Porcentaje de población blanca europea en Europa Occidental (1923-2024).pdf
Funciones de Varias Variables
1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educacion
Instituto Politecnico Santiago Mariño
Barcelona-Edo Anzoategui
Profesor:
Pedro Beltran
Alumno:
Jose David Coello
2. El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta
que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable
para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del
radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado
requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas
espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza,
tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes
(ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad.
3. V del móvil en ese punto y en ese instante:
f(x; y; z; t) = v
Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica
que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada.
Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o
R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:
Función Nombre
4. En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se
conserva.
Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la
función es un
numero o es un vector.
Ejemplo: la función g esta definida por
g (x, y, z) = x2+y2-z
entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado en la figura, es la
superficie de nivel de g en 0. La superficie de nivel de g en el numero k tiene
la ecuación z + k = x2 + y2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto
(0,0 –k) sobre el eje z. en al figura muestra las superficies de nivel para k
igual a -4,-2, 0, 2 y 4
5. Definición 1
(Función de varias variables) Sea D un subconjunto de Rn . Si a cada
(x1, . . . , xn) ∈ D le corresponde un único número real
f (x1, . . . , xn)
se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.
Ejemplo 2
Las funciones definidas anteriormente
A (b, h) = b · h I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2 f (x, y)
= C · x a · y 1−a
son funciones de dos variables
6. Definición 3
(Dominio y recorrido) El conjunto D de la definición anterior se llama
dominio de f, y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a
dicho dominio se llama recorrido de f.
Ejemplo 4
f (x, y) = x 2 + y 2 La función f está definida para todo (x, y) ∈ R2 y por
tanto el dominio de f es D = R2 . Como f puede alcanzar cualquier valor
no negativo, el recorrido es R = {z ∈ R : z ≥ 0}. f (x, y) = log xy Para que la
función f esté definida es necesario que xy > 0 entonces x > 0 y > 0 o
bien x < 0 y < 0 así el dominio de f será el siguiente conjunto
7. Observación 5
Si f y g son funciones de n variables, es decir,
f : R n → R y g : R n → R entonces las siguiente operaciones nos
dan lugar a nuevas funciones de n variables:
Suma y diferencia: (f ± g) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) ± g (x1, . . . ,
xn)
Producto: (fg) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) g (x1, . . . , xn)
Cociente: Si g (x1, . . . , xn) = 0 entonces f g (x1, . . . , xn) = f (x1, . .
. , xn) g (x1, . . . , xn)
8. Método para hallar el
dominio
Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos
el comportamiento de (x). Al hacer este despeje podemos considerar
tres casos:
1.La (x) hace parte del denominador de una fracción.
Dé un ejemplo.
R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.
2. Despejar(y)
9. ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que
sea diferente de cero?
R/:
Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el
denominador al despejar (y).R: Si al despejar (y) en una expresión (en una
relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una
fracción, entonces para determinar el dominio de dicha relación hay que
hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).
10. Método para hallar el
Rango
Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y
rango.Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real
representa? ¿Por qué?
R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y
diferentes.
Hallar el dominio.
11. Vemos que la (x) hace parte de un radical par
Solucionamos una desigualdad cuadrática
