La Sostenibilidad Corporativa. Administración Ambiental
unidad 10.1 2
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Unidad 10.2: Funciones lineales en dos variables y la regresión lineal
Tema 1: Ecuaciones lineales
Lección 1.1: Las rectas y sus representaciones
La recta en contexto
Uno de los elementos geométricos de gran importancia y aplicación a nuestro
entorno es la recta. Lo más impresionante es que la recta, desde el plano
cartesiano, puede ser analizada algebraicamente. De hecho, el saber que dos
puntos determinan una y solo una línea recta que contiene dichos puntos, es una
idea importante y necesaria para dicho análisis. Por ejemplo, la depreciación es
un término utilizado en los negocios, contabilidad y administración. El valor de
un activo (por ejemplo, un automóvil) disminuye mientras pasa el tiempo. Para
poder caracterizar dicho comportamiento, se utiliza la depreciación lineal.
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¿Qué es la pendiente?
Se utiliza para medir la
“inclinación” de una recta
La pendiente de una recta es la relación
entre la elevación (∆y) y el
desplazamiento horizontal (∆x)
(Stewart, 2012).
La gráfica de arriba muestra la relación entre el valor del automóvil a través del
tiempo en años. En este caso, el automóvil tiene un valor inicial de 10,000
dólares y este va depreciando (disminuyendo su valor) 1,400 dólares anuales.
Elementos de una recta
Para poder analizar y describir una recta en el plano cartesiano, es necesario
identificar varios elementos en este: la pendiente y la intersección con el eje de
y (eje vertical).
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En términos generales, la pendiente m de una recta no vertical que pasa por los
puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) se define como:
𝐦 =
𝐞𝐥𝐞𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧
𝐝𝐞𝐬𝐩𝐥𝐚𝐳𝐚𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐡𝐨𝐫𝐢𝐳𝐨𝐧𝐭𝐚𝐥
=
∆𝐲
∆𝐱
=
𝐲 𝟐 − 𝐲 𝟏
𝐱 𝟐 − 𝐱 𝟏
En cambio, sabemos que la intersección entre la recta y el eje de y es un punto
identificado con el número ubicado en el mismo.
Al tener la información provista por ambos elementos obtenemos la siguiente
ecuación:
Forma pendiente-intersección de una recta
𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛
Donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de intersección con el eje de
y.
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Ejemplo: 𝐲 =
𝟐
𝟒
𝐱 + 𝟐 ⇒ 𝐲 =
𝟏
𝟐
𝐱 + 𝟐
Forma punto-pendiente de una recta
𝐲 − 𝐲 𝟏 = 𝐦(𝐱 − 𝐱 𝟏)
Donde m es la pendiente de la recta y P(x1,y1) es un punto donde pasa la recta.
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (1, 2) y tiene una
pendiente igual a -2.
𝐲 − (𝟐) = −𝟐[𝐱 − (𝟏)] ⇒ 𝐲 = −𝟐𝐱 + 𝟐 + 𝟐 ⇒ 𝐲 = −𝟐𝐱 + 𝟒
Su gráfica es:
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La gráfica de toda ecuación de
la forma Ax + By + C = 0
es una recta (A y B ≠ 0).
Además, toda recta es la
gráfica de una ecuación lineal.
Dos rectas son
paralelas si sus
pendientes son
iguales.
Dos rectas son
perpendiculares
si sus
pendientes son
recíprocas
negativas.
Ecuación general de una recta
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
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Rectas verticales y rectas horizontales
La ecuación de la recta
vertical que pasa por el punto
(a, b) es x = a
La ecuación de la recta que
pasa por el punto (a, b) es
y = b.
