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1
SAN MARCOSSEMESTRAL 2014-III GEOMETRÍA TEMAA
RECTA – ECUACIÓN DE LA RECTA
GEOMETRÍA - TEMA A
I. RECTA
A. Caraterísticas dela recta
1. Ángulo de inclinación
Es el ángulo que forman la recta con el eje de
las abscisas, medido en sentido antihorario.
Y
X
2. Pendiente de una recta
Es la tangente trigonométrica de la medida del
ángulo de inclinación de la recta.
Y
X
En la figura:
* Sea "m" la pendiente de la recta 2
m Tan ; 90 m( )
    
= +
* Sea "m1" la pendiente de la recta 1
1
m Tan ; 90 m( )
   
= –
3. Cálculo de la pendiente
P(x ,y)
1 1
(x - x )
2 1 M
(y - y )
2 1
Q(x ,y)
2 2
X
Y
Conociendo las coordenadas de dos puntos de
la recta, se puede calcular su pendiente de esta
manera:
* En la figura:
La pendiente de la recta es m Tan
=
PMQ 2 1 2 1
2 1 2 1
y y y y
Tan m
x x x x
 
– –
= =
– –
4. Cálculo de la medida angular entre dos
rectas
P( )
x, y
Y
X
A( )
x , y
o o
x–y o
y–yo
Sean:
m1: Pendiente de la 1
m2: Pendiente de la 2
DESARROLLO DEL TEMA

Exigimos más!
2
Luego: 1 2
m Tan , m Tan( )
 
= =
P QM:
       
+ = = –
Luego: Tan Tan( )
Tan Tan )
Tan
1 Tan . Tan
  
 

 
= –
–
=
–
Reemplazando: 2 1
Tan m Tan m
  
= =
2 1
2 1
m m
Tan
1 m . m

–
=
–
Nota:
a) Si: 1
//
2
0º
 =
1 2
m m
 =
b) Si: 1 2
90º
  =
1 2
m . m 1
 = –
II. PLANO CARTESIANO
El producto 2

  
= es el conjunto de todos los
pares ordenados del plano que está determinado por
2 rectas numéricas reales perpendiculares, siendo estas
horizontal y vertical respectivamente. Dichas rectas son
los ejes de coordenadas rectangulares o Plano
cartesiano y a la intersección de los ejes de denomina
origen de coordenadas.
1
2
- 3

+

+

-

- - 2 - 1 (0,0) 1 2 3
1
2
Eje X
Eje Y
Se le denomina así:
* Eje x, horizontal llamado "Eje de las abscisas" o Eje
de las x.
* Eje y vertical llamado "Eje de las ordenadas" o "Eje
de las y".
* Al conjunto de los ejes, se les llama "Eje
coordenadas".
* Al punto de intersección de los ejes, se le llama
"Origen de coordenadas"
* En el eje x, se considera positivo el sentido de la
derecha del origen.
* En el eje y, se considera positivo el sentido hacia
arriba del origen.
Nota:
* Los ejes de coordenadas determinan en el plano
cartesiano cuatro regiones, las cuales se denomi-
nan "cuadrantes".
* Tomando en sentido antihorario, se enumeran los
cuadrantes en: IC; IIC; IIIC y IV C.
* Al plano cartesiano se le denominan también, sis-
tema de coordenadas, sistema de coordenadas
rectangulares o sistema x – y.
* el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) se
denominaplanonuméricoysedenotapor 2
 , así:
 
2
^(x, y) / x , y
 
=
  
X
Y
II C
x ( - )
y (+)
I C
III C IV C
x (+)
y (+)
x ( - )
y ( - )
x (+)
y ( - )
A. El punto en el plano cartesiano
En todo plano cartesiano existen infinitos puntos y a
cada punto se le asocia un único par o pareja de números,
el cual se le denomina: "Par ordenado" o
o
(x , y ) .
Eje de abscisas
Eje de ordenadas
o
y
o
x
P( , )
o o
x y
origen
de
coordenadas.
Notación:
* Punto: P = o
o
(x , y )
o
x : es abscisa
o
y : es ordenada

Exigimos más!
3
B. Distancia entre dos puntos
Conociendo las coordenadas de dos puntos cua-
lesquiera P o
o
(x , y ) y Q 1 1
(x , y ) , usted podrá de-
terminar la distancia entre ellos.
o
y
o
x
P( , )
o o
x y
1
x
1
y
1
( )
o
x y
-
1 1
Q ( , )
x y
1
( )
o
y y
-
d
M
Y
X
PMQ: 2 2 2
1 1
o 0
d (x x ) (y y )
= – + –
2 2
1 1
o o
d (x x ) (y x )
 = – + –
C. División de un segmento en una razón dada
Conociendo las coordenadas de dos puntos cua-
lesquiera 1 1
(x , y ) y M(x,y) un punto del PQ , tal
que: PM
r
MQ
=
1 1
Q( , )
x y
1
( )
o
y y
-
P( , )
o o
x y
1
x
o
x
o
y
1
y
x
y
a
b
b
M( )
x, y
1
( )
y y
-
1
( )
x x
-
( )
o
x x
-
( )
o
y y
-
Si:
PM
r
MQ
= ; luego PLM  MNQ
o
1
(x x ) PM
r
(x x) MQ
–
= =
–
Entonces:
o 1
1
x r x
x r 1
x x
 
+
= –
–
Análogamente:
o 1
y r y
y r 1
1 r
 
+
= –
+
Además: De la gráfica anterior, diremos PM = a y
MQ = b; obtendremos:
o
1
o
1
x x ax bx
a
x
x x b a b

– +
= =
– +
Análogamente:
o
1
o
1
y y ay by
a
y
y y b a b

– +
= =
– +
D. Punto medio de un segmento
Sean los puntos P o
o
(x , y ); Q 1 1
(x , y ) y "M" (x, y)
punto medio de P Q ; tal que PM = MQ.
PM
1
MQ
 =
x
o
y
o
x
P( , )
o o
x y
M ( )
x; y
y
1
x
1
y
a
a
O
Y
X
o 1 o 1
x x y y
x y
2 2
+ +
= =
III. ECUACIÓN DE LA RECTA
A. Ecuación forma, punto y su pendiente
Sea un punto P(x, y) de la recta cuya pendiente
es "m" se representa mediante la ecuación.
o
o
y y m(x x)
– = –
P( )
x, y
Y
X
A( )
x , y
o o
x–y o
y–yo

Exigimos más!
4
Si: o o
A(x y ) o o
o o
y y y y
m
x x x x

– –
= =
– –
Luego:
Ecuación
o o
y y m(x x)
– = – Punto Pendiente
Donde:
P(x, y) : Punto de paso
A o o
(x , y ) : Punto genérico
m : Pendiente
B. Ecuación forma pendiente y su ordenada al
origen
Es la tangente trigonométrica de la medida del
ángulo de inclinación de la recta.
(o, b)
A(x ,y)
o o
xe
(yo - b)
y = mx + b
o o
X
Y
Donde:
A o o
(x ,y ) : Punto genérico
(o, b) : Intersecto con el eje Y.
m : Pendiente.
C. Ecuación forma de coordenadasde origen
La recta que pasa por (o, b) y (a, o) tiene como
ecuación:
y
x
1
a b
+ =
(o, b)
(x ,y)
o o
(a; o)
Y
X
De la figura:
o b b
m m
a o a

–
= =–
–
Luego:
Aplicamos ecuación pendiente y ordenada de
origen.
: o o
y mx b
= +
o o
b
y x b
a
 
 
 
–
= +
Luego:
o o
x y
1
a b
+ =
Ecuación de coordenadas al origen.
D. Ecuaciónforma simétrica
P(x -y )
1 1
c
Q(x; y)
d
Y
X
De la figura:
1 1
y y x x
c d
– –
=
E. Ecuación, distancia de un punto a una recta
: Ax + By + C = 0 y un punto.
1 1
P(x , y ) que no pertenece a la recta.
P(x ; y )
1 1
(x; y)
d
Y
X
Ax+By+C=0
1 1
(P, ) 2 2
A B C
A B
x y
d
+ +
=
+

Exigimos más!
5
Problema 1
Dadas las ecuaciones de las rectas:
L1: 9y + Kx + (K = 3) = 0
L2: Ky + 4x + S = 0
Hallar (K + S) de manera que L1 y L2
representen la misma recta si se sabe
que K > 0
A) 12 B) 14 C) 16
D) 20 E) 36
Resolución:
Para que las rectas L1 y L2 representen
la misma recta se debe cumplir.
K 3
9 K
K 4 S
+
= =

K 6
=
Como K > 0, K = 6
S = 6
nos piden
 K S 12
+ =
Respuesta: A) 12
NIVEL I
1. Hallar las medidas de los ángulos
de inclinación de L1 y L2.
L1: x – y + 2 = 0
L2: 4x – 3y + 10 = 0
A) 45° y 32°
B) 45° y 53°
C) 30° y 60°
D) 37° y 30°
E) 15° y 75°
2. Del problema anterior, hallar la
medida del ángulo entre L1 y L2.
A) 45º B) 53º C) 37º
D) 8º E) 30º
3. L1 y L2 son rectas perpendiculares
entre sí.
L1:(x;y) 
2
(x :y) / y 2x 3
 =– +

L2 : pasa por el origen de
coordenadas.
Hallar la ecuación de L2.
A) y = 2x B) y = 4x
C)
1
y x
2
= D)
1
y x
3
=
E)
1
y x
4
=
4. L1 y L2, son dos rectas
perpendiculares entre sí.
L1 : pasa por (2; 7)
L2 :  
2 1
(x :y) / y x
4
 =

A) 2y – 4x + 15 = 0
B) y – 4x + 15 = 0
C) 2y + 4x – 13 = 0
D) y – 4x – 15 = 0
E) y + 4x – 15 = 0
5. L1 y L2 son dos rectas paralelas
entre sí.
L1 :  
(x :y) / y 4x 3
= +
L2 : pasa por el punto (0; 0)
A) y = 4x B) y = 8x
C) y = 16x D)
1
y x
4
=
E)
1
y x
2
=
6. L1 y L2 son dos rectas paralelas
entre sí.
L1 :  
2
(x :y) / y mx b
 = +

L2 :  
2
(x :y) / y 2x
 =

Además, L1,pasa por (2; 3)
Hallar: m + b
A) 2 B) 4 C) 3
D) 1 E) –1
Problema 2
Determinar m y n para que las rectas
L1: y m – x + 2 = 0
L2: 2y + nx – 1 = 0
sean coincidentes.
A) 1/2; –2
B) 1/2; –4
C) 2; –2
D) 1/2; 4
E) 2; –4
Resolución:
Para que las rectas sean coincidentes
se debe cumplir:
m 1 2
2 n 1
–
= =
–


1
n
2
m 4
=
=–
Respuesta: B) 1/2; –4
Problema 3
Determinar los valores de "m" y "n" en
la recta (m + 2n – 3) x + (2m – n + 1)
y + 6 m + 9 = 0 si es paralela al eje de
abscisas e intercerpta al eje Y en el
punto (0, –3)
Resolución:
Y
x
(0,–3)
el punto (0, 3) lo reemplazamos en la
recta
  
3 2m n 1 6m 9 0
– – + + + =
6m 3n 3 6m 9 0
– + – + + =
3n = 12 n = 4
como la recta es paralela al eje X; x = 0
m = –5


m 5
n 4
=–
=
Respuesta: –5, 4
PROBLEMAS RESUELTOS
problemas de clase

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6
NIVEL II
7. Hallar la pendiente de la recta que
contiene el lado AB de un
AB C
 , si A (3; –7), C (5; 5) y M
(2; 4), donde M es punto medio
de B C .
A) 5/2 B) –5/2 C) 5
D) –5 E) –5/4
8. Hallar el ángulo de inclinación de
la recta L, cuya ecuación es:
 
2
L (x ;y) / 4x 3y 24

= + =

A) 37º B) 53º C) 143º
D) 127º E) 123º
9. Hallar la pendiente de una recta
que forma con el semieje positivo
OY un ángulo de medida 30º. La
pendiente de dicha recta es
negativa.
A) 3
– B) 3 / 3
–
C) 2
– D) 2 / 2
–
E) – 1/2
10. En un cuadrado ABCD, el ángulo
de inclinación de la recta que
contiene el lado A D , tiene
medida 32º. Hallar la medida del
ángulo de inclinación de la diagonal
A C , sabiendo que la ordenada
de C es mayor que la de D.
A) 77º B) 13º C) 157º
D) 147º E) 167º
11. En un triángulo equilátero ABC,
el ángulo de inclinación AB mide
27º. Si la ordenada de C es mayor
que la de B, hallar la medida del
ángulo de inclinación de B C .
A) 33º B) 87º C) 93º
D) 147º E) 137º
12. Hallar la medida del ángulo que
determinan las rectas L1 y L2, de
ecuaciones:
L1 :  
2
(x :y) / x y 2 0
 + + =
L2 : 
2
(x :y) / x 3y 1 0
 – + =
A) 102º B) 105º C) 115º
D) 125º E) 110º
NIVEL III
13. La distancia entre los puntos
A (1; 3) y B (– 5; a) es a . El
valor de a es:
A) 15 B) 15/31
C) 15 D) 15/2
E) 15/7
14. Los puntos P (7; n) y Q (n; – 3)
están a igual distancia del punto
R (n; n). Hallar el valor de n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
15. En un triángulo ABC, M es punto
medio de AB y N, punto medio
de B C . A (2; 8), C (5; 12). Hallar
la longitud de MN .
A) 5 B) 2 C) 5/2
D) 5/3 E) 3

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