Demostración de equivalencia entre la ecuación de estado de los gases ideales a nivel macro y la aproximación estadística a nivel micro

1. Demostración de la ecuación de gases ideales en el estado microscópico por medio de
herramientas de mecánica estadística.
Libro mecánica estadística. Kubo. Imagine una superficie en la que se encuentra un gas ideal.
Suponga que a través de esta superficie se da una transferencia de momento debido al
movimiento de moléculas de gas. Encuentre la expresión para el cálculo de la presión que ejercen
las moléculas de gas en dos puntos de la superficie. Suponga que las moléculas de gas obedecen
una distribución de velocidades de Maxwell.
Solución
La presión total ejercida por las moléculas de “gas ideal” en los puntos 1 y 2 se obtiene empleando
la ley de Dalton:
PT P1 P2
(1)
Es obvio por el problema en cuestión que debemos enlazar la presión en los puntos 1 y 2 con la
velocidad, pues las particulas gaseosas se encuentran en movimiento, lo cual se obtiene aplicando
el principio de Bernoulli:

2. 2
P n E (2)
3
Donde n es la densidad de moléculas (n= N/V) de gas y E es la energía cinética promedio por
molécula.
Reemplazando (2) en (1), queda:
2
PT P1 P2 ( n1 E 1 n2 E 2 )
3
2 1 2 1 2
PT n1 m 1 v x1 n2 m 2 v x2
3 2 2
Si el movimiento solo se da en una dimensión, la expresión anterior se reduce a:
2 2
PT n 1 m 1 v x1 n 2 m 2 v x2 (3)
Como la cantidad de gas es la misma en ambos puntos y las velocidades también, nos queda:
2 2 2
PT n 1 m 1 v x1 n 2 m 2 v x2 PT m v x ( n1 n2 )
2 (4)
n n1 n2 PT mn v x
Para determinar el cuadrado de la velocidad promedio debemos hacer uso de la respectiva
expresión estadística y de la función de distribución de Maxwell:
2
2
v v f ( v ) dv
1/ 2 m 2
vx
m 2 kT
f (v ) e
2 kT
1/ 2 m 2
vx
2 m 2 2 kT
v v e x
dv
2 kT
1/ 2
2
2 x 3/2
como x e dx
2
1/ 2 1/ 2 3/2
2 m m
v
2 kT 2 2 kT
1/ 2 1/ 2 3/2
2 m m
v 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 3/2 3/2 3/2 3/2
2 k T 2 2 k T

3. 1
2 m
v 1 1
k T
Reemplazando este resultado en la ecuación 4 se obtiene:
1
2 m
PT mn v x mn 1 1
k T
PT nkT
La cual es equivalente a la ecuación de un gas ideal en el nivel macroscópico.