Easy explanation of Dr. R S Aggarwal Math and S@ifurs Math's Formula. Contract Number 01972 40 16 79

1. 1
At a Glance
 Number, Age, Average & Fractions অধ্যায়গুল া ক্রমান্বলয় করা ভাল া । কারণ
অধ্যায়গুল া একই রকলমর এবং এলের সূত্রাব ী পরস্পলরর সালে সম্পকক যুক্ত ।
 Interest, Profit & Loss এবং Percentage অধ্যায়গুল া ক্রমান্বলয় করা ভাল া । কারণ
অধ্যায়গুল া একই রকলমর এবং এলের সূত্রাব ী পরস্পলরর সালে সম্পকক যুক্ত ।
 Ratio & Proportion ও Partnership অধ্যায়গুল া ক্রমান্বলয় করা ভাল া । কারণ
অধ্যায়গুল া একই রকলমর এবং এলের সূত্রাব ী পরস্পলরর সালে সম্পকক যুক্ত ।
 Boats & Streams, Time, Distance & Speed, এবং Train অধ্যায়গুল া ক্রমান্বলয়
করা ভাল া । কারণ অধ্যায়গুল া একই রকলমর এবং এলের সূত্রাব ী পরস্পলরর সালে সম্পকক যুক্ত ।
 Time & Work, Pipes & Cisterns এবং Chain Rule অধ্যায়গুল া ক্রমান্বলয় করা
ভাল া । কারণ অধ্যায়গুল া একই রকলমর এবং এলের সূত্রাব ী পরস্পলরর সালে সম্পকক যুক্ত ।
 Probability, Permutation & Combination অধ্যায়গুল া ক্রমান্বলয় করা ভাল া ।
কারণ অধ্যায়গুল া একই রকলমর এবং এলের সূত্রাব ী পরস্পলরর সালে সম্পকক যুক্ত ।
ববশিষ্ঠ্যঃ
Dr. R.S. AGGARWAL
&
S@ifur’s Math সহ অন্যান্য বইলয়র প্রলয়াজন্ীয় সূত্রাব ীসমূলহর সহজলবাধ্য উপস্থাপন্া

2. 2
গশন্লে মমাট অংক ১০টি । যোঃ ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯
মন্াটঃ
 সবচেচে বৃহত্তম অংক = ৯ ।
 সবচেচে ক্ষু দ্রতম অংক = ০ ।
 সবচেচে ক্ষু দ্রতম সার্থক অংক (significant digit) = ১ ।
 পাাঁ ে অংচকর বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯ ।
 পাাঁ ে অংচকর ক্ষু দ্রতম সংখ্যা = ১০০০০ ।
Example: What is the greatest & smallest number of 7 digits that beginning
with 5 & ending with 3?
 Greatest Number: 599993
 Smallest Number: 500003
গশন্লের মমাট ১০টি অংক মেলক এক বা একাশধ্ক অংক শন্লয় শভন্ন শভন্ন সংখ্যা গঠিে হয় ।
উোঃ 1) ২৩৪৫ 2) ১২৪৮ 3) ৩২৪ ইেযাশে
মন্াটঃ
 ২৭ দুই অংক শবশিষ্ট একটি সংখ্যা । যার একক স্থান্ীয় অংক ৭ এবং েিক স্থান্ীয় অংক ২ ।
 শুধ্ু ৭ একটি অংক এবং একই সালে এক অংক শবশিষ্ট একটি সংখ্যা ।
 গশণলের মমাট অংক শন্শেক ষ্ট ও অপশরবেক ন্ীয় । শকন্ত গশণলের মমাট সংখ্যা অশন্শেক ষ্ট এবং
অসীম পযকন্ত শবস্তৃে ।
ময সক সংখ্যা ১ এবং মযই সংখ্যা শভন্ন অন্ন সংখ্যা দ্বারা শন্ঃলিলে শবভাজয োলের কৃ শত্রম
সংখ্যা বা মযৌশগক সংখ্যা বা Compositive number বল ।
উোঃ ১) ১০ = ১, ১০ ২) ১৫ = ১, ১৫ ৩) ৪৯ = ১, ৪৯
∴ ১০, ১৫, ৪৯ এগুল া মযৌশগক সংখ্যা ।
Number (সংখ্যা)
Digit (অংক)
Number (সংখ্যা)
কৃ শত্রম বা মযৌশগক সংখ্যা (Compositive Number)
২, ৫, ৩, ৫, ৭,

3. 3
 গণিচত আচ ােনার ণিন্ন সক ধনাত্মক সংখ্যা, ঋিাত্মক সংখ্যা, পূিথ সংখ্যা, মু দ সংখ্যা, অমূ দ সংখ্যা, শূনয ইতযাণদ সবণকছু ণনচেই বাস্তব
সংখ্যার সসট গঠিত হে ।
উোঃ 𝐑 = {𝟔, −𝟕,
𝟐
𝟑
,
𝟓
𝟒
, 𝟑
𝟗
𝟏𝟏
, √𝟓, 𝟎. 𝟕𝟓, 𝟎. 𝟑, 𝟎 … … … … }
 গণিচত আচ ােনার ণিন্ন সক ঋিাত্মক সংখ্যা এবং পূিথ সংখ্যাগুচ াচক স্বািাণবক সংখ্যা বচ ।
 এচদর N দ্বারা প্রকাশ করা হে ।
উোঃ N = {5, 10, 25, 56, 100……}
মন্াটঃ
 স্বািাণবক সংখ্যাে সবচেচে ক্ষু দ্রতম সংখ্যা = ১
 স্বািাণবক সংখ্যাসমূহ ১ সর্চক শুরু হচে অসীম পর্থন্ত ণবস্তৃ ত ।
 পূিথ সংখ্যা একটি অখ্ন্ড সংখ্যা । এচদর গিনাকারী সংখ্যাও (Counting number) ব া হে ।
 পূিথ সংখ্যা ৩ প্রকার । যোঃ
 ধনাত্মক পূিথ সংখ্যা/ Positive integer
উোঃ ২, ৪, ৩, ৫, ১০০, ৫০০ ।
 ঋিাত্মক পূিথ সংখ্যা/ Negative integer
উোঃ -২, -৪, -৩, -৫, -১০০, -৫০০ ।
 শূনয/ Zero
শূনয একটি স াড় পূিথ সংখ্যা । এটি ধনাত্মকও নে, ঋিাত্মকও নে । িারতীে গণিতণবদ সবথপ্রর্ম শূচনযর প্রাচোণগক ধারিা স্থাপন কচরন।
 সর্ সক সংখ্যা ২ দ্বারা ণনিঃচশচে ণবিা য তাচক স াড় সংখ্যা বস ।
উোঃ ২, ১০, ২৮, ১০০, ১১০ ইতযাণদ ।
অংক দ্বারা সংখ্যা গঠলন্র পদ্ধশে
বাস্তব সংখ্যা (Real number)
স্বাভাশবক সংখ্যা (Natural Number)
পূণক সংখ্যা (Whole Number/ Integer)
মজাড় সংখ্যা (Even Number)
4 5 6
1 × 6 = 6
10 × 5 = 50
100 × 4 = 400
= 456
 স্থান্ীয় মান্ পশরবেক ন্ হয় ন্া ।

4. 4
 সর্ সক সংখ্যা ২ দ্বারা ণনিঃচশচে ণবিা য নে তাচক ণবচ াড় সংখ্যা বচ ।
উোঃ ৩, ৫, ৭, ১৫, ২৯ ইতযাণদ ।
 একাণধক সংখ্যার মচধয পূচবথর সংখ্যা এবং পচরর সংখ্যার বযবধান ১ হচ এবং এিাচবই ক্রমানুসাচর ে চত র্াকচ তাচদর একচে
ক্রণমক সংখ্যা বা Consecutive Integer বচ ।
উোঃ
1) 1, 2, 3, 4, 5……
2) 50, 51, 52, 53……
3) 100, 99, 98, 97……
মন্াটঃ 𝐱 ময মকান্ একটি স্বাভাশবক সংখ্যা হল অেকাৎ 𝐱 ∈ 𝐍 হল
1) 2x একটি মজাড় সংখ্যা
2) 2x + 1 একটি শবলজাড় সংখ্যা
3) x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5 ….. একটি ক্রশমক সংখ্যার ধ্ারা ।
4) x, x+2, x+4, x+6, x+8 ….. একটি ক্রশমক মজাড় সংখ্যার ধ্ারা । এখ্ালন্, x অবিযই একটি
মজাড় পূণক সংখ্যা ।
5) x, x+2, x+4, x+6, x+8 ….. একটি ক্রশমক শবলজাড় সংখ্যার ধ্ারা । এখ্ালন্, x অবিযই একটি
শবলজাড় পূণক সংখ্যা ।
 1 মেলক বড় ময সক সংখ্যা শুধ্ুমাত্র ১ এবং মসই সংখ্যা দ্বারা শন্ঃলিলে শবভাজয োলের মমৌশ ক সংখ্যা বল । উোঃ 3, 5,
7, 11, 13 ইোশে ।
 মন্াটঃ
১) িূন্য (0) এবং ১ মমৌশ ক সংখ্যা ন্য় ।
২) ২ একমাত্র মজাড় মমৌশ ক সংখ্যা ।
 ১ মেলক ১০০ পযকন্ত যে মমৌশ ক সংখ্যা মলন্ রাখ্ার মকৌি ঃ
১ মেলক
১০
১১ মেলক
২০
২১ মেলক
৩০
৩১ মেলক
৪০
৪১ মেলক
৫০
৫১ মেলক
৬০
৬১ মেলক
৭০
৭১ মেলক
৮০
৮১ মেলক
৯০
৯১ মেলক
১০০
৪ ৪ ২ ২ ৩ ২ ২ ৩ ২ ১
 ১ মেলক ২৫ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক সংখ্যা = ৯ টি
 ১ মেলক ৫০ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক সংখ্যা = ১৫ টি
 ১ মেলক ১০০ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক সংখ্যা = ২৫ টি
 ১ মেলক ২০০ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক সংখ্যা = ৪৬ টি
 ১ মেলক ৫০০ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক সংখ্যা = ৯৫ টি
 ১ মেলক ১০০০ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক সংখ্যা = ১৬৮ টি
শবলজাড় সংখ্যা (Odd Number)
ক্রশমক সংখ্যা/ ধ্ারাবাশহক সংখ্যা (Consecutive Number/ Integer)
মমৌশ ক সংখ্যা (Prime Number)

5. 5
 স্বাভাশবক সংখ্যার মলধ্য ১ বযাশেে অন্য মকান্ সাধ্ারণ উৎপােক ন্া োকল োলেরলক সহলমৌশ ক সংখ্যা বল ।
 উোঃ ১৬ = (১), ২, ৪, ৮, ১৬
২৫ = (১), ৫, ২৫
৪৯ = (১), ৭, ৪৯
মন্াটঃ ১ বযাশেে অন্য মকান্ উৎপােক কমন্ মন্ই । ফল ১৬, ২৫, ৪৮ সহলমৌশ ক সংখ্যা ।
 গশণেঃ গশন্ে একটি শবেয় ।
 অংকঃ গশণলের মলধ্য ময সক শবেয় োলক োলক অংক বল ।
 ময সক সংখ্যার বগকমূ করল একটি পূণক সংখ্যা পাওয়া যায় োলের পূণক বগক সংখ্যা বল ।
উোঃ ৯, ২৫, ১২১, ৩৬ ইেযাশে ।
 ময সক সংখ্যার ঘন্মূ করল একটি পূণক সংখ্যা পাওয়া যায় োলের পূণক ঘন্ সংখ্যা বল ।
উোঃ ৮, ২৭, ১২৫ ইেযাশে ।
 একটি শন্শেক ষ্ট সংখ্যা, ময সক সংখ্যা দ্বারা শন্ঃলিলে শবভাজয হয় োলের প্রলেযকটিলক প্রেত্ত সংখ্যার একটি গুণন্ীয়ক
বল ।
উোঃ ৯৬ এর উৎপােক সংখ্যা = ১২ টি । যোঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৩২, ৪৬, ৯৬ ।
 ৭২ এর মমাট উৎপােক শন্ণকলয়র মকৌি –
৭২ = ৮ × ৯
= ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ২৩
× ৩২
৭২ এর মমাট উৎপােক সংখ্যা –
= (৩ + ১) × (২ + ১)
= ৪ × ৩
= ১২ টি
বযাখ্যাঃ প্রেলম ক্ষু দ্রেম মমৌশ ক সংখ্যার পাওয়ার আকালর প্রকাি করলে হলব । োরপর পাওয়ালরর সালে ১ মযাগ কলর
গুণ করল মমাট উৎপােক সংখ্যা পাওয়া যায় ।
 সংলক্ষলপ একটি সংখ্যার ন্ামোলক োর গুশণেক বল । মযমন্ঃ
৬ × ১ = ৬
৬ × ২ = ১২
৬ × ৩ = ১৮
৬ × ৪ = ২৪
৬ × ৫ = ৩০
এখ্ালন্, ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০ প্রলেযলকই ৬ এর একটি গুশণেক ।
সহলমৌশ ক সংখ্যা (Co-prime Number)
গশণে ও অংলকর মলধ্য পােককয
পূণক বগক সংখ্যা (Perfect square)
পূণক ঘন্ সংখ্যা (Perfect Cube)
গুণন্ীয়ক/ উৎপােক/ Factor
গুণীেক/ Multiple

6. 6
মন্াটঃ
১) মকান্ সংখ্যার গুণন্ীয়ক সমূহ শন্শেক ষ্ট এবং অপশরবেক ন্ীয় । শকন্তু গুশণেক সমূহ অশন্শেক ষ্ট এবং অসীম পযকন্ত শবস্তৃে ।
২) মকান্ সংখ্যার গুণন্ীয়ক সমূহ সাধ্ারণে ঐ সংখ্যার সমান্ বা োর ম াট হয় । শকন্তু গুশণেক সমূহ সাধ্ারণে ঐ
সংখ্যার সমান্ বা বড় হয় ।
 ভগ্াংলির রূপ ২ টি । যোঃ
1. সাধ্ারণ ভগ্াংি/ স্বাভাশবক ভগ্াংি (Simple fraction/ Common fraction):
উোঃ
𝟏
𝟐
,
𝟑
𝟒
,
𝟐
𝟓
ইেযাশে ।
2. েিশমক ভগ্াংি (Decimal fraction):
উোঃ (𝟏) 𝟎. 𝟓 (𝟐) 𝟎. 𝟕𝟓 (𝟑) 𝟎. 𝟒 ইেযাশে ।
 ভগ্াংি প্রধ্ান্ে ৩ প্রকার । যোঃ
1) প্রকৃ ে ভগ্াংি (Proper fraction): ময ভগ্াংলির ব ম াট ও হর বড় োলক প্রকৃ ে ভগ্াংি বল ।
উোঃ
𝟏
𝟐
,
𝟑
𝟒
,
𝟐
𝟓
,
𝟏𝟏
𝟏𝟐
,
𝟏𝟕
𝟏𝟗
ইেযাশে ।
2) অপ্রকৃ ে ভগ্াংি (In-proper fraction): ময ভগ্াংলির ব বড় ও হর ম াট োলক অপ্রকৃ ে ভগ্াংি বল ।
উোঃ
𝟐
𝟏
,
𝟒
𝟑
,
𝟓
𝟐
,
𝟏𝟐
𝟏𝟏
,
𝟏𝟗
𝟏𝟕
ইেযাশে ।
3) শমশ্র ভগ্াংি (Mixed fraction): ময ভগ্াংি একটি পূণক সংখ্যা ও একটি প্রকৃ ে ভগ্াংলির সমন্বলয় গঠিে
হয় োলক শমশ্র ভগ্াংি বল ।
উোঃ 𝟑
𝟏
𝟐
, 𝟐
𝟑
𝟒
, 𝟒
𝟐
𝟓
, 𝟕
𝟏𝟏
𝟏𝟐
, 𝟐
𝟏𝟕
𝟏𝟗
ইেযাশে
মন্াটঃ **Numerator অেক ব ।
**Denominator অেক হর ।
(১) শমশ্র ভগ্াংি সমূহ অপ্রকৃ ে ভগ্াংি মেলক সৃষ্ট ।
(২) শমশ্র ভগ্াংলির পূণক সংখ্যা এবং প্রকৃ ে ভগ্াংলির মলধ্য মযাগ সম্পকক শবেযমান্ ।
উোঃ 𝟑
𝟓
𝟕
= 𝟑 +
𝟓
𝟕
=
𝟐𝟏 + 𝟓
𝟕
=
𝟐𝟔
𝟕
(৩) 2.75 = 2 + .75
(৪) ৩ ঘণ্টা ৪৫ শমশন্ট = ৩ ঘণ্টা + ৪৫ শমশন্ট
(৫) ৫ শকশম ৪০০ শম ৩০০ মসশম = ৫ শকশম + শকশম ৪০০ শম + ৩০০ মসশম
Needed Formula:
a) A part of a whole =
𝐏𝐚𝐫𝐭
𝐖𝐡𝐨𝐥𝐞
b) Division of one number by another =
𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐞𝐧𝐝
𝐃𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫
c) A ratio of two quantities =
𝐐𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐭𝐲 𝐀
𝐐𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐭𝐲 𝐁
ভগ্াংি/ Fraction

7. 7
 একটি ভগ্াংলির হরলক ব এবং বলক হর শবলবচন্া করল ময ন্েু ন্ ভগ্ান্াংিটি পাওয়া যায় োলক প্রেত্ত ভগ্াংিটির
শবপরীে ভগ্াংি বল ।
উোঃ
a)
𝟒
𝟕
এর শবপরীে ভগ্াংি =
𝟕
𝟒
b) 𝟕 এর শবপরীে ভগ্াংি =
𝟏
𝟕
c) −𝟓 এর শবপরীে ভগ্াংি = −
𝟏
𝟓
 গসাগু শন্ণকলয়র পদ্ধশে ২টি । যোঃ
১) মমৌশ ক উৎপােলকর সাহালযয গসাগু শন্ণকয়
২) ভাগ প্রশক্রয়ার সাহালযয গসাগু শন্ণকয় বা ইউশিউশিউ পদ্ধশের সাহালযয শন্ণকয়
উোঃ What is the H.C.F of 6, 28, 36?
H.C.F = 2
Note:
i. ভাজলকর সবকলিে ময মালন্র জন্য ভাগলিে িূন্য ভাজলকর মসই মান্টিলকই গ.সা.গু বল ।
ii. একাশধ্ক সংখ্যার মলধ্য মকান্ সাধ্ারণ উৎপােক ন্া োকল োলের গ.সা.গু হলব ‘১’ ।
 সাগু শন্ণকলয়র পদ্ধশে ২টি । যোঃ
১) মমৌশ ক উৎপােলকর সাহালযয শন্ণকয়
২) সংশক্ষপ্ত পদ্ধশের সাহালযয শন্ণকয়
উোঃ What is the L.C.M of 6, 28, 36, 48?
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
= 24 × 32 × 7
= 16 × 9 × 7
= 144 × 7
= 1008
∴ L.C.M = 1008
শবপরীে ভগ্াংি/ Reciprocal
গ.সা.গু (গশরষ্ট সাধ্ারণ গুণন্ীয়ক)
H.C.F (Highest Common Factor)
এখ্াচন হাচত করচত হচব ।
.সা.গু ( শঘষ্ট সাধ্ারণ গুণীেক)
L.C.M (Least/ Lowest Common Multiple)

8. 8
 দুইটি ক্রশমক মমৌশ ক সংখ্যার অন্তঃফ দুই (২) হল োলেরলক একলত্র মমৌশ ক শদ্বলজাট সংখ্যা বল ।
উোঃ
১) ৩ মেলক ৫ ২) ৫ মেলক ৭ ৩) ১১ মেলক ১৩
মন্াটঃ ১ মেলক ১০০ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক শদ্বলজাট সংখ্যা ৮টি ।
যোঃ ১) ৩ মেলক ৫ ২) ৫ মেলক ৭ ৩) ১১ মেলক ১৩ ৪) ১৭ মেলক ১৯
৫) ২৯ মেলক ৩১ ৬) ৫৭ মেলক ৫৯ ৭) ৬৭ মেলক ৬৯ ৮) ৭১ মেলক ৭৯
 শেন্টি ক্রশমক মমৌশ ক সংখ্যার অন্তঃফ দুই (২) হল োলেরলক একলত্র মমৌশ ক শত্রলজাট সংখ্যা বল ।
উোঃ (৩, ৫, ৭)
মন্াটঃ ১ মেলক ১০০ এর মলধ্য মমাট মমৌশ ক শত্রলজাট সংখ্যা ১টি । যোঃ (৩, ৫, ৭)
 প্রশেটি অংলকর Tense analysis করলে হলব
 Age এর মক্ষলত্র অেীে মেলক বেক মান্ হলয় ভশবেযলে মযলে হল মযাগ করলে হলব
 Age এর মক্ষলত্র ভশবেযত মেলক বেক মান্ হলয় অেীলে আসলে হল শবলয়াগ করলে হলব
 দুটি সম্পকক মেয়া োকল একটি দ্বারা ধ্রলে হলব এবং অন্যটি দ্বারা সমীকরণ শন্ণকয় করলে হলব
 সমীকরণ শন্ণকলয়র মক্ষলত্র যার পূলবক গুণ অেবা ভাগ কোটি উলেখ্ োকলব োর সালে যোক্রলম গুণ অেবা ভাগ করলে হলব
 মকান্ অন্ুপাে মেলক প্রকৃ ে মান্ শন্ণকয় করলে হল অন্ুপালের প্রলেযকটি রাশির সালে একটি শন্শেক ষ্ট চ ক গুণ করলে হলব
 Age এর মক্ষলত্র অন্ুপালের পশরবেক ন্ হলে পালর । শকন্তু বযবধ্ান্ পশরবেক ন্ হলব ন্া ।
 Age এর অংলক সমসময় বেক মান্ ধ্রলে মচষ্টা করলে হলব
 মযটা ধ্রলে হলব মসটা বাম পালি োকলব
 𝐀𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞 =
𝐒𝐮𝐦 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐬
𝐍𝐨. 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐬
 𝐒𝐮𝐦 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐬 = 𝐀𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞 × 𝐍𝐨. 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐬
 𝐍𝐨. 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐬 =
𝐒𝐮𝐦
𝐀𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞
 একাশধ্ক সংখ্যার প্রলেযকটিলক মকান্ একটি শন্শেক ষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ করল োলের পূলবকর গড়লকও ঐ একই সংখ্যা দ্বারা
গুণ করল ন্েু ন্ গড় পাওয়া যালব ।
বযাখ্যাঃ 𝟓, 𝟕 =
𝟓+𝟕
𝟐
= 𝟔 (𝐀𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞)
𝟓 × 𝟏𝟎 = 𝟓𝟎
𝟕 × 𝟏𝟎 = 𝟕𝟎
𝟓𝟎+𝟕𝟎
𝟐
= 𝟔𝟎
∴ 𝟔 × 𝟏𝟎 = 𝟔𝟎
মমৌশ ক শদ্বলজাট সংখ্যা
মমৌশ ক শত্রলজাট সংখ্যা
Ages (বয়স)
Average (গড়)

9. 9
 অংিগুশ র মযাগফ মমাট মান্ অলপক্ষা বড় হল অংিগুশ র মযাগফ মেলক মমাট মান্ শবলয়াগ কলর শন্ণকয় সংখ্যা শন্ণকয়
করলে হলব ।
 অংিগুশ র মযাগফ মূ মান্ অলপক্ষা ম াট হল মূ মান্ মেলক অংিগুশ র মযাগফ শবলয়াগ কলর শন্ণকয় সংখ্যা শন্ণকয়
করলে হলব । উলেখ্য উভয় মক্ষলত্র অংিগুশ র মযাগফ একলত্র বসলব ।
 𝐈𝐧𝐜𝐫𝐞𝐚𝐬𝐞𝐝 𝐛𝐲 𝐓𝐤. 𝟏𝟎𝟎 অেক ন্েু ন্ কলর 𝟏𝟎𝟎 টাকা বৃশদ্ধ পাওয়া
 𝐈𝐧𝐜𝐫𝐞𝐚𝐬𝐞𝐝 𝐭𝐨 𝐓𝐤. 𝟏𝟎𝟎 অেক বৃশদ্ধ মপলয় বেক মান্ 𝟏𝟎𝟎 টাকা হওয়া
 𝐃𝐞𝐜𝐫𝐞𝐚𝐬𝐞𝐝 𝐛𝐲 𝐓𝐤. 𝟏𝟎𝟎 অেক ন্েু ন্ কলর 𝟏𝟎𝟎 টাকা হ্রাস পাওয়া
 𝐃𝐞𝐜𝐫𝐞𝐚𝐬𝐞𝐝 𝐭𝐨 𝐓𝐤. 𝟏𝟎𝟎 অেক হ্রাস মপলয় বেক মান্ 𝟏𝟎𝟎 টাকা হওয়া
 𝐀𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞 𝐨𝐟 𝐛𝐚𝐭𝐦𝐚𝐧 =
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐫𝐮𝐧 𝐬𝐜𝐨𝐫𝐞𝐝
𝐍𝐨 𝐨𝐟 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐢𝐧𝐧𝐢𝐧𝐠𝐬
 𝐀𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞 𝐨𝐟 𝐛𝐨𝐰𝐥𝐞𝐫 =
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐫𝐮𝐧 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧
𝐍𝐨 𝐨𝐟 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐰𝐢𝐜𝐤𝐞𝐭
অেকাৎ, একজন্ 𝐛𝐨𝐰𝐥𝐞𝐫 প্রশেটি wicket এর জন্য গলড় যে রান্ বযয় কলর োলক 𝐛𝐨𝐰𝐥𝐞𝐫 এর 𝐀𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞 বল ।
একজন্ শক্রলকটার এর মক্ষলত্র match সব সময় মবশি হলব বা match ও innings সমান্ হলব । অেবা, match
অলপক্ষা innings কম হলব ।
 আস বা Principle amount: ময পশরমাণ টাকালক ধ্ার মেওয়া বা মন্ওয়া হয়, োলক আস বল ।
 সুে বা Interest: আস এর অশেশরক্ত ময টাকা ঋণোোলক মেওয়া হয় োলক সুে বল ।
সুে বা Interest ২ প্রকার । যোঃ
১) সর সুে বা Simple Interest
২) চক্রবৃশদ্ধ সুে বা Compound Interest
 Principle Amount এবং Interest সব সময় এক োকল সুর সুে হয় ।
 মকান্ িলেক র উলেখ্ ন্া োকল োলক Simple Interest এর অংক শহলসলব শবলবচন্া করলে হলব ।
 Formula for Simple Interest:
1) 𝐈 =
𝐏𝐓𝐑
𝟏𝟎𝟎
2) 𝐅𝐕 = 𝐏 + 𝐈
= 𝐏 +
𝐏𝐓𝐑
𝟏𝟎𝟎
 Formula for Compound Interest:
1) 𝐅𝐕 = 𝐏(𝟏 +
𝐑
𝟏𝟎𝟎
) 𝐓
2) 𝐅𝐕 = 𝐏(𝟏 +
𝐑
𝟏𝟎𝟎 × 𝐦
) 𝐦𝐓
 Simple compounding এ M এর মান্ 1 হলব ।
Interest (সুে/ মুন্াফা)
Here,
P = Principle amount
I = Interest Amount
FV = Future value (সুে- আস )
T = Time (Year)
R = Rate of interest per year
M = Multiple of compounding per year

10. 10
Necessary formula:
1) Gain = S. P − C. P
2) Loss = C. P − S. P
3) Gain % =
Gain × 100
C.P
4) Loss % =
Loss × 100
C.P
5) S. P = (
100 + gain %
100
) × C. P
Or, S.P = (
100 − Loss %
100
) × C. P
6) C. P = (
100
100 + gain %
) × S. P
Or, C.P = (
100
100 − Loss %
) × S. P
7) If an article is sold at a gain of 20% then S.P = 120% of C.P
8) If an article is sold at a loss of 20% then S.P = 80% of C.P
9) Discount = Market price – Sales price
10) Sales price = Market price – Discount
11) Discount % =
Discount × 100
Market price
 Percentage মক fraction এ রূপান্তলরর মক্ষলত্র যার পূলবক Is োকলব োলক লব এবং যার পূলবক
of োকলব োলক হলর শ খ্লে হলব ।
 Percentage এ প্রকাি করলে হল 100 দ্বারা গুণ করলে হলব এবং Percentage মুক্ত করলে
হল 100 দ্বারা ভাগ করলে হলব ।
 মকান্ িহলরর বেক মান্ ম াক সংখ্যা/ মকান্ মমশিলন্র বেক মান্ োম P এবং বাশেকক প্রবৃশদ্ধ R%
হল –
 a) T ব র পলর ঐ িহলরর মমাট ম াকসংখ্যা হলব = 𝐏(𝟏 +
𝐑
𝟏𝟎𝟎
)
𝐓
 b) T ব র পূলবক ঐ িহলরর মমাট ম াকসংখ্যা শ ল া =
𝐏
(𝟏 +
𝐑
𝟏𝟎𝟎
)
𝐓
 মকান্ িহলরর বেক মান্ ম াক সংখ্যা/ মকান্ মমশিলন্র বেক মান্ োম P এবং বাশেকক হ্রাস R% হল –
a) T ব র পলর ঐ িহলরর মমাট ম াকসংখ্যা হলব = 𝐏(𝟏 −
𝐑
𝟏𝟎𝟎
)
𝐓
b) T ব র পূলবক ঐ িহলরর মমাট ম াকসংখ্যা শ ল া =
𝐏
(𝟏 −
𝐑
𝟏𝟎𝟎
)
𝐓
Profit & Loss ( াভ ও ক্ষশে)
Here,
𝐒. 𝐏 = 𝐒𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐩𝐫𝐢𝐜𝐞
𝐂. 𝐏 = 𝐂𝐨𝐬𝐭 𝐩𝐫𝐢𝐜𝐞
Percentage (িেকরা)

11. 11
 a) চাল র োম X% বৃশদ্ধ মপল বযবহার িেকরা কে কমাল খ্রলচর মকান্ পশরবেক ন্ হলব ন্া?
b) a এর মবেন্ b এর মবেন্ অলপক্ষা X% মবশি হল , b এর মবেন্ a এর মবেন্ অলপক্ষা
িেকরা কে কম হলব?
c) একটি দ্রলবযর োম X% বৃশদ্ধ মপল পূলবকর অবস্থায় আন্লে হল োম িেকরা কেটা কমালে
হলব?
শন্লণকয় সুত্রঃ
𝟏𝟎𝟎 × 𝐱
𝟏𝟎𝟎 + 𝐱
 a) চাল র োম X% হ্রাস মপল বযবহার িেকরা কে বাড়াল খ্রলচর মকান্ পশরবেক ন্ হলব ন্া?
b) a এর মবেন্ b এর মবেন্ অলপক্ষা X% কম হল , b এর মবেন্ a এর মবেন্ অলপক্ষা
িেকরা কে মবশি হলব?
c) একটি দ্রলবযর োম X% হ্রাস মপল পূলবকর অবস্থায় আন্লে হল োম িেকরা কেটা বাড়ালে
হলব?
শন্লণকয় সুত্রঃ
𝟏𝟎𝟎 × 𝐱
𝟏𝟎𝟎 − 𝐱
 Change Percentage বা পশরবেক লন্র িেকরা হলব
= 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
Note:
i. মকান্ মান্ বৃশদ্ধ মপল োলক মসই সুলত্র মযাগ আকালর এবং হ্রাস মপল োলক মসই সুলত্র শবলয়াগ আকালর
শ খ্লে হলব ।
ii. চূ ড়ান্ত মান্ ধ্ন্াত্মক হল বৃশদ্ধ বা াভ এবং ঋণাত্মক হল হ্রাস বা ক্ষশে শবলবচন্া করলে হলব ।
উোঃ
i. একটি আয়েলক্ষলত্রর বেঘকয 20% বৃশদ্ধ এবং প্রস্থ 10% হ্রাস মপল উহার মক্ষত্রফল র িেকরা কে পশরবেক ন্
হলব?
Change Percentage = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎 + (−𝟏𝟎) +
𝟐𝟎 × (−𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎 − 𝟏𝟎 +
−𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎 − 𝟏𝟐
= 𝟖 %
মক্ষত্রফ 𝟖 % বৃশদ্ধ পালব
Area increased by 𝟖 %
Here,
A = First value
B = Second value

12. 12
ii. একটি আয়েলক্ষলত্রর বেঘকয 20% এবং প্রস্থ 10% হ্রাস মপল উহার মক্ষত্রফল র িেকরা কে পশরবেক ন্ হলব?
𝐂𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞 = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= (−𝟐𝟎) + (−𝟏𝟎) +
(−𝟐𝟎) × (−𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝟎
= −𝟑𝟎 +
𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= −𝟑𝟎 + 𝟐
= −𝟐𝟖 %
মক্ষত্রফ 𝟐𝟖 % হ্রাস পালব
Area decreased by 𝟐𝟖 %
iii. একটি বগকলক্ষলত্রর প্রশে বাহুর বেঘকয 20% হ্রাস মপল উহার মক্ষত্রফল র িেকরা কে পশরবেক ন্ হলব?
𝐂𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞 = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= (−𝟐𝟎) + (−𝟐𝟎) +
(−𝟐𝟎) × (−𝟐𝟎)
𝟏𝟎𝟎
= −𝟒𝟎 +
𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= −𝟒𝟎 + 𝟒
= −𝟑𝟔 %
মক্ষত্রফ 𝟑𝟔 % হ্রাস পালব
Area decreased by 𝟑𝟔 %
iv. একটি বৃলত্তর বযাসাধ্ক 50% বৃশদ্ধ মপল উহার মক্ষত্রফল র িেকরা কে পশরবেক ন্ হলব?
𝐂𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞 = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= 𝟓𝟎 + 𝟓𝟎 +
𝟓𝟎 × 𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟎𝟎 +
𝟐𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟐𝟓 %
মক্ষত্রফ 𝟏𝟐𝟓 % বৃশদ্ধ পালব
Area increased by 𝟏𝟐𝟓 %
v. একটি বৃলত্তর বযাস 100% বৃশদ্ধ মপল উহার মক্ষত্রফল র িেকরা কে পশরবেক ন্ হলব?
𝐂𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞 = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 +
𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎𝟎 +
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟑𝟎𝟎 %
মক্ষত্রফ 𝟑𝟎𝟎 % বৃশদ্ধ পালব
Area increased by 𝟑𝟎𝟎 %
vi. Toyota গাশড়র োম 40% বৃশদ্ধ মপলয়ল এবং একই সালে উহার শবশক্র 20% হ্রাস মপলয়ল । মমালটর উপর
বযবসায়ীর শক প্রভাব মপলয়ল ?
𝐂𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞 = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= 𝟒𝟎 + (−𝟐𝟎) +
𝟒𝟎 × (−𝟐𝟎)
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎 +
−𝟖𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎 − 𝟖 = 𝟏𝟐 %
গাশড়র োম 𝟏𝟐 % বৃশদ্ধ পালব
Car price increased by 𝟏𝟐 %

13. 13
vii. Grameenphone এর মিয়ালরর োম গেকা 25% বৃশদ্ধ মপলয়শ ল া শকন্তু আজ 25% হ্রাস মপলয়ল ।
মমালটর উপর বেক মালন্ মিয়ালরর োলম শক প্রভাব পলড়ল ?
𝐂𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞 = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟓 + (−𝟐𝟓) +
𝟐𝟓 × (−𝟐𝟓)
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟓 − 𝟐𝟓 −
𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
= −𝟔. 𝟐𝟓 %
মিয়ালরর োম 𝟔. 𝟐𝟓 % হ্রাস পালব
Share price decreased by 𝟔. 𝟐𝟓 %
Note: একই Percentage বৃশদ্ধ বা হ্রাস যাই মহাক ন্া মকন্ সবসময় Loss হলব ।
viii. 20% ও 10% এর দুটি পরপর াড় বা ধ্ারাবাশহক াড় কে Percentage এর একটি একক ালড়র সমান্?
𝐂𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞 = 𝐀 + 𝐁 +
𝐀 × 𝐁
𝟏𝟎𝟎
= (−𝟐𝟎) + (−𝟏𝟎) +
(−𝟐𝟎) × (−𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝟎
= −𝟑𝟎 +
𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= −𝟐𝟖 %
Single discount 𝟐𝟖%
 পযকায়ক্রশমক াড় বা ধ্ারাবাশহক াড় বা Successive discount এর মক্ষলত্র প্রেম ালড়র পর মু য
মযখ্ালন্ শস্থর হলব পরবেী াড় োর উপর প্রলযাজয হলব ।
উোঃ 20%, 10% এবং 5% এর শেন্টি পরপর াড় কে percentage এর একটি একক াড়?
Let, the market price of the article = Tk. 100
Price after first discount = 𝟖𝟎% 𝒐𝒇 𝟏𝟎𝟎
=
𝟖𝟎
𝟏𝟎𝟎
× 𝟏𝟎
= 𝟖𝟎
Price after second discount = 𝟗𝟎% 𝒐𝒇 𝟏𝟎𝟎
=
𝟗𝟎
𝟏𝟎𝟎
× 𝟏𝟎
= 𝟕𝟐
Price after third discount = 𝟗𝟓% 𝒐𝒇 𝟏𝟎𝟎
=
𝟗𝟓
𝟏𝟎𝟎
× 𝟏𝟎
= 𝟔𝟖. 𝟒
Single discount = 100 – 68.4 = 31.6
Single discount percentage = 31.6 %

14. 14
একই জােীয় একাশধ্ক রাশির মলধ্য েু ন্ালক অন্ুপাে বল ।
ময অন্ুপালে মকব মাত্র দুটি রাশি শবেযমান্ োলক োলক সর অন্ুপাে বল ।
উোঃ (১) ৩:৫ (২) ৯:৪ (৩) ১১:১৭
1) অন্ুপাে একটি ভগ্াংি ।
2) অন্ুপালের অংলক মকান্ একক োলক ন্া ।
3) একটি সর অন্ুপালের প্রেম রাশিলক পূবক রাশি বা Anticident এবং ২য় রাশিলক উত্তর রাশি বা
consequent বল ।
4) একটি অন্ুপালের প্রলেযক রাশিলক একই জােীয় সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করল োর মালন্র মকান্ পশরবেক ন্
হয় ন্া ।
5) অন্ুপালের অংলক চূ ড়ান্ত উত্তর শ খ্ার পূলবক অন্ুপালের প্রশেটি সলবকাচ্চ শঘস্ট আকালর প্রকাি করলে হলব ।
একাশধ্ক সর অন্ুপালের পূবক রাশিগুল ার গুণফ লক পূবক রাশি এবং উত্তর রাশিগুল ার গুণফ লক উত্তর রাশি শবলবচন্া
করল ময সর অন্ুপােটি পাওয়া যায় োলক প্রেত্ত অন্ুপােগুল ার শমশ্র অন্ুপাে বল ।
উোঃ ১) 3:5, 6:7, 5:6, 4:9
অন্ুপােগুল ার শমশ্র অন্ুপাে হলব –
(3×6×5×4) : (5×7×6×9)
= 360 : 1890
= 12 : 63 [30 দ্বারা ভাগ কলর]
= 4 : 21 [3 দ্বারা ভাগ কলর]
দুইটি অন্ুপাে A:B এবং B:C আকালর হল োলেরলক একলত্র A:B:C আকালর প্রকাি করা যায় । এলক ধ্ারাবাশহক
অন্ুপাে বল ।
উোঃ A:B = 4 : (5)
B:C = (7) : 9 হল এলের ধ্ারাবাশহক অন্ুপাে মবর কলরা । অেবা A:B:C শন্ণকয় কর ।
= (4×7) : (5×7) = (7×5) : (9×5)
= 28 : 35 = 35 : 45
∴ A:B:C = 28:35:45
Ratio & Proportion (অন্ুপাে ও সমান্ুপাে)
Ratio (অন্ুপাে)
Single Ratio (সর অন্ুপাে)
অন্ুপালের ববশিষ্ঠ্য
শমশ্র অন্ুপাে বা Mixed Ratio
ধ্ারাবাশহক অন্ুপাে বা Successive Ratio

15. 15
Necessary Formula:
 মকান্ একজলন্র অংি =
োর অন্ুপাে
মমাট অন্ুপাে
× মমাট মান্
উোঃ 100 টাকা A ও B এর মলধ্য ২:৩ অন্ুপালে বন্টন্ করল মক কে টাকা পালব?
𝐀 =
𝟐
𝟓
× 𝟏𝟎𝟎 𝐁 =
𝟑
𝟓
× 𝟏𝟎𝟎
= 40 টাকা = 60 টাকা
এখ্ালন্ মমাট অন্ুপাে = (2+3) = 5
 মমাট মান্ =
মমাট অন্ুপাে
যার অংি মেওয়া োকলব োর অন্ুপাে
× োর অংি
উোঃ
মমাট টাকা =
𝟓
𝟐
× 𝟒𝟎 = 100 টাকা
 একাশধ্ক সংখ্যার মযাগফ োলের অন্ুপালের রাশিগুশ র মযাগফ দ্বারা অবিযই শন্ঃলিলে শবভাজয
হলব
উোঃ ১৫, ২৫ এর মযাগফ ৪০
অন্ুপাে = ১৫:২৫ = ৩:৫
মযাগফ = ৩ + ৫ = ৮
৪০
৫
= ৮
A, B, C এবং D রাশি চারটি একটি সমান্ুপাে গঠন্ করল
A:B = C:D বা ,
𝐀
𝐁
=
𝐂
𝐃
হলব
A, B, C রাশি শেন্টি একটি সমান্ুপাে গঠন্ করল
A:B = B:C বা ,
𝐀
𝐁
=
𝐁
𝐂
বা , 𝐁 𝟐
= 𝐀𝐂 হলব
Note:
1) সমান্ুপালের প্রশেটি রাশিলক সমান্ুপাশে বা proportional বল ।
2) সমান্ুপালের প্রেম এবং ৪েক রাশিলক প্রান্তীয় রাশি বা extreme এবং ২য় ও ৩য় রাশিলক মধ্য রাশি বা mean
বল ।
ক্রশমক সমান্ুপালের ২য় রাশিলক ১ম এবং ৩য় রাশির মধ্য সমান্ুপাশে বল ।
উোঃ A : (B) : C
উোঃ ০১: What is the 4th proportional of 6, 18, 24?
A:B = C:D বা ,
𝐀
𝐁
=
𝐂
𝐃
বা ,
𝟔
𝟏𝟖
=
𝟐𝟒
𝐃
বা , 𝟔𝐃 = 𝟏𝟖 × 𝟐𝟒
Proportion (সমান্ুপাে)
Continued Proportion (ক্রশমক সমান্ুপাে)
উপলরর উোহরলন্র সালে সম্পশকক ে ।

16. 16
উোঃ ০২: What is the 3rd proportional of 6, 18?
A:B = B:C বা ,
𝐀
𝐁
=
𝐁
𝐂
বা ,
𝟔
𝟏𝟖
=
𝟏𝟖
𝐂
বা , 𝟔𝐂 = 𝟏𝟖 × 𝟏𝟖 বা , 𝐂 = 𝟓𝟒
উোঃ ০৩ : What is the Mean proportional of 4 & 16?
A:B = B:C বা ,
𝐀
𝐁
=
𝐁
𝐂
বা ,
𝟒
𝐁
=
𝐁
𝟏𝟔
বা , 𝐁 𝟐
= 𝟒 × 𝟏𝟔
বা , 𝐁 𝟐
= 𝟔𝟒
বা , 𝐁 𝟐
= 𝟖 𝟐
বা , 𝐁 = 𝟖
 ময মকান্ শমশ্রলণর অংলক প্রেলম প্রশেটি উপাোলন্র শন্জস্ব পশরমাণ শন্ণকয় করলে হলব ।
1) শবশন্লয়াগকারীগণ সমান্ সমলয়র জন্য মূ ধ্ন্ শবশন্লয়াগ করল াভ বা ক্ষশে বন্টন্ হলব োলের শবশন্লয়াগকৃ ে মূ ধ্ন্
অন্ুপালে ।
2) শবশন্লয়াগকারীগণ শবশভন্ন সমলয়র জন্য মূ ধ্ন্ শবশন্লয়াগ করল াভ বা ক্ষশে বন্টন্ হলব োলের শবশন্লয়াগকৃ ে েু য
মূ ধ্ন্ অন্ুপালে ।
3) েু য মূ ধ্ন্ বা Equivalent Capital = মূ ধ্ন্ × শবশন্লয়ালগর সময়
4) েু য মূ ধ্ন্ শন্ণকলয়র মক্ষলত্র মমাট সময়লক ক্ষু দ্রেম সময় একলক প্রকাি করলে হলব
 Working Partner অেক সশক্রয় অংিীোর
 Sleeping Partner অেক শন্শিয় অংিীোর
N.B: Ratio & Proportion chapter করার পলর partnership chapter করলে হলব । কারণ
formula সম্পকক যুক্ত ।
Necessary Formula:
1. 𝐱 𝐤𝐦𝐡−𝟏
= (𝐱 ×
𝟓
𝟏𝟖
) 𝐦/𝐬
2. 𝐱 𝐦𝐬−𝟏
= (𝐱 ×
𝟏𝟖
𝟓
) 𝐤𝐦𝐡−𝟏
3. Distance = Speed × Time
4. Time =
𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐒𝐩𝐞𝐞𝐝
5. Speed =
𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐓𝐢𝐦𝐞
6. (a) Average Speed =
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐓𝐢𝐦𝐞
(b) Average Speed =
𝟐𝐱𝐲
𝐱 + 𝐲
[এখ্ালন্ x ও y যোক্রলম যাওয়া ও আসার মবগ ।]
Partnership (অংিীোর)
Boats & Streams (মন্ৌকা ও মরাে)

17. 17
মন্াটঃ অশেক্রান্ত দূরত্ব অপশরবশেক ে োকল এবং দুইটি মবগ স্পষ্ট উলেখ্ োকল গড় মবগ শন্ণকলয় ২য় সূত্রটি বযবহৃে হলব।
7. (a) Downstream অেক মরালের অন্ুকূল / মরালের শেলক ।
(b) Upstream অেক মরালের প্রশেকূল / মরালের শবপরীে শেলক ।
8. মরালের অন্ুকূল মন্ৌকার মবগ = শস্থর পাশন্লে মন্ৌকার মবগ + মরালের মবগ
Downstream speed = Boat + Stream
9. মরালের প্রশেকূল মন্ৌকার মবগ = শস্থর পাশন্লে মন্ৌকার মবগ − মরালের মবগ
Upstream speed = Boat − Stream
10. শস্থর পাশন্লে মন্ৌকার মবগ =
𝟏
𝟐
(মরালের অন্ুকূল মন্ৌকার মবগ + মরালের প্রশেকূল মন্ৌকার মবগ )
Boat =
𝟏
𝟐
(𝐃𝐨𝐰𝐧𝐬𝐭𝐫𝐞𝐚𝐦 𝐬𝐩𝐞𝐞𝐝 + 𝐔𝐩𝐬𝐭𝐫𝐞𝐚𝐦 𝐬𝐩𝐞𝐞𝐝)
11. মরালের মবগ =
𝟏
𝟐
(মরালের অন্ুকূল মন্ৌকার মবগ − মরালের প্রশেকূল মন্ৌকার মবগ )
মরালের মবগ =
𝟏
𝟐
(𝐃𝐨𝐰𝐧𝐬𝐭𝐫𝐞𝐚𝐦 𝐬𝐩𝐞𝐞𝐝 − 𝐔𝐩𝐬𝐭𝐫𝐞𝐚𝐦 𝐬𝐩𝐞𝐞𝐝)
12. Boats & Streams এর অংলক একটি শন্শেক ষ্ট দূরত্ব অশেক্রম কলর পুন্রায় পূলবকর অবস্থালন্ শফলর আসল একটি দূরত্ব
মরালের অন্ুকূল এবং অন্যটি মরালের প্রশেকূল অশেক্রম কলরল বল শবলবচন্া করলে হলব ।
13. একটি মন্ৌকার মবগ 𝟓𝟎 𝐤𝐦𝐡−𝟏
অেকাৎ মন্ৌকাটি একটি শন্শেক ষ্ট শেলক প্রশে ঘণ্টায় ৫০ শকশম দূরত্ব অশেক্রম কলরল ।
14. মকালন্া িলেক র উলেখ্ ন্া োকল মবলগর মান্ অবিযই 𝐤𝐦𝐡−𝟏
এ শন্ণকয় করলে হলব ।
15. With the stream/ Along the stream অেক মরালের অন্ুকূল মন্ৌকার মবগ ।
16. Against the stream অেক মরালের প্রশেকূল মন্ৌকার মবগ ।
17. With a stream অেক শুধ্ু মরালের মবগ ।
18. মবগ শন্ণকলয়র মকৌি ঃ
Distance Time Speed
Kilometer Hour 𝐤𝐦𝐡−𝟏
Meter Second 𝐦𝐬−𝟏

18. 18
** এখ্ালন্, Boats & Streams এর প্রেম ৭টি সূত্র Time & Distance Chapter এর জন্যও প্রলযাজয । এগুল া শন্লে মেওয়া
হল া:
Necessary Formula:
1. 𝐱 𝐤𝐦𝐡−𝟏
= (𝐱 ×
𝟓
𝟏𝟖
) 𝐦/𝐬
2. 𝐱 𝐦𝐬−𝟏
= (𝐱 ×
𝟏𝟖
𝟓
) 𝐤𝐦𝐡−𝟏
3. Distance = Speed × Time
4. Time =
𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐒𝐩𝐞𝐞𝐝
5. Speed =
𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐓𝐢𝐦𝐞
6. (a) Average Speed =
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐓𝐢𝐦𝐞
(b) Average Speed =
𝟐𝐱𝐲
𝐱 + 𝐲
[এখ্ালন্ x ও y যোক্রলম যাওয়া ও আসার মবগ ।]
মন্াটঃ অশেক্রান্ত দূরত্ব অপশরবশেক ে োকল এবং দুইটি মবগ স্পষ্ট উলেখ্ োকল গড় মবগ শন্ণকলয় ২য় সূত্রটি বযবহৃে হলব ।
7. Catch Up With (শপ ন্ মেলক সামলন্র গশেিী মকান্ বযশক্ত বা বস্তুলক ধ্রা)
𝐓 =
𝐒 × 𝐓𝐃
𝐅 − 𝐒
Here,
T = Required time (শন্ণকয় সময়)
F = Faster speed
S = Slower speed
TD = Time Difference (hour)
 (i) সমান্ুপাশেক সম্পলকক র সূত্রঃ
A : B = A : B হলব
(ii) বযস্তান্ুপাশেক সম্পলকক র সূত্রঃ
A : B = B : A হলব
N.B: (i) আলগ প্রলে মেখ্লে হলব এটি সমান্ুপাশেক ন্া শক বযস্তান্ুপাশেক
(ii) অন্ুপাে কখ্ন্ও শভন্ন দুটি শজশন্লস হয় ন্া । অেকাৎ একই জােীয় শজশন্লস হয় ।
Time & Distance (সময় ও দূরত্ব)

19. 19
** এখ্ালন্, Boats & Streams এর প্রেম ৭টি সূত্র মেলন্র Chapter এর জন্যও প্রলযাজয । এগুল া শন্লে মেওয়া হল া:
Necessary Formula:
1. 𝐱 𝐤𝐦𝐡−𝟏
= (𝐱 ×
𝟓
𝟏𝟖
) 𝐦/𝐬
2. 𝐱 𝐦𝐬−𝟏
= (𝐱 ×
𝟏𝟖
𝟓
) 𝐤𝐦𝐡−𝟏
3. Distance = Speed × Time
4. Time =
𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐒𝐩𝐞𝐞𝐝
5. Speed =
𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐓𝐢𝐦𝐞
6. (a) Average Speed =
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐞
𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐓𝐢𝐦𝐞
(b) Average Speed =
𝟐𝐱𝐲
𝐱 + 𝐲
[এখ্ালন্ x ও y যোক্রলম যাওয়া ও আসার মবগ ।]
মন্াটঃ অশেক্রান্ত দূরত্ব অপশরবশেক ে োকল এবং দুইটি মবগ স্পষ্ট উলেখ্ োকল গড় মবগ শন্ণকলয় ২য় সূত্রটি বযবহৃে হলব ।
মেলন্র অংলক অন্যান্য গুরুত্বপূণক েেযাবশ ঃ
1) একটি মেন্ মকান্ একক বযশক্ত, বস্তু, শবন্দু, গা , খ্ুটি, েন্ড, শকল াশমটার মপাস্ট, মাই মপাস্ট ইেযাশে অশেক্রম করল শুধ্ুমাত্র
অশেক্রমকারী মেন্টির বেঘকযই হলব মমাট অশেক্রান্ত দূরত্ব বা Distance ।
2) একটি মেন্ মকান্ মসেু , সুড়ঙ্গ, প্লাটফমক অেবা অন্য আর একটি মেন্লক অশেক্রম করল এলের বেলঘকযর সালে অশেক্রমকারী
মেন্টির বেঘকয মযাগ কলর মমাট অশেক্রান্ত দূরত্ব বা Distance শন্ণকয় করলে হলব ।
3) দুটি গশেিী বযশক্ত বা বস্তু একই শেলক চ লে োকল েু য মবগ বা Relative Speed হলব োলের মবগদ্বলয়র
শবলয়াগফল র সমান্ ।
4) দুটি গশেিী বযশক্ত বা বস্তু শভন্ন শেলক/ শবপরীে শেলক/ পরস্পলরর শেলক/ মুলখ্ামুশখ্ চ লে োকল েু য মবগ বা
Relative Speed হলব োলের মবগদ্বলয়র মযাগফল র সমান্ ।
5) মেলন্র অংলক ময মকালন্া দূরত্বলক শমটালর, সময়লক মসলকলন্ড এবং মবগলক শমটার পার মসলকন্ড (m/s) একলক রূপান্তর কলর
শন্ল সুশবধ্া হলব ।
6) মকান্ িলেক র উলেখ্ ন্া োকল চূ ড়ান্তভালব মবলগর মান্ অবিযই শকল াশমটার পার আওয়ার ( 𝐤𝐦𝐡−𝟏) একলক শন্ণকয় করলে
হলব ।
7) একটি শন্শেক ষ্ট দূরত্ব অশেক্রম করলে দুটি গশেিী বযশক্ত বা বস্তু যোক্রলম A এবং B ঘণ্টা সময় াগল োলের মবলগর
অন্ুপাে হলব B : A
1. ** মবলগর শবপরীে মান্ সময় ।
2. ** সমলয়র শবপরীে মান্ মবগ ।
8) একই স্থান্ মেলক একই সমলয় এবং একই শেলক দুটি মেন্ যাত্রা শুরু করল শুধ্ুমাত্র ধ্ীর গশের মেন্টির বেঘকযই হলব
মমাট অশেক্রান্ত দূরত্ব বা Distance
9) When, What time দ্বারা প্রে করল ঘশড়র কাাঁ টায় উত্তর শন্ণকয় করলে হলব ।
Train (মেন্)

20. 20
10) ময মকান্ সাক্ষালের অংলক দুটি গশেিী বযশক্ত বা বস্তুর সম্পূণক দূরত্ব অশেক্রম করলে হলব ।
11) সাক্ষাে এর অংলক শুরু মযখ্ালন্ই মহাক ন্া মকন্ মিে হলব একই সালে ।
 Distance ম খ্ার সময় মেন্টি কালক অশেক্রম করল ো মখ্য়া করলে হলব ।
 Relative speed ম খ্ার সময় মেন্টি কীভালব অশেক্রম করলব োর প্রশে মখ্য়া করলে হলব ।
 দুইটা speed এর কো উলেখ্ োকল Relative speed এর সূত্র প্রলয়াগ করলে হলব ।
 মকান্ অংলক যশে দুটি শজশন্স অজান্া োলক োহল দুইটা Step এ করলে হলব ।
Time & Work এর অংলক অন্যান্য গুরুত্বপূণক েেযাবশ ঃ
I. সময় ও কালজর প্রেগুল া সমাধ্ান্ করার সময় সবকপ্রেম ১ শেলন্র কালজর পশরমাণ মবর করার পর শহলসব করলে হলব ।
উোঃ 𝐈𝐟 𝐀 𝐜𝐚𝐧 𝐝𝐨 𝐚 𝐩𝐢𝐞𝐜𝐞 𝐨𝐟 𝐰𝐨𝐫𝐤 𝐢𝐧 𝐧 𝐝𝐚𝐲𝐬, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐰𝐨𝐫𝐤 𝐝𝐨𝐧𝐞 𝐛𝐲 𝐀 𝐢𝐧 𝐝𝐚𝐲 =
𝟏
𝐧
II. ১ শেলন্ 𝐀 মকালন্া কালজর
𝟏
𝐧
অংি কলর, েলব কাজটা মিে করলে 𝐀 −এর াগলব 𝐧 শেন্ । অেকাৎ ১ শেলন্ যেটু কু
কাজ কলর োলক উশিলয় শেল ই কে শেলন্ সম্পূণক কাজ কলর মসটা মবশরলয় আসলব ।
উোঃ 𝐈𝐟 𝐀′
𝐬 𝟏 𝐝𝐚𝐲′
𝐬 𝐰𝐨𝐫𝐤 =
𝟏
𝐧
, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐀 𝐜𝐚𝐧 𝐟𝐢𝐧𝐢𝐬𝐡 𝐭𝐡𝐞 𝐰𝐡𝐨𝐥𝐞 𝐰𝐨𝐫𝐤 𝐢𝐧 "n" 𝐝𝐚𝐲𝐬.
III. যশে 𝐀 অন্য একজন্ ম াক 𝐁 এর মচলয় শদ্বগুণ কাজ করলে পালর, েলব A এবং B এর দ্বারা করা কালজর অন্ুপাে = ২ : ১
এবং A ও B এর দ্বারা সমপশরমান্ কাজ করলে সমলয়র অন্ুপাে = ১ : ২
***Time & Work এর সূত্রাব ী সমূহও এই Chapter এ প্রলযাজয ।
Pipes & Cisterns এর অংলক অন্যান্য গুরুত্বপূণক েেযাবশ ঃ
1. Inlet: ময সক ন্ দ্বারা মকান্ জ াধ্ালর পাশন্ প্রলবি কলর োলক Inlet বল ।
2. Outlet: ময সক ন্ দ্বারা মকান্ জ াধ্ার মেলক পাশন্ বাশহলর মবর হয় োলের Outlet বল ।
3. Pipes & Cisterns এর অংলক প্রশেটি ন্ল র একক সমলয় সম্পাশেে কালজর পশরমাণ শন্ণকয় করলে হলব ।
4. মকান্ ন্ল র একক সমলয়র সম্পাশেে কালজর শবপরীে মান্ শন্ল োর সম্পূণক সময় পাওয়া যালব ।
5. ময সক ন্ দ্বারা একই জােীয় কাজ সম্পাশেে হলব োলের প্রলেযলকর একক সমলয়র সম্পাশেে কালজর পশরমাণলক একলত্র
মযাগ করলে হলব ।
6. মকান্ জ াধ্ার পূরণ হল Inlet > Outlet হলব ।
7. মকান্ জ াধ্ার খ্াশ হল Outlet > Inlet হলব ।
Time & Work (সময় ও কাজ)
Pipes & Cisterns (ন্ ও মচৌবাচ্চা)

21. 21
Necessary Formula:
1) 𝐏𝐫𝐨𝐛𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭𝐲 =
𝐍𝐨.𝐨𝐟 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐮𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐞𝐯𝐞𝐧𝐭𝐬
𝐍𝐨 𝐨𝐟 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐞𝐯𝐞𝐧𝐭𝐬
2) ন্মুন্া মক্ষত্রঃ একটি ঘটন্া মমাট যে রকমভালব ঘটলে পালর োর সংখ্যালক ন্মুন্া মক্ষত্র বল ।
উোঃ (i) একটি মুদ্রা দুই বার শন্লক্ষপ করা হল সৃষ্ট ন্মুন্া মক্ষত্র সমূহ শক হলব?
উত্তরঃ চার ভালব । যোঃ (i) HH (ii) TT (iii) HT
(iv) TH
উোঃ (ii) একটি মুদ্রা শেন্ বার শন্লক্ষপ করা হল সৃষ্ট ন্মুন্া মক্ষত্র সমূহ শক শক হলব এবং কয়টি হলব?
উত্তরঃ আটটি । যোঃ (i) HHH (ii) TTT (iii) HTT (iv) HHT
(v) TTH (vi) THH (vii) HTH (viii) THT
3) মমাট ন্মুন্া শবন্দু 𝟐 𝒏
মক সমেকন্ কলর ।
4) শন্শিে সম্ভবন্ার মান্ হলব 1
5) ময ঘটন্া আলেৌ ঘটলব ন্া োর মান্ হলব 0
6) অন্য সব ঘটন্ার মান্ হলব 1 ও 0 এর মলধ্য
Necessary Formula:
1. 𝐧 𝐩 𝐫
=
𝐧!
(𝐧−𝐫)!
2. 𝐧 𝐩 𝟐
= 𝐧(𝐧 − 𝟏)
3. 𝐧 𝐩 𝟑
= 𝐧(𝐧 − 𝟏)(𝐧 − 𝟐)
4. 𝐧 𝐂 𝐫
=
𝐧!
𝐫! (𝐧−𝐫)!
[n সংখ্যক শজশন্স মেলক r সংখ্যক শজশন্স বা াই করা হল োলক 𝐧 𝐂 𝐫
দ্বারা প্রকাি করা হয়]
5. 𝐧 𝐂 𝒏
= 𝟏, 𝐧 𝐂 𝟏
= 𝐧, 0! = 1, 𝟏! = 𝟏, 𝟐! = 𝟐
6. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 [𝟏 মেলক 𝟓 পযকন্ত সংখ্যাগুশ র গুণফ ]
Example: If there are 20 boys, how many different basketball teams
could be formed?
There are five boys needed in each team.
nCr
=
n!
r! (n−r)!
Here, n = 20, r = 5
20C3
=
20!
5! (20−5)!
=
20×19×18×17×16×15!
5! 15!
= 15,504
Probability (সম্ভাবযো)
Permutation & Combination (শবন্যাস ও সমালবি)

22. 22
Example:
(1) 10P3
=
10!
(10−3)!
=
10!
7!
=
10×9×8×7!
7!
= 720
(2) 10C3
=
10!
3! (10−3)!
=
10!
3! × 7!
=
10×9×8×7!
3×2×1× 7!
= 120
Note:
(1) একটি সম্পূণক ঘটন্া একাশধ্ক ক্ষু দ্র ঘটন্ার সমন্বলয় গঠিে হল োলের মালে গুণ শচহ্ন শেলে হয় ।
(2) মমাট ঘটন্া সংখ্যা শন্ণকলয়র মক্ষলত্র পৃেক ঘটন্াগুশ লক মযাগ করলে হলব ।
N.B: সাধ্ারণে n সংখ্যক শজশন্স মেলক প্রশেবার r সংখ্যক শন্লয় গঠিে শবন্যাসলক 𝐧 𝐩 𝐫
দ্বারা এবং সমালবি
সংখ্যালক 𝐧 𝐂 𝐫
দ্বারা সূশচে করা হয় । r এর মান্ n অলপক্ষা বৃহত্তর হলে পালর ন্া । োই n এবং r উভলয়ই
ধ্ন্াত্মক পূণক সংখ্যা এবং 𝐧 ≥ 𝐫 ।
ক্ষয করুন্, 𝐧 𝐩 𝟏
= 𝐧, 𝐧 𝐩 𝐧
= 𝐧!
উোঃ ১ মান্ মবর কলরা ,
𝟓!
𝟑!
𝟓!
𝟑!
=
𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏
𝟑×𝟐×𝟏
= 𝟐𝟎
Or,
𝟓!
𝟑!
=
𝟓×𝟒×𝟑!
𝟑!
= 𝟐𝟎 [এভালব করল সময় বাাঁ চলব]
উোঃ ২ মান্ মবর কলরা ,
𝟔! − 𝟒!
𝟒!
𝟔! − 𝟒!
𝟒!
=
𝟔×𝟓×𝟒! − 𝟒!
𝟒!
=
𝟒!(𝟔×𝟓 − 𝟏)
𝟒!
= 𝟐𝟗
প্রস্তুেকারকঃ
মমাঃ মমাকল ুর রহমান্ (শসহাব)
MBA in Marketing (KU)
Mobile: 01972 401679
E-mail: sheikhshehabakcc@gmail.com
মূ যবান্ পরামিক ও গঠন্মূ ক সমাল াচন্ার জন্য...
কলম্পাজ সহলযাশগোয়ঃ
মমাঃ আব্দু আশজজ রশক
MS in Chemistry (KU)
Mobile: 01975 417940
E-mail: abdulazizku13@gmail.com

23. 23
1. (𝐚 + 𝐛) 𝟐
= 𝐚 𝟐
+ 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐
Or, = (𝐚 + 𝐛) 𝟐
+ 𝟒𝐚𝐛
2. (𝐚 − 𝐛) 𝟐
= 𝐚 𝟐
− 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐
Or, = (𝐚 + 𝐛) 𝟐
− 𝟒𝐚𝐛
3. 𝐚 𝟐
+ 𝐛 𝟐
= (𝐚 + 𝐛) 𝟐
− 𝟐𝐚𝐛
Or, = (𝐚 − 𝐛) 𝟐
+ 𝟐𝐚𝐛
Or, =
(𝐚+𝐛) 𝟐 + (𝐚−𝐛) 𝟐
𝟐
4. 𝐚 𝟐
− 𝐛 𝟐
= (𝐚 + 𝐛)(𝐚 − 𝐛)
5. (𝐚 + 𝐛 + 𝐜) 𝟐
= 𝐚 𝟐
+ 𝐛 𝟐
+ 𝐜 𝟐
+ 𝟐𝐚𝐛 + 𝟐𝐛𝐜 + 𝟐𝐜𝐚
6. 𝐚 𝟐
+ 𝐛 𝟐
+ 𝐜 𝟐
= (𝐚 + 𝐛 + 𝐜) 𝟐
− 𝟐(𝐚𝐛 = 𝐛𝐜 + 𝐜𝐚)
1) (𝐚 + 𝐛) 𝟑
= 𝐚 𝟑
+ 𝟑𝐚 𝟐
𝐛 + 𝟑𝐚𝐛 𝟐
+ 𝐛 𝟑
Or, = 𝐚 𝟑
+ 𝐛 𝟑
+ 𝟑𝐚𝐛(𝐚 + 𝐛)
2) (𝐚 − 𝐛) 𝟑
= 𝐚 𝟑
− 𝟑𝐚 𝟐
𝐛 + 𝟑𝐚𝐛 𝟐
− 𝐛 𝟑
Or, = 𝐚 𝟑
− 𝐛 𝟑
− 𝟑𝐚𝐛(𝐚 − 𝐛)
3) 𝐚 𝟑
+ 𝐛 𝟑
= (𝐚 + 𝐛)(𝐚 𝟐
− 𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐
)
Or, = (𝐚 + 𝐛) 𝟑
− 𝟑𝐚𝐛(𝐚 + 𝐛)
4) 𝐚 𝟑
− 𝐛 𝟑
= (𝐚 − 𝐛)(𝐚 𝟐
+ 𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐
)
Or, = (𝐚 − 𝐛) 𝟑
+ 𝟑𝐚𝐛(𝐚 − 𝐛)
5) 𝐚𝐛 = (
𝐚 + 𝐛
𝟐
)
𝟐
− (
𝐚 − 𝐛
𝟐
)
𝟐
6) 𝟒𝐚𝐛 = (𝐚 + 𝐛) 𝟐
− (𝐚 − 𝐛) 𝟐
7) 𝟐𝐚𝐛 =
(𝐚 + 𝐛) 𝟐
𝟐
−
(𝐚 − 𝐛) 𝟐
𝟐
বীজগশণলের সূত্রাব ী
বগক (𝐚 𝟐) সম্পশকক ে সূত্রাব ী
ঘন্ (𝐚 𝟑) সম্পশকক ে সূত্রাব ী