Estándares matematicas 8vo

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Matemáticas
Mapas Curriculares
8vo Grado

Área de contenido: Matemáticas
Duración: 5 semanas
Junio 2011 818
8.1 Números y operaciones
Etapa 1 Resultados esperados
Resumen de la unidad
En esta unidad, los estudiantes aprenderán a describir los números reales como el grupo de todos los
números decimales. Ellos usarán notación científica, estimación y propiedades para representar y
resolver problemas que envuelven números reales.
Estándares de contenido y expectativas
N.SN.8.1.1 Describe los números reales como el conjunto de todos los posibles números decimales.
N.SN.8.1.2 Reconoce que representaciones como y otros números irracionales son decimales
infinitos, no-periódicos.
N.SN.8.1.4 Reconoce, relaciona y aplica las propiedades de los números reales (asociativa,
conmutativa, identidad, inverso, distributiva, clausura) para resolver problemas.
N.SN.8.1.5 Distingue entre números racionales e irracionales.
N.SN.8.1.6 Utiliza las leyes de exponentes para simplificar expresiones.
N.SN.8.1.7 Utiliza técnicas de estimación para decidir si la respuesta es razonable.
A.RE.8.7.1 Halla las potencias enteras de números racionales; evalúa el significado de potencias
enteras de variables en las expresiones y aplica las leyes básicas de los exponentes.
am n
= am+n
; (am
)n
= amn
; (ab)n
= an
bn
; 0
= 1; am
/an
= am-n
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las propiedades de los números reales
pueden ser utilizadas para resolver
problemas del mundo real.
Los números reales pueden ser racionales o
irracionales.
Las estrategias de estimación son
herramientas útiles para resolver problemas.
Preguntas esenciales:
¿Cómo nos ayudan las propiedades de los
números reales a resolver problemas del
mundo real?
¿Qué son los números reales?
¿En qué radica la utilidad de la estimación
como herramienta para resolver problemas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Los números reales son el grupo de números
racionales e irracionales.
La notación científica usa las leyes de los
exponentes.
otros números racionales son infinitos y no
periódicos.
Vocabulario de contenido
Números reales
Números racionales
Números irracionales
Leyes exponenciales
Asociativa
Conmutativa
Identidad
Inversa
Distributiva
Clausura
Destrezas (Los estudiantes podr
Dado un número, determinar si es racional o
irracional.
Dada una expresión, simplificarla usando las
leyes de los exponentes.
Encontrar las potencias enteras de los números
racionales.
Dada una respuesta para un problema, usar la
estimación para determinar si es razonable.
Dado un problema, estimar la solución.
Resolver problemas usando las propiedades de
los números reales.

Junio 2011 819
Números
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
Números
Etapa 2 Evidencia de avalúo
Tareas de desempeño:
Organizadores gráficos (parejas)
Pida a los estudiantes que creen su propio
organizador gráfico para ilustrar lar relaciones
entre los subconjuntos del sistema de números
reales. Esta tarea se realiza mejor después de la
lección de los diagramas de Venn, ya que los
estudiantes entienden el propósito de un
organizador gráfico. Los estudiantes deben
incluir:
Al menos 10 números en su organizador
gráfico.
Los subconjuntos deben estar identificados.
Los organizadores gráficos deben estar en
pósters.
Cuando los organizadores estén completados,
deben exhibirlos en el salón de clases para que
los estudiantes puedan caminar alrededor del
salón para ver los proyectos y hacerles
preguntas a los creadores.
Los maestros pueden evaluar el proyecto según
como los estudiantes sigan las directrices y la
exactitud de la información matemática en el
póster.
Propiedades (parejas o individual)
Dé a los estudiantes el conjunto cerrado { 1, 0,
1}. Haga la siguiente pregunta: ¿Cuál de las
propiedades de los números reales son
verdaderas para el conjunto? Hágalos que
provean su trabajo y explicaciones escritas para
sustentar sus ideas. Los maestros pueden
evaluar a los estudiantes en relación a cuán bien
justifican las propiedades que sostienen.
Otra evidencia:
Preguntas de ejemplo para tarea o prueba corta
¿Cuál es un ejemplo de la propiedad
conmutativa de la suma?
A. 3 + 5m = 3 + (1 + 4)m
B. 3 + 5m = 5m + 3
C. 3 + 5m = (3 + 5)m
D. 3 + 5m = 3m + 5
¿Cuál propiedad de los números reales justifica
el siguiente enunciado?
4x(y + 2) 3y es equivalente a 4x(y) + 4x(2) 3y
A. La propiedad asociativa de la multiplicación
B. La propiedad conmutativa de la
multiplicación
C. La propiedad distributiva de la
multiplicación sobre la suma
D. La propiedad de clausura de multiplicación
Diario de matemáticas (algunos ejemplos)
Explica en palabras la diferencia entre un
número racional e irracional.
Da un ejemplo de una situación donde usas
estimación.
irracional?
Demuestra por qué (52
)(52
) es lo mismo que
52+2
.
Papelito de entrada (ejemplos rápidos)
Use la información para orientar la clase del día en
curso.
Explica una idea que recuerdes de la clase
anterior.
Nombra una idea que no comprendiste de la
tarea para hoy.
Explica que fue difícil (o fácil) de la tarea
asignada para hoy.
Papelito de salida (ejemplos rápidos)
En la clase de hoy aprendí ______________.
Hoy estuve confundido con _________.

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Adaptado de Understanding By Design de Grant Wiggins & Jay McTighe
Etapa 3 Plan de aprendizaje
Actividades de aprendizaje
Acertijo de vocabulario de matemática: Prepare un set de cartas con una palabra de vocabulario
por carta. Divide la clase en dos grupos. Una persona del primer grupo selecciona al azar una carta
estudiante puede tomar una pieza de papel y romperla en dos y retener sólo un pedazo. Los
estudiantes pueden ser muy creativos. Cuenten el número de segundos que le toma al grupo
adivinar la palabra. Luego el segundo grupo trata con otra carta. Continúe hasta que todas las
cartas se hayan usado. El equipo con el número menor de segundos en total gana.
Permita a los estudiantes que trabajen en parejas para descubrir algunas de las leyes de
exponentes dándoles diferentes ejemplos para encontrar respuestas y luego déjeles generalizar
cualquier patrón que noten. Discuta con los estudiantes respuestas en grupo. (Ver Anejo: 8.1
Actividad de aprendizaje Exponentes).
Lecciones de práctica
En esta lección, los estudiantes manipulan números en el diagrama de Venn para mostrar la
relación entre subconjuntos del sistema de números reales. (Ver Anejo: 8.1 Lección de práctica
Organizando números)
En esta lección descubren algunas de las leyes básicas de los exponentes (Ver Anejo: 8.1 Lección de
práctica Hablando científicamente)
En esta lección los estudiantes practican el identificar las propiedades de los números reales
mientras juegan un juego de misterio (Ver Anejo: 8.1 Lección de práctica Un misterio que
resolver)
Recursos adicionales
http://figurethis.org/espanol.htm
http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html
http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/
Conexiones a la literatura
Números reales, potencia y radicales de Ismael Sousa Martin
Números decimales y enteros de Félix Nieto
Trocitos y pedacitos 1: Para comprender los números racionales de Manuel del Alumno
Trocitos y pedacitos 2: Para usar los números racionales de Manuel del Alumno

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8.2 Ecuaciones lineales
En esta unidad los estudiantes aplicarán terminología apropiada al discutir situaciones algebraicas. Los
estudiantes representarán situaciones algebraicas como ecuaciones, tablas, representaciones verbales
y gráficas. Los estudiantes aprenderán a resolver una variedad de ecuaciones lineales en diferentes
formas. Ellos resolverán inecuaciones y ecuaciones con valores absolutos y explicarán el razonamiento
detrás de cada etapa de solución.
A.RE.8.2.3 Describe las características de funciones lineales por pedazos, incluyendo valor absoluto y
situaciones donde surjan.
A.RE.8.2.4 Aplica la terminología y los símbolos asociados con expresiones, funciones y ecuaciones
lineales, incluyendo notación de funciones, entradas, salidas, dominio, alcance, pendiente, interceptos,
variable dependiente e independiente.
A.RE.8.3.1* Representa patrones lineales por medio de tablas, gráficas, sucesiones, expresiones
= ax + b.
A.RE.8.3.2 Describe el significado de las expresiones simbólicas de la forma ax + b en palabras, e
interpreta los cambios en los parámetros a y b.
A.RE.8.3.3 Desarrolla expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones equivalentes usando las
propiedades conmutativa, asociativa, inverso, identidad y distributiva.
A.RE.8.3.4 Identifica y traduce entre representaciones equivalentes de expresiones lineales,
ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones, por medio de representaciones verbales, tablas,
gráficas y símbolos.
A.RE.8.3.5 Escribe, interpreta y traduce entre formas equivalentes de ecuaciones y funciones lineales,
incluyendo: punto-pendiente, pendiente-intercepto, y la forma general, reconociendo que las formas
equivalentes de las relaciones lineales revelan información de una situación dada.
A.RE.8.4.1 Describe y distingue entre los diferentes usos de las variables: como símbolos para
cantidades que varían (como 7x); como símbolos para un valor fijo y posiblemente desconocido en una
ecuación (como 2x + 7 = 4); como símbolos para todos los números en propiedades (x + x = 2x); como
símbolos en fórmulas (como A = bh) y como símbolos para parámetros (como m es la pendiente en y =
mx + b).
A.RE.8.4.2 Identifica los términos variables y constante en una expresión lineal, en ecuaciones e
inecuaciones y en sistemas de ecuaciones e inecuaciones.
A.RE.8.4.3 Identifica y distingue entre parámetros en la variable dependiente e independiente en una
relación lineal (para y = mx + b, x y y son variables respectivamente, m, b son los parámetros.
A.RE.8.4.4 Describe y distingue entre los tipos de ecuaciones que pueden construirse al igualarse
expresiones lineales, incluyendo identidades (x + x = 2x), ecuaciones sin soluciones (x + 1 = x + 2)
fórmulas (c =
(y = 3x + 7).
A.MO.8.5.1 Construye una ecuación o inecuación lineal para modelar una situación del mundo real,
usando una variedad de métodos y representaciones.
A.RE.8.5.2 Analiza y explica el razonamiento utilizado para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales.
A.RE.8.5.3 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales usando símbolos, gráficas, tablas y tecnología.
A.RE.8.5.4 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales con valor absoluto.
A.CA.8.8.2 Analiza situaciones matemáticas y del mundo real, determina si puede describirse por un
modelo lineal, y determina la razón de cambio constante y desarrolla e interpreta la función lineal que
modela la situación.

Junio 2011 822
A.CA.8.8.1 Generaliza patrones lineales o sucesiones aritméticas utilizando reglas verbales y
expresiones simbólicas tales como ak y ax + b.
*Edición técnica hecha por edCount, LLC
Las ecuaciones algebraicas pueden modelar
eventos del mundo.
Las ecuaciones algebraicas pueden
representarse de diferentes maneras.
Las funciones describen las relaciones y
permiten predecir resultados futuros.
¿Cómo ayuda el álgebra a resolver los
problemas del mundo?
¿Cuáles son las diferentes representaciones de
las ecuaciones algebraicas?
¿Qué es un valor desconocido?
¿Por qué usamos variables?
Formas equivalentes de relaciones lineales
revelan información de una situación
determinada
Las variables tienen roles diferentes: como
símbolos de cantidades que varían (como
7x); cómo símbolos de un valor fijo y
posiblemente desconocido en una ecuación
(como en 2x+7=4); como símbolos en
fórmulas (como A=bh) y como símbolos para
parámetros (como en m en la pendiente en
y=mx+b)
El uso apropiado de términos algebraicos y
notación simbólica
Función
Valor absoluto
Entrada
Salida
Dominio
Alcance
Pendiente
Intercepto
Variable dependiente
Variable independiente
Variable
Constante
Destrezas (Los estudiantes pod
Resolver una ecuación lineal de valor absoluto
Resolver una inecuación de valor absoluto
Resolver una ecuación lineal usando tablas,
gráficas y símbolos
Dada una ecuación lineal con los pasos de
solución, justificar cada paso por escrito
nombrando la propiedad usada
Modelar una situación usando una ecuación
lineal escrita en función de la forma
Dada una ecuación en la forma y=mx+b,
identificar las variables dependientes e
independientes
Dada una ecuación, identificar las(s) variable(s)
y constante(s)
Dada una inecuación, identificar la(s) variable(s)
y constante(s)
Dada una ecuación lineal en su forma general,
expresar la ecuación en las formas de punto-
pendiente y pendiente-intercepto
Dada una ecuación lineal en su forma
simbólica, expresar la relación en su
representación verbal, tabla, gráfica y función
de la forma
Dada una ecuación lineal, crear una ecuación
equivalente usando la propiedad conmutativa
Dada una ecuación lineal, crear una equivalente
usando la propiedad asociativa
equivalente usando la propiedad de identidad
equivalente usando la propiedad inversa
equivalente usando la propiedad distributiva
Dada una ecuación en la forma y=mx+b,

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identificar por escrito el significado de m y b
Usar la función de notación cuando se
representa una ecuación lineal en forma
simbólica
Generalizar un patrón lineal o secuencia
aritmética usando reglas verbales y expresiones
simbólicas tales como ax + b
Representaciones (individual)
Dé a los estudiantes la ecuación f(x) = 10x + 15.
Pídales que hagan lo siguiente:
1. Escribe una representación verbal (historia)
para representar esta ecuación.
2. Representa la ecuación gráficamente.
3. Representa la ecuación en forma de tabla.
Evalúe a los estudiantes según la precisión de
sus representaciones.
Pósters dependiente/independiente (parejas)
Una manera fácil de introducir esta idea es
hablar sobre las relaciones de causa y efecto. A
su nivel más básico, las variables independientes
son la causa y las variables dependientes el
efecto. Se pueden hacer muchas conexiones y
comparaciones que los estudiantes encontrarán
fáciles:
Independiente Dependiente
Causa Efecto
Antes Después
Entrada Salida
Lo que haces Lo que pasa
La idea de este proyecto en particular es que los
estudiantes usen dos imágenes (dibujadas o
prestadas) para ilustrar la relación de las
variables dependientes e independientes. Las
instrucciones del proyecto contienen numerosos
ejemplos, pero la premisa es tener una imagen
de una cosa que afecte otra directamente,
identificarlas apropiadamente y escribir un
enunciado simple que explique la relación. Los
estudiantes tendrán la libertad de usar
cualquiera de los ejemplos incluidos o crear los
suyos propios.
Usa el siguiente criterio para evaluar:
Otra evidencia:
Explica la diferencia entre variables
dependientes e independientes
Para la ecuación y = 3x + 4, identifica el dominio
y el alcance
Para la ecuación y = 5x + 10, escribe una
representación verbal
curso.
anterior.
tarea para hoy.
asignada para hoy.

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1. Siguiendo direcciones: ¿Incluyeron todos los
elementos requeridos (imágenes/dibujos,
explicaciones, etiquetas)?
2. Claridad: ¿Hacen sentido los ejemplos y son
fáciles de entender para los otros
estudiantes?
3. Esfuerzo: ¿Hizo el estudiante el proyecto a
tiempo y se esforzó en hacer un póster
colorido, que capturara la atención y que
fuese fácil de ver desde lejos?
Enfatice que el proyecto del mini-póster tiene
que considerar a los otros estudiantes que
mirarán el póster en la pared y que tienen que
esforzarse por ser claros para que se entiendan
los conceptos, por lo que tiene que ser fácil de
comprender por cualquier persona. (Ver Anejo:
8.2 Tarea de desempeño Hoja de trabajo:
Pósters dependiente/independiente)
En este juego de pendientes y cuadrados, los estudiantes trabajarán con ecuaciones equivalentes
(Ver Anejo: 8.2 Actividad de aprendizaje Juego de los cuadrados)
En estos juegos los estudiantes resuelven ecuaciones e inecuaciones y combinan soluciones de
ecuaciones y inecuaciones (Ver Anejo: 8.2 Actividad de aprendizaje Ecuaciones lineales)
En este juego, el estudiante combina diferentes formas de ecuaciones (Ver Anejo: 8.2 Actividad de
aprendizaje Ecuaciones lineales)
En esta lección los estudiantes aprenden sobre funciones, dominio y alcance (Ver Anejo: 8.2
Lección de práctica Variación directa)
Esta lección sobre dominio y alcance debe seguir la lección anterior (Ver Anejo: 8.2 Lección de
práctica Patio cuadrado)
Ecuaciones y funciones de segundo grado de Ismael Sousa Martin
Algebra sin dolor: Painless Algebra de Lynette Long
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales de Antonio Montes Lozano
Diez lecciones de cálculo numérico de Jesús Sanz Serna
2000 Problemas de algebra lineal de Proskuriakov I. V.

Area de contenido: Matemáticas
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8.3 Ecuaciones no lineales
En esta unidad, los estudiantes aprenderán a distinguir representaciones lineales y no lineales, y
estudiarán tipos de funciones no lineales y sus representaciones. Ellos resolverán ecuaciones
cuadráticas y usarán cuadráticas para resolver problemas del mundo real. También estudiarán
funciones exponenciales y las formas generales de las ecuaciones y aprenderán cómo multiplicar
ecuaciones lineales y factores cuadráticos.
A.PR.8.2.1 Determina si una relación es una función a partir de su gráfica y su descripción verbal.
A.PR.8.2.2 Determina si una relación es lineal o no lineal basándose en si tiene o no razón de cambio
constante, su descripción verbal, su tabla de valores, su representación gráfica o su forma simbólica.
A.RE.8.6.1* Identifica relaciones no lineales (exponencial, cuadráticas, y de la forma y=k/x) en
representaciones gráficas o tablas a través del examen de las diferencias sucesivas, las razones, las
formas simbólicas o las propiedades de la gráfica.
A.RE.8.6.2 Identifica los términos de una sucesión geométrica (exponencial) usando expresiones
verbales y simbólicas.
A.RE.8.6.3 Multiplica un par de expresiones lineales e interpreta el resultado de la operación
numéricamente por evaluación, por medio de una tabla de valores y gráficamente.
Reconoce que al multiplicar factores lineales produce relaciones no lineales.
A.RE.8.7.2 Reconoce las funciones exponenciales a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus
gráficas o sus representaciones simbólicas, y traduce entre estas representaciones.
A.RE.8.7.3 Describe los efectos de los cambios en el coeficiente, la base y el exponente en el
comportamiento de una función exponencial.
A.RE.8.7.4 Distingue entre las representaciones generales para ecuaciones exponenciales (y = bx
,
y=a(bx
) y ecuaciones cuadráticas (y = -x2
; y=x2
; y=ax2
; y=x2
+c; y = ax2
+ c) y describe cómo los valores
a,b,c afectan su gráfica.
A.RE.8.7.5 Desarrolla y describe las múltiples representaciones de las soluciones de las ecuaciones
cuadráticas y exponenciales utilizando manipulativos, tablas, gráficas, expresiones simbólicas y la
tecnología.
Representa funciones cuadráticas simples utilizando descripciones verbales, tabla de valores,
gráficas y fórmulas.
A.RE.8.7.6 Factoriza expresiones cuadráticas simples (factor común, trinomio cuadrático perfecto,
diferencia de cuadrados y cuadráticas de la forma x2
+ bc + c que factorizan sobre los enteros) y aplica
la propiedad del producto igual a 0 para determinar las soluciones de una ecuación.
A.RE.8.7.7 Soluciona ecuaciones cuadráticas, con y sin la tecnología, e interpreta estas soluciones en
términos del contexto del problema original.
*Edición técnica hecha por edCount, LLC
Las relaciones del mundo real pueden ser
modeladas por ecuaciones no lineales.
Las relaciones no lineales pueden expresarse
de varias maneras.
Las funciones describen las relaciones y te
permiten predecir resultados futuros.
¿Cómo sabes si una relación es lineal o no-
lineal?
¿Cómo pueden ser expresadas las relaciones no
lineales?
¿Cómo puedes reconocer la gráfica de una
función no lineal?

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La multiplicación de factores lineales
produce relaciones no lineales.
El comportamiento de una función
exponencial cambia de manera predecible
cuando cambian la base, el exponente o el
coeficiente.
La gráfica de una función cuadrática tiene
una forma geométrica distintiva llamada
parábola, que exhibe simetría geométrica y
tiene un punto mínimo o máximo.
Es necesario aprender las diferentes formas
de una misma función porque cada forma se
usa para analizar diferentes características
de una función.
Ecuación no-lineal
Función exponencial
Ecuación cuadrática
Coeficiente
Base
Exponente
Factor
Secuencia geométrica
Secuencia aritmética
Ceros o raíces de una ecuación
Vértice
Parábola
Determinar si la relación es una función por su
gráfica o descripción verbal
Dada una ecuación, gráfica o tabla, determinar
si la relación es lineal o no-lineal
Dadas dos expresiones lineales, multiplicar y
expresar el producto con una tabla o gráfica
Dada una secuencia geométrica de al menos 5
términos, escribir una expresión verbal para
representar la secuencia
Dada una secuencia geométrica de al menos 5
términos, escribir una expresión simbólica para
represente la secuencia
Dado un set de gráficas, identificar la relación
exponencial
Dada una función exponencial en una
representa la función utilizando otras formas
(verbal, gráfica, simbólica, tabla de valores)
Dada una ecuación en su forma general,
determinar si es lineal, exponencial o
cuadrática
Dada una ecuación cuadrática simple,
factorizarla
Determinar la solución de una ecuación
cuadrática aplicando la propiedad del producto
igual a 0
Dado un problema del mundo real, resolverlo
usando una ecuación cuadrática
El problema de los conejos y qüimos (parejas)
Una banda de 45 conejos se estrelló de noche en
el Parque Nacional. Esto suena como un
problema pequeño, pero la población va a crecer
a un promedio rápido de 22% por año. Escribe
una ecuación para describir la población en
cualquier año. También crea una tabla que
muestre la población cada 5 años hasta el 2050.
1. Coincidentemente, una banda de güimos se
estrelló cerca de los conejos. Los güimos
tienen un modelo de crecimiento
poblacional de A = 105(0.91)t
, donde A es la
población en cualquier momento, t, dada en
Otra evidencia:
¿Cómo sabes si la ecuación es lineal o no lineal?
Compara una ecuación algebraica sea
semejante al proceso de factorizar 36
Da un ejemplo del mundo real de una relación
que sea exponencial.
curso.
anterior.
tarea para hoy.

Junio 2011 827
años. ¿Crecerá la población? ¿Decrecerá?
¿Se estancará? Explica tu razonamiento.
Los maestros deben evaluar la corrección de los
estudiantes en las matemáticas y en la
explicación del razonamiento usado.
El cohete (parejas)
El camino de un cohete modelo puede ser
descrito por su función cuadrática y = -x2
- 12x,
donde el punto (x, y) representa la altura (y) del
cohete (en metros) a tiempo x segundos después
del despegue. Identifica la altura máxima del
cohete, y determina el momento en el que el
cohete alcanza su altura máxima. (Ver Anejo: 8.3
Tarea de desempeño El cohete)
asignada para hoy.
cuadráticas. (Ver Anejo: 8.3 Actividad de aprendizaje Juego del cuadrado: Factorizando)
El siguiente experimento está diseñado para estimular la frecuencia natural y darles a los
estudiantes experiencia con una situación del mundo real que es exponencial. Puedes necesitar
1. a debajo a
la derecha de lanzamiento #0 (Ver Anejo: 8.3 Actividad de aprendizaje Tablas de M&M ), y
corta papel en cuartos para darle a cada estudiante una tabla para ir marcando sus datos)
2. emueve y deja a un lado
aquellos que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla a
la derecha de lanzamiento #1. Pon estos dulces de vuelta al vasito.
3. Mueve el vaso, vira los dulces. Remueve y deja a un lado aquellos que cayeron mostrando la m.
Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla. Repite este procedimiento hasta que
no aparezcan m.
4. Haz una gráfica en papel de gráfica con los datos colectados.
5. ¿Qué notas? ¿Es esto una función lineal o no lineal? ¿De qué tipo? ¿Cómo lo sabes?
En esta lección, los estudiantes combinarán una gráfica y una tala con ecuaciones cuadráticas
apropiadas. El maestro necesitará cortar las gráficas, tablas, ecuaciones y pegarlas a cada tarjeta.
Necesitará un set por grupo de estudiantes. Después los estudiantes completarán la tarea y
explicarán en una gran discusión de grupo cómo sabían cuál era correcta. (Ver Anejo: 8.3 Lección
de práctica Recolectando datos y ecuaciones de regresión)
En esta lección, los estudiantes practicarán resolver ecuaciones cuadráticas (Ver Anejo 8.3 Lección
de práctica Resolviendo cuadráticas)
En esta lección, los estudiantes usarán ecuaciones cuadráticas para resolver problemas del mundo
(Ver Anejo 8.3 Lección de práctica Aplicaciones cuadráticas)

Junio 2011 828
Ecuaciones diferenciales/Differential Equations II: Ecuaciones no lineales de Carlos Fernández
Pérez y José M. Montaner
Sistemas de ecuaciones de Félix Nieto
La función cuadrática/The Quadratic Function: Enfoque de resolución de problemas/Problem-
Solving Approach de Luz Manuel Santos Trigo
Estructuras algebraicas VI: Formas cuadráticas de Francisco M. Piscoya H.

Junio 2011 829
8.4 Geometría y medición
En esta unidad, los estudiantes usan lo que han aprendido en años anteriores y comienzan a formular
argumentos. Ellos aprenden la diferencia entre argumentos inductivos y deductivos; y lo aplican a
congruencia, semejanza y el Teorema de Pitágoras. Los estudiantes exploran sistemas axiomáticos y los
componentes incluyendo axiomas, postulados y teoremas. También podrán comparar esto entre
sistemas euclidianos y sistemas no euclidianos, especialmente el postulado de la línea paralela. En
medición, los estudiantes se concentrarán en el nivel de precisión de una situación dada y explorarán lo
que les pasa a las medidas como la de volumen cuando cambian la escala y las dimensiones.
G.MG.8.9.1 Identifica y construye elementos básicos de figuras geométricas (alturas, bisectriz de
ángulos, bisectriz perpendicular, radios u otros) usando compás, transportador u otras herramientas
tecnológicas.
G.MG.8.9.2 Construye patrones bidimensionales (redes) para modelos tridimensionales como (prisma,
rectas, pirámides, cilindros y conos)
G.MG.8.9.3 Utiliza representaciones algebraicas y coordenadas (distancia, punto medio, pendiente)
para describir y definir figuras.
G.MG.8.9.4 Utiliza redes, dibujos, modelos e imágenes creadas con la tecnología para representar
figuras geométricas y analizar las relaciones entre ellas.
G.FG.8.10.1 Describe la estructura y relaciones dentro de un sistema axiomático (términos sin definir,
términos definidos, axiomas, postulados, razonamiento y teoremas).
G.FG.8.10.2 Examina argumentos deductivos e inductivos concernientes a conceptos y relaciones
geométricas como la congruencia, semejanza y la relación pitagórica.
G.FG.8.10.3 Reconoce defectos o discrepancias en el razonamiento que sostienen un argumento.
G.FG.8.10.4 Desarrolla y prueba conjeturas sobre ángulos, líneas, bisectrices, polígonos (especialmente
triángulos y cuadriláteros) círculos, y figuras tridimensionales.
G.FG.8.10.5* Justifica enunciados sobre ángulos formados por líneas perpendiculares y transversales
de líneas paralelas.
G.FG.8.11.1 Investiga las representaciones geométricas y las propiedades que no se encuentran en la
geometría plana (por ejemplo, relaciones en la geometría de una esfera).
G.FG.8.11.2 Interpreta el rol del postulado de las rectas paralelas como un postulado clave en la
formulación de la geometría euclidiana, e ilustra su contraparte en otras geometrías (geometría de la
esfera).
M.UM.8.12.1 Selecciona y aplica técnicas e instrumentos para determinar medidas con un grado
apropiado de precisión.
M.UM.8.12.2 Determina cómo las medidas son afectadas por cambios en la escala y sus dimensiones.
*Edición técnica de la numeración hecha por edCount, LLC
La geometría nos ayuda a describir el mundo
a nuestro alrededor.
Las figuras tridimensionales pueden ser
representadas con figuras bidimensionales.
El álgebra y la geometría están
interrelacionadas.
Hay diferentes tipos de geometría.
¿Cómo se relacionan las figuras
bidimensionales y tridimensionales?
¿Cómo se relacionan el álgebra y la geometría?
¿Qué elementos geométricos nos ayudan a
describir el mundo a nuestro alrededor?
¿Qué diferencia hay entre los tipos de
geometría?

Junio 2011 830
Dos líneas paralelas cortadas por una
transversal crean varios pares de ángulos
con las mismas medidas
La notación correcta de las medidas de un
ángulo es por ejemplo, m<A= 98
Hay propiedades que existen en otras
geometrías que no existen en la geometría
euclidiana
En la geometría euclidiana los axiomas,
postulados, teoremas y razonamientos están
relacionados
Prisma
Cono
Red
Bisectriz
Bisector Perpendicular
Radio
Compás
Transportador
Fórmula del punto medio
Fórmula de distancia
Axioma
Postulado
Teorema
Geometría euclidiana
Geometría no-euclidiana
Escala
Transversal
Líneas paralelas
Argumento inductivo
Argumento deductivo
Congruencia
Semejanza
Relación pitagórica
Dado un ángulo, construir una línea que biseca
el ángulo usando un compás u otra
herramienta tecnológica
Dada una figura tridimensional (prisma,
pirámide, cilindro, cono) construir una red para
la figura
Usar representaciones algebraicas y
coordenadas (distancia, punto medio y
pendiente) para describir y definir figuras
Dadas dos figuras geométricas, usar redes,
dibujos, modelos e imágenes creadas por
tecnología para escribir un análisis breve de la
relación entre dos figuras
Dado un argumento defectuoso, identificar el
defecto en el razonamiento
Dado un diagrama de dos líneas paralelas
cortadas por una transversal, justificar la
relación entre los ángulos verticales
Dado un ángulo, usar un transportador para
encontrar su medida para el grado más cercano
Calcular y después comparar el volumen de un
prisma rectangular, con el volumen de un
prisma rectangular con un atributo distinto
(longitud, ancho, alto)
Dada una medida y una situación, decidir si el
nivel de precisión de la medida es apropiado
para la situación
Desarrollar y probar supuestos sobre ángulos,
líneas, bisectrices, polígonos (especialmente
triángulos y cuadriláteros), círculos y figuras
tridimensionales
Ilustrar la contraparte del postulado de la línea
paralela de la geometría de Euclides en otras
geometrías (ej. geometría de la esfera)
Redes para cubos (parejas)
Dé a los estudiantes varias hojas de papel
cuadriculado y tijeras. Dígales que hay 11 redes
para un cubo y tienen que encontrar todas las
posibilidades. Ellos pueden experimentar
cortando las redes y doblándolas para crear los
Otra evidencia:
Compara y contrasta un rectángulo a un prisma
rectangular.
Por escrito, explica la diferencia entre un
razonamiento inductivo y uno deductivo
usando un ejemplo.

Junio 2011 831
cubos. Cuando crean que han encontrado todas
las redes, pídales que entreguen las redes
hechas en el papel. Los maestros pueden evaluar
fijándose en la precisión de las 11 redes. (Ver
Anejo: 8.4 Tarea de desempeño 11 Redes)
Usando el teorema de Pitágoras (individuales)
Dibuja un triángulo recto en la pizarra con
cuadrados en la hipotenusa y extremidades, y
observa el hecho de que el cuadrado en la
hipotenusa tiene un área más grande que
cualquiera de los otros dos.
Luego
pregúntale
a la clase,
que hay
tres
cuadrados hechos de oro, y les ofrecieron el
grande o los dos pequeños. ¿Cuál escogerían?
Escriban una carta explicando su respuesta y
justificando tu respuesta como la que contiene
studiantes en el uso del
teorema de Pitágoras y sus argumentos
inductivos o deductivos.
Explica qué le pasa al volumen de un prisma
rectangular cuando las dimensiones de un
prisma se duplican.
curso.
anterior.
tarea para hoy.
asignada para hoy.
Ejemplo de prueba corta
Esta prueba corta verifica la comprensión del
estudiante aplicada a problemas. Cubre la relación
de ángulos formados por dos líneas paralelas
cortadas por una transversal en una situación del
mundo real. También incluye las preguntas de
repaso usando el teorema de Pitágoras y los tipos
de ángulos. Además hay una pregunta en
referencia a los puntos medios. (Ver Anejo: 8.4 Otra
evidencia Prueba corta)
Pide a los estudiantes que se paren y hagan el siguiente experimento para demostrar que la
geometría en la superficie de un esfera en un plano es diferente a la geometría euclidiana que
suelen usar:
o Forma un puño con los dedos de la mano derecha, pero deja el dedo pulgar estirado afuera.
o Cuelga tu brazo derecho con el dedo pulgar apuntando hacia adelante.
o Deja tu brazo estirado, y nunca vires la muñeca innecesariamente.
o Mece tu brazo hacia arriba y hacia fuera de lado (el dedo pulgar seguirá señalando hacia
adelante)
o Luego mece el brazo hacia adelante, hasta que apunte hacia adelante (como recordaste no
girar el puño, ahora el pulgar apunta hacia la izquierda)

Junio 2011 832
o Finalmente, mece tu brazo hacia abajo, hasta que se quede a tu lado nuevamente.
o Note que el pulgar ahora apunta hacia la izquierda. El brazo está de vuelta al lugar original y
nunca giraste tu muñeca, pero tu pulgar terminado virado por 90o
.
o En este experimento, tu mano es un punto moviéndose alrededor de una esfera. Como el
brazo permanece derecho, tu mano esta siempre a una distancia fija de tu hombro. Tu pulgar
siempre apunto perpendicular a tu brazo. Como tu pulgar apunta en una dirección posible para
que tu mano se mueva, con la esfera, se le llama un vector tangente a la esfera.
o Este experimento demuestra que cuando transportamos un vector tangente alrededor de una
trayectoria cerrada o esfera, regresará volteado. Esto pasa incluso cuando localmente nunca
giramos la muñeca en particular, si nos movemos sobre una trayectoria recta (un geodésico o
gran círculo en la esfera) mantenemos el vector tangente en un ángulo constante en relación
con nuestro movimiento de dirección). Al giro que terminamos haciendo se le llama holonomía
e ilustra que la superficie de una esfera es curva y, sin embargo, mide exactamente la curvatura
de la región que siga nuestra trayectoria.
Esta es una lección de introducción a la comprensión y definición de argumentos deductivos e
inductivos (Ver Anejo: 8.4 Lección de práctica Razonamiento inductivo y deductivo)
Esta lección permite a las parejas de estudiante seguir instrucciones escritas para practicar
construcciones. Camine alrededor del salón durante la lección para ofrecer asistencia a los
estudiantes si la necesitan (Ver Anejo: 8.4 Lección de práctica Construcciones)
En esta lección los estudiantes explorarán/probarán argumentos sobre los conceptos relacionados
con el Teorema de Pitágoras. (Ver Anejo: 8.4 lección de práctica Plano de puntos)
Líneas y ángulos/ Lines and Angles de Ismael Sousa Martin
Figuras geométricas/Geometric Figures: Cálculo de Áreas de Ismael Sousa Martin
Geometría plana y del espacio y trigonometría/ Geometry and Trigonometry de J. Aurelio Baldor
Teorema de Pitágoras de José Jiménez Lozano
Figuras geométricas/Geometric Figures: Cálculo de Áreas de Ismael Sousa Martin
Semejanza & Teorema de Tales & trigonometría/Similarity & Theorem Tales & Trigonometry de
Ismael Sousa Martin

Junio 2011 833
8.5 Estadísticas
En esta unidad, los estudiantes aprenderán sobre los métodos para hacer muestras poblacionales y
estudiar las muestras aleatorias con profundidad. Ellos harán encuestas, cuestionarios y conducirán
análisis estadísticos de una pregunta que envuelva la selección de una muestra aleatoria, incluyendo la
colección de datos, la organización y el análisis de datos. Los estudiantes también examinarán los
resultados de la encuesta presentados en los medios de comunicación para explorar los sesgos de las
muestras, y comparar las medidas de tendencia central y dispersión con respecto al método de datos
recolectados (muestra o censo).
E.RD.8.13.1 Formula una pregunta de interés y define los componentes claves que pueden atenderse a
través de una encuesta.
E.RD.8.13.2 Define la población, las variables que se medirán, y cómo se medirán e identifica los
factores que pueden influir en los resultados de la encuesta.
E.RD.8.13.3 Diseña cuestionarios.
E.AD.8.13.4 Describe las técnicas para obtener muestras aleatorias simples de los miembros de una
población.
E.PR.8.13.5 Identifica situaciones donde un muestreo aleatorio estratificado de una población sería
preferible a un muestreo aleatorio simple.
E.PR.8.13.6 Identifica y describe las diferencias entre una muestra y un censo, y explica las ventajas y
desventajas de cada uno.
E.PR.8.13.7 Diseña e implementa la selección de una muestra aleatoria simple de una población,
recolecta y organiza los datos; representa los datos en tablas y gráficas y resume los datos por medio
de medidas de tendencia central y dispersión (incluyendo desviación absoluta media).
E.RD.8.13.8 Describe cómo el método de seleccionar los sujetos para una muestra y los métodos de
medición de los resultados afectan los resultados de la encuesta. Explica cómo pueden surgir sesgos de
los errores de muestreo y errores de medición.
E.AD.8.13.9 Examina los resultados de las encuestas presentadas en los medios de comunicación,
discutiendo y evaluando cómo la muestra fue seleccionada de la población y los métodos utilizados
para medirla, recolectarla y representarla. Identifica las fuentes de sesgos que pueden afectar los
resultados de la encuesta.
E.AD.8.14.1 Compara las medidas de tendencia central y dispersión obtenidos de los datos de la
muestra de una población (estadística) con las medidas de centro y dispersión obtenidos de los datos
de un censo de la población (parámetros). Observa que los medios de la muestra tienden a acercarse a
la media de la población a medida que le tamaño de la muestra aumente.
E.AD.8.14.2 Reconoce que las medidas de tendencia central y dispersión obtenidas de muestras
aleatorias pueden diferir de muestra a muestra aún si se obtienen de la misma población y tienen el
mismo número de observaciones.
E.AD.8.14.3 Distingue entre métodos de muestreo aleatorio y no aleatorio. Compara los resultados de
muestras aleatorias y no aleatorias simples de la misma población; discute cómo y por qué los
resultados pueden diferir debido a fuentes potenciales de sesgos en las muestras.
Las estadísticas nos permiten contestar
preguntas sobre el mundo.
El sesgo es un problema en la recolección de
¿Cómo nos pueden ayudar las estadísticas a
resolver problemas del mundo real?
¿Cómo se expresa un sesgo en un reporte de

Junio 2011 834
8.5 Estadísticas
datos estadísticos.
Hay ventajas y desventajas para diferentes
métodos de muestreo usados en
estadísticas.
datos en los medios de comunicación?
¿Cuáles son las ventajas y las desventajas de
diferentes métodos de muestreo usados en las
estadísticas?
La media de una muestra es similar a la
media de una población según aumenta el
tamaño de la muestra
La tendencia central y la medida de
dispersión obtenidas de una prueba
aleatoria puede diferir entre muestras,
incluso cuando estas se obtienen de la
misma población y tienen el mismo número
de observaciones
Los resultados de las encuestas son
influenciados por los métodos de selección
de los participantes para una muestra (error
de muestreo) y por los métodos de medición
(error de medición)
Los factores que pueden afectar los
resultados de una encuesta
Resultados de muestras aleatorias y no
aleatorias de la misma población pueden
diferir debido al poder de las fuentes se
sesgo en el proceso de muestreo
Ventajas y desventajas para usar muestras
de población para recolectar datos
Encuesta
Cuestionarios
Muestra aleatoria
Muestra no aleatoria
Población
Muestreo aleatorio estratificado
Censo
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión
Desviación media absoluta
Error de muestra
Sesgo
Parámetros
Destrezas (Los estudiantes podrán
Formular una pregunta que pueda ser
abordada con una encuesta
Dada una pregunta, identificar los
componentes claves que puedan ser abordados
en una encuesta
Dada una pregunta, identificar la población
apropiada para la muestra
Identificar por escrito los factores que pueden
afectar el resultado de una encuesta
Dada una pregunta, diseñar un cuestionario
que pueda usarse para recolectar los datos para
contestar la pregunta
Dada una situación, identificar si sería
preferible un muestreo aleatorio estratificado
de una población o una simple muestra
aleatoria y explicar por qué
Dada una situación con la población definida,
describir una técnica que pueda usarse para
encuestar una muestra simple de una población
Comparar y contrastar una muestra y un censo
Comparar y contrastar métodos de muestra
aleatorios y no aleatorios
Diseñar e implementar un estudio estadístico
(identificar el método de muestreo, colectar
datos, presentar hallazgos en una tabla o
gráfica y resumir los datos usando tendencia
central y medidas de dispersión, incluyendo la
desviación absoluta media)
Dado un set de datos, calcular la desviación
media absoluta
Dada una situación, identificar las fuentes del
error de muestreo
Dados los resultados de una encuesta
presentada en los medios de comunicación,
evaluar cómo la muestra fue seleccionada de la
población
Dado un ejemplo de un método usado para
tomar una muestra poblacional, identificarla
como aleatoria o no

Junio 2011 835
8.5 Estadísticas
Diseñando una encuesta (parejas)
Dígales a los estudiantes que estarán entrando
en un concurso para hacer experimentos
estadísticos totalmente subvencionados. Para
entrar, tienen que describir la propuesta de
investigación por escrito. La carta a la compañía
debe incluir la siguiente información:
Identificar una pregunta de interés;
Definir la población;
Definir las variables y cómo se medirán;
Diseñar el cuestionario para la recolección
de datos;
Describir la técnica que usarán para obtener
una muestra aleatoria de una población
definida.
Las cartas pueden ser evaluados en relación
a si la propuesta del experimento está
conectada lógicamente paso a paso: ¿Parece
apropiada la población? ¿Está libre de sesgo
la técnica de muestreo? ¿Llega el
cuestionario al corazón de la pregunta?
Sesgo mediático (grupos pequeños)
Tenga periódicos disponibles para que los grupos
los examinen y encuentren una encuesta
completa. Pida a los estudiantes que escriban
una carta a la compañía (u organización, etc.)
que conduce la investigación proveyendo un
análisis de su estudio. Las cartas deben incluir:
Una descripción y una evaluación de cómo la
muestra de la población fue seleccionada
Una descripción de los métodos de
medición, recolección y representación de
datos
Una Identificación de cualquier fuente
potencial de sesgos que pueden haber
influido en los resultados de la encuesta
Evalúe a los estudiantes en relación a cuán bien
identificaron los conceptos claves en el estudio y
justificaron sus hallazgos.
Otra evidencia:
Describir por escrito la diferencia entre una
muestra aleatoria y una muestra aleatoria
estratificada.
Da un ejemplo de un error muestral.
Compara y contrasta muestras aleatorias y no
aleatorias.
curso.
anterior.
tarea para hoy.
asignada para hoy.

Junio 2011 836
8.5 Estadísticas
Revise las medidas de tendencia central con los estudiantes usando un actividad del mundo real
(Ver Anejo: 8.5 Actividad de aprendizaje Medidas de tendencia central)
Actividad de encuesta en la cafetería: Benita y Gerardo encuestaron a algunos estudiantes en sus
salones de octavo grado para determinar si prefieren el pollo o las hamburguesas en un picnic. Las
hojas de la encuesta se muestran abajo (los maestros deben escoger si quieren duplicar los datos
de la encuesta con tiza en la pizarra o en papel de tabla, o crear una hoja con los datos de la
encuesta).
Encuesta de Benita Encuesta de Gerardo
Salón hogar: 8 A Salón hogar: 8 B
Número de estudiantes en el salón: 23 Número de estudiantes en el salón: 20
Estudiante Estudiante
Encuestado Pollo Hamburguesa Encuestado Pollo Hamburguesa
Adán x Vicky x
Carolina x Tanya x
Nancy x José x
Hugo x Benito x
Abigail x
Linda x
Marian x
Jan x
Chris x
Tina x
Natanael x
Dariel x
Benita reportó que 100 por ciento de los encuestados querían pollo. Gerardo reportó que 75 por
ciento de los encuestados querían hamburguesas. ¿Cuál de las encuestas, la de Benita o la de
Gerardo, sería probablemente mejor a la hora de tomar la decisión de qué servir? Pida a los
estudiantes que expliquen por qué esa encuesta sería mejor.
Los estudiantes practican haciendo encuestas y discutiendo cómo hacer una muestra de estaciones
de radio para recolectar datos para una firma de mercadeo (Ver Anejo: 8.5 Lección de práctica
Mercadeando con diagramas de dispersión)
Lección de práctica de sesgo muestral (Ver Anejo: 8.5 Lección de práctica Sesgo muestral).
Estadística I. Tablas y gráficos de Ismael Sousa Martin
Estadística II. Medidas de dispersión de Ismael Sousa Martin
Muestras y poblaciones: Datos y estadísticas de Manuel del Alumno

Junio 2011 837
8.5 Estadísticas
Datos acerca de nosotros: Estadística de Manuel del Alumno
Un cuestionario demográfico básico: Recolección de datos y análisis en encuestas por muestreo de
International Program of Laboratories for Population Statistics

838
Matemáticas
Anejos
8vo Grado

Área de Contenido: Matemáticas
Fuente: edCount, LLC 839
8.1 Actividad de aprendizaje
Exponentes
Nombre: _______________________________________________
Escribe la forma expandida para cada par.
Ejemplo: a) 54
= (5)(5)(5)(5)
b) (52
)(52
)= (5)(5)(5)(5)= 54
a. 35
= ___________________
b. (32
)(33
) = _____________ = ______________
a. 47
= _____________________
b. (44
)(43
) = ____________________ = _____________
a. 69
= __________________________
b. (62
)(67
) = ____________________ = _______________
a. 76
= _____________________________
b. (73
)(73
) =________________________ = ______________
¿Qué notaste de la forma expandida de (a) y (b) en cada par?
______________________________________________________
Escribe los exponentes que faltan encontrando el valor de x:
a. 8x
= (8)(8)(8)(8)
b. (82
)(8x
) = (8)(8)(8)(8)
a. 4x
= (4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)
b. (43
)(4x
) = (4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)
a. 5x
= (5)(5)(5)(5)(5)
b. (53
)(5x
) = (5)(5)(5)(5)(5)(5)
¿Cómo determinas el valor de x en cada par?
_____________________________________________________________________________
Escribe una regla que provea la relación entre los exponentes en los ejemplos de (a) en comparación a
los ejemplos de (b).
_____________________________________________________________________________

840
8.1 Lección de práctica
Hablando científicamente
Materiales requeridos
Una computadora para cada grupo de estudiantes o una computadora con proyector.
Actividad instructiva 1
1. Haga que los estudiantes vayan a la página de Internet Foro de Matemáticas (patrocinada por la
Universidad Drexel) en la dirección electrónica http://mathforum.org.
2.
Matemáticas responde a las preguntas de cualquier persona.
3.
http://mathforum.org/library/drmath/view/58207.html.
4. Pídales también que lean y tomen notas de los siguientes artículos:
a.
b.
http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/scinot.html
5. La notación científica es un ejemplo del uso de exponentes; es una aplicación de estos. Todas las
leyes de los exponentes aplican a la notación científica.
Multiplicación extrema
Multiplicar a mano números extremadamente largos y cortos juntos, no requiere de demasiados pasos
necesariamente. Busca atajos mientras trabajas en los siguientes problemas. No uses calculadora para
resolver estos problemas.
Los primeros números no son ni demasiado largos ni demasiado cortos, pero deben ayudarte a resolver
los siguientes problemas.
1. a. 223 × 100 =
b. 223 × 10,000 =
c. 223 × 0.01 =
d. 223 × 0.00001 =
2. a. 223 × 400 =
b. 223 × 40,000 =
c. 223 × 0.04 =
d. 223 × 0.00004 =
3. a. 2.23 × 100 × 400 =
b. 2.23 × 100 × 40,000 =
c. 2.23 × 100 × 0.04 =
d. 2.23 × 100 × 0.00004 =

841
Fuente: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml
Compara cada una de tus respuestas con las que diste a los problemas anteriores ¿Son las
respuestas similares? ¿Por qué?
4. Rescribe los problemas 3a, 3b, 3c, y 3d en la forma 2.23 × 10 × 4 × 10 =.
5. Rescribe las respuestas a los problemas 3a, 3b, 3c, y 3d en la forma en notación científica.
6. Compara los problemas 3 al 5. Encuentra los atajos para multiplicar dos números escritos en
notación científica y explica porqué es que los atajos funcionan.
7. Considera 3.23 × 1,012 × 4 × 10 3
=.
a. Usa tus atajos para encontrar el producto.
b. Escribe el producto en notación científica, si acaso es necesario.
c. Si el producto no estaba en notación científica después de que usaste tu atajo, ¿por qué no
lo estuvo?
8. Encuentra los siguientes productos y escribe tu respuesta en notación científica:
a. 39,200,000 × 720,000 =
b. 3.92 × 105
× 0.0072 =
c. 3.92 × 10 33
× 7.2 × 10 23
= (Ten un poco de cuidado en ésta)
d. 7.2 × 1014
× 3.92 × 1032
=

842
Organizando números
Números
racionales
Enteros
Enteros positivos Números
naturales
Una
Tijeras
Pega o cinta adhesiva
Actividad instructiva
1. Haga que los estudiantes trabajen en pares. Reparta una copia de
par, y pídales que corten los números.
2. Haga que los estudiantes ordenen los números en conjuntos no especificados. Camine alrededor de
los grupos y pídales que expliquen el proceso que usaron para ordenar los números
3. Dirija una discusión de clase acerca de los atributos de cada conjunto de números.
4. Reparta una copia de la ho istema de números r
estudiantes que corten los subconjuntos y los coloquen en cualquier orden.
5. Pida a los estudiantes que ordenen los números en los diferentes subconjuntos. Debe darse una
discusión en torno a los números que pueden pertenecer a más de un subconjunto.
6. Haga una discusión con la clase acerca de las propiedades de cada subconjunto. Después pida a los
estudiantes que organicen los números como racionales e irracionales.
7. Pida a los estudiantes que organicen los números en números
racionales, enteros, enteros positivos y/o números naturales. Esto
puede hacerse arreglando los nombres de los subconjuntos como se
muestra a la derecha. Los números pueden colocarse en más de uno
de los subconjuntos.
8. Reparta una copia de la hoja iagrama de Venn del sistema de
números reale
9. Haga que los estudiantes acomoden los nombres de los subconjuntos en la cajas apropiadas del
diagrama de Venn. Después pídales que acomoden los números en el subconjunto apropiado.
10. Camine entre los estudiantes. Cuando el grupo haya completado el diagrama correctamente, pídales
que peguen (ya sea con pega o cinta adhesiva) los nombres y números al papel.
11. Haga que los estudiantes añadan más de un número por escrito a cada subconjunto del sistema de
números reales en el diagrama.
Ejemplo de avalúo
Camine entre los estudiantes mientas organizan los números en los subconjuntos. Evalúe los
diagramas completos de cada grupo. Pida a los estudiantes que escriban un resumen de la relación
entre los subconjuntos del sistema de números reales.

843
Números reales
0
1
2
0.7 1
3 0.9
4.267
5
17
14.8 8

844
Subconjuntos del sistema de números reales
Números racionales Números irracionales
Números enteros Números enteros positivos
Números naturales

845
Diagrama de Venn del sistema de números reales

846
Un misterio que resolver
Un misterio que resolver
1. Esta tabla muestra cómo una operación, *, funciona con el conjunto de números {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
* 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 1
3 3 4 1 6 2 5
4 4 5 6 1 3 2
5 5 6 2 3 1 4
6 6 1 5 2 4 3
2. ¿Hay una identidad en el conjunto para esta operación? Si es así, ¿cuál es y cómo determinaste que
era un elemento de identidad?
3. ¿Hay algún número en el conjunto que tenga un inverso para esta operación? Si es así, identifica el
inverso para cada número que lo tenga. ¿Cómo determinaste si un número tiene o no un inverso?
4. Usa la tabla para resolver la ecuación 3 * x = 5. Revisa tu solución encontrando 3 * x para tu x.
5. Esteban intentó lo siguiente:
3 * x = 5
3 * 3 * x = 3 * 5
x = 2
Explica lo que hizo Esteban en cada paso. Revisa su solución ¿Es correcta? ¿Qué sucedió?
Ejemplo de avalúo
Discusión de grupo
Tarea
¿El set { 1, 0, 1} es cercano con relación a la suma? ¿Multiplicación? Demuestra tu trabajo y
explicaciones escritas para apoyar tu respuesta.

847
Ecuaciones lineales
Ecuaciones lineales
s
.

848
Ecuaciones lineales
Juego cuadrados 1: ¿Cuál es la ecuación lineal si
1. Recorta los cuadrados.
2. Relaciona cada ecuación a su solución correspondiente.
3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.
x = 5 y = 2/3x + 9 y = 4x + 7 y = 2/3x 9
m = 4 b = 7 m = 3 ( 3,1) y = 7 m = 1 (5, 2)
y = 2x 4 y = ¾x 7 y = x + 3 y = 4x + 7
( 4,0) (3,3) m = 2 (1,4) m = 4 (0,7) ( 2,1) (2,3)
y = 3/2x + 9 y = 3x + 10 y = ½x + 2 y = 2x + 6
m = 2/3 (6,5) (0, 4) (2,0) (5,0) (10, 2)
m es indefinido
(5,8)
y = ½x + 4 y = 8 y = 1/3x + 10 y = 2/3x + 5
m = 0 (5,8) (3,7) (0,5) m = ½ (4,6) (7,1) (7,6)

849
Ecuaciones lineales
Juego Cuadrados 2: Encontrar la pendiente y el intercepto en y
2. Relaciona cada ecuación con sus pendientes y su intercepto en y.
y = 3/4x + 5 m = 1 b = 0 3x + 4y + 20 y 8 + 2x
x y = 6 2x y = 7 y = 4 2x 2y = 7x + 10
m = 1 b = 6 m = 2 b = 7 m = 2 b = 4 m = 7/2 b = 5
2x + y = 4 y = x + 6 7x y = 14 y = 2x + 7
m = 2 b = 4 m = 1 b = 6 m = 7 b = 14 m = 2 b = 7
3x 2y = 6 x 5y = 15 3x + 4y = 24 2x + y = 2
m = 3/2 b = 3 m = 1/5 b = 3 m = 3/4 b = 6 m = 2 b = 2
2x y = 8 y = 4x 1 m = 6/5 b = 2 4x y = 1

850
Ecuaciones lineales
Juego de cuadrados 3: Econtrando el intercepto en x ó y
2. Relaciona expresiones o enunciados equivalentes.
2y = 7x + 10 y = 3 x = 1/6 x + 2y = 8
y = 1/3 x + 5y = 15 x + 5y = 11 x = 4/5
y = 3 y = 1 5x y = 6 2x y = 4
y = ½ y = 1 y = 12/5 x = 8
3x + 5y = 12 x = 4/3 y = 4 2x x = 8
y = 5 x = 2/3 x = 8 x = 21
x = 1 x = 2 x = 15 x + 4y = 4
4x 2y = 8 y = 4 2x y = 7 x = 6

851
Juego de los cuadrados
Juego de los cuadrados: Resolviendo inecuaciones
2. Relaciona las expresiones o enunciados equivalentes.
x 2 x < 10 x > 15 5 2x 3x 15
5x < 35 x > 5 x 2 x > 5
2x < 10 x < 21 x > 5 x + 1 < 8
x 6 x 3 < 12 4x < 24 1 x < 1
2/3 x < 12 x 4 < 6 x 4 4 2x 8
5x 8 < 2 x < 23 x + 4 < 9 x < 4
x < 15 x 1 11 2x 3x + 16 x 1
2/5x 6 6 x > 3 x 6 3/4x 9

852
Patio cuadrado
Patio cuadrado
Calculadoras gráficas
Materiales para construir modelos de patios cuadrados:
Esquinas: malvaviscos
Estabilizadores de los bordes: palillos de colores
Marcos: palillos de madera
Losetas: cuadrados cortados a la medida de los palillos de madera
1. Pida a los estudiantes que construyan patios cuadrados y registren sus datos en la tabla de la hoja
2. Pregunte a los estudiantes si pueden identificar algún patrón y si pueden predecir los patrones para
los tamaños que todavía no construyen en sus modelos.
3. Trabaje los problemas y asegúrese que los estudiantes sean capaces de escribir una expresión del
número de losetas necesarias para cualquier dimensión dada (n).
4. Haga que los estudiantes investiguen la relación entre el número de estabilizadores de los bordes y
el número de esquinas o el tamaño del patio. Asegúrese de que sean capaces de representar la
relación algebraicamente.
5. Hable de la relación entre el número de esquinas y el número de marcos; después, de la relación
entre el tamaño del patio y el número de marcos. Finalmente, hable de la relación entre el tamaño
del patio y el número de esquinas.
6. Ayude a los estudiantes a poner precios para las losetas, las esquinas, los estabilizadores de los
bordes y los marcos. Pídales que establezcan matrices para determinar el costo de construir un

853
Patio cuadrado
Patio cuadrado
Dimensión del
Patio
Losetas
requeridas
Marcos
requeridos
Esquinas
requeridas
Estabilizadores del los
bordes requeridos
1-por-1
2-por-2
3-por-3
4-por-4
5-por-5
6-por-6
7-por-7
8-por-8
1. Construye patios cuadrados y registra tus datos en la tabla de arriba.
2. ¿Puedes identificar algún patrón y predecir los patrones para tamaños que no has construido en tus
modelos?
3. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de 10-por-10?
4. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de 20-por-20?
5. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de n-por-n?
6. Escribe una expresión para los números de las losetas requeridas para cualquier dimensión dada (n).
7. ¿El número de estabilizadores de los bordes depende del número de esquinas o del tamaño del
patio?
8. ¿Cuál es el patrón que describe la relación entre el tamaño del patio y el número de estabilizadores
de los bordes requeridos?
9. ¿Cuál sería la regla (o fórmula) para esa relación?
10. ¿Consideras razonable que el número de esquinas y el número de marcos también dependan del
tamaño del patio? ¿Por qué?
11. ¿Puedes encontrar la relación entre el tamaño del patio y el número de marcos? (Pista: te serviría
considerar el número de losetas).
12. ¿Puedes encontrar la relación entre el tamaño del patio y el número de esquinas?
Loseta
Marco
Esquinas
Estabilizadores de los bordes

854
Variación directa
Variación directa
1. Una regadera de ducha usa 2.5 galones de agua por minuto. Crea una tabla de valores (en minutos)
para el tiempo gastado en la ducha y la cantidad de agua usada.
Tiempo
(en minutos)
Agua usada
(en galones)
1
2
3
4
5
6
7
8
2. ¿Cuál es la cantidad de agua usada en el tiempo cero? ¿Cómo se relaciona esto con el concepto
intercepto en y de la gráfica de esta función?
3. Escribe una ecuación que describa esta relación.
4. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál es la variable independiente?
5. Traduce tu ecuación a x y y. ¿Cuál es la pendiente? ¿Cuál es el intercepto en y?
6. ¿Cuál es el coeficiente de x?
7. Este es un ejemplo de variación directa. La ecuación de cualquier variación directa puede escribirse
como:
8. y = kx. ¿Cuál es la pendiente, y cuál es el intercepto en y de esta ecuación?

855
Fuente: https://docs.google.com/Doc?id=dfwg6ffr_27fs49rv
8.2 Tarea de desempeño.
Hoja de trabajo: Posters
Dependiente/Independiente
Proyecto de póster: Variables independientes vs. dependientes
¿QUIÉN?: Tú (y todos los demás).
¿Qué?: Haz un póster (8.5" por 11" o más grande) en el que uses imágenes para mostrar la diferencia
entre las variables dependientes e independientes.
¿CÓMO?: Encuentra o piensa en un ejemplo de una variable dependiente e independiente (usa la lista
dada abajo para empezar). Tus pósters deben tener: dos imágenes, una para ilustrar cada variable
(dibuja, corta de un periódico o revista, o imprime la imagen de Internet), un título, etiquetas para
______________________ depende de_______________________.
tu variable dependiente tu variable independiente
¿DÓNDE?:
¿POR QUÉ?:
¿DÓNDE?:
EJEMPLOS:
DEPENDIENTE INDEPENDIENTE
Cuenta de teléfono celular Minutos usados
¿Qué tan lejos puedes manejar? La cantidad de gasolina que tienes
Tú evaluación de seis semanas El número de tareas que entregaste
¿Cuánto dinero ganas? Las horas que trabajas
El costo de una multa por alta velocidad ¿Por cuántas millas excediste el límite de velocidad
El tiempo que toma manejar a algún lugar ¿Qué tan rápido manejas?
El resultado de un juego de baloncesto ¿Quién anota más puntos?
Cuando llueve Gente usa paraguas
Total de calorías y grasa Número de hamburguesas que consumes
Oportunidades de trabajos bien pagados ¿Cuánta educación tienes?

856
El juego del cuadrado: Factorizando
El juego del cuadrado: Factorizando
1. Corta los cuadrados.
2. Parea cada ecuación con la solución correspondiente.
3. Debes conseguir un cuadrado cuatro-por-cuatro.
(x 2)(x + 2) (4x 1)
2
(6x + 1)(x 2) (x + 1)(x 1)
x
2
+ 6x + 9 x
2
10x + 24 25x
2
16 6x
2
+ 41x + 30
(x + 3)
2
(x 4)(x 6) (5x 4)(5x + 4) (x + 6)(6x + 5)
4x
2
25 x
2
9 16x
2
1 x
2
7x + 12
(2x + 5)(2x 5) (x + 3)(x 3) (4x 1)(4x + 1) (x 4)(x 3)
x
2
+ 4x + 3 7x
2
19x + 10 9x
2
4 x
2
8x + 16
(x + 3)(x + 1) (7x 5)(x 2) (3x 2)(3x + 2) (x 4)
2
25x
2
+ 20x + 4 x
2
+ 9 x
2
+ 3x 10 x
2
15

857
Fuente: edCount, LLC
Tablas de M&M
No. de
jugada
No.
restante
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
No. de
jugada
No.
restante
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
No. de
jugada
No.
restante
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
No. de
jugada
No.
restante
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

858
Aplicaciones cuadráticas
Trabaja con los miembros de tu grupo para completar los siguientes problemas, pero anota tu trabajo
en tu propia hoja. Asegúrate de entender cada parte de tu solución. Cuando la clase discuta los
problemas, cualquiera puede ser seleccionado para explicar el problema.
Problema 1
Supón que estás parado en un precipicio de 110m sobre el nivel del mar. Tiras una piedra verticalmente
hacia arriba 17 m/s. Después de alcanzar su altura máxima, la piedra cae a la playa, pasando el precipicio
durante la caída. La altura de la piedra está dada por la ecuación: H = 4.9T2
+ 17T + 110, donde H es la
altura en metros de la piedra sobre la playa y T es el tiempo transcurrido en segundos. En la tierra la
fuerza de gravedad es 9.8 m/s2
(nota que la mitad de la cantidad se traslada en el coeficiente principal
de esta cuadrática)
1. Haz la gráfica
2. ¿Qué coeficiente en la ecuación es la velocidad inicial de la piedra?
3. ¿Cómo cambiarían la gráfica y la ecuación si la velocidad inicial fuera 22 m/s? 32 m/s? 12 m/s?
4. ¿Qué coeficiente es la altura del precipicio?
5. ¿Cómo cambiarían la gráfica y la ecuación si la altura del precipicio fuera 120 m? 140 m?
100 m? 80 m?
6. ¿Cuánto le toma a la piedra llegar a la playa?
7. ¿Cuándo alcanza la piedra su altura máxima?
8. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra?
Supón que puedes lanzar una roca hacia arriba 17 m/s de un precipicio de 110
m en los cuerpos celestes listados en la tabla a la derecha.
1. Da la ecuación para encontrar H para cada lugar.
2. ¿Cómo cambiaría la gráfica de este problema si usaras estos valores?
3. Determina la altura máxima de la piedra en la luna, el tiempo para
alcanzar la altura, y el tiempo que necesita para pegar en el suelo.
Problema 2
Una compañía de tránsito transporta a 80,000 personas por día a una tarifa
de $1.25. Una encuesta indica que si aumenta la tarifa, el número de
usuarios disminuiría a 360 por cada centavo de aumento.
1. Define la variable y escribe la ecuación para el ingreso R en dólares para los boletos vendidos.
2. Expande la ecuación de #1 en forma cuadrática.
3. Calcula la tarifa de aumento que resultaría en el mayor ingreso para la compañía.
4. Calcula la tarifa de aumento que resultaría en un 5% de aumento en los ingresos.
5. Explica por qué hay dos respuestas para la #4.
Cuerpo celeste
Gravedad
m/s
2
Sol 273.0
Luna 1.6
Mercurio 3.5
Venus 8.9
Tierra 9.8

859
Problema 3
Una mujer salvavidas tiene 250 m de cuerda para hacer un área de nadar rectangular para los niños en
la costa de una playa. Ella puede hacer esto de muchas maneras, dejando el largo de 250 m, pero el área
cercada puede variar.
1. Verifica que el área cercada sí varía, bosquejando tres posibilidades que muestren las dimensiones
y el área de la región rectangular.
2. Deja que X metros representen la longitud de la cuerda perpendicular a la costa. Escribe una
ecuación para el área A(X) cercada.
3. Calcula las dimensiones de un rectángulo que cerca 6,000 m2
de agua.
4. Calcula el área máxima de agua posible que puede ser cercada.
5. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que cerca el área máxima?
Trabaja los siguientes problemas como tarea por tu cuenta. Puedes usar una calculadora gráfica para
verificar los resultados y defender tus respuestas.
Problema 1
Un pelotero llamado Pepe le pega a una bola que pasa sobre la base a 3.5 pies sobre el suelo. La bola
viaja hacia el jardín en una ruta descrita por la ecuación H(T) = .005X2
+ 2X + 3.5, donde X es la distancia
en pies de la bola desde la base y H es la altura en pies de la bola a cualquier instante.
1. Bosqueja el vuelo de este golpe.
2. ¿Cuándo esta la bola a 8 pies de altura?
3. Un lanzador está parado en un montículo a 60 pies del plato. ¿Cuán alta está la bola cuando está
directamente sobre su cabeza? (No prestes atención a la altura del montículo para este cálculo)
4. ¿Cuándo el pelotazo de Pepe alcanzará una altura de 100 pies?
5. ¿Cuán lejos del plato estará la bola cuando pegue en el piso?
6. Crea y responde a una pregunta adicional sobre el bolazo de Pepe. (¡Se creativo!)

860
Problema 2
Una malabarista lanza las pelotas de su mano a una altura de 1 m con una velocidad de ascenso inicial
de 10 m/s.
1. Escribe una ecuación que describa la altura de la bola sobre el tiempo.
2. ¿Cuán alta estará la bola a 1 segundo? ¿Después de 2 segundos?
3. Bosqueja la ruta de esta bola.
4. ¿Cuán alto llegará la bola?
5.
6. ¿Cuándo llegará la bola al suelo, si la malabarista falla su tirada?
7. Crea y responde a una pregunta adicional sobre la tirada de la malabarista.

861
Recolectando datos y
ecuaciones de regresión
Recolectando datos y ecuaciones de regresión
Regiones circulares con radios variados (1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, etc.) cortados de papel
cartulina
Papel cuadriculado a un centímetro
Calculadoras gráficas
Una copa grande por equipo
Una bolsa grande de ®
por equipo
Servilletas o toallas de papel para cubrir los escritorios
Una copia de cada uno de los cinco folletos para cada estudiante
Nota: Mientras más regiones circulares tengan que medir los estudiantes, mejor se verá la gráfica de
puntos. Esta actividad también puede realizarse con estudiantes más jóvenes. En lugar de encontrar la
ecuación de regresión para los datos, los estudiantes pueden encontrar el área promedio como se
determine por los estudiantes en clase.
1.
2. Permita que los estudiantes trabajen solos o en pares.
Nota:
mientras que en otros momentos toma diferentes formas. Esto puede usarse como una introducción al
cálculo lineal.
1.
2. Permita que los estudiantes trabajen solos o en pares.
1. Divida la clase en grupos de no más de tres estudiantes.
2. Distribuya copas, y el folleto Actividad 3 ®
3.
proceso manufacturero. Si el número fuese cero, este punto de datos necesita ser anotado como
0.01
Tarea
Pida a los estudiantes que co
folleto.

862
Actividad 1: Recolectando datos y ecuaciones de regresión
1. Coloca las regiones circulares provistas por el maestro en el papel cuadriculado en centímetros y
trázalas.
2. Cuente el número de centímetros cuadrados en el área de una región circular y anote la medida en
la tabla:
Radio del
círculo
No. de centímetros
cuadrados
1
2
3
4
5
6
3. Anota el radio de cada círculo en L1 en la calculadora y el área de la región circular en L2.
4. Usa la calculadora para generar una gráfica de dispersión.
5. Examina la gráfica de dispersión con detenimiento y decide en qué familia de funciones puede ir la
gráfica.
6. Usando las capacidades de las ecuaciones de regresión en la calculadora y tu conocimiento de la
funciones de las familias, encuentra la ecuación de regresión que crees que va mejor con los datos y
haz una gráfica de la curva a través de los puntos de los datos.
7. Usando la ecuación de curva, predice el área de la región circular con el radio de 12 cm.
8. ¿Cuál sería el radio de la región circular que cubre 450cm cuadrados? (Pista: Trabaja al revés para
encontrar la respuesta).

863
Actividad 2: Recolectando datos y ecuaciones de regresión
Año Matrimonios Divorcios
1960 1,523,000 393,000
1962 1,557,000 413,000
1964 1,725,000 450,000
1966 1,857,000 499,000
1968 2,069,258 584,000
1970 2,158,802 708,000
1972 2,282,154 845,000
1974 2,229,667 977,000
1976 2,154,807 1,083,000
1978 2,282,272 1,130,000
1980 2,406,708 1,182,000
1982 2,495,000 1,180,000
1984 2,487,000 1,155,000
1986 2,400,000 1,159,000
1988 2,389,000 1,183,000
1990 2,448,000 1,175,000
1992 2,362,000 1,215,000
1. Usando los datos que representan el número de matrimonios y divorcios en los Estados Unidos del
1960 al 1992, entra el año en la Lista 1, el número total de matrimonios en la Lista 2, y el número de
divorcios en la Lista 3.
2. Calcule el índice de divorcios y ponga los datos en la Lista 4.
3. ¿Qué tipo de regresión va mejor con los datos de 1960 a 1976?
4. Si el patrón continúa de esta manera, ¿cuál sería el índice de divorcio predicho para 1994?
5. ¿Qué tipo de regresión va mejor con los datos de 1978 a 1992?
6. Basándote en los datos, ¿cuál sería el índice de divorcio predicho para 1995?
Extensión
1. ¿Cuál es la explicación posible para las diferentes regresiones en los índices de matrimonios y
divorcios?
2. ¿Encu

864
Actividad 3
El siguiente experimento está diseñado para estimular la frecuencia natural y darles a los estudiantes
experiencia con una situación del mundo real que es exponencial. Usted tendrá una bolsa de dulces M &
1. Cuenta los M&M
derecha de lanzamiento #0.
2.
que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla a la derecha de
lanzamiento #1. Pon estos dulces de vuelta al vasito.
3. Mueve el vaso, vira los dulces. Remueve y deja a un lado aquellos que cayeron mostrando la m.
Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla.
4. Repite este procedimiento hasta que no aparezcan m.
5. Haz una gráfica en papel de gráfica con los datos colectados.
6. ¿Qué notas? ¿Es esto una función lineal o no lineal? ¿De qué tipo? ¿Cómo lo sabes?
Número del
sortero
Número
restante
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

865
Resolviendo cuadráticas
Resolviendo cuadráticas
Resuelve las siguientes cuadráticas. Muestra todos los pasos.
1. 2x2
+ 4x + 15 = 0
2. 5x2
= 2x 8
3. 6x2
x + 24 = 0
4. 15x2
+ 2x + 1 = 0
5. 9x2
+ 3x + 4 = 0
6. 3x2
2x + 4 = 0
7. 3x2
2x + 1 = 0
8. 2x2
+ 3x = 8
9. 3x2
+ 4x = 2
10. 2x2
3x + 5 = 0
11. 3x(x + 1) = x 5
12. 2x2
+ 8 = x
13. 7x 13 = x2
14. x2
+ 3x + 5 = 0
15. x2
+ 4 = 2x

Fuente: http://www.learner.org/workshops/algebra/workshop4/teaching2.html
866
8.3 Tarea de desempeño
El cohete
Tarea de desempeño
El camino al modelo de un cohete puede describirse por su función cuadrática y = -x2
- 12x, donde el
punto (x, y) representa la altura (y) del cohete (en metros) a tiempo x segundos después del despegue.
Identifica la altura máxima del cohete, y determina el momento en el que el cohete alcanza su altura
máxima.
Nivel Descripción Características
4
Hay evidencia clara y convincente
que sugiere que el estudiante
tiene un conocimiento amplio de
las ideas matemáticas claves en el
problema.
El estudiante hace una gráfica de la parábola, convierte
la ecuación en la forma de vértice, genera una tabla de
puntos o identifica correctamente el vértice como (6,
36). Además, el estudiante indica que la altura máxima
del cohete, 36 metros, ocurre 6 segundos después del
despegue.
3
Hay evidencia que sugiere que el
estudiante comprende casi
completamente las ideas
matemáticas claves del problema.
El estudiante intenta resolver el problema usando un
método correcto, pero alguna omisión menor no
permite una solución correcta.
2
estudiante tiene un conocimiento
parcial de las ideas matemáticas
claves del problema.
método correcto, pero con varios errores menores u
omisiones que no permiten una solución correcta o el
vértice no está identificado, o los resultados son
interpretados incorrectamente.
1
estudiante tiene un conocimiento
limitado de las ideas matemáticas
claves del problema.
método correcto, pero la solución es incompleta o
errores mayores u omisiones no permiten una solución
correcta.
0
Insuficiente. No hay evidencia suficiente presentada para juzgar el conocimiento de la
matemática envuelta en la tarea.

867
Construcciones
Construcciones
Regla
Compás
Haga que los estudiantes completen las hojas de actividades. Trabajar en parejas puede ayudarles.
Ejemplo de avalúo
Haga que los estudiantes trabajen en pares para evaluar las estrategias.
Use las hojas de actividades para valorar la comprensión de los estudiantes.
Haga que los estudiantes completen una entrada del diario resumiendo los pasos para cada
construcción.
Seguimiento/Extensión
Haga que los estudiantes investiguen problemas prácticos que involucren construcciones.
Haga que los estudiantes completen diagramas creativos usando construcciones combinadas.

868
Construcciones
Hoja de Actividades 1: Construcciones
Construyendo una perpendicular a una línea dada desde un punto que no está
en la línea
Línea dada l y punto A no en l,
Desde punto A, dibuja un arco que interseque línea l en dos puntos. Llama a estos puntos
X y Y.
Desde X, dibuja un arco que sea de más de la mitad de la longitud al punto Y. Usando la
misma longitud de arco, dibuja otro arco desde Y que interseque con el primer arco.
Dibuja una línea recta a través de los puntos A y Z.

869
Construcciones
Línea AZ es a línea l.

870
Construcciones
Construyendo los bisectores de un ángulo dado
Dado ABC,
Desde X, dibuja un arco que sea lo suficientemente largo para alcanzar y pasar B. Usando
la misma apertura de compás y Y como el centro del círculo, dibuja otro arco que
interseque con el primer arco.
Desde B, dibuja un arco que interseque con BA en X y con BC en Y.
Dibuja la raya desde B hacia Z. La raya BZ es el ángulo bisector de ABC.
BZ biseca ABC.

871
Construcciones
Hoja de actividades 2: Construcciones
Construye un segmento de línea congruente con cada segmento de línea dado.
1. 2. 3.
Construye un ángulo congruente con cada ángulo dado.
4. 5. 6.
Construye una línea perpendicular a cada línea dada a través de un punto dado en la línea.
7. 8. 9.
Construye una línea perpendicular a cada línea dada a través de un punto dado que no está en la línea.
10. 11. 12.
Construye el ángulo bisector de cada ángulo dado.
13. 14. 15.

872
Construcciones
Ejemplo de avalúo
Como se muestra, un diseño hecho con líneas paralelas se cose
al bolsillo de una camisa. ¿Cuál es el valor de x?
A 50
B 80
C 100
D 130
Como se muestra en la figura, un avión sale de la pista de
despegue con dirección al este y luego gira 35 a la
derecha. ¿Cuánto más tiene que girar para ir en dirección
al sur?
A 10
B 45
C 55 _
D 65
Un jardinero recarga su pala sobre una pared. La pala
hace un ángulo de 50 con el suelo, como se muestra en
el diagrama. ¿Qué representa el suplemento al ángulo
de 50 ?
F w
G x
H y
J z _
El pentágono regular ABCDE está formado por las uniones de los
puntos medios de los lados del pentágono regular PQRST ¿Cuál es la
medida de PAB?
F 30
G 36 _
H 60
J 72
El polígono en el dibujo de la derecha es un octágono
Pared

873
Construcciones
rectangular con O como su centro ¿Cuál es el valor de x?
A 30
B 45 _
C 60
D 72
La línea l es paralela a la línea m cuando el valor
de x es
F 3
G 12
H 30 _
J 38
El dibujo en la derecha muestra un aparato diseñado para
desviar rayos de luz alrededor de un obstáculo. Las líneas a
y b son paralelas, y los ángulos 2 y 4 cada uno miden 32 . Si
las líneas l y m fueran paralelas, ¿cuál sería el valor de x?
F 32
G 64
H 116
J 148
El diagrama de la derecha muestra una mesa en
construcción. Si cada pata forma un ángulo de 70 con
respecto a la parte alta de la mesa, ¿cuál debe ser el valor
de x para que la parte alta de la mesa sea paralela al suelo?
A 40
B 70
C 90
D 110

874
Plano de puntos
Exploración de la relación pitagórica en un plano de puntos
Materiales que se necesitan
Planos de puntos de 11 puntas o papel de puntos
Transparencia de plano de puntos
Una copia de las hojas de actividad 1, 2 y 3 para cada estudiante
1. Haga que los estudiantes completen la hoja de actividad en un grupo pequeño y anoten sus
hallazgos.
2. Haga que los estudiantes discutan sus hallazgos.
3. Discuta los hallazgos con la clase completa.
4. En una transparencia de plano de puntos sobre el proyector, construye un triángulo recto en el que
uno de los extremos es horizontal y otro vertical.
5. Pida a un estudiante que construya un cuadrado en cada extremo y luego en la hipotenusa del
triángulo.
6. Pida a los estudiantes que encuentren en el área de cada cuadrado. Puede ser difícil para algunos
estudiantes reconocer una manera de encontrar el área de la hipotenusa, por lo cual usted puede
ayudarlos.
7. el plano de
8. Haga a los estudiantes trabajar para encontrar varios ejemplos y anótelos en la tabla.
9. Haga a los estudiantes que presenten sus hallazgos a toda la clase.
10. Haga a los estudiantes completar el resto de la hoja de actividad en grupos pequeños y discutan los
hallazgos en conjunto.
Ejemplo de avalúo
Haga a cada grupo presentar sus hallazgos a la clase.
Haga a los estudiantes completar la entrada del diario resumiendo la actividad.
Seguimiento/extensión
Haga a los estudiantes investigar los triples pitagóricos y hacer generalizaciones sobre la longitud.
Haga a los estudiantes encontrar prueba del teorema pitagórico además de las investigadas aquí.
Hágalos presentar la prueba a la clase y/o escribir una entrada en el diario.

875
Plano de puntos
Papel de puntos

876
Plano de puntos
Hoja de actividad 1: Exploración de triángulos rectos en plano de puntos
Haz un triángulo recto en un gran plano de puntos o papel. Construye un cuadrado en cada lado del
triángulo. Identifica el lado más pequeño como lado a; el mediano, lado b, y el más largo, lado c.
Completa la tabla.
Largo de
lado a
Largo de
lado b
Largo de
lado c
Área del
cuadrado
en lado a
Área del
cuadrado
en lado b
Área del
cuadrado
en lado c
a2
+ b2
1. ¿Al otro lado de qué ángulo siempre encuentras c, el lado más largo?
2. ¿Qué otros patrones ves?
3. ¿Puedes plantear la relación en palabras? ¿Usando las letras a, b y c?
4. ¿Cuando crees que esto sería cierto? ¿Por qué?
Un acercamiento algebraico al Teorema de Pitágoras
Completa las expresiones para cada área indicada.
1. Área del cuadrado grande WXYZ = (a + b)2 =
(a + b)(a + b) = ________________
2. Área del cuadrado grande WXYZ =
área del cuadrado STUV + 4(área del triángulo XST) =
__________________ + __________________
3. Establece las expresiones de #1 y #2 una igual a la otra y
simplifique. ¿Dónde has visto esto antes? Sombrea un
triángulo recto en el dibujo para el cual la relación sea
verdadera.
W Z
X Y
T
S
U
V
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c

877
Plano de puntos
Hoja de actividad 2: Exploración de la relación pitagórica en plano de puntos
Usando un plano de puntos, dibuja diferentes tipos de triángulos. Usa una regla para medir, de ser
necesario. Completa la tabla.
Largo h
del
lado a
Largo h
del
lado b
Largo h
del
lado c
Bosquejo de triángulo c2
a2
b2
<
c2
= a2
+ b2
>
Tipo de triángulo:
Agudo, recto u
obtuso
5. ¿Qué patrones ves emerger?
6. ¿Puedes plantear la relación en palabras? ¿Usando las letras a, b y c?
7. ¿Qué generalizaciones puedes hacer?
8. Decide si los siguientes números pueden representar el largo de los lados del triángulo. Si puedes,
clasifica el triángulo como agudo, recto y obtuso.
a. 20, 99, 101
b. 21, 28, 35
c. 2, 10, 12
d. 2.2, 5, 5.5
e. 10, 11, 14

878
Fuentes: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml
http://mathbits.com/mathbits/studentresources/graphpaper/graphpaper.htm
Plano de puntos
Hoja de actividad 3: Derivando la fórmula de distancia, usando el teorema de Pitágoras
1. Encuentre el largo del segmento AB, como sigue:
a. Señala el punto B as (x1, y1) y señale el punto A as (x2, y2).
b. Construye un cuadrado en cada extremos y luego en la hipotenusa del triángulo.
c. Encuentra el área de cada cuadrado.
d. Usa el teorema pitagórico para establecer la expresión algebraica.
e. Calcula el largo de la hipotenusa.
2. ¿Cuál es la expresión con la que terminaste?
3. ¿Cuál es el nombre de esta fórmula?
4. ¿Cuando usamos esta fórmula?
5. Encuentra la longitud del segmento pedido, usando la fórmula que encontraste.
a. AB, si A(3, 2) y B(2, 1)
b. CD, si C( 1, 3) y D(9, 5)
A
B C

879
Razonamiento inductivo y
deductivo
Razonamiento inductivo y deductivo
1. Revise el vocabulario básico que se incluye en las hojas de actividades.
2. Haga que los estudiantes trabajen en pares o en grupos pequeños para completar las hojas de
actividades.
3. Use las propiedades algebraicas de igualdad (incluidas en la Hoja de Actividad 3) para relacionar,
concentrar o mencionar los pasos de una prueba además de escribirla.
Seguimiento/Extensión
Haga que los estudiantes investiguen problemas prácticos que involucren razonamiento inductivo o
deductivo.
Haga que los estudiantes creen sus propias conjeturas para probar o refutar.
Ejemplo de avalúo
Haga que los estudiantes trabajen en pares para evaluar estrategias.
Use las hojas de actividades para evaluar la comprensión de los estudiantes.
Haga que los estudiantes completen una entrada de diario comparando y contrastando estrategias
de razonamiento inductivo y deductivo.

880
deductivo
Hoja de Actividad 1: Razonamiento inductivo y deductivo
Ejemplo de razonamiento deductivo Ejemplo de razonamiento inductivo
Tomás sabe que si se pierde el entrenamiento
el día anterior a un juego, entonces no será
titular en ese juego.
Tomás se perdió el entrenamiento del martes
Conclusión: Tomás no será titular en el juego
del miércoles.
Observación: Mia llegó tarde a clase esta
mañana.
Observación: El cabello de Mia estaba
despeinado.
Experiencia anterior: Mia es muy cuidadosa
con su cabello.
Conclusión: Mia durmió de más esta mañana.
Completa las siguientes conjeturas basándote en el patrón que observas en
casos específicos:
Conjetura: La suma dos números impares, cualesquiera que estos sean, es ________.
Conjetura: El producto de dos números impares, cualesquiera que estos sean, es________.
Conjetura: El producto de un número (n 1) y de un número (n + 1) siempre es igual a________.
Comprueba o refuta la siguiente conjetura:
Conjetura: Para todos los números reales x, la expresión x2
es mayor o igual a x.
Razonamiento
inductivoPatrón
Verificar/Modificar
Conjetura
El razonamiento inductivo va de las
observaciones más particulares a las
más grandes generalizaciones.
El razonamiento deductivo va de lo más
general a lo más particular.
Razonamiento
deductivo
Hechos PropiedadesDefiniciones
Argumento lógico
1 + 1 = 2 7 + 11 = 18
1 + 3 = 4 13 + 19 = 32

881
deductivo
Hoja de Actividades 2: Razonamiento inductivo y deductivo
1. Juan siempre escucha su estación favorita de radio, una estación de música clásica, cuando conduce
su auto. Cada mañana escucha el radio de camino al trabajo. El lunes prende el radio de su auto y se
escucha música salsa. Haz una lista de conjeturas válidas para explicar porqué se escucha una
música distinta en su radio ese día.
2. M es obtuso. Has una lista de conjeturas con base en esta información.
3. Con base en la tabla de la derecha, Marina concluye que cuando uno de los
dos sumandos es negativo, la suma siempre será negativa. Escribe un
contraejemplo a la conjetura de Marina.
Las propiedades algebraicas de igualdad, incluidas en la
Hoja de actividades 3, pueden usarse para resolver 5x
18 = 3x + 2 y escribir una razón para cada paso, como se
muestra en la tabla de la izquierda.
Usando una tabla como la anterior, resuelve cada una de las siguientes ecuaciones y escribe la razón
para cada paso.
4. 2( w + 3) = 15
5. p 1 = 6
6. 2r 7 = 9
7. 3(2t + 9) = 30
8. Dado 3(4v 1) 8v = 17, comprueba v = 5.
Relaciona cada uno de los siguientes enunciados condicionales con una propiedad:
A. Propiedad de multiplicación F. Propiedad identidad
B. Propiedad de sustitución G. Propiedad distributiva
C. Propiedad transitiva H. Propiedad de sustracción
D. Propiedad conmutativa I. Propiedad de división
E. Propiedad inverso
9. Si JK = PQ entonces PQ = ST, entonces JK = ST. _____
10. Si m S = 30 , entonces 5 + m S = 35 . _____
11. Si ST = 2 y SU = ST + 3, entonces SU = 5. _____
12. Si m K = 45 , entonces 3(m K) = 135 . _____
13. Si m P = m Q, entonces m Q = m P. _____
Sumandos Suma
8 10 18
17 5 22
15 23 8
26 22 4
Expresión Razón
5x 18 = 3x + 2 Expresión dada
2x 18 = 2 Propiedad de sustracción
2x = 20 Propiedad conmutativa
x = 10 Propiedad de división

882
deductivo
Hoja de actividad 3: Propiedades algebraicas de la Igualdad
a, b, y c son números reales
Propiedad conmutativa Si a = b, entonces a + c = b + c
Propiedad de sustracción Si a = b, entonces a c = b c
Propiedad de multiplicación Si a = b, entonces ac = bc
Propiedad de división
Si a = b y c 0, entonces
a c = b c
Propiedad identidad a = a
Propiedad inverso Si a = b, y b = a
Propiedad transitiva Si a = b y b = c, entonces a = c
Propiedad de sustitución
Si a = b, entonces a puede ser sustituida
por b en cualquier ecuación o expresión.
Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac

883
8.4 Otra evidencia
Prueba corta
1. Usa tu compás y tu escalímetro para construir una línea que sea perpendicular a ST y que pase por el
punto O. ¿Qué otro punto está en esta
perpendicular?
A. W _
B. X
C. Y
D. Z
2. U
sa tu compás y escalímetro para construir el bisector de
QRS, que se muestra a la izquierda ¿Qué punto está
sobre este bisector?
A. W
B. X
C. Y
D. Z
SESSION: 3 PAGE: 10 10/16/100 11:22 LOGIN IS PATH:
@sun1/xydisk2/C

884
8.4 Otra evidencia
Prueba corta
3. El dibujo de la derecha muestra la construcción con un compás y un escalímetro de
A. el segmento de una línea congruente con un segmento de línea
B. el bisector de un segmento de línea
C. el bisector de un ángulo dado
D. un ángulo congruente con un ángulo dado
4. ¿Cuál es la pendiente de una línea entre ( 2, 3) y (1, 1)?
A.
3
2
B.
2
3
C.
1
2
D. 2
5. El hexágono en el dibujo tiene una línea de
simetría a través de
A. ( 1, 3) y (2, 1)
B. (1, 1) y (1, 3)
C. (2, 3) y (2, 3)
D. ( 2, 1) y (3, 1)
6. ¿Qué triángulo es una rotación de 180
sobre el origen del triángulo ABC?
A. DEF
B. GHI
C. JKL
D. MNO

885
11 Redes
Las 11 redes de un cubo

886
11 Redes
Hoja de rompecabezas: Redes de un cubo
Colorea las redes de un cubo en esta página.

Fuente: http://www.numeracycd.com/contents/activities/nets/nets.htm
887
11 Redes
Hoja de rompecabezas: Redes de un cubo Solución
Las formas sombreadas son las 11 redes de un cubo.

888
Materiales que se necesitan
1. Distribuya la hoja a los estudiantes.
2. Asigne un número de objetos para vender en una venta de garaje. (Nota: Como usted puede asignar
cualquier número de objetos para la venta, esta actividad puede repetirse varias veces distintos con
números de objetos).
3. Haga que los estudiantes trabajen solos o en parejas. Cerciórese de que reconozcan la necesidad de
trabajar hacia atrás en el proceso de resolver el problema para medidas de tendencia central.
4. Dé a cada par de estudiantes un escenario diferente, y reúna al grupo al final de la clase para discutir
cada escenario; o distribuya el salón de clases en estaciones y deje que roten los estudiantes a
través de los escenarios.
Ejemplo de avalúo
Pida a los estudiantes que escriban una entrada del diario sobre la actividad.
Compare y contraste los tres escenarios describiendo el rol de la media, mediana y moda y/o la
amplitud de los datos en un determinado conjunto de precios que cuadre con el escenario.
Seguimiento/extensión
Haga que los estudiantes consideren uno de los escenarios. Si el número de objetos disponibles en
la venta de garaje se duplican, ¿cómo se afectarían el conjunto de precios que dispone el escenario?
Tarea
Pida a los estudiantes que consideren otros dos escenarios. Si el número de objetos disponibles en
la venta de garaje se duplican ¿cómo se afectarían el conjunto de precios que dispone el escenario?
Luego hágalos considerar la situación en la cual alguien dona un objeto sofisticado (o de baja
calidad). ¿Cómo se afectaría el conjunto de precios?

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