Bab 6 membahas tentang nombor kompleks. Nombor kompleks terdiri dari bahagian nyata dan bahagian khayal, misalnya a + ib dimana a dan b adalah nombor nyata. Dokumen ini menjelaskan operasi penambahan, penolakan, perkalian dan pembahagian nombor kompleks serta konsep modulus dan hujah nombor kompleks dalam rajah Argand. Metode penyelesaian masalah juga ditunjukkan dengan contoh.

1. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
POLITEKNIK PORT DICKSON
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER
NOMBOR KOMPLEKS
Nombor Kompleks ialah nombor yang berbentuk a + ib
 di mana a dan b adalah nombor nyata
 terdiri drpd bahagian nyata (a) dan bahagian khayal (ib)
Secara amnya, − a2
= a 2 (−1)
= a 2 i2
= ai
Contoh :
1. −9 = 9(−1) = 9i 2 = 3i
2. − 50 = 50(−1) = 50i 2 = 5 2i
PERLU INGAT !!!
i2 = -1
(-1)nombor genap = 1
(-1)nombor ganjil = -1
Contoh :
a. i8=i 2 (4)
= (-1) = 1
b. i 15
= i 2(7) i = (-1) 7 i = (-1) i = -i
c. 3i34 - i13
= 3i2(17) - i2(6) i
= 3 (-1)17 - (-1)6 i
= 3 (-1) – 1 i
= -3 - i
d. –2i3 + 2 i18 - 3 i51
= -2 i2 i + 2 i2(9) - 3 i2(25) i
= -2 (-1) i + 2 (-1) 9 - 3 (-1) 25 i
= 2 i + 2 (-1) – 3 (-1) i
= 2 i – 2 +3 i
=5i–2
CONTOH SOALAN :
June/JMSK/PPD/750621
1

2. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
1. Ringkaskan kuasa bagi i yang berikut:
a. i7
b. i 12
c. i 20
d i 36
e. 7i 56 – i 3 6
f. 8i 59 + 5i 97
2. Permudahkan bentuk nombor-nombor berikut:
a. − 25 c. − 38
b. − 81 d. − 69
Penambahan & Penolakan Nombor Kompleks
Jika z = x + yi dan w = u + vi
Maka, z + w = ( x + yi ) + ( u + vi )
= ( x + u ) + ( yi + vi )
Nombor nayata
Nombor
tambah
kompleks
nombor nyata
tambah
z – w = ( x + yi ) - ( u + vi )
= ( x - u ) + ( yi - vi )
Nombor
Nombor nayata kompleks tolak
tolak nombor
nombor nyata
CONTOH :
a) ( 3 + 4i ) + ( 5 + 6i ) = ( 3 + 5 ) + ( 4i + 6i)
= 8 + 10i
b) ( 5 + 3i ) – ( 8 + 2i ) = ( 5 – 8 ) + ( 3i – 2i )
= -3 + i
c) ( 7 + 5i ) + ( 2 – 3i ) = ( 7 + 2 ) + ( 5i + (–3i) )
= ( 7 + 2 ) + ( 5i – 3i )
= 9 + 2i
d) ( 4 – 2i ) – ( 2 – 3i ) = ( 4 – 2 ) + ( -2i – (-3i) )
= ( 4 – 2 ) + ( -2i + 3i )
=2+i
Pendaraban Nombor Kompleks
June/JMSK/PPD/750621
2

3. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
Kembangka
Jika z = a + bi dan w = p + qi n ungkapan
Maka, z + w = ( a + bi ) x ( p + qi )
= (a x p) + (a x qi) + (bi x p) + (bi x qi)
= ap + aqi + pbi + bqi2
= ap + aqi + pbi + bq(-1)
= ap + aqi + pbi – bq
= (ap-bq) + (aq+pb)i
CONTOH :
a) Jika z = 3 + 4i dan w = 2 – 3i
maka zw = ( 3 + 4i ) ( 2 – 3i )
= ( 3 x 2 ) + ( 3 x (-3i) ) + ( 4i x 2 ) + ( 4i x (-3i) )
= 6 + (-9i) + 8i +( -12i2 )
= 6 + ( -i ) – 12(-1)
= 6 – i +12
= 18 – i
b) Jika z = 4 + i dan w = 3 + 2i
maka zw = ( 4 + i ) ( 3 + 2i )
= ( 4 x 3 ) + ( 4 x 2i ) + ( i x 3 ) + ( i x 2i )
= 12 + 8i + 3i + 2i2
= 12 + 11i + 2(-1)
= 12 + 11i - 2
= 10 + 11i
Pembahagian Nombor Kompleks
June/JMSK/PPD/750621
3

4. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
Bagi proses pembahagian, perlu gunakan konjugat supaya penyebut jadi nombor nyata
Saling
Contoh : memusna
3
1.
2 + 3i
3 2 − 3i
= ×
2 + 3i 2 − 3i
6 − 9i a2 + b2
=
4+9
6 − 9i
= Jika z = a + bi dan w = a – bi
13
6 9i
= − Maka, zw = ( a + bi ) ( a – bi )
13 13 = a2 – abi + abi – b2i2
= a2 – b2i2
2 +i = a2 – b2(-1) Nombor
2. nyata
3 − 2i
2 2
= a – (-b )
= a2 + b2
2+i 3 + 2i
= ×
3 − 2i 3 + 2i Oleh itu, w dikenali sbg konjugat
kompleks bagi z
6 + 4i + 3i + 2i2
=
9+4 Jika z = a + bi, konjugat bagi z
6 + 7i + 2(-1) ialah
=
13
6 + 7i − 2
=
13
4 + 7i
=
13
4 7i
= +
13 13
Kesamaan Nombor Kompleks
Katakan z = x + yi dan w = u + vi
Jika z = w,  x + yi = u + vi
maka, x = u dan yi = vi
Bahagian
Bahagian khayal
nyata
June/JMSK/PPD/750621
4

5. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
Contoh:
Diberi 3 – 2i = ( p + qi )( 5 + i ). Carikan nilai p dan q.
( p + qi )( 5 + i ) = 5p + pi + 5qi + qi2
x y = 5p + pi + 5qi + q(-1)
= 5p + pi + 5qi – q
= ( 5p – q ) + ( p + 5q )i
u v
MAKA, x=u dan y=v
3 = 5p – q -2 = p + 5q
q = 5p – 3 p = -5q – 2
q = 5( -5q – 2 )- 3  1
q = -25q – 10 – 3 p = −5 −  − 2
26q = -13  2
− 13 1
q= =
26 2
1
=−
2
CONTOH SOALAN :
1. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib
a. 3 + −9 b. 2 + −8 c. 8 - − 16
2. Ringkaskan setiap yang berikut:
a. ( 3 + 4i) + ( 5 – 2i) b. ( 7 + 6i) – ( -4 – 3i)
3. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib:
2 2+i
a. b.
1+ i 1− 2i
4. Dalam setiap kes berikut, cari nilai x dan y.
a. x + iy = ( 3 + i )(2 – 3i) b. ( x + iy ) ( -2 + 7i ) = -11 – 4i
2 + 5i
c. x + iy =
1− i
June/JMSK/PPD/750621
5

6. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
RAJAH ARGAND
y
Mewakili nombor
paksi khayal kompleks
P ( x, y )
z = x + yi
Hujah z
θ
x
r paksi nyata
P’ ( x, -y )
Modulus z
MODULUS z  z = x2 + y2
y
HUJAH z  huj z = tan−1 
x
CONTOH :
Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut
a) 1 – i y
z  = 12 + 12
= 2 tan –ve di θ
Huj z = tan –1 (-1/1) sukuan x
Sudut Ө
dr asalan = tan –1( -1) 2&4 β
paksi-x = - 45 ° r
θ = 360º - 45º
b) –3 + 4i y
z  = (−3)2 + (4)2 r
= 25
=5 β θ
x
Huj z = tan –1 (4/-3)
= -53° 8′
θ = 180º - 53° 8′
x
= 126° 52’
June/JMSK/PPD/750621
6

7. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
CONTOH SOALAN :
Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut:
a) 1 – 3i b) 1 + 2i
c) 3 – 5i d) -5 + 12i
e) -7 – 4i f) 6 + (-2i)
PENAMBAHAN dan PENOLAKAN RAJAH ARGAND
Langkah-langkah :
1. Buatkan penambahan atau penolakan kepada nombor kompleks dulu
2. Dari hasil penambahan atau penolakan td, baru plotkan rajah argand.
3. Then tandakan hasil yg br td pd graf.
CONTOH :
Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut
kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:
Z1 = 2 + 4i Z2 = -3 + 2i
Z3 = -5 – 3i Z4 = 3 - 5i
a) Z1 , Z2 , Z3 , Z4
b) Z1 + Z2 c) Z2 + Z3
= ( 2 + 4i) + ( -3 + 2i ) = ( -3 + 2i ) + ( -5 – 3i )
= ( 2 + (-3) ) + ( 4i + 2i) = ( -3 + (-5) ) + ( 2i + (-3i) )
= -1 + 6i = -8 - i
d) Z1 - Z3 e) Z3 - Z4
= ( 2 + 4i) - ( -5 – 3i) ) = ( -5 – 3i) – ( 3 - 5i )
= ( 2 - (-5) ) + ( 4i – (-3i) ) = ( -5 – 3 ) + ( -3i – (-5i) )
= 7 + 7i = -8 + 2i
f) Z2 - Z3 g) Z2 - Z4
= ( -3 + 2i ) – ( -5 – 3i ) = ( -3 + 2i ) – ( 3 - 5i )
= ( -3 – (-5) ) + ( 2i – ( -3i) ) = ( -3 – 3 ) + ( 2i – ( -5i) )
= 2 + 5i = -6 + 7i
h) Z1 + Z4 i) Z1 - Z2
= ( 2 + 4i) + ( 3 - 5i ) = ( 2 + 4i) - ( -3 + 2i )
= ( 2 + 3 ) + ( 4i + (-5i) ) = ( 2 - (-3) ) + ( 4i - 2i )
=5-i = 5 + 2i
June/JMSK/PPD/750621
7

8. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
RAJAH ARGAND
June/JMSK/PPD/750621
8

9. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
MODULUS dan HUJAH
June/JMSK/PPD/750621
9

10. Soalan Modulus Hujah Rajah Argand
a) Z1 = 2 + 4i Huj z = tan –1 (4/2) y
z  = (2)2 + (4)2 BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
= 63° 26’ Matematik II (B 2001)
= 20 ∴ θ = 63° 26’ θ
= 4.47 x
Z2 = -3 + 2i z  = (-3) 2 + (2)2 Huj z = tan –1 (2/-3)
= -33° 41’
= 13 ∴ θ = 180º - 33° 41’ θ
= 3.61 = 146º 19’
x
y
Z3 = -5 – 3i z  = (-5) 2 + (-3)2 Huj z = tan –1 (-3/-5)
θ
= 30° 57’ x
= 34 ∴ θ = 180º + 30° 57’
= 5.83 = 210º 57’
Z4 = 3 - 5i Huj z = tan –1 (-5/3) y
z  = (3)2 + (-5)2 θ
= -59° 2’ x
= 34 ∴ θ = 360º - 59° 2’
= 5.83 = 300º 58’
b) -1 + 6i Huj z = tan –1 (6/1) y
z  = (-1) 2 + (6)2
= 80° 32’
= 37
θ
= 6.08 x
c) -8 - i z  = (-8) 2 + (-1)2 Huj z = tan –1 (-1/-8)
θ
= 7° 7’ x
= 65 ∴ θ = 180º + 7° 7’
= 8.06 = 187º 7’
d) 7 + 7i Huj z = tan –1
(7/7) y
z  = (7)2 + (7)2
= 45º
= 98 ∴ θ = 45º
= 9.90 θ
x
e) -8 + 2i Huj z = tan –1 (2/-8) y
z  = (-8) 2 + (2)2
= -14º 2’
= 68 ∴ θ = 180º - 14º 2’
θ
= 8.25 = 165º 58’ x
f) 2 + 5i Huj z = tan –1 (5/2) y
z  = (2)2 + (5)2 June/JMSK/PPD/750621
= 68º 11’ 10
= 29 ∴ θ = 68º 11’
= 5.39 θ y yθ θθ x

11. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut
kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:
Z1 = -3 + 5i Z2 = 5 - 3i
Z3 = -2 – 2i Z4 = 6 + 3i
a) Z1 , Z2 , Z3 , Z4 b) Z1 + Z2
c) Z2 + Z3 d) Z1 - Z3
e) Z3 - Z4 f) Z2 - Z3
g) Z2 - Z4 h) Z1 + Z4
i) Z1 - Z2 j) Z1 - Z4
BENTUK-BENTUK NOMBOR KOMPLEKS
a) Bentuk Cartesian  a + bi
b) Bentuk Trigonometri  |z| ( kos Ө + i sin Ө )
R ( kos Ө + i sin Ө )
c) Bentuk Kutub (Polar)  |z| ∠ Ө
R ∠ Ө
d) Bentuk Eksponen  RejӨ (Ө dlm bacaan radian)
CONTOH :
1. Tukarkan nombor kompleks z = -5 + 2i ke dalam bentuk Trigonometri, Kutub dan
Eksponen.
y
PENYELESAIAN :
a) Lakar rajah Argand untuk
pastikan kedudukannya
Ө x
b) Modulus z R = z = 25 + 4
= 29 = 5.39
c) Hujah z y
Huj z = ß = tan –1
 
x
 2 
= tan –1  
 −5
= tan –1 ( -0.4)
= 21.8° atau 0.38 rad
paksi nyata Maka Ө = 180º - 21.8º
= 158.2º
June/JMSK/PPD/750621
11

12. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
d) Bentuk kutub |z| ∠ Ө atau R ∠ Ө
5.39 ∠ 158.2º
e) Bentuk eksponen RejӨ
=5.39ei0.38
f) Bentuk trigonometri |z| ( kos Ө + i sin Ө ) atau
R ( kos Ө + i sin Ө )
=5.39 ( kos 158.2º + i sin 158.2º )
2. Tukarkan nombor kompleks z = 2.5 ( kos 189° + i sin 189 ° ) ke dalam bentuk Cartesian,
Kutub dan Eksponen
PENYELESAIAN :
dapatkan nilai kos 189° dan sin 189° melalui kalkulator
 kos 189° = - 0.988
 sin 189° = - 0.156
a) Bentuk cartesian a + bi
= 2.5 ( ( - 0.988 ) + i(- 0.156 ) )
= - 2.47 - 0.39i
b) Bentuk eksponen RejӨ
Ө = 0.157 rad
=2.5ei0.157
c) Bentuk kutub |z| ∠ Ө atau R ∠ Ө
2.5 ∠ 189º
CONTOH SOALAN :
1. Tukarkan nombor kompleks berikut ke dalam bentuk Cartesian, Kutub
dan Eksponen.
a. z = 4 ( kos 54º + i sin 54º )
b. z = 15 ( kos 200º + i sin 200º )
c. z = 3.5 ( kos 175º + i sin 175º )
d. z = 5 ( kos 250º + i sin 250º )
2. Tukarkan nombor kompleks berikut ke bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.
a. 3 + 3i
b. –5 + 2i
June/JMSK/PPD/750621
12

13. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
c. –3 – 3i
d. 5 – 2i
TEOREM DE MOIVRE
( a + bi )n = |z|n ( kos n Ө + i sin n Ө )
Ө + 360k
Jika kuasanya ialah punca
kuasa atau kuasa pecahan
CONTOH :
1. Ungkapkan dalam dalam sebutan kos nθ dan sin nθ:
a) ( kos θ - i sin θ )4 b) 1
kos 2θ + i sin 2θ
= kos 4 θ - i sin 4 θ = ( kos 2θ - i sin 2θ )-1
= kos (-2θ) - i sin (-2θ)
= - kos 2θ - i sin 2θ
2. Dapatkan nilai bagi
a) (8 – 5i )3
PENYELESAIAN :
i) Modulus z R = | z | = 8 2 + 52
= 64 + 25
= 89
= 9.43
8 - 5i terletak di
ii) Hujah z Hujah z = 360° – tan –1 ( 5/8 ) sukuan 4
= 360° – 32° ∴hujah dibaca
= 328° sebagai 360 - θ
iii) ∴ 8 – 5i = 9.43 ( kos 328° + i sin 328° )
iv) Menggunakan Teorem De Moivre
( a + bi )n = |z|n ( kos n Ө + i sin n Ө )
MAKA : ( 8 – 5i )3 = 9.43 3 [ kos 3(328°) + i sin 3 (328°) ]
= 838.56 ( kos 984° + i sin 984° )
= 838.56 [ kos ( 984° - 720° ) + i sin ( 984°- 720° )]
June/JMSK/PPD/750621
13

14. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
= 838.56 ( kos 264° + i sin 264° )
984º lebih drpd 2 pusingan
maka kena tolakkan 2
pusingan penuh ( 2 x 360º)
b) ( -5 + 2i )1/4
PENYELESAIAN :
i) Modulus z R = | z | = (-5) 2 + 2 2
= 25 + 4
= 29
= 5.39
-5 + 2i terletak di
ii) Hujah z Hujah z = 180° – tan –1 ( -5/2 ) sukuan 2
= 180° – 68° ∴hujah dibaca
= 112° sebagai 180 - θ
iii) ∴ -5 + 2i = 5.39 ( kos 112° + i sin 112° )
iv) Menggunakan Teorem De Moivre
( a + bi )n = |z|n ( kos n ( Ө + 360K ) + i sin n ( Ө + 360K ) )
MAKA : ( -5 + 2i )1/4
= 5.391/4 [kos (158.2°+ 360k )/4 + i sin ( 158.2° + 360k)/4 ]
= 1.52 [kos (158.2°+ 360k )/4 + i sin ( 158.2° + 360k)/4 ]
Sekarang perlu selesaikan nilai k tersebut  mulakan dengan nilai k = 0
sehingga jumlah (Ө + 360k) tidak melebihi 360º
Bagi k = 0 ( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos 39.6°+ i sin 39.6°)
Bagi k = 1 ( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+ 360° )/4 + i sin ( 158.2° + 360° )/4 ]
= 1.52 ( kos 129.6° + i sin 129.6°)
Bagi k = 2 ( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+ 720° )/4 + i sin ( 158.2° + 720°)/4 ]
= 1.52 ( kos 219.6° + i sin 219.6°)
Bagi k = 3 ( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+ 1080° )/4 + i sin ( 158.2° + 1080°)/4 ]
= 1.52 ( kos 309.6° + i sin 309.6°)
June/JMSK/PPD/750621
14

15. BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKS
Matematik II (B 2001)
Bagi k = 4 ( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+1440° )/4 + i sin ( 158.2° + 1440°)/4 ]
= 1.52 ( kos 399.6° + i sin 399.6°)
Bila k = 4, jawapan tidak diterima kerana hujah telah melebihi 360°
CONTOH SOALAN :
1. Dapatkan nilai bagi.
a) ( 3 + 3i )½
b) ( –5 + 2i )3
c) ( –3 – 3i ) 1/4
d) ( 5 – 2i )5
June/JMSK/PPD/750621
15