1. Réalisé par :Réalisé par :
BOUKHERCHA
Yasmine
2emme année
GRGR : 05
Encadré par:Encadré par:
Mme Boumansour
R
Mme Dahimene F.
Mlle Cherchali N.
ECOLE POLYTECHNIQUE D’ARCHITECTURE ET
D’URBANISME
Année universitaire : 2005/2006

2. Introduction
• I Historique du nombre d’or :
-Mythes et recherches
II LE NOMBRE d’OR
- Ses propriétés (algébriques et géométriques)
- Dans la nature
- Dans les arts
• III LE NOMBRE D’OR EN
ARCHITECTURE:
-Le Corbusier et le MODULOR : Le rationalisme
. architecturale

3. • De tout temps, l’homme a cherché a
retrouvé la symbiose de la nature dans
ses créations, et a rechercher
ardemment des normes qui lui
assureraient l’équilibre et l’harmonie
esthétique de ces produits.
• Tout ces efforts ont toujours convergé
vers un module, un nombre,aussi
essentiel qu’il n’est étonnant et
mystérieux, qu’on appelle
communément NOMBRE D’OR

4. Recherches antérieures et mythes

5. • L'apparition du nombre d'or remonte à
la préhistoire. Ayant appris à diviser un
cercle en 5 ou en 10, les hommes en
vinrent au pentagone et au décagone ,
et dès lors ils avaient sous les yeux le
nombre d'or.

6. • Il y a 10 000 ansIl y a 10 000 ans :: Première manifestation humaine de la
connaissance du nombre d'or (temple d'Andros
découvert sous la mer des Bahamas).
• 2800 av JC2800 av JC :: La pyramide de Kheops a des dimensions
qui mettent en évidence l'importance que son architecte
attachait au nombre d'or.
• Vè siècle avant J-C. (447-432 av. JC)Vè siècle avant J-C. (447-432 av. JC) : Le sculpteur
grec Phidias l’utilise pour décorer le Parthénon à
Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna
Parthénos .

7. • IIIè siècle avant J-C.IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un
segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI
des Eléments.
• 1498 :1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de
mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine
proportion").
• Au XIXème siècle :Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur
en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle
de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse
non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne
l'esthétique et l'architecture. Il cherche ce rapport, et le
trouve (on trouve facilement ce qu'on cherche ...) dans
beaucoup de monuments classiques. C'est lui qui
introduit le côté mythique et mystique du nombre d'or.

8. • Au début du XXème siècleAu début du XXème siècle : Matila Ghyka,
diplomate roumain, s'appuie sur les travaux du
philosophe allemand Zeising et du physicien
allemand Gustav Theodor Fechner ; ses
ouvrages L'esthétique des proportions dans la
nature et dans les arts (1927) et Le Nombre
d'or. insistent sur la prééminence du nombre
d'or et établissent définitivement le mythe .
• Au cours du XXème siècleAu cours du XXème siècle : des peintres tels
Dali et Picasso, ainsi que des architectes
comme Le Corbusier, eurent recours au
nombre d'or.
• 1945 :1945 : Le Corbusier fait breveter son Modulor
qui donne un système de proportions entre les
différentes parties du corps humain.

9. Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère et qui a
étudié les proportions du corps humain déclare qu’il y a
section d’or quand
« Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport
que la grande au tout. »

10. Une droite est dite coupée en extrême et
moyenne raison quand,
comme elle est toute entière relativement au
plus grand segment,
ainsi est le plus grand relativement au plus
petit.
Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.
Le partage en "extrême et moyenne raisonextrême et moyenne raison" d'un segment
Euclide (365 - 300 av. J.C.)

11. Soit A, B, et C trois points sur une droite;
si le point C est tel que :
il est alors le point d'or ou section dorée
du segment AB.

12. • Kepler, Johannes (1571-
1630), astronome et physicien
allemand, célèbre pour ces
lois en astrophysique
Kepler appela la proportion précédente
"divine proportion".
Il en détermina la valeur:
Si x et 1 sont les longueurs des
segments AC et CB respectivement.

13. Si x et 1 sont les longueurs des segments AC et CB
respectivement.
2 solutions:

14. • La solution positive est le nombre d'or; il est
représenté par la lettre grecque Ø (phi); en
hommage au sculpteur grec Phidias (490 430 av
J.C) qui décora le Parthénon à Athènes
Ø= 1.618
Les 100 premières décimales du nombre d'or sont :
1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179
805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041
Le record de calcul des décimales date de 1998 et a été réalisé par
Simon Plouffe : 10 000 000 décimales (29 minutes de calcul).

15. • Fibonacci (1175 - 1240) ,Léonardo
Pisano, ou Léonard de Pise.
• Fibonacci vient de filius Bonacci qui
veut dire fils de Bonacci.(Bonacci
signifie chanceux , de bonne fortune)
c’est l'un des plus grands
mathématiciens du Moyen-Âge.
Il a introduit la numération décimale et
l'écriture arabe des chiffres en
Occident, en ramenant dans son livre
Liber abaci, les connaissances
acquises en Algérie où travaillait son
père.
La suite de Fibonacci et le nombre d'or

16. célèbre problème de prolifération des lapins dû au
mathématicien italien "Combien de couples de lapins
obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si
commençant avec un couple, chaque couple produit
chaque mois un nouveau couple, lequel devient
productif au second mois de son existence ?"
Au premier mois, il y aura 1 couple. Au deuxième, il y
aura 1 couple. Au troisième mois, il y aura 2 couples. Et
ainsi de suite pour obtenir la suite de Fibonacci : 1 ; 1 ;
2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;....
dont chaque terme est la somme des deux termes qui le
précèdent.
1+1=2 1+2=3 2+3=5 5+3=8 ……etc.
En prenant les rapports de deux nombres
successifs de la suite, on constate que ces
rapports se rapprochent du nombre d’or

18. • Au moyen âge, les bâtisseurs
de cathédrales utilisaient une
pige constituées de cinq tiges
articulées, correspondant
chacune à une unité de
mesure de l'époque, relatives
au corps humain

19. •Pour passer d'une mesure à la suivante, on peut
constater que l'on multiplie par le nombre d'or ,
environ 1,618.

21. PROPRIETE
S

22. Carré du nombre d'or
Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1
Inverse du nombre d'or
Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui soustraire
1 :

23. Puissances du nombre d'or
Les coefficients ne sont
autres que les nombres de
Fibonacci.
Pour obtenir une puissance
du nombre d'or, il suffit de
connaître les deux
puissances précédentes et
de les additionner, ce qui est
exactement le procédé de
construction de la suite de
Fibonacci !

24. EN GEOMETRIE

25. Le rectangle d’or
On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le
rapport entre la longueur et la largeur vaut le
nombre d'or.
pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur
la droite passant par le côté du carré pointé.
Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b,
alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses
côtés sont dans un rapport φ. nous obtenons une suite de rectangles
d'or de plus en plus petits.
Le tracé d'un rectangle d'or se fait très
simplement à l'aide d'un compas, il suffit de
pointer le milieu d'un côté d'un carré,

26. • Si on demande à des personnes de dessiner
un rectangle quelconque, le rectangle sera
(dans 77% des cas selon le physiologiste
et philosophe allemand Gustav Fechner, en
1876) proche du rectangle d'or.
• Peut-être le rectangle quelconque est-il le
rectangle d'or ?

27. Triangles d'or
• Les triangles d'or sont des
triangles isocèles dont le
rapport des côtés est égal au
nombre d'or. Il en existe de
deux types. Ceux pour
lesquels le rapport côté / base
vaut φ qui donnent des
triangles aigus appelés
parfois triangles d'argent et
ceux pour lesquels le rapport
base / côté vaut φ.
Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or
obtus et un triangle d'or aigu φ fois plus petit. On retrouve ce
même phénomène dans un triangle d'or obtus.

28. Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner
un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu
φ fois plus petit. On retrouve ce même
phénomène dans un triangle d'or obtus.

29. Spirale d’or
• Pour construire une spirale
d’or, on construit un rectangle
d’or dans lequel on construit un
grand carré de côté la largeur
du rectangle. On réitère
l’opération dans le rectangle
restant qui est un rectangle d’or
… et ainsi de suite, … Puis, on
construit des quarts de cercle
dans les carrés.

30. Le pentagone
Le côté du pentagone étoilé est phi fois le côté du
pentagone convexe.
AB/AD=phi=1,618 (le nombre d'or)

31. Un simple noeud réalisé avec
une bande de papier, puis
soigneusement aplati est un
"noeud d'or" ; il suffit de
replier une des extrémité de
la bande pour obtenir un
pentagramme complet
Avec une bande assez longue on
peut réaliser cinq noeuds d'or
régulièrement espacés. En
recollant les extrémités on obtient
ce bel anneau pentagonal qui est
un ruban de Möbius : la bande n'a
plus qu'une seule face et un seul
bord !
noeud d'or
un anneau d'orun anneau d'or

32. DANS LA NATURE

33. Dame Nature aussi utilise ce rapport
pour assurer des croissances
harmonieuses
(fleurs, fruits, coquilles, cornes...)

34. • En coupant une pomme ou une poire en deux
dans le sens de son équateur, on y découvre les
pépins disposés en étoile à 5 branches.
• Les boutons d'or ont 5 pétales, les marguerites
ont généralement 34, 55 ou 89 pétales. Ces
nombres font partie de la suite de Fibonacci liée
au nombre d'or La suite de Fibonacci
intervient dans la nature.

35. La fleur de tournesol normale de 12 à 15 cm de diamètre
possède en général 34 spirales tournant dans un sens et 55
dans l'autre. Des fleurs plus petites peuvent présenter les
combinaisons 21/34 ou 13/21 et des fleurs
exceptionnellement développées peuvent aller jusqu'à
89/144.

36. • Dans un ananas ou une pomme de pin les écailles
s'organisent en deux ensembles de spirales. L'un
qui tourne dans le sens des aiguilles d'une montre,
l'autre dans le sens inverse.

37. Le Nautile
Le nautile est un coquillage dont l' intérieur présente une spirale
formée d'une douzaine de petites loges Plus l'animal grandit,
plus la taille des loges s'accroît mais sa forme conserve la
structure d'une spirale logarithmique ou le rapport entre deux
rayons vecteurs opposés est le nombre d'or phi = 1.618 .
Le modèle mathématique se superpose exactement à la réalité .

38. ‘Prenant comme point de repère une
feuille voisine de la base d'une tige
qui porte des feuilles isolées.
Numérotons cette feuille 0 et
comptons les feuilles vers le sommet
jusqu'à ce que nous arrivions à une
feuille qui se trouve juste au-dessus
de celle dont nous sommes partis. Le
nombre de feuilles rencontrées est
un terme de la suite de Fibonacci. De
même en progressant vers le
sommet, comptons le nombre de
tours que nous faisons. Ce nombre
est aussi, terme de la suite de
Fibonacci.

39. La découverte de molécules en forme de dodécaèdre
(constitué de 12 pentagones), de certains virus montre
que la symétrie d'ordre cinq est assez fréquente dans la
nature. Cela augmente l'importance du nombre d'or en
science Certains pensent le découvrir dans la
spirale d'ADN .
Si, en se mesurant, les rapports "hauteur totale / distance
sol-nombril"et "distance sol-nombril / distance nombril-
sommet du crâne" sont égaux (environ 1,6),nous sommes
bien proportionnés ... D'après Zeising, l'homme à la
section d'or !
Il en est de même pour les phalanges et d’autres parties
du corps humain.

40. DANS LES ARTS
Le nombre d'or se retrouve un peu partout dans
les arts : peinture, sculpture, musique, ...

41. " Nous sommes mystérieusement
accordés à ce nombre, car la section
d'or agit sur nos sens et, par eux, sur
notre cortex cérébral, essentiellement
le droit, mais sans doute pas
exclusivement, c'est pour cette raison
que nous sommes inconsciemment
enclins à trouver belles les grandeurs
de tous ordres qui entrent dans cette
relation. "
(La Recherche 278 juillet-août 1995 volume 26)

42. Le Parthénon d'Athènes fait apparaître un peu partout le
nombre d'or . Il s'inscrit dans un rectangle doré, c'est-à-
dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était
égal au nombre d'or.
Sur la figure : DC/DE = Phi
.
Sur la toiture du temple, GF/GI =Phi

43. • Le rapport de la hauteur de
la pyramide de Khéops par
sa demi-base est le
nombre d'or.

44. • Ce tableau, de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli
explique un théorème, fait apparaitre le partage la " divine
proportion "d'or :
• Si E est la projection orthogonale sur (D C) de l'extrémité
de l'index de la main gauche du moine on a : DC / DE = Phi
Par ailleurs, le pouce et l'index gauches de Fra Luca Pacioli
partage la hauteur du livre selon la section dorée

45. Certains peintres comme Salvatore Dali (Sacrement de
la dernière cène),
Seurat (le Cirque) ou Mondrian (Composition) l'ont
d'ailleurs utilisé par jeu.

46. Le personnage de saint Jérôme est
encadré dans un parfait rectangle d’or

47. Vierge à l'enfant, Raphael
vers 1425
La Naissance de Vénus, Botticelli

48. La Mort de Saphira, Poussin La Gare Saint Lazare, Monet

49. ASTUCE
• Les peintres utilisent d une méthode simple qui leur
permet de tracer des rectangles d'or lorsque leur
toile est vierge.En utilisant le rapport entre 5 et 8,
deux termes de la suite de Fibonacci. En fait, la
valeur du rapport 8/5 se rapproche de la valeur du
nombre d'or qui est 1,618.
• Ils Les peintres divisent leur toile en deux, puis en
deux et encore en deux. Ainsi, leur toile est divisée
en huit parties égales. Cela permet donc au peintre
d'obtenir une droite qui coupe la toile aux 5/8
fournissant ainsi un rectangle d'or.

51. Le nombre d'or dans un tracé régulateur
Le nombre d'or présente un intérêt réel en
matière d'esthétique
Mais il ne peut que donner à un ensemble de
bâtiments ayant des concepteurs différents
un début d'harmonie commune.
Son rôle principal concernerai des question
d'urbanisme plus que d'architecture

52. LE CORBUSIER et le
MODULOR

53. • Le Corbusier va, a 23 ans se poser une
question qui l’angoissera: « quelle est la
regle qui ordonne, qui lie toute les
choses?? »
• A partir de la, sa recherche va s’axer vers les
tracées régulateurs et une normalisations des
dimensions qui va aboutir au MODULOR,
qu’il fera breveter en 1945.

54. C'est avant tout la prise en compte de
l'homme, "cet animal qui doit pouvoir
s'ébrouer tout à son aise dans l'espace
de sa maison", qui guide les choix
architecturaux de Le Corbusier.

55. va s'ajouter un besoin de normalisation aussi bien
en architecture qu'en construction mécanique.
Cette normalisation s'impose esthétiquement,
"pour plus d'harmonie" et économiquement dans
cette phase de reconstruction urgente au
lendemain de la guerre.
(le Corbusier va jusqu'à parler de "machine à
habiter"). Le modulor est ainsi utilisé pour
respecter l'échelle humaine.

56. Le Corbusier utilise la section d’or d’un carré d’a peu près
un mètre de coté après un processus géométrique
complexe il aboutit a une grille (voire schéma)
Le Corbusier construit et représente sa grille sur la
silhouette d'un homme debout, levant un bras. En
bâtissant l'échelle humaine, le Corbusier rejoint
notamment les architectes de la Grèce antique. Comme
ceux ci il aménage l'espace architectural pour que le
corps s'y reconnaisse.
Sa réflexion sur le comportement de l'homme, sur
l'équilibre des volumes, de leurs dimensions et
proportions l'amène à établir une grille de mesures
s'appuyant sur le "Nombre d'Or". Il construit sa grille par
rapport aux différentes parties du corps humain et
l'appelle "le Modulor".

57. Tracé régulateur de la façade de la Villa
LA ROCHE par le Corbusier

58. La grille fournit 3 mesures 113,70,43 qui
sont en rapport avec Phi et la série
Fibonacci 43+70=113
113+70=183 113+70+43=226
Ces trois mesures sont celles qui
caractérisent l’occupation de l’espace
par un homme de 6 pieds
La mesure 113 fournit la section d’or 70
(série rouge)
La mesure 226(double) fournit la section
140 (série bleue)

59. Statures humaines selon Le Corbusier

60. • Quelques exemples de
l'échelle du Modulor :
Hauteur de plafond : 226 cm
Hauteur de table : 70 cm
Hauteur d'un élément de
cuisine : 86 cm
Hauteur de chaise : 43 cm
Hauteur de bar : 113 cm
• Ces valeurs sont utilisées
pour mettre en oeuvre un
milieu de vie dans lequel on
se sent bien.

61. • Le Corbusier va désormais
recourir au modulor dans
toutes ces conceptions,
apogée de l’utilisation étant
la « Cité Radieuse de
Marseille » où absolument
tout sera calculé en fonction
du modulor aussi bien
l’aspect technique,
fonctionnelle qu’esthétique.

62. C'est de très loin l'utilisation la
plus clairement établie du
nombre d'or, puisque Le
Corbusier en a parlé sans
ambiguïté.