Soal dan Pembahasan Soal Geometri Olimpiade SMA

1.  Latihan soal halaman
GEOMETRI
Soal dan Penyelesaian Materi Dimensi Tiga
2015
SESI WINARNI
Universitas Sriwijaya
10/29/2015
 Latihan soal halaman 71-72
 Latihan soal halaman 73
 Latihan soal halamn 77-78
Dosen pengasuh :
1. Dra. Nyimas Aisyah, M.Pd.
2. Scristia, M.Pd.

2. Latihan Soal Halaman 71-72
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH
Tentukan jarak titik D ke bidang ACH !
Penyelesaian :
Diketahui : Panjang rusuk kubus = 𝑎 cm
Ditanya : 𝐷𝐾̅̅̅̅ …?
Jawab :
Perhatikan Sketsa jarak titik D ke bidang ACH, maka jarak D ke bidang ACH adalah panjang
DK
Langkah mencari 𝐷𝐾̅̅̅̅, adalah
 Mencari panjang HO, sebagai berikut :
𝐻𝑂̅̅̅̅ = √𝐻𝐷2 + 𝐷𝑂2
𝐻𝑂̅̅̅̅ = √𝑎2 +
1
2
𝑎2
𝐻𝑂̅̅̅̅ = √
3
2
𝑎2
𝐻𝑂̅̅̅̅ = 𝑎√
3
2
𝐻𝑂̅̅̅̅ = 𝑎
√3
√2
×
√2
√2

3. 𝐻𝑂̅̅̅̅ =
1
2
𝑎√6
 Mencari panjang DO, yaitu :
𝐷𝑂̅̅̅̅ =
1
2
𝐷𝐵̅̅̅̅
𝐷𝑂̅̅̅̅ =
1
2
√𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2
𝐷𝑂̅̅̅̅ =
1
2
√𝑎2 + 𝑎2
𝐷𝑂̅̅̅̅ =
1
2
√2𝑎2
𝐷𝑂̅̅̅̅ =
1
2
𝑎√2
 Mencari luas segitiga HDO, yaitu :
𝐿∆𝐻𝐷𝑂 =
1
2
× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿∆𝐻𝐷𝑂 =
1
2
× 𝐷𝑂 × 𝐻𝐷
𝐿∆𝐻𝐷𝑂 =
1
2
×
1
2
𝑎√2 × 𝑎
𝐿∆𝐻𝐷𝑂 =
1
4
𝑎2
√2
Berdasarkan hasil luas tersebut, maka panjang DK adalah
1
2
× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 = 𝐿∆𝐻𝐷𝑂
1
2
× 𝐻𝑂 × 𝐷𝐾 = 𝐿∆𝐻𝐷𝑂
1
2
×
1
2
𝑎√6 × 𝐷𝐾 =
1
4
𝑎2
√2
1
4
𝑎√6 × 𝐷𝐾 =
1
4
𝑎2
√2
𝐷𝐾 =
1
4
𝑎2
√2
1
4
𝑎√6
𝐷𝐾 = 𝑎
√2
√6
×
√6
√6
𝐷𝐾 =
1
3
𝑎√3
Jadi, jarak dari titik D ke bidang ACH adalah
𝟏
𝟑
𝒂√ 𝟑 𝒄𝒎.
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C ke
bidang AFH , maka jarak titik A ke S adalah ...

4. Penyelesaian :
Diketahui : Panjang rusuk = 𝑎 cm
Sketsa jarak titik A ke titik S pada kubus ABCD.EFGH
Ditanya : 𝐴𝑆̅̅̅̅… ?
Jawab :
 pandanglah segitiga APC, maka
 Mencari panjang AC, yaitu :
𝐴𝐶̅̅̅̅ = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2
𝐴𝐶̅̅̅̅ = √𝑎2 + 𝑎2
𝐴𝐶̅̅̅̅ = √2𝑎2
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝑎√2
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝐸𝐺̅̅̅̅ = 𝑎√2
Maka 𝐸𝑃̅̅̅̅ =
1
2
𝐸𝐺 =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1
2
𝑎√2
𝜶

5.  Mencari panjang AP, yaitu :
𝐴𝑃̅̅̅̅ = √𝐴𝐸2 + 𝐸𝑃2
𝐴𝑃̅̅̅̅ = √𝑎2 + (
1
2
𝑎√2)2
𝐴𝑃̅̅̅̅ = √𝑎2 +
1
2
𝑎2
𝐴𝑃̅̅̅̅ = 𝑎√
3
2
𝐴𝑃̅̅̅̅ = 𝑎
√3
√2
×
√2
√2
𝐴𝑃̅̅̅̅ =
1
2
𝑎√6
𝐴𝑃̅̅̅̅ = 𝑃𝐶̅̅̅̅ =
1
2
𝑎√6
 Perhatikan ∆ 𝑨𝑷𝑪, maka
cos 𝛼 =
𝐴𝑃2+𝐴𝐶2−𝑃𝐶2
2( 𝐴𝑃)(𝐴𝐶)
cos 𝛼 =
(
1
2
𝑎√6)2+(𝑎√2)
2
−(
1
2
𝑎√6)2
2(1
2
𝑎√6)(𝑎√2)
cos 𝛼 =
2𝑎2
2𝑎2√3
cos 𝛼 =
1
√3
×
√3
√3
cos 𝛼 =
1
3
√3
 Perhatikan ∆𝑨𝑺𝑪 yaitu segitiga siku-siku, maka berlaku :
cos 𝛼 =
𝐴𝑆
𝐴𝐶
1
3
√3 =
𝐴𝑆
𝑎√2
𝐴𝑆 =
1
3
𝑎√6
Jadi, jarak titik A ke titik S adalah
𝟏
𝟑
𝒂√ 𝟔 cm.
Latihan Soal Halaman 73
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan penjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak AF ke bidang
CDHG!

6. Penyelesaian :
Garis AF dan bidang CDHG adalah sebuah garis dan bidang yang saling sejajar, maka jarak
antara garis AF dan bidang CDHG dapat diwakilkan oleh ruas garis AD atau FG , sehingga
jarak yang dimaksud adalah 6 cm.
2. T.ABC adalah bidang empat beraturan dengan AB = 16. Jika P dan Q masing-masing
pertengahan TA dan BC, maka tentukan PQ !
Penyelesaian :
Sketsa soal :
Diketahui :
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 16 𝑐𝑚
𝑇𝐴̅̅̅̅ = 𝑃𝐴̅̅̅̅ = 𝐵𝑄̅̅̅̅ = 𝑄𝐶̅̅̅̅ = 8 𝑐𝑚
Ditanya : 𝑃𝑄̅̅̅̅… ?
Jawab :
Langkah mencari panjang PQ, adalah
 Mencari panjang AQ
Perhatikan ∆ 𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60°.
Adapun garis AQ adalah garis bagi , karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama
jauh dari AB dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :

7. Karena garis AQ tegak lurus terhadap garis BC, maka pada ∆ 𝐴𝑄𝐶 berlaku:
𝐴𝑄̅̅̅̅ = √𝐴𝐶2 − 𝑄𝐶2
𝐴𝑄̅̅̅̅ = √162 − 82
𝐴𝑄̅̅̅̅ = √256 − 64
𝐴𝑄̅̅̅̅ = √192
 Mencari panjang TQ
Perhatikan ∆ 𝐵𝐶𝑇 merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60°.
Adapun garis TQ adalah garis bagi, karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama
jauh dari AB dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :
Karena garis AQ tegak lurus terhadap garis BC, maka pada ∆ 𝐴𝑄𝐶 berlaku:
𝑇𝑄̅̅̅̅ = √𝑇𝐵2 − 𝐵𝑄2
𝑇𝑄̅̅̅̅ = √162 − 82
𝑇𝑄̅̅̅̅ = √256 − 64
𝑇𝑄̅̅̅̅ = √192
Perhatikan ∆ 𝐴𝑇𝑄, karena 𝐴𝑄̅̅̅̅ = 𝑇𝑄̅̅̅̅ maka ∆ 𝐴𝑇𝑄 adalah segitiga samakaki. Adapun karena
garis PQ membagi garis TA menjadi dua sama panjang maka garis PQ pasti tegak lurus
terhadap garis TA, sehingga sketsanya sebagai berikut :

8. Berdasarkan sketsa gambar di atas, maka jelas panjang PQ adalah
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √𝑇𝑄2 − 𝑇𝑃2
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √√192
2
− 82
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √192 − 64
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √128
𝑃𝑄̅̅̅̅ = 8√2
Jadi, jarak antara titik P dan titik Q adalah 𝟖√ 𝟐 cm.
3. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan panjang AB =10 dengan titik P dan Q
masing-masing merupakan titik tengah dari BA dan DC. Hitunglah jarak AB ke CD !
Penyelesaian :
Diketahui :
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 10
𝐵𝑃̅̅̅̅ = 𝐴𝑃̅̅̅̅ = 𝐷𝑄̅̅̅̅ = 𝑆𝑄̅̅̅̅ = 5
Ditanya : Jarak garis AB ke garis CD?
Jawab :
Sketsa :

9. Berdasarkan sketsa di atas maka jelas bahwa garis AB dan garis DC adalah dua garis yang
bersilangan. Adapun jarak dari dua garis bersilangan adalah jarak terpendek dari salah-satu
titik yang terdapat pada masing-masing garis tersebut, dimana titik tersebut saling tegak lurus
terhadap garis penyilangnya. Sebagaimana telah diketahui pada soal no 2 bahwa pada bidang
empat beraturan berlaku titik tengah suatu garis pelukisnya (pada soal garis DC) tegak lurus
dengan garis pembentuk alas di depannya (pada soalgaris AB) pada titik tengah garis tersebut.
Maka dapat kita simpulkan bahwa jarak antara garis DC dan garis AB adalah jarak antara titik
tengah DC yaitu titik P dengan titik tengah AB yaitu titik Q.
Langkah mencari panjang PQ, yaitu :
 Perhatikan ∆𝑪𝑷𝑸 adalah seditiga siku-siku di titik P.
 Mencari panjang CQ
Perhatikan ∆𝐴𝐶𝐵 merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60°.
Adapun garis CQ adalah garis bagi, karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama
jauh dari BC dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :
Karena garis CQ tegak lurus terhadap garis AB, maka pada ∆ 𝐴𝑄𝐶 berlaku:
𝐶𝑄̅̅̅̅ = √𝐴𝐶2 − 𝑄𝐶2
𝐶𝑄̅̅̅̅ = √102 − 52
𝐶𝑄̅̅̅̅ = √100 − 25
𝐶𝑄̅̅̅̅ = √75
𝐶𝑄̅̅̅̅ = 5√3
Maka panjang PQ adalah
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √𝐶𝑄2 − 𝐶𝑃2

10. 𝑃𝑄̅̅̅̅ = √(5√3 )2 − 52
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √75 − 25
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √50
𝑃𝑄̅̅̅̅ = 5√2
Jadi, jarak antara garis AB ke garis CD adalah 𝟓√ 𝟐 cm.
Latihan Soal Halaman 77-78
2. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm.
a. Carilah jarak antara garis PU dengan bidang RSWP
b. Carilah jarak antara garis UW dengan bidang PQRS
Penyelesaian :
a) Jarak antara PU dengan bidang RSWP
Sketsa garis PU pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm
Berdasarkan gambar di atas, maka Garis PU dan bidang RSWP adalah sebuah garis dan
bidang yang saling sejajar, maka jarak antara garis PU dan bidang RSWP dapat diwakilkan
oleh ruas garis PS atau UV , sehingga jarak yang dimaksud adalah 6 cm.
b) Jarak antara garis UW dengan bidang PQRS
Sketsa garis UW pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm

11. Berdasarkan gambar di atas, maka Garis UW dan bidang PQRS adalah sebuah garis dan
bidang yang saling sejajar, maka jarak antara garis UW dan bidang PQRS dapat diwakilkan
oleh ruas garis SW atau QU , sehingga jarak yang dimaksud adalah 6 cm.
3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik
tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang BDHF !
Penyelesaian :
Diketahui :
Panjang rusuk kubus = 10
Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah FG dan HG.
Ditanya : jarak garis PQ ke bidang BDHF ?
Jawab :
Sketsa soal :
Berdasarkan sketsa di atas maka jarak dari garis PQ ke bidang BDHF adalah panjang garis
PK atau garis QL.
 Mencari panjang PQ, yaitu :
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √𝑃𝐺2 + 𝐺𝑄2
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √52 + 52
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √25 + 25
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √50
𝑃𝑄̅̅̅̅ = 5√2
 Mencari panjang HF , yaitu :
𝐻𝐹̅̅̅̅ = √𝐸𝐻2 + 𝐸𝐹2
𝐻𝐹̅̅̅̅ = √102 + 102
𝐻𝐹̅̅̅̅ = √100 + 100
𝐻𝐹̅̅̅̅ = √200
𝐻𝐹̅̅̅̅ = 10√2

12.  Mencari panjang HK, panjang KL, dan panjang LF,yaitu :
perhatikan trafesium PQHF berdasarkan gambar maka, trafesium PQHF adalah trafesium
beraturan sama kaki, sehingga sketsanya adalah
Sehingga 𝑃𝑄̅̅̅̅ = 𝐾𝐿̅̅̅̅ = 5√2
𝐻𝐾̅̅̅̅ = 𝐿𝐹̅̅̅̅ =
1
2
(𝐻𝐹̅̅̅̅ − 𝐾𝐿̅̅̅̅)
𝐻𝐾̅̅̅̅ = 𝐿𝐹̅̅̅̅ =
1
2
(10√2 − 5√2 )
𝐻𝐾̅̅̅̅ = 𝐿𝐹̅̅̅̅ =
1
2
(5√2)
𝐻𝐾̅̅̅̅ = 𝐿𝐹̅̅̅̅ =
5
2
√2
Mencari panjang garis PK atau garis QL,
𝑃𝐾̅̅̅̅ = 𝑄𝐿̅̅̅̅ = √𝐻𝑃2 − 𝐻𝐾2
𝑃𝐾̅̅̅̅ = 𝑄𝐿̅̅̅̅ = √52 − (
5
2
√2 )2
𝑃𝐾̅̅̅̅ = 𝑄𝐿̅̅̅̅ = √25 −
25
2
𝑃𝐾̅̅̅̅ = 𝑄𝐿̅̅̅̅ = √
25
2
𝑃𝐾̅̅̅̅ = 𝑄𝐿̅̅̅̅ =
5
√2
×
√2
√2
𝑃𝐾̅̅̅̅ = 𝑄𝐿̅̅̅̅ =
5
2
√2
Jadi jarak garis PQ ke bidang BDHF adalah
𝟓
𝟐
√ 𝟐 cm
4. Sebuah kubus dengan rusuk a cm. Bidang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF,
CG dan DH.
a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG
b. Carilah jarak antara bidang BDE dan bidang CFH
Penyelesaian :
a. Sketsa bidang ACH dan bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH.

13. Adapun untuk mencari jarak antara bidang ACH dan bidang BEG dapat diketahui dengan
memfokuskan perhatian pada bidang diagonal DBFH. Adapun sketsa pola pada bidang
diagonal DBFH adalah
Berdasarkan sketsa di atas jelas bahwa jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah
panjang garis KM dalam hal ini adalah tinggi dari suatu jajargendang dengan alas HO.
Mencari panjang garis KM, langkahnya :
 Mencari panjang OB
𝑂𝐵̅̅̅̅ =
1
2
𝐷𝐵̅̅̅̅
𝑂𝐵̅̅̅̅ =
1
2
𝐷𝐵̅̅̅̅ =
1
2
√𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2
𝑂𝐵̅̅̅̅ =
1
2
𝐷𝐵̅̅̅̅ =
1
2
√𝑎2 + 𝑎2
𝑂𝐵̅̅̅̅ =
1
2
𝐷𝐵̅̅̅̅ =
1
2
√2𝑎2
𝑂𝐵̅̅̅̅ =
1
2
𝐷𝐵̅̅̅̅ =
𝑎
2
√2
 Mencari panjang HO
𝐻𝑂̅̅̅̅ = √𝐻𝐷2 + 𝐷𝑂2
𝐻𝑂̅̅̅̅ = √𝑎2 + (
𝑎
2
√2)2
𝐻𝑂̅̅̅̅ = √ 𝑎2 +
𝑎2
2

14. 𝐻𝑂̅̅̅̅ = 𝑎√
3
2
𝐻𝑂̅̅̅̅ = 𝑎
√3
√2
×
√2
√2
𝐻𝑂̅̅̅̅ =
1
2
𝑎√6
 Mencari Luas jajargenjang HOBK
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑂𝐵𝐾 = 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑂𝐵𝐾 = 𝑂𝐵̅̅̅̅ × 𝑂𝐾̅̅̅̅
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑂𝐵𝐾 = 𝑂𝐵̅̅̅̅ × 𝑂𝐾̅̅̅̅
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑂𝐵𝐾 =
𝑎
2
√2 × 𝑎
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑂𝐵𝐾 =
𝑎2
2
√2
Berdasarkan Luas jajargenjang HOBK , maka dapat dicari panjang garis KM, yaitu :
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑂𝐵𝐾 = 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑂𝐵𝐾 = 𝐻𝑂̅̅̅̅ × 𝐾𝑀̅̅̅̅̅
𝑎2
2
√2 =
1
2
𝑎√6 × 𝐾𝑀̅̅̅̅̅
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
𝑎2√2
2
𝑎√6
2
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
𝑎√2
√6
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
𝑎√2
√6
×
√6
√6
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
1
3
𝑎√3
Jadi, jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah
𝟏
𝟑
𝒂√ 𝟑 cm
b. Sketsa bidang BDE dan bidang CFH pada kubus ABCD.EFGH
Adapun untuk mencari jarak antara bidang BDE dan bidang CFH dapat diketahui dengan
memfokuskan perhatian pada bidang diagonal ACGE. Adapun sketsa pola pada bidang
diagonal ACGE adalah

15. Berdasarkan sketsa di atas jelas bahwa jarak antara bidang BDE dan bidang CFH adalah
panjang garis KM dalam hal ini adalah tinggi dari suatu jajar gendang dengan alas HO.
Mencari panjang garis KM, langkahnya :
 Mencari panjang OC
𝑂𝐶̅̅̅̅ =
1
2
𝐴𝐶̅̅̅̅
𝑂𝐶̅̅̅̅ =
1
2
𝐴𝐶̅̅̅̅ =
1
2
√𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2
𝑂𝐶̅̅̅̅ =
1
2
𝐴𝐶̅̅̅̅ =
1
2
√𝑎2 + 𝑎2
𝑂𝐶̅̅̅̅ =
1
2
𝐴𝐶̅̅̅̅ =
1
2
√2𝑎2
𝑂𝐶̅̅̅̅ =
1
2
𝐴𝐶̅̅̅̅ =
𝑎
2
√2
 Mencari panjang EO
𝐸𝑂̅̅̅̅ = √𝐸𝐴2 + 𝐴𝑂2
𝐸𝑂̅̅̅̅ = √𝑎2 + (
𝑎
2
√2)2
𝐸𝑂̅̅̅̅ = √ 𝑎2 +
𝑎2
2
𝐸𝑂̅̅̅̅ = 𝑎√
3
2
𝐸𝑂̅̅̅̅ = 𝑎
√3
√2
×
√2
√2
𝐸𝑂̅̅̅̅ =
1
2
𝑎√6
 Mencari Luas jajargenjang OCKE
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 OCKE = 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 OCKE = 𝑂𝐶̅̅̅̅ × 𝑂𝐾̅̅̅̅
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 OCKE = 𝑂𝐶̅̅̅̅ × 𝑂𝐾̅̅̅̅
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 OCKE =
𝑎
2
√2 × 𝑎
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 OCKE =
𝑎2
2
√2

16. Berdasarkan Luas jajargenjang OCKE , maka dapat dicari panjang garis KM, yaitu :
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 OCKE = 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 OCKE = 𝐸𝑂̅̅̅̅ × 𝐾𝑀̅̅̅̅̅
𝑎2
2
√2 =
1
2
𝑎√6 × 𝐾𝑀̅̅̅̅̅
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
𝑎2√2
2
𝑎√6
2
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
𝑎√2
√6
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
𝑎√2
√6
×
√6
√6
𝐾𝑀̅̅̅̅̅ =
1
3
𝑎√3
Jadi, jarak antara bidang BDE dan bidang CFH adalah
𝟏
𝟑
𝒂√ 𝟑 cm
5. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT,QU, RV dan SW.
Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm. Hitunglah jarak antara rusuk VW dan bidang
diagonal RSTU!
Penyelesaian :
Diketahui : panjang rusuk kubus = 12 cm
Ditanya : jarak antara rusuk VW dan bidang diagonal RSTU?
Jawab :
Sketsa kubus PQRS.TUVW
Berdasarkan sketsa di atas, maka dapat disimpulkan bahwa jarak antara garis VW dan bidang
RSTU dapat diwakilkan oleh panjang garis VM, adapun langkah mencari panjang garis VM
adalah sebagai berikut:
 Perhatikan ∆𝑹𝑼𝑽

17. Berdasarkan gambar segitiga tersebut, kita ketahui bahwa ∆𝑅𝑈𝑉 adalah segitiga siku-siku
samakaki, sedangkan garis VM merupakan tinggi dari segitiga tersebut, sehingga langkah
mencari panjang garis VM, adalah :
 Mencari panjang UR
𝑈𝑅̅̅̅̅ = √𝑈𝑉 + 𝑉𝑅2
𝑈𝑅̅̅̅̅ = √122 + 122
𝑈𝑅̅̅̅̅ = √2 × 122
𝑈𝑅̅̅̅̅ = 12√2
 Mencari luas ∆𝑹𝑼𝑽, yaitu
𝐿 ∆𝑅𝑈𝑉 =
1
2
× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿 ∆𝑅𝑈𝑉 =
1
2
× 𝑉𝑅 × 𝑈𝑉
𝐿 ∆𝑅𝑈𝑉 =
1
2
× 12 × 12
𝐿 ∆𝑅𝑈𝑉 =
1
2
× 12 × 12
𝐿 ∆𝑅𝑈𝑉 = 72
 Mencari panjang VM
𝐿 ∆𝑅𝑈𝑉 =
1
2
× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
72 =
1
2
× 12√2 × 𝑉𝑀
72 = 6√2 × 𝑉𝑀
𝑉𝑀 =
72
6√2
𝑉𝑀 =
12
√2
×
√2
√2
𝑉𝑀 = 6√2
Jadi, jarak antara garis VW dan bidang diagonal RSTU adalah 𝟔√ 𝟐 cm .
6. Perhatikan gambar di bawah ini ! AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Hitunglah jarak A
ke bidang TBC!

18. Penyelesaian:
Diketahui :
AT, AB dan AC saling tegak lurus di A
𝐴𝑇̅̅̅̅ = 5
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 5
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 5
Ditanya : jarak titik A ke bidang TBC?
Jawab :
Berdasarkan gambar tersebut maka dapat diketahui bahwa jarak titik A ke bidang TBC adalah
panjang AD. Adapun langkah mencari panjang AD adalah sebagai berikut :
 Mencari panjang BC
Pandang ∆𝐴𝐵𝐶, karena segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku di titik A, maka
𝐵𝐶̅̅̅̅ = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2
𝐵𝐶̅̅̅̅ = √52 + 52
𝐵𝐶̅̅̅̅ = √2 × 52
𝐵𝐶̅̅̅̅ = 5√2
𝐵𝐸̅̅̅̅ = 𝐸𝐶̅̅̅̅ =
1
2
𝐵𝐶̅̅̅̅
𝐵𝐸̅̅̅̅ = 𝐸𝐶̅̅̅̅ =
5√2
2
 Mencari panjang AE
𝐴𝐸̅̅̅̅ = √𝐴𝐵2 − 𝐵𝐸2

19. 𝐴𝐸̅̅̅̅ = √52 − (
5√2
2
)2
𝐴𝐸̅̅̅̅ = √25 − (
25
2
)
𝐴𝐸̅̅̅̅ = √
25
2
𝐴𝐸̅̅̅̅ =
5√2
2
 Mencari panjang TE
𝑇𝐸̅̅̅̅ = √𝐴𝑇2 + 𝐴𝐸2
𝐴𝐸̅̅̅̅ = √52 + (
5√2
2
)2
𝑇𝐸̅̅̅̅ = √25 + (
25
2
)
𝑇𝐸̅̅̅̅ = √
75
2
𝑇𝐸̅̅̅̅ = √
75
2
𝑇𝐸̅̅̅̅ = 5√
3
2
𝑇𝐸̅̅̅̅ = 5
√3
√2
×
√2
√2
𝑇𝐸̅̅̅̅ =
5
2
√6
 Perhatikan ∆𝑻𝑨𝑬
 Mencari luas ∆𝑻𝑨𝑬, yaitu
𝐿 ∆𝑇𝐴𝐸 =
1
2
× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿 ∆𝑇𝐴𝐸 =
1
2
× 𝐴𝐸 × 𝑇𝐴
𝐿 ∆𝑇𝐴𝐸 =
1
2
×
5√2
2
× 5
𝐿 ∆𝑇𝐴𝐸 =
25
4
√2

20.  Mencari panjang garis AD
𝐿 ∆𝑇𝐴𝐸 =
1
2
× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
25
4
√2 =
1
2
× 𝑇𝐸 × 𝐴𝐷
25
4
√2 =
1
2
×
5
2
√6 × 𝐴𝐷
25
4
√2 =
5
4
√6 × 𝐴𝐷
𝐴𝐷 =
25√2
4
5√6
4
𝐴𝐷 =
5√2
√6
×
√6
√6
𝐴𝐷 =
5√12
6
𝐴𝐷 =
5√3
3
Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah
𝟓√ 𝟑
𝟑
cm.