Este documento explica el Teorema de Tales, atribuido al matemático griego Tales de Mileto, que demostró cómo calcular la altura de objetos como pirámides mediante la relación de triángulos semejantes formados por las sombras. El documento incluye ejemplos de cómo aplicar el teorema para resolver problemas de cálculo de alturas, anchos de ríos u otros trazos.

1. Teorema de Tales
Matemática
2do año
Ciclo Básico
Escuela
Secundaria
de modalidad
Técnica Nº 527
http://i21.servimg.com/u/f21/14/11/92/84/tales110.jpg
Prof.: Silvia Beatriz Ambroselli

2. Cuando miramos a nuestro alrededor
o salimos a dar un paseo y en
especial cuando vamos de
vacaciones, apreciamos en cada
paso que damos la cantidad de cosas
que representan figuras o formas
geométricas, sean regulares o
irregulares. El conocimiento
geométrico básico es indispensable
para desenvolverse en nuestra vida
http://t3.gstatic.com/images?
q=tbn:ANd9GcThlx1uieriUNtaebfn_mLeZV03wcLLRm6
cotidiana para orientarse http://es.wikipedia.org/wiki/
mV44FWAThirMvDEWH reflexivamente en el espacio, como Monumento_hist%C3%B3rico_
nacional_a_la_Bandera
para hacer estimaciones de alturas,
distancias a veces inaccesibles. Tal
es el caso que podemos calcular la
altura de monumentos, edificios,
puentes, etc. Hoy existe la tecnología
adecuada para realizar estas
mediciones, entonces nos
preguntamos:
¿Cómo medían en la
antigüedad? ¿Qué elementos
http://www.hidro.gov.ar/ImagenesN/FotosFaros/
se utilizaban? http://img230.imageshack.us/img230/8647/06tor
FPuntaMogotes.jpg rerepsolypf119uo.jpg

3. Es entonces cuando también surge la pregunta: ¿Quién fue el primero en
medir la altura de este tipo de construcciones?
Se cuenta que el filósofo y
matemático griego , Tales
de Mileto, pudo calcular la
altura de la pirámide de
Keops con la proyección
de su sombra y la ayuda
de una estaca, mediante la
relación de triángulos
semejantes conocida
como el Teorema de
Tales: "La relación que yo
establezco con mi sombra
es la misma que la
pirámide establece con la
suya.".
De donde dedujo: "En el
mismo instante en que mi
sombra sea igual que mi
estatura, la sombra de la
pirámide será igual a su
altura."
http://matemativerso.files.wordpress.com/2010/01/piramide-tales.jpg

4. Entonces, expliquemos lo que dedujo Tales:
Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra
los triángulos rectángulos
determinados por la altura de la
pirámide y su sombra Rayos solares
y el determinado por la altura del bastón y la suya
son semejantes
Podemos, por tanto, establecer la proporción
H =h
S s
De donde H= h•S
s H(altura de la pirámide)
h (altura de bastón) Pirámide
s (sombra)
S (sombra)

5. Y ahora
El famoso
Teorema de
Tales

6. "Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos
transversales, los segmentos de las transversales
determinados por las paralelas, son proporcionales”
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 , T y S transversales,
los segmentos a, b, c y d son proporcionales
T S
Es decir:
L1
a= c a c
b d L2
b d
¿DE
ACUERDO? L3

7. Veamos un ejemplo:
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del
trazo x
L1
Ordenamos los datos en L2
T
la proporción, de acuerdo x
al teorema de Thales 15
L3
S
Es decir:
8 X 8
24 = 15
Y resolvemos la proporción 24
24 • x = 8 • 15
X =8 • 15
24 ¿Fácil
no?
X=5

8. Veamos otro ejemplo:
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo
CD
Formamos la proporción L3
L2
T
3 x+4
2 = x+1 L1 x+1
D
Resolvemos la proporción
x+4
3(x + 1) = 2(x + 4)
C
3x + 3 = 2x + 8
3x - 2x= 8 - 3
X=5
S
Luego, como CD = x + 4 3 2
CD= 5 + 4 = 9

9. Y nuevamente pensando en la pirámide…..
TRIÁNGULOS DE THALES
Dos triángulos se dicen de Thales o que
están en posición de Thales, cuando:
Tienen un ángulo común y los lados
opuestos a dicho ángulo son
paralelos.
Podemos ver esto si trasladamos el triángulo
formado por el bastón, su sombra y los rayos
solares hacia el formado por la pirámide
H(altura de la pirámide)
h (altura de bastón)
s (sombra)
S (sombra)

10. Triángulos de Tales
En dos triángulos de Tales, sus lados, tienen la
A
misma razón de semejanza
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED,
entonces, con los lados de los triángulos AED y
ABC ocurre:
AE ED
=
AB BC D
E
O también
AE = AB
B C
ED BC
A esta forma de tomar
los trazos, se le llama
“la doble L”

11. Aplicaciones de esta idea
Calcula la altura del siguiente edificio
Escribimos la proporción
Por que 3+12=15
3 15
= x
5
x
Y resolvemos la proporción
3 • x = 5 • 15
x = 75
5
3
X = 25 3 12

12. Otro ejercicio
En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE
Formamos la proporción
Por que
8 12 x+3+x = 2x+3 C
=
X+3 2x+3
D 12
Resolvemos la proporción
8
8(2x + 3) = 12( x + 3)
16x + 24 = 12x + 36
16x – 12x = 36 – 24 B
A x+3 E x
4x = 12
X = 12 = 3
4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

13. Resuelve problemas con tu grupo?
1. Una torre tiene una
sombra de 12 metros Al
mediodía, mientras
que una botella de 25 Torre
cm. Proyecta una X Botella
sombra de 5 cm. a la
25 cm.
misma hora. ¿Cuánto
mide la torre?
a) 50 m b) 60 m c) 65 m Sombra 12 m. Sombra 5 cm.
2. Calcular la altura de la
persona de acuerdo a
los datos del gráfico.
a) 1,8 cm
b) 1,9 m
c) 180 cm

14. 3. Una señal de tránsito de 2 metros de
altura proyecta una sombra de 10 metros, al
mismo tiempo una pared de un edificio
proyecta una sombra de 80 metros. Calcular
la altura de la pared.
4. Calcular el ancho del rio de acuerdo a los
datos adjuntos del gráfico.

15. Quieres seguir resolviendo problemas?
Solicita turno en la Sala de Informática de la escuela o
desde tu casa si tienes conexión a internet navega en el link
siguiente y resuelve algunos de los problemas que te
plantean: http
://www.lavirtu.com/eniusimg/enius4/2002/01/adjuntos
En este enlace encontraras consejos para resolver
problemas y tienes 100 ejercicios que puedes realizar
Si tenes dudas consúltame en clase o a través de mi correo
electrónico:
profesilvia_ambroselli@gmail.com
Espero tu participación!!!