализу.

29. Результаты экспериментов
оформляют в виде
таблицы:
Уровни
Уровни фактора F
j = 1, p
фактора Hi
i = 1, q
F1
F2
F3
.
.
Fq
j
H1
H2
.
Hp
x11
x21
x31
.
.
xq1
x12
x22
x32
.
.
xq2
.
.
.
.
.
.
x1p
x2p
x3p
.
.
xqp
Алгоритм

30. 1. По результатам наблюдений рассчитывают p q
∑ ∑ xij
- общее среднее
j =1 i =1
x=
;
(по выборкам) :
pq
- групповое средp
∑ xij
нее для каждого
j =1
;
уровня F (среднее x Fгрi =
p
по строкам):

31. q
- групповое сред∑ xij
нее для каждого
j =1
,
уровня H (среднее x Hгрj =
q
по столбцам):
pq = n - общее количество
опытов

32. 2. Для проверки однородности
результатов используют критерий Фишера.
Для расчета дисперсий определяют следующие суммы:
- общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений
от общего среднего:
p
q
(
)
2
C x = ∑ ∑ xij − x ,
j =1 i =1

33. - факторную сумму квадратов
отклонений групповых средних фактора F от общего
среднего:
2
q
(
)
C F = p ∑ x Fгрi − x ,
i =1

34. - факторную сумму квадратов
отклонений групповых средних фактора H от общего
среднего:
2
p
(
C H = q ∑ x H грj − x
j =1
)

35. - остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых
значений получают из условия
Cост = C x − C F − С H .

36. 3. На основе указанных сумм
определяют
следующие
дисперсии:
- общую :
2
σx
Cx
Cx
=
=
;
pq − 1 n − 1
- факторную для фактора F:
2
σF
CF
=
;
q −1

37. - факторную для фактора H:
2
σH
CH
=
;
p −1
- остаточную :
2
σ ост
Cост
=
.
( p − 1)( q − 1)

38. 4. Проверку «нулевой» гипотезы проводят путем сравнения
факторных
дисперсий
с
остаточной
по
критерию
Фишера:
2
2
σF
σH
F F= 2 ;
FH = 2 .
σ ост
σ ост

39. Если F < Fт
, при выбранном
уровне значимости для степеней свободы для фактора F :
f1 = q − 1
f 2 = ( р − 1)( q − 1) ,
и для фактора H :
f 2 = ( р − 1)( q − 1)
f1 = p − 1
то
дисперсии
незначительно.
отличаются

40. Если, например, одно из условий не выполняется, то
делается вывод о том, что
этот фактор оказывает существенное влияние на экспериментальные результаты.

41. Следует различать рассеяние (дисперсию), которое
будет определяться ошибкой
воспроизводимости и рассеяние между столбцами и
между строками, которое
зависит от систематической ошибки метода исследования.

42. Представим модель эксперимента в виде
xij =x + j + i + ij ,
b
с
ε
где x – общее среднее (по
выборкам)
p
q
∑ ∑ xij
x=
j =1 i =1
pq
;

43. b j - эффект первого фактора
(качества работы
обогатительных аппаратов)
b j = x грj − x;
сi - эффект второго фактора
(квалификации экспериментаторов)
.
сi = x грi − x;

44. ε ij – погрешность
эксперимента,
ε ij = tσ ост .
.

45. Предсказание
зультата:
лучшего
ре-
xij = x + b j max + ci max + ε ij .
.

46. Таким образом, дисперсионный анализ позволяет
- проверить гипотезу о равенстве средних значений нескольких выборок;
-оценить степень влияния
фактора на изучаемую величину;

47. - предсказать условия получения лучшего результата.