1. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Dalles
Méthode des lignes de rupture
2. ENAC – Section de génie civil
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en béton II
Dr O. Burdet
3. ENAC – Section de génie civil
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en béton II
Dr O. Burdet
4. ENAC – Section de génie civil
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a) mécanisme pour
une poutre simple
θ
rotule plastique
Mécanisme simple pour une poutre
Fig. 7.74
cf TGC 2 chap. 16 & 17
5. ENAC – Section de génie civil
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b) mécanisme pour
une dalle unidirectionnelle
librement appuyée
θ
ligne de rupture
Mécanisme simple pour une dalle
Fig. 7.74
6. ENAC – Section de génie civil
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Théorèmes fondamentaux
“ Toute charge Qi à laquelle correspond un
mécanisme de ruine
admissible est supérieure ou égale à la
charge ultime exacte Qu ”
cinématiquement
“ Toute charge Qi à laquelle correspond un
champ de moments i stable et statiquement
admissible est inférieure ou égale à la charge
ultime exacte Qu ”
M
Tab. 7.75
7. ENAC – Section de génie civil
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Théorème d’unicité
Fig. 7.77
Equilibre
Résistance
Mécanisme
8. ENAC – Section de génie civil
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Propriétés des deux méthodes
Condition Explication
Méthode
statique
Méthode
cinématique
Équilibre
Toutes les forces extérieures (y compris les
réactions) appliquées au système doivent
s’équilibrer
Satisfait Satisfait
Résistance
Dans toutes les sections, les efforts internes
(sollicitations) doivent être inférieurs ou égaux à
la résistance ultime, c’est–à–dire à la résistance
correspondant à la plastification du béton et de
l’acier
Satisfait à vérifier
Mécanisme
Un nombre suffisant de rotules plastiques doit se
former afin que la structure puisse se transformer
en un mécanisme
à vérifier Satisfait
Résultat La méthode donne des résultats qui sont
du côté de la
sécurité
du côté de
l’insécurité
Tab. 7.77
9. ENAC – Section de génie civil
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Application des lignes de rupture
aux planchers-dalles
10. ENAC – Section de génie civil
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Essais de plancher-dalle (face sup.)
Fig. 7.70
11. ENAC – Section de génie civil
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Position des lignes de rupture
a
2
a
2
a
2
a
2
45°
a) dalle plate b) champignon > 45°
d
2
m
d
2
m
45°
a
2
a
2
a
2
a
2
b
a
2
a
2
a
2
a
2
45°
c) champignon < 45°
Fig. 7.90
12. ENAC – Section de génie civil
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Lignes de rupture – plancher-dalle
Fig. 7.91
13. ENAC – Section de génie civil
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Surface des moments – plancher-dalle
Fig. 7.93
14. ENAC – Section de génie civil
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Distribution des moments Mx
30 %
20 %
15 %
20 %
15 %
0.1ly 0.1ly 0.1ly 0.1ly0.6ly
Moment négatif M , le long de l'axe des colonnesx
-
Moment positif M , au milieu du champx
+
50 %
25 %
0.1ly 0.1ly 0.1ly 0.1ly0.6ly
25 %
Fig. 7.94
15. ENAC – Section de génie civil
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Mécanisme II - Eventail circulaire
Fig. 7.95
{ {
r
s
dr
si dsmdsmA
1
θϕ
α
⋅
⋅⋅+⋅=
⋅
( ) 11
2
0
⋅=
⋅
⋅+∫ Q
r
dr
ms
π
α
ϕ
( )ϕπ +⋅
=
12
Q
ms
16. ENAC – Section de génie civil
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Lignes de rupture dans un plancher-dalle
a) panneau intérieur
c) porte-à-fauxb) champ de bord
Fig. 7.92
17. ENAC – Section de génie civil
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Lignes de ruptures, cas général
18. ENAC – Section de génie civil
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Et pour cette dalle ?
▪ Axes de rotation par
les bords appuyés ou
encastrés; axes de
rotation par les
colonnes
▪ Toute ligne de rupture
passe par le point
d’intersection des deux
éléments de dalle
qu’elle sépare
19. ENAC – Section de génie civil
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Définition des axes de rotation
Fig. 7.81
Fig. 7.80
#(panneaux)
#(axes
inconnus)
20. ENAC – Section de génie civil
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Exemples de mécanismes
21. ENAC – Section de génie civil
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Travaux virtuels
Fig. 7.85
22. ENAC – Section de génie civil
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Principe des travaux virtuels
( ) ( )∑∑ ⋅⋅=⋅⋅=
i
iiii
i
iii mssmA θθ Eq. 7.36
ie AA = Eq. 7.36
Minimiser la charge ultime ou maximiser le moment de rupture
( ) dydxyxqA
A
e ⋅⋅= ∫∫ ,δ Eq. 7.35
23. ENAC – Section de génie civil
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( )2
2
1
2
sincos αµαα ⋅+⋅= pmm
Dalle appuyée sur trois côtés
Fig. 7.86
24. ENAC – Section de génie civil
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Calcul des travaux virtuels
Fig. 7.87
25. ENAC – Section de génie civil
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Dalle encastrée sur son pourtour
Fig. 7.88
µ≥ba
26. ENAC – Section de génie civil
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Exemple de dalle encastrée
Fig. 7.89
qu = 15.1 kN/m2
27. ENAC – Section de génie civil
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En l’an 2006 ?
28. ENAC – Section de génie civil
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Mais c’est compliqué avec ces mα
et des mTα
… si on avait toujours µ = 1 ?
29. ENAC – Section de génie civil
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Transformation affine
Fig. 7.83
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Transformation affine
r
rx
ry
r
r x
r y
mp
mp
µ
mp
mp
r
ξ
Fig. 7.83
31. ENAC – Section de génie civil
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Travaux virtuels : égalité
( ) ( ) ∫∫ ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅+⋅ dydxqbambam xyypyxxp δθµθ
( ) ( ) ∫∫ ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅+⋅ dydxqbambam xyypyxxp δθ
ξ
θ 2
1
ei AA =
2
1
ξ
µ =
µ
ξ
1
=
32. ENAC – Section de génie civil
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Effet de l’affinité
Quantité Opération
Dimension parallèle à l’armature qui engendre mp inchangée
parallèle à l’armature qui engendre µ · mp multipliée par 1/ m
Charge uniformément répartie inchangée
Fig. 7.84
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Et la précision ?
34. ENAC – Section de génie civil
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Théorème d’unicité
Fig. 7.77
Equilibre
Résistance
Mécanisme
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Annexe 7.8
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Annexe 7.8
37. ENAC – Section de génie civil
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Annexe 7.8
1/37.7
1/43.8
1/48
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
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Répartition de l’armature (A7.6)
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Répartition de l’armature (A7.6)
40. ENAC – Section de génie civil
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Annexe 7.8