Αρχιμήδης 2011 - Θέματα

1. 28
" "
, 26 2011
1
1
ΑΒΓ , ˆ 120
ΒΑΓ = c
, ΑΔ
ΑΒ ΑΒΓ
Ε . ΒΑ ΕΓ Ζ. :
( ) ΖΔ ⊥ ΒΕ , ( ) ΖΔ = ΒΓ.
2
2
δ
γ
β
α
=
x
. α
β
γ
δ
=
y y
x > .
y
x − ,
y
,
x .
3
3
3 1
ν + , ν , 7,
:
( ) ν 7,
( ) m
ν 7, , 1
m m > .
4
4
, ,
x y z 12, :
3
x y z
x y z
y z x
+ + + ≥ + + .
;
: 3
5
( ) 34
106 79
. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
34, Panepistimiou ( leftheriou Venizelou) Street
GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr

2. ǼȆǿȉȇȅȆǾ ǻǿǹīȍȃǿȈȂȍȃ
28Ș
ǼȜȜȘȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮIJȚțȒ ȅȜȣȝʌȚȐįĮ
"ȅ ǹȡȤȚȝȒįȘȢ"
ȈǹǺǺǹȉȅ, 26 ĭǼǺȇȅȊǹȇǿȅȊ 2011
Ĭ
Ĭȑ
ȑȝ
ȝĮ
ĮIJ
IJĮ
Į ȝ
ȝİ
İȖ
ȖȐ
ȐȜ
ȜȦ
ȦȞ
Ȟ IJ
IJȐ
Ȑȟ
ȟİ
İȦ
ȦȞ
Ȟ
.
ȆȇȅǺȁǾȂǹ 1
ȃĮ ȜȪıİIJİ ıIJȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ
3 2 2 4
2 36
x y y x x y
.
ȆȇȅǺȁǾȂǹ 2
ȈIJȠ țĮȡIJİıȚĮȞȩ İʌȓʌİįȠ Oxy șİȦȡȠȪȝİ IJĮ ıȘȝİȓĮ 1
A (40,1) , 2
A (40,2) ,…, 40
A (40,40)
țĮșȫȢ țĮȚ IJĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ 1 2 40
OA ,OA , ,OA
} . DzȞĮ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ țĮȡIJİıȚĮȞȠȪ
İʌȚʌȑįȠȣ Oxy șĮ IJȠ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ “țĮȜȩ”, ȩIJĮȞ ȠȚ ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ
ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ȕȡȓıțİIJĮȚ ıIJȠ İıȦIJİȡȚțȩ (įȘȜĮįȒ įİȞ IJĮȣIJȓȗİIJĮȚ ȝİ țȐʌȠȚȠ Įʌȩ IJĮ ȐțȡĮ
IJȠȣ) İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ i
2$ 1,2,3, ,40
i ! . ǼʌȓıȘȢ, ȑȞĮ Įʌȩ IJĮ
İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ 1 2 40
OA ,OA , ,OA
} , șĮ IJȠ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ “țĮȜȩ”, ȩIJĮȞ ʌİȡȚȑȤİȚ ȑȞĮ
IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ “țĮȜȩ” ıȘȝİȓȠ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșİȓ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” ıȘȝİȓȦȞ țĮȚ IJȠ
ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ.
ȆȇȅǺȁǾȂǹ 3
ǹȞ , ,
a b c İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ 6, ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİIJİ IJȘ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ
IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ:
3 3 3
2 2 2
2 2 2
S a bc b ca c ab
.
ȆȇȅǺȁǾȂǹ 4
ǻȓȞİIJĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ABC (ȝİ AB AC
), İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ ( , )
c O R (ȝİ țȑȞIJȡȠ
IJȠ ıȘȝİȓȠ O țĮȚ ĮțIJȓȞĮ R ). Ǿ ʌȡȠȑțIJĮıȘ IJȠȣ ȪȥȠȣȢ AD IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ
ıIJȠ ıȘȝİȓȠ E țĮȚ Ș ȝİıȠțȐșİIJȘ ( )
P IJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ AB IJȑȝȞİȚ IJȘȞ AD ıIJȠ ıȘȝİȓȠ L . Ǿ BL
IJȑȝȞİȚ IJȘȞ AC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ M țĮȚ IJȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ( , )
c O R ıIJȠ ıȘȝİȓȠ N . ȉȑȜȠȢ
Ș EN IJȑȝȞİȚ IJȘ ȝİıȠțȐșİIJȘ ( )
P ıIJȠ ıȘȝİȓȠ Z . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
Ȓ
MZ BC CA CB 2
A œ = { ,
įȘȜĮįȒ ȩIJȚ “Ș MZ İȓȞĮȚ țȐșİIJȘ ıIJȘȞ BC , ĮȞ, țĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ, IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ABC İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ
ȝİ CA CB Ȓ IJȠ ıȘȝİȓȠ Z IJĮȣIJȓȗİIJĮȚ ȝİ IJȠ țȑȞIJȡȠ O IJȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ
( , )
c O R ”.
ǻȚȐȡțİȚĮ İȟȑIJĮıȘȢ 3 ȫȡİȢ țĮȚ 30 ȜİʌIJȐ ȀĮȜȒ İʌȚIJȣȤȓĮ
ȀȐșİ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȕĮșȝȠȜȠȖİȓIJĮȚ ȝİ 5 ȝȠȞȐįİȢ
ǼȁȁǾȃǿȀǾ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀǾ ǼȉǹǿȇǼǿǹ
ȆĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ (ǼȜİȣșİȡȓȠȣ ǺİȞȚȗȑȜȠȣ) 34
106 79 ǹĬǾȃǹ
ȉȘȜ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
34, Panepistimiou (Ǽleftheriou Venizelou) Street
GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr