8.2 probabilità - assiomi

Un ripasso di probabilità:
Assiomi
PaulKlee,GiardinodiTunisi,1919
Riccardo Rigon

R. Rigon
2
Definizione Intuitiva ?
Intuitivamente, la probabilità potrebbe essere definita come:
Dove N(a) è il numero di eventi (favorevoli) osservati su N grandi
tentativi.
P(a) = lim
N ⇥
N(a)
N
Ma questa definizione non è priva di contraddizioni !
Assiomi e concetti di base

R. Rigon
3
Una definizione formale
• Sia Ω lo spazio degli eventi:
– Esso contiene tutte le possibili realizzazioni di un determinato
esperimento
– è un singolo evento
– è un insieme di eventi
– E’ richiesto che sia una sigma-algebra
A

R. Rigon
4
Una definizione più formale
gli assiomi della probabilità
e.g. Feller, 1968

R. Rigon
5
Non perseguiremo qui la prova dei seguenti enunciati. Tuttavia,
una evidenza intuitiva deriva dall’associare alla probabilità
l’area della figura geometrica disegnata nelle slides che
seguono.
Altre proprietà della probabilità.
dedotte dagli assiomi 1-3:

R. Rigon
6
Se
A + Ac
=
Allora:
P(A) = 1 P(Ac
)
A
Ac

R. Rigon
7
A ⇥ B =⇤ P(A) P(B)
B A
B

R. Rigon
8
P(A ⇥ B) = P(A) + P(B) P(A ⇤ B)
A

R. Rigon
9
P(A ⇥ B) = P(A) + P(B) P(A ⇤ B)
B

R. Rigon
10
P(A ⇥ B) = P(A) + P(B) P(A ⇤ B)
A B
A B

R. Rigon
11
Un esempio di calcoli base
Si consideri, a titolo di esempio, lo spazio degli eventi contenente sette elementi,
E1 , E2, ... , E7.
E siano le probabilità definite come:
p(E1) = p(E2) = p(E3) = p(E7) = 1/5, p(E4) = p(E5) = 1/20,
e
p(E6) = 1/10.

R. Rigon
12
A = {E1, E2, E3, E5, E6}
p(A) = p(E1) + p(E2) + p(E3) + p(E5) + p(E6) =
(1/5) + (1/5) + (1/5) + (1/20) + (1/10) = ¾ = .75
B = {E2, E3, E4, E7}
p(B) = p(E2) + p(E3) + p(E4) + p(E7) = (1/5) + (1/5) +(1/20) +
(1/5) = 13/20 = .65
Un esempio di calcoli base

R. Rigon
13
Il problema centrale
non è il calcolo: che risulta “automatico”. Ma l’assegnazione
delle probabilità ovvero della forma funzionale della P( ).
Quando si conosce la probabilità, si conosce tutto del fenomeno che
si va descrivendo: se ne è assegnata “la fisica”.

R. Rigon
14
La probabilità condizionale
Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in
seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si
scrive:
L a c o n o s c e n z a c h e c i h a
permesso di assegnare la
probabilità

R. Rigon
15
La probabilità condizionale
Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in
seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si
scrive:
O più semplicemente:
se l’evento x è condizionato da y

R. Rigon
16
Probabilità composte
Come negli esempi iniziali, è possibile considerare, il contemporaneo
realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità
congiunta, indicata con le due scritture equivalenti:
A, B

R. Rigon
17
Probabilità composte
Come negli esempi iniziali, è possibile considerare, il contemporaneo
realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità
congiunta:
La probabilità è, in questo caso,
l’area del trapezio rosso,
rispetto all’area di
A, B

R. Rigon
18
Probabilità condizionali
La probabilità condizionale è invece definita come
Pertanto

Riccardo Rigon
!19
Dunque
La probabilità (pdf) di due eventi A e B congiunti è data da
dove P(A | B) è la probabilità di ottenere A da un campione casuale, sapendo che
B è certo, èd è chiamata probabilità condizionale di A rispetto ad B, e P(B) è la
probabilità di ottenere B. Equivalentemente il teorema si legge anche:
vista la simmetria esistente tra gli insiemi A e B
Bayes Theorem

Riccardo Rigon
!20
La regola di Bayes
Vale allora la Regola di Bayes
Bayes Theorem
Che di solito è scritta come:

R. Rigon
21
Indipendenza statistica:
A e B sono detti statisticamente indipendenti se
Analogamente, se gli Aj sono indipendenti, allora
e
Indipendenza statistica

R. Rigon
22
Il concetto di indipendenza statistica estende quello del calcolo combinatorico
di eventi discreti, ma non è affatto intuitivo geometricamente.
Esso afferma, nella sostanza, che l’area dell’intersenzione (non nulla) di due
insiemi è uguale al prodotto delle aree degli insiemi. L’indipendenza statistica
rappresenta perciò una equazione che deve essere soddisfatta.
A
B

R. Rigon
23
Sia considerato, per illustrare l’esempio, uno spazio degli eventi rappresentato
da un quadrato di lato unitario e i due suoi sottoinsiemi con un lato unitario ed
uno, lungo 2/3
A
B

R. Rigon
24
Qualora i due sottoinsiemi siano disposti come in figura, la loro intersezione e’
di area 2/3 x 2/3 = 4/9 e, poichè P(B) = 2/3 e P(A) = 2/3
A
B
Allora A e B (come disposti in figura) sono eventi indipendenti !
2/3
1/3
2/3 1/3

R. Rigon
25
Se i due insiemi A e B sono fatti muovere parallelamente a se stessi, in base alla
definizione data, si ottengono altri insieme isomorfi ai primi che rimangono
indipendenti.
A
B
2/3
1/3
2/3 1/3

R. Rigon
26
In altre configurazioni, some quella rappresentata sotto, non sono più
indipendenti statisticamente.
A
B
2/3
1/3
2/3 1/3

R. Rigon
27
concetti di base
•La probabilità è una teoria matematica basata su alcuni assiomi
•La probabilità congiunta rappresenta è anch’essa una probabilità
•La probabilità condizionale è anch’essa una probabilità
•L’indipendenza probabilistica (o statistica) consente di semplificare il
calcolo delle probabilità congiunte
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