Heavy-Light Decomposition - Sogang ICPC Team, 2019

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0
Heavy-Light Decomposition
Sogang ICPC Team – 2019 여름 고급 스터디
Suhyun Park
acm.sogang.ac.kr

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1
트리에다 세그먼트 트리를 얹자!

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2
HLD?
▶ 트리는 선형이 아니다
▶ 트리를 선형으로 만들어서 세그먼트 트리 같은 걸 같이 쓰고 싶다?
▶ 트리를 선형으로 분해해야!

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3
18
4 1 5 7
3 1 3 1 4 1
1 1 1 1 1 1 1
아무 노드나 루트로 잡고 서브트리 크기 전처리

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4
0
1
18
4 1 5 7
3 1 3 1 4 1
1 1 1 1 1 1 1
가장 ‘무거운’ 간선 쪽으로 체인 형성

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5
0
1
2
3
18
4 1 5 7
3 1 3 1 4 1
1 1 1 1 1 1 1
가장 ‘무거운’ 간선 쪽으로 체인 형성

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6
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13 17 8 1
14 12 9 6 2 7
15 16 10 11 3 4 5
18
4 1 5 7
3 1 3 1 4 1
1 1 1 1 1 1 1
모든 체인 형성 (하면서 순서대로 번호 매기기)

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7
0 1 2 3
8 9 10
13 14 15
4 5 6
7 11 12
16 17
각각의 체인을 선형으로 생각하면 선형 구간 쿼리를 날릴 수 있다

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8
0
13 17 8 1
14 12 9 6 2 7
15 16 10 11 3 4 5
4–17 → 17, 0–2, 4

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9
체인을 이루는 간선을 무거운 간선, 아닌 간선을 가벼운 간선으로
생각한다면
▶ 체인 내부에서의 구간 쿼리는 O (logn)
▶ 임의의 경로 상에서 등장하는 가벼운 간선은 최대 O (logn)개
▶ 따라서 트리에서의 경로 쿼리가 O
(
log2
n
)
이 된다!

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10
▶ 임의의 경로 상에서 등장하는 가벼운 간선은 최대 O (logn)개
가벼운 간선을 따라 한 칸 내려가면 서브트리의 크기는 반 이상
줄어들기 때문

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11
▶ 체인과 LCA 테이블 전처리
▶ 체인마다 세그먼트 트리(혹은 비슷한 구간 쿼리 자료구조)
만들어 주기
▶ 여러 체인에 걸친 쿼리 구현
말이 쉽지··· 한 번 제대로 짜고 팀노트에 적자
구현은 꽤나 복잡하기 때문에 이후에 언급

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12
트리와 쿼리 1 BOJ #13510
쿼리 두 종류를 처리해라
▶ 간선의 비용을 바꿈
▶ u → v 경로를 이루는 간선들 중에서 가장 큰 비용을 출력

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13
1번 정점을 루트라고 하고 DFS
각 정점마다 부모 정점으로 가는 비용을 저장해 두고 HLD

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14
source code
91 namespace hld {
92 vector<int> parent, depth, heavy, head, pos, values, segmented_values;
93 int cur_pos;
94
95 int dfs(int v, vector<vector<pii >> const &adj) {
96 int size = 1;
97 int max_c_size = 0;
98 for (auto[c, w] : adj[v]) {
99 if (c == parent[v]) continue;
100 values[c] = w, parent[c] = v, depth[c] = depth[v] + 1;
101 int c_size = dfs(c, adj);
102 size += c_size;
103 if (c_size > max_c_size)
104 max_c_size = c_size, heavy[v] = c;
105 }
106 return size;
107 }
source code
DFS 돌리면서 서브트리 크기 전처리

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15
source code
91 namespace hld {
92 vector<int> parent, depth, heavy, head, pos, values, segmented_values;
93 int cur_pos;
94
95 int dfs(int v, vector<vector<pii >> const &adj) {
96 int size = 1;
97 int max_c_size = 0;
99 if (c == parent[v]) continue;
100 values[c] = w, parent[c] = v, depth[c] = depth[v] + 1;
101 int c_size = dfs(c, adj);
102 size += c_size;
103 if (c_size > max_c_size)
104 max_c_size = c_size, heavy[v] = c;
105 }
106 return size;
107 }
source code
무거운 간선 여부 전처리 (v → c)

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16
source code
109 int decompose(int v, int h, vector<vector<pii >> const &adj) {
110 head[v] = h, pos[v] = cur_pos ++;
111 if (heavy[v] != -1)
112 decompose(heavy[v], h, adj);
114 if (c != parent[v] && c != heavy[v])
115 decompose(c, c, adj);
116 }
117 }
source code
pos: 새로 붙인 번호, head: 현재 체인의 맨 위의 노드의 번호

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17
source code
111 if (heavy[v] != -1)
116 }
117 }
source code
무거운 간선 먼저 chain 형성

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18
source code
111 if (heavy[v] != -1)
116 }
117 }
source code
가벼운 간선 처리

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19
119 void init(vector<vector<pii >> const &adj) {
120 int n = adj.size();
121 parent = vector<int>(n);
122 depth = vector<int>(n);
123 heavy = vector<int>(n, -1);
124 head = vector<int>(n);
125 pos = vector<int>(n);
126 segmented_values = values = vector<int>(n);
127 cur_pos = 0;
128
129 dfs(0, adj);
130 decompose(0, 0, adj);
131
132 for (int i = 0; i < n; i ++) {
133 segmented_values[pos[i]] = values[i];
134 }
135
136 segment_tree ::init(segmented_values);
137 }
source code

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20
139 int query(int a, int b) {
140 int res = 0;
141 for (; head[a] != head[b]; b = parent[head[b]]) {
142 if (depth[head[a]] > depth[head[b]])
143 swap(a, b);
144 int cur_heavy_path_max = segment_tree ::query(pos[head[b]], pos[b]);
145 res = max(res, cur_heavy_path_max);
146 }
147 if (depth[a] > depth[b])
148 swap(a, b);
149 if (pos[a] != pos[b]) {
150 int last_heavy_path_max = segment_tree ::query(pos[a] + 1, pos[b]);
151 res = max(res, last_heavy_path_max);
152 }
153 return res;
154 }
source code
세그먼트 트리 구현은 생략

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21
140 int res = 0;
143 swap(a, b);
146 }
148 swap(a, b);
149 if (pos[a] != pos[b]) {
152 }
153 return res;
154 }
source code
chain에서 쿼리 후 a와 b가 같은 체인에 있게 될 때까지 b를 위의
chain으로 올려 줌

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22
140 int res = 0;
143 swap(a, b);
146 }
148 swap(a, b);
149 if (pos[a] != pos[b]) {
152 }
153 return res;
154 }
source code
이제 a와 b는 같은 체인에 있으므로 구간 쿼리

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23
140 int res = 0;
143 swap(a, b);
146 }
148 swap(a, b);
149 if (pos[a] != pos[b]) {
152 }
153 return res;
154 }
source code
주의: 맨 위의 정점은 포함하면 안 됨!

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24
156 int change(int i, int v) {
157 segment_tree ::change(pos[i], v);
158 }
source code
원래 정점 번호를 새로 매긴 정점 번호로 고쳐주고 세그먼트 트리 사용

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25
163 int main() {
164 cin.tie(nullptr);
165 cout.tie(nullptr);
166 ios_base ::sync_with_stdio(false);
167
168 int n;
169 cin >> n;
170
171 edges.resize(n);
172 vector<vector<pii >> graph(n);
173
174 for (int i = 0; i < n - 1; i ++) {
175 int u, v, w;
176 cin >> u >> v >> w;
177 u --, v --;
178 graph[u].emplace_back(pii(v, w));
179 graph[v].emplace_back(pii(u, w));
180 edges[i] = pii(u, v);
181 }
source code

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26
183 hld ::init(graph);
184
185 int q;
186 cin >> q;
187 while (q --) {
188 int op;
189 cin >> op;
source code

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27
190 if (op == 1) {
191 int i, c;
192 cin >> i >> c;
193 i --;
194 if (hld ::parent[edges[i].first] == edges[i].second) {
195 hld ::change(edges[i].first, c);
196 } else {
197 hld ::change(edges[i].second, c);
198 }
199 } else {
source code

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28
199 } else {
200 int u, v;
201 cin >> u >> v;
202 u --, v --;
203 cout << hld ::query(u, v) << 'n';
204 }
205 }
206
207 return 0;
208 }
source code

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