1.
Esquemas
Dr. J. Rogelio Pérez Buendía
CIMAT
20 de mayo de 2015

2.
Espacios Geométricos
Para entender un espacio geométrico, tal como las variedades diferenciales,
es importante entender cómo son las funciones entre dichos objetos. De
manera más precisa, entendemos a los objetos geométricos a través de sus
gavillas de funciones en el espacio. Así que, de manera burda, podemos decir
que un esquema está conformado por:
• Un conjunto (de puntos del esquema).

3.
Espacios Geométricos
Para entender un espacio geométrico, tal como las variedades diferenciales,
es importante entender cómo son las funciones entre dichos objetos. De
manera más precisa, entendemos a los objetos geométricos a través de sus
gavillas de funciones en el espacio. Así que, de manera burda, podemos decir
que un esquema está conformado por:
• Un conjunto (de puntos del esquema).
• Una topología (determinada en general por los cerrados del esquema).

4.
Espacios Geométricos
Para entender un espacio geométrico, tal como las variedades diferenciales,
es importante entender cómo son las funciones entre dichos objetos. De
manera más precisa, entendemos a los objetos geométricos a través de sus
gavillas de funciones en el espacio. Así que, de manera burda, podemos decir
que un esquema está conformado por:
• Un conjunto (de puntos del esquema).
• Una topología (determinada en general por los cerrados del esquema).
• Una gavilla estructural (la gavilla de funciones algebraicas en el
esquema).

5.
Ejemplo 1
Ejemplo
• Como conjunto consideremos a los números complejos C (también
podemos tomar Cn
) más algunos puntos extra que podemos pensar que
están “al rededor”.

6.
Ejemplo 1
Ejemplo
• Como conjunto consideremos a los números complejos C (también
podemos tomar Cn
) más algunos puntos extra que podemos pensar que
están “al rededor”.
• Para la topología pedimos que los subconjuntos cerrados, sean el
conjunto de ceros comunes e un conjunto de polinomios complejos.

7.
Ejemplo 1
Para la gavilla de funciones algebraicas (la gavilla estructural) esperaríamos
que en el plano complejo, las funciones tales como:
3x2
+ y2
2xy + 4xy + 1
sean funciones algebraicas en el conjunto abierto que consiste de los puntos
en donde el denominador no se anula.

8.
Ejemplo 2 (variedades
Diferenciables)
Ejemplo
Sea X un variedad diferenciable.
• Espacio topológico.

9.
Ejemplo 2 (variedades
Diferenciables)
Ejemplo
Sea X un variedad diferenciable.
• Espacio topológico.
• Gavilla de funciones diferenciables que denotaremos por OX.

10.
Ejemplo 2 (Variedades
Diferenciables)
La evaluación en un punto p ∈ X nos da un morfismo suprayectivo del
conjunto de gérmenes de funciones diferenciables en p, a los reales:
OX,p −→ R
y su núcleo, el conjunto de gérmenes de funciones que se anulan en p, es un
ideal maximal mp.

11.
Variedades Diferenciables
Definición (Definición algebraica)
Una variedad diferenciable es un espacios topológico (Hausdorff) junto con
una gavilla de anillos, de tal manera que tiene una cubierta abierta {Ui} con la
propiedad de que:
(Ui, OX|Ui
) (Br(0), OBr(0))
Con esta definición, vemos que las bolas (como espacios anillados) son los
parches básicos: es decir, una variedad diferenciable se obtiene pegando esos
parches.

12.
Pegando parches
En el caso algebraico, el parche básico, es lo que llamaremos“esquema afín”.
El concepto equivalente en el caso algebraico es el de ser separado.

13.
Esto no pasará en Esquemas
Las funciones diferenciables en una variedad diferenciable, están
determinadas por sus valores en sus puntos. En el caso de esquemas esto no
es cierto en general.

14.
Funciones
Notemos que un morfismo diferenciable
π : X → Y
entre variedades diferenciales son en particular funciones continuas, pero
evidentemente no son todas las funciones continuas, tenemos que tomar sólo
algunas de ellas.
¿Cuáles?

15.
Funciones diferenciables
Aquellas que jalan funciones diferenciables a funciones diferenciables.
Formalmente tenemos un morfismo de gavillas
π#
: OY −→ π∗OX.
Es claro que dada una función diferenciable entre variedades diferenciables,
las unciones diferenciables se jalan a funciones diferenciables el converso es
un ejercicio que se deja al público.

16.
Geometría en los Enteros
Consideremos al anillo de los números enteros Z.
• Espacio: Spec(Z) = {2, 3, 5, 7 . . .} ∪ {0}.

17.
Geometría en los Enteros
Consideremos al anillo de los números enteros Z.
• Espacio: Spec(Z) = {2, 3, 5, 7 . . .} ∪ {0}.
• Topología: Decimos que un subconjunto ⊂ Z es cerrado si, y sólo si:

18.
Geometría en los Enteros
Consideremos al anillo de los números enteros Z.
• Espacio: Spec(Z) = {2, 3, 5, 7 . . .} ∪ {0}.
• Topología: Decimos que un subconjunto ⊂ Z es cerrado si, y sólo si:
• M = Spec(Z)

19.
Geometría en los Enteros
Consideremos al anillo de los números enteros Z.
• Espacio: Spec(Z) = {2, 3, 5, 7 . . .} ∪ {0}.
• Topología: Decimos que un subconjunto ⊂ Z es cerrado si, y sólo si:
• M = Spec(Z)
• M = ∅

20.
Geometría en los Enteros
Consideremos al anillo de los números enteros Z.
• Espacio: Spec(Z) = {2, 3, 5, 7 . . .} ∪ {0}.
• Topología: Decimos que un subconjunto ⊂ Z es cerrado si, y sólo si:
• M = Spec(Z)
• M = ∅
• 0 /∈ M y M es finito.

21.
Punto Denso!!
Notemos que todo subconjunto abierto U ⊂ Spec(Z) que no es vacío,
contiene al 0, por lo que el {0} es un subconjunto denso. Con esta topología
tenemos que:
• X = Spec(Z) es compacto (casi-compacto).
• X no es Hausdorff.

22.
Funciones
Dado un elemento a ∈ Z puede ser considerado como una función de la
siguiente manera:
Para p ∈ Spec(Z). Definimos el campo de residuos de p como el campo:
κ(p) :=



Fp si p = 0 es un número primo
Q si p = 0

23.
Funciones
Ahora, para cada a ∈ Z consideremos a la función, que también es denotada
por a:
a : Spec(Z) →
p∈Spec(Z)
κ(p); p → a (m´od p) (0.1)
De está manera podemos pensar que Z son las funciones de Spec(Z).

24.
Z como espacio geométrico
Así a Z le estamos asociando un espacio geométrico
(Spec(Z), {κ(p)}p∈Spec(Z)).
Figura: El espectro de los enteros

25.
El conjunto asociado a un esquema
afín
Como conjunto, Spec(A) es el conjunto de ideales primos de A.
Spec(A) = {p ⊂ A| p es ideal primo} .
Escribiremos x ∈ Spec(A) cuando pensemos en los elementos de X como
puntos, o escribiremos px si queremos pensar en ellos como ideales primos
de A. Tenemos entonces que x = px.

26.
Funciones del esquema afín
A los elementos de A los llamaremos funciones en Spec(A) y su valor en un
punto x será
a(x) := a (m´od px).
a(x) = 0 para x ∈ Spec(A) ⇐⇒ a ∈ px

27.
Anillo de funciones
Como A es un anillo, las funciones en Spec(A) tienen una estructura de
anillo, la suma y la multiplicación de funciones corresponde a la suma y
multiplicación de sus valores es decir:
ab(x) = a(x)b(x) y (a + b)(x) = a(x) + b(x).

28.
Layout
Esquemas Afines
Topología asociada a un esquema afín
Ejemplos
Esquemas

29.
Cerrados
Sea X = Spec(A).
Si a es un ideal del anillo A, definimos el conjunto:
V(a) := {x ∈ X|a ⊂ px}

30.
Topología
Dentemos por F al subconjunto del conjunto potencia de X formado por los
subconjuntos de la forma V(a).
Proposición
Con la definición anterior, se tiene lo siguiente:
• ∅ y X pertenecen a F.
• Si {Fi}i∈I ⊂ F, entonces i Fi ∈ F.
• Si F1, F2 están en F, entonces también F1 ∪ F2 ∈ F.
Es decir, los elementos en F caracterizan a los cerrados de una topología. Así
que definimos a la topología de Zariski de Spec(A) como formada por los
subconjuntos de la forma U = X − V(a) para algún ideal a ⊂ A.

31.
Base de la topología
Una base para está topología está formada por los conjuntos
Xf := X V((f)) para f ∈ A.

32.
Cerradura de un punto
Observación
Si x ∈ X es un punto en Spec(A), entonces:
{x} = V(px).
Los puntos cerrados de x son precisamente los determinados por los ideales
maximales de A.

33.
Funtorialidad de Spec
Proposición
Sean A, B dos anillos y f : A → B un homomorfismo de anillos. Entonces f
induce una función continua entre los espacios topológicos:
f∗
: Spec(B) −→ Spec(A); f∗
(q) = f−1
(q).
Ayuda: Para verificar la continuidad, hay que demostrar que
f∗−1
(Xa) = Yf(a).

34.
Layout
Esquemas Afines
Topología asociada a un esquema afín
Ejemplos
Esquemas

35.
El espectro de un campo
Ejemplo
Si k es un campo, entonces
Spec(k) = {(0)}
Las funciones son las constantes en a ∈ k cuyo valor en el punto (0) es la
misma constante a.
Consideremos
f : Z −→ Fp
este induce f∗
: Spec(Fp) → Spec(Z) y la imagen del único punto en
Spec(Fp) es el ideal (p) ∈ Spec(Z).

36.
continuación
Si ahora consideramos la inclusión
ı : Z → Q
entonces
ı∗
: Spec(Q) → Spec(Z)
manda al único punto de Spec(Q) al ideal (0) ∈ Spec(Z).

37.
No todo homeomorfismo proviene
de un morfismo de anillos
Notemos que
Spec(F3) Spec(F5)
como espacios topológicos (pues sólo tienen un punto), sin embargo no hay
homomorfismo de anillos f : F5 → F3 que induzca tal isomorfismo. Más
adelante veremos que como esquemas no son isomorfos.

38.
La linea real afín
Denotamos
A1
R := Spec(R[x])
a la linea afín real.
Sus pontos son el ideal
• (0),
• los ideales de la forma (x − a) con a ∈ R,
• los ideales de la forma (x2
+ bx + c) con b2
− 4c < 0
El ideal (0) es un punto abierto denso y los otros puntos son cerrados.

39.
La linea real afín
Una manera de imaginarse a la linea afín real es pensar en el plano superior
complejo de tal manera que los puntos en la linea real corresponden a los
ideales maximales (x − a) y los puntos con parte imaginaria positiva z ∈ C
con im z > 0 corresponden a los ideales generados por los polinomios
(x − z)(x − ¯z) = x2
+ bx + c.
Equivalentemente podemos pensar que la linea afín real es el espacio de
órbitas de la acción de Gal(C/R) sobre C por conjugación.

40.
¿Cómo son las funciones?
Sabemos que son los polinomios con coeficientes reales R[x].
Para f = x3
− 1 tenemos que su valor en el punto (x − 2) es f(x − 2) = 7
pues x3
− 1 ≡ 7 (m´od (x − 2)).
Si ahora evaluamos esta función en el punto x2
+ 1 obtenemos que
x3
− 1 ≡ −x − 1 (m´od x2
+ 1)
que bajo el isomorfismo
R[x]/(x2
+ 1) C x → i,
podemos decir que el valor de x3
− 1 en el punto (x2
+ 1) es −i − 1.

41.
¿...Y sobre los racionales?
Ejercicio
Describir a la linea afín sobre Q.

42.
Plano afín complejo
ConsieremosAn
C := Spec(C[x, y]).
Como C[x, y] no es un dominio de ideales principales pues por ejemplo el
ideal (x, y) no es principal, tenemos que trabajar un poco más para encontrar
a los ideales primos de este anillos:
• El ideal (0) es primo y punto denso.
• El ideal (x − 2, y − 3) es maximal (de hecho cualqueira de la forma
(x − a, y − b)).
• Si f(x, y) es irreducible, entonces el ideal (f(x, y)) generado por f es
primo.

43.
Plano complejo
Figura: Un dibujo del plano afín

44.
Topología del plano afín
• El espacio entero es cerrado y de hecho es la cerradura del punto abierto
(0) (podemos pensar al (0) como un punto de dimensión dos).

45.
Topología del plano afín
• El espacio entero es cerrado y de hecho es la cerradura del punto abierto
(0) (podemos pensar al (0) como un punto de dimensión dos).
• Un número finito (posiblemente vació) de curvas, cada una la cerradura
de un punto (que podemos pensar de dimensión uno).

46.
Topología del plano afín
• El espacio entero es cerrado y de hecho es la cerradura del punto abierto
(0) (podemos pensar al (0) como un punto de dimensión dos).
• Un número finito (posiblemente vació) de curvas, cada una la cerradura
de un punto (que podemos pensar de dimensión uno).
• Un número finito de puntos determinados por ideales maximales
(puntos de dimensión cero). Estos son los puntos cerrados.

47.
Nullstellensatz
Theorema
• Si K es un campo algebraicamente cerrado, entonces los ideales
maximales de K[x1, x2, . . . , xn] son precisamente los ideales de la forma
(x − a1, . . . , x − an) para ai ∈ K.

48.
Nullstellensatz
Theorema
• Si K es un campo algebraicamente cerrado, entonces los ideales
maximales de K[x1, x2, . . . , xn] son precisamente los ideales de la forma
(x − a1, . . . , x − an) para ai ∈ K.
• Si K es cualquier campo, cada ideal maximal de K[x1, . . . , xn] tiene
campo de residuos una extensión finita de K.

49.
Traducción de funciones
Supongamos que tenemos una función:
X ⊂ C2
−→ C ⊂ C3
; (a, b) → φ(a, b) := (a, b, b2
)
para X : b = a2
en C2
: y = x2
, z = y2
en C3
.
Figura: y = x2
, z = y2

50.
Traducción
En el lenguaje de esquemas afines, esto se corresponde con:
• X corresponde a X = Spec(C[a, b]/(b − a2
)).
• C corresponde a C = Spec(C[x, y, z]/(y − x2
, z − y2
))
• φ corresponde a ψ∗
para
ψ : C[x, y, z]/(y − x2
, z − y2
) −→ 0C[a, b]/(b − a2
)
(x, y, z) → (a, b, b2
)

51.
Cocientes y subesquemas cerrados
Sea A un anillo y I un ideal. Recordemos el siguiente resultado de álgebra:
Proposición
Sea φ : A → A/I el cociente natural, entonces φ−1
nos da una biyección
que preserva inclusiones revertidas entre los ideales primos de A/I y los
ideales primos de A que contienen a I.
Esto nos dice entonces que el morfismo φ : A → A/I induce una inclusión:
φ∗
: Spec(A/I) −→ Spec(A)
así que podemos pensar a Spec(A/I) como un subconjunto de Spec(A).

52.
Localizaciones
Supongamos que 1 ∈ S es un conjunto muliplicativamente cerrado de A.
Sea S−1
A la localización de A respecto a S. Consideremos el homomorfismo
natural de anillos
A → S−1
A; a → a/1.
Proposición
Hay una correspondencia biyectiva entre los ideales primos de S−1
A y los
ideales primos de A que no interceptan a S dad por I → φ−1
(I).
Esto nos dice que el morfismo inducido φ∗
: Spec(S−1
A) → Spec(A) tiene
como imagen al conjunto de ideales primos que no cortan a S.

53.
Localización en f ∈ A y abiertos
básicos
En particular vemos que para f ∈ A y
S = 1, f, f2
, . . .
que es un conjunto multiplicativo denotado por A[f−1
] = S−1A
.
Se tiene que Spec(S−1
A) se identifica con el abierto básico Xf . Esto es,
podemos pensar entonces que
Xf = Spec(A[f−1
]).

54.
Ejemplo
Ejemplo
Sea A = C[x, y]/(xy). Entonces Spec(A) son los ejes coordenados.
Tomemos ahora f = x.
Spec((C[x, y]/(xy))x) son los ideales primos de A que no contienen a x, es
decir, geométricamente es el abierto determinado por el complemento del eje
y, por lo que nos estamos quedando con el eje x menos el origen. Por la
misma razón, podemos decir que el eje x menos el origen es Spec(C[x]x).
Ejercicio: Demostrar que hay un isomorfismo entre
(C[x, y]/(xy))x C[x]x
.

55.
Localización en un ideal primo
Si p = px ∈ Spec(A), entonces su complemento S = A px es un conjunto
multiplicativo.
S−1
A := Ap.
Spec(Ap) se identifican con los elementos en Spec(A) contenidos en p.
Geométricamente estos son todos los puntos de Spec(A) que “se ven desde”
p.

56.
Ejemplo
Ejemplo
Sea A = C[x, y] y tomemos p = (x, y). En Spec(C[x, y](x,y)) tenemos a los
ideales (x, y), (0) y los ideales de la forma f(x, y) con f irreducible y
f(0, 0) = 0. Solo vemos lo que está cerca del origen:
Figura: Rebanada en el origen o Spec(C[x, y](x,y)).

57.
Funciones no están determinadas por
sus valores
Supongamos que tenemos una función que se anula en todos sus puntos, ¿es
esta función la función determinada por el cero del anillo?
La respuesta es NO necesariamente y la culpa es de los elementos
nilpotentes.
Definición
Un esquema afín Spec(A) es reducido, si A no tiene nilpotentes. El esquema
es irreducible, si A es un dominio entero.
Un esquema afín es irreducible si y sólo si es irreducible como espacio
topológico.

58.
Números duales
Consideremos el anillo de los números duales:
D = k[x]/(x2
)
y sea la clase de x, entonces = 0, pero 2
= 0.
Notar que Spec(D) Spec(k)[x]/(x) como espacio topológico (pero no
como esquemas).
Por ejemplo, si en vez de trabajar con D trabajamos con
A = k[x, ]/( 2
)
vemos que para cualquier f(x) ∈ k[x] su clase en A satisface que
f(x + ) = f(x) + f (x).

59.
Pregavillas
Sea X un espacio topológico
Una pregavilla (de grupos abelianos, o de anillos, módulos o de hecho
cualquier categoría abeliana), es una regla F que asigna:
• A cada abierto U ⊂ X, un grupo abeliano F(U).

60.
Pregavillas
Sea X un espacio topológico
Una pregavilla (de grupos abelianos, o de anillos, módulos o de hecho
cualquier categoría abeliana), es una regla F que asigna:
• A cada abierto U ⊂ X, un grupo abeliano F(U).
• A cada par de abiertos V ⊂ U ⊂ X, un homomorfismo de grupos
ρU,V : F(U) → F(V), llamada la restricción, tal que satisface:

61.
Pregavillas
Sea X un espacio topológico
Una pregavilla (de grupos abelianos, o de anillos, módulos o de hecho
cualquier categoría abeliana), es una regla F que asigna:
• A cada abierto U ⊂ X, un grupo abeliano F(U).
• A cada par de abiertos V ⊂ U ⊂ X, un homomorfismo de grupos
ρU,V : F(U) → F(V), llamada la restricción, tal que satisface:
• φU,U = IdU,U

62.
Pregavillas
Sea X un espacio topológico
Una pregavilla (de grupos abelianos, o de anillos, módulos o de hecho
cualquier categoría abeliana), es una regla F que asigna:
• A cada abierto U ⊂ X, un grupo abeliano F(U).
• A cada par de abiertos V ⊂ U ⊂ X, un homomorfismo de grupos
ρU,V : F(U) → F(V), llamada la restricción, tal que satisface:
• φU,U = IdU,U
• Si W ⊂ V ⊂ U ⊂ X, entonces ρU,W = ρU,W ◦ ρU,V.

63.
Pregavillas
Sea X un espacio topológico
Una pregavilla (de grupos abelianos, o de anillos, módulos o de hecho
cualquier categoría abeliana), es una regla F que asigna:
• A cada abierto U ⊂ X, un grupo abeliano F(U).
• A cada par de abiertos V ⊂ U ⊂ X, un homomorfismo de grupos
ρU,V : F(U) → F(V), llamada la restricción, tal que satisface:
• φU,U = IdU,U
• Si W ⊂ V ⊂ U ⊂ X, entonces ρU,W = ρU,W ◦ ρU,V.
• F(∅) = 0.

64.
En términos categóricos, una pregavilla es un funtor contravariante de la
categoría de abiertos de un espacio topológico (con morfismo la inclusión), a
una categoría abeliana. En términos categóricos, una gavilla es un funtor
contravariante de la categoría de abiertos de un espacio topológico (con
morfismo la inclusión), a una categoría abeliana.
Figura: El morfismo de restricción

65.
Ejemplo
• Si X es una variedad diferenciable, entonces sus funciones
diferenciables forman una gavilla (su gavilla estructural).

66.
Ejemplo
• Si X es una variedad diferenciable, entonces sus funciones
diferenciables forman una gavilla (su gavilla estructural).
• Si X es un espacio topológico, definimos F como la pregavilla de
funciones con valores complejos en X. Esto es, para cada abierto
U ⊂ X, definimos F(U) := {f : U → C : f es continua }, las funciones
ρU,V son las restricciones de funciones continuas a un abierto más
pequeño.

67.
Observación
Esta pregavilla tiene una propiedad interesante:
Dado un abierto U y una cubierta abierta de U, digamos {Ui}i∈I, entonces la
función f en U queda completamente determinada por sus restricciones en
los abiertos de la cubierta.
Más aún, dada la descripción local de funciones continuas, es posible pegar
funciones definidas en los abiertos (que coinciden en intersecciones) a una
función global definida en U.

68.
Gavillas
Decimos que la pregavilla F es una gavilla, si satisface la siguientes
propiedades:
Pegado: Para cada abierto U ⊂ X y para cada cubierta {Ui}i∈I abierta de U, y
para cada {fi} con fi ∈ F(Ui), tal que para las parejas i, j ∈ I,
ρUi,Ui∩Uj
(fi) = φUj,Uj∩Ui
(fj) entonces:
∃ ! f ∈ F(U) tal que para todo i ∈ I ρU,Ui
(f) = fi.

69.
Gavillas
Decimos que la pregavilla F es una gavilla, si satisface la siguientes
propiedades:
Pegado: Para cada abierto U ⊂ X y para cada cubierta {Ui}i∈I abierta de U, y
para cada {fi} con fi ∈ F(Ui), tal que para las parejas i, j ∈ I,
ρUi,Ui∩Uj
(fi) = φUj,Uj∩Ui
(fj) entonces:
∃ ! f ∈ F(U) tal que para todo i ∈ I ρU,Ui
(f) = fi.
Identidad: Si {Ui}i∈I es una cubierta abierta de un abierto U, entonces dados g, f en
F(U) tales que ρU,Ui
(f) = ρU,Uj
(g), entonces f = g.

70.
Gavillas
Decimos que la pregavilla F es una gavilla, si satisface la siguientes
propiedades:
Pegado: Para cada abierto U ⊂ X y para cada cubierta {Ui}i∈I abierta de U, y
para cada {fi} con fi ∈ F(Ui), tal que para las parejas i, j ∈ I,
ρUi,Ui∩Uj
(fi) = φUj,Uj∩Ui
(fj) entonces:
∃ ! f ∈ F(U) tal que para todo i ∈ I ρU,Ui
(f) = fi.
Identidad: Si {Ui}i∈I es una cubierta abierta de un abierto U, entonces dados g, f en
F(U) tales que ρU,Ui
(f) = ρU,Uj
(g), entonces f = g.
• F(∅) = 0 (el elemento final de la categoría).

71.
Ecualizadores
En términos categóricos, una gavilla es una pregavilla tal que la siguiente
sucesión de igualadores es exacta:
· −→ F(U) −→ F(Ui)−→ F(Ui ∩ Uj).

72.
Ejercicios
• La pregavilla de funciones acotadas en C no es gavilla.
• Funciones holomorfas que admiten una raíz cuadrada, es una pregavilla
pero no es gavilla.

73.
Tallos
Notemos que el conjunto I, de abiertos de un espacio topológico es un orden
dirigido, en efecto, decimos que U V ⇐⇒ U ⊂ V.
Definición
El tallo de una pregavilla F en el punto x ∈ X es:
Fx := lim
−→
U∈I
(F(U), ρU,V)
En otras palabras, el tallo en x es F(U)/ donde f ∈ F(U) y g ∈ F(V)
están relacionadas f g si y sólo si existe un W ∈ I ⊂ U ∩ V tal que
ρU,W(f) = ρV,W(g). Es decir, si son “gérmenes de funciones”.

74.
tallos
Tenemos el morfismo natural F(U) → Fx; f → [f] = fx. Fx es nuevamente
un elemento de la categoría abeliana.

75.
Morfismos
Sean dos (pre)gavillas F, G en el espacio topológico X.
Definición
Un morfismo φ : F → G es una transformación natural entre los funtores F,
G.
Si F → G es un morfismo de (pre)gavillas, entonces este induce un morfismo
en los tallos Fx → Gx. Un morfismo de gavillas es inyectivo (suprayectivo) si
todos sus morfismos inducidos en los tallos lo son.

76.
La gavilla de una pregavilla
Para toda pregavilla F existe una gavilla F+
que cumple que cualquier
morfismo F → G de pregavillas con G una gavilla, se factoriza por F+
.

77.
Cambio de espacio topológico
Sean X, Y espacios topológicos y sea f : X → Y una función continua. Si F
es una gavilla en X y G es una gavilla en Y, entonces podemos empujar la
gavilla F a una gavilla en Y (llamada la gavilla imagen directa), y podemos
jalar a la gavilla G a una gavilla en X (llamada la imagen inversa). En efecto
tenemos que:
f∗F(V) := F(f−1
(V)); f∗
G(U) = lim
−→
f(U)⊂V
G(V).

78.
B-gavillas
Si X es un espacio topológico y si B es una base de la topología para X,
entonces definimos:
• Para todo U ∈ B, un grupo abeliano F(U).
• Para todo V ⊂ U en B, un morfismo de restricción ρU,V : F(U) → F(V), que
satisface las propiedades de transitividad e identidad.
• Sea U ∈ B y sea {Ui} una cubierta en B. Sea t, l ∈ F(U) tal que
ρU,Ui
(t) = ρU,Ui
(l), entonces t = l.
• Si para U ∈ B y {Ui} es una cubierta de U en B y si ti ∈ F(Ui) satisfacen que
para i, j existe un W ∈ B con W ⊂ Ui ∩ Uj tal que ρUi,W(ti) = ρUj,W(tj),
entonces existe un único t ∈ F(U) tal que ρU,Ui
(t) = ti.

79.
Gavillas y B-gavillas
Proposición
Sea X un espacio topológico y sea B una base de la topología de X y F una
B-gavilla en X. Entonces se extiende a una única gavilla F en X.
Más aún si F, G son dos B-gavillas y si
φ : F → G
es un morfismo de B-gavillas, entonces φ se extiende de manera única a un
morfismo correspondiente de gavillas
F → G

80.
La gavilla de un esquema afín
Sea X = Spec(A) y sea B = {Xf |f ∈ A}. Para cada f ∈ A, definimos
OX(Xf ) := Af .
Ahora supongamos que Xf ⊂ Xg, entonces Xf = Xg ∩ Xf = Xfg, es decir
Xf = Xfg. Definimos la restricción como:
ρfg : OX(Xg) = Ag −→ OX(Xf ) = Afg;
a
gn
→
afn
(fg)n
Se comprueba (ejercicio) que estas restricciones de comportan cono deben y
que con estas definiciones OX es una B-gavilla.

81.
Gavilla estructural y el espectro de
un anillo
Definición
La gavilla estructural OX asociada a un esquema afín X = Spec(A) es la
gavilla correspondiente a la B-gavilla definida anteriormente.
Definición
El par (X, OX) es llamado el espectro del anillo A que a partir de ahora
denotaremos por Spec(A) y este es lo que entendemos por un esquema afin.

82.
Observación importante
Si X = Spec(A) es un esquema afín, y si x ∈ X (es decir si está en el
correspondiente espacio topológico), entonces:
OX,x = lim
−→
x∈U∈B
OX(U) = lim
−→
f∈Apx
OX(Xf ) = lim
−→
f∈Apx
Af = Apx
. (2.1)
Observemos entonces que los tallos de un esquema afín son anillos locales.

83.
Espacios localmente anillados y
esquemas
Definición
Un par (X, OX), en donde X es un espacio topológico y OX es una gavilla en
X, tal que OX,x es un anillo local para todo x ∈ X es llamado un espacio
localmente anillado.
Definición
Un esquema es un espacio localmente anillado (X, OX) que es localmente
afín. Esto es, para cada x ∈ X existe un abierto U que contiene a x y tal que
(U, OX|U) es isomorfo a un esquema afín Spec(A) para algún anillo A.

84.
Pero... ¿qué quiere decir que dos
espacios localmente anillados sean
isomorfos?
Sean (X, OX) y (Y, OY) dos espacios localmente anillados.
Definición
Un morfismo (f, f#
) : (X, OX) → (Y, OY) entre espacios localmente
anillados es un par (f, f#
) tal que:
• f : X → Y es una función continua.
• f#
: OY → f∗OX es un morfismo local de gavillas en Y.

85.
local
Expliquemos lo que significa local en la definición anterior.
Fijemos x ∈ X y sea y = f(x) ∈ Y su imagen. Entonces f#
induce un
morfismo
f#
y : OY,y → (f∗OX)y → OX,x
Ser local significa que el ideal maximal del anillo local OY,y es enviado
dentro del ideal maximal de OX,x bajo esta composición.

86.
Teorema
Supongamos que (X, OX) es un esquema y que (Y, OY) es un esquema afín.
Entonces hay una biyección natural:
(f, f#
) : (X, OX) → (Y, OY) ↔ Homanillos(A, OX(X)).

87.
Corolario
Si (X, OX) = Spec(B) es afín, entonces la correspondencia anterior nos dice
que hay una biyección natural entre:
{Morfismos de esquemas Spec(B) → Spec(A)} ↔ Hom anillos (A, B)
Esto quiere decir que hay una anti-equivalencia entre la categoría de anillos y
la categoría de esquemas afines.

88.
El plano menos un punto
Sea A = k[x, y], entonces Spec(A) es el plano afín sobre k. Consideremos al
conjunto abierto
U := A2
K {(0, 0)} = A2
{(x, y)}
Notemos que U = Xx ∪ Xy.
Encontremos a las funciones de U. Las funciones de Xx son Ax = k[x, y, 1/x]
y análogamente las funciones en Xy son Ay = k[x, y, 1/y], además notemos
que A se inyecta en ambos Ax y Ay y ambos se inyectan en Axy.

89.
Por la propiedad de gavilla, estamos buscando funciones en Xx y en Xy que
coincidan en Xx ∩ Xy = Xxy.
Estas son funciones racionales con sólo potencias de x en el numerador y
con sólo potencias de y en el denominador, es decir, funciones polinomiales.
En otras palabras
OX(U) = k[x, y].
Notemos también que cualquier función en el plano menos un punto, se
extiende a una función a todo el plano.

90.
No es afín
Afirmamos que U es un esquema que no es afín. En efecto, por lo visto
anteriormente, si U fuera afín, tendríamos que U A2
. Recordemos que si I
es un ideal del anillo A, entonces V(I) es un cerrado. Más aún, este cerrado
tiene un punto genérico, es decir un punto x ∈ Spec(A) tal que {x} = V(I)
(esto pasa pues podemos considerar a todos los ideales primos que contienen
a I y ordenarlos por inclusión, este tiene un elemento mínimo y este primo
mínimo tiene cerradura igual a V(I)). Dado V(I) se puede recuperar el punto
genérico. Si I = p es primo, entonces p es el punto genérico de V(p)
claramente.

91.
Pegado de espacios topológicos
Sea X un espacio topológico y sean U ⊂ X, V ⊂ X dos abiertos junto con un
homeomorfismo:
U
φ
−→ V
Podemos crear un nuevo espacio topológico: el pegado de U con V, de tal
manera que U, V se identifiquen naturalmente con abiertos en W.
• Tomar U V

92.
Pegado de espacios topológicos
Sea X un espacio topológico y sean U ⊂ X, V ⊂ X dos abiertos junto con un
homeomorfismo:
U
φ
−→ V
Podemos crear un nuevo espacio topológico: el pegado de U con V, de tal
manera que U, V se identifiquen naturalmente con abiertos en W.
• Tomar U V
• Decimos que x y si x ∈ U, y ∈ V y φ(x) = y (y su condición
simétrica).

93.
Pegado de espacios topológicos
Sea X un espacio topológico y sean U ⊂ X, V ⊂ X dos abiertos junto con un
homeomorfismo:
U
φ
−→ V
Podemos crear un nuevo espacio topológico: el pegado de U con V, de tal
manera que U, V se identifiquen naturalmente con abiertos en W.
• Tomar U V
• Decimos que x y si x ∈ U, y ∈ V y φ(x) = y (y su condición
simétrica).
• W := U V/

94.
Pegado de esquemas por abiertos
Sean (X, OX) un esquema y tomemos dos subesquemas abiertos (U, OU),
(V, OV) que son isomorfos como esquemas:
(U, OU)
φ
−→ (V, OV).
Entonces podemos pegar estos esquemas para obtener un nuevo esquema. La
diferencia con el caso topológico, es que además de pegar a los espacios
topológicos, tenemos que pegar a sus gavillas estructurales. El hecho de
tener un isomorfismo de esquemas nos dice que también vamos a poder
pegar a sus gavillas estructurales.

95.
Pegado de Esquemas (ejercicio)
Muestra que se puede pegar una cantidad arbitraria de esquemas:
• Sea {Xi} una familia arbitraria de esquemas
• Xij ⊂ X subesquemas abiertos tal que Xii = Xi.
• fij : Xij → Xji isomorfismos con fii la identidad.
Entonces existe un único esquema X (único salvo por único isomorfismo)
que es el “pegado” de esos esquemas. Es decir X es un esquema con una
familia de subesquemas Xi abiertos que respeta las “condiciones de pegado”.

96.
La linea afín con dos orígenes
Sea X = Spec(C[x]), la linea afín compleja y tomemos
U = Xx = Spec(C[x, 1/x]) = V.
Consideremos el homeomorfismo
φ : U −→ V; x → x
Si pegamos:
Figura: La linea afín con dos orígenes
Este esquema NO es afín.

97.
La linea proyectiva
Ahora tomamos nuevamente X = Spec(C[x]) con
U = V = Spec(C[x, 1/x]). Pero ahora consideramos el isomorfismo:
φ : U −→ V; x → 1/x
Si pegamos obtenemos P1
C.
Figura: Pegado de dos lineas afines para obtener la linea proyectiva
La linea proyectiva NO es afín.

98.
Producto fibrado
Dados X, Y, Z en una categoría, y morfismos φ : X → S, ψ : Y → S, el
producto fibrado de X, Y sobre S se define como el objeto X ×S Y junto con
aplicaciones pX : X ×S Y → X y pY : X ×S Y → Y tal que el siguiente
diagrama es cartesiano:
X ×S Y
pX
//
pY
X
φ
Y
ψ
// S
tal que

99.
El producto fibrado de conjuntos
Si X, Y, S son conjuntos, y f : X → S, g : Y → S son funciones, entonces:
• X ×S Y = {(x, y) ∈ X × Y|f(x) = g(y)}.
• Si f, g son inclusiones, entonces X ×S Y = X ∩ Y
• Si X = {s} para s ∈ S y f es la inclusión, entonces X ×S Y = g−1(s)
es
la fibra en s.
• Si X ⊂ S y f es la inclusión, entonces g−1
(X) = X ×S Y.

100.
Producto fibrado de esquemas afines
Si X = Spec(A), Y = Spec(B) y S = Spec(R) entonces:
X ×S Y = Spec(A ⊗R B)
Esto se deduce de la propiedad universal del producto tensorial, que por
dualidad, se traduce en la propiedad universal del producto fibrado.
A ⊗R B Aoo
B
OO
R
OO
oo

101.
Definiciones
• Sean X, Y, Z esquemas y sea F : X → Y un morfismo de esquemas y
Z → Y una inmersión de esquemas. Entonces definimos
F−1
(Z) := X ×Y Z.
• Si x ∈ Y es un punto en Y, entonces tenemos un morfismo de esquemas
Spec(k) → Y en donde k es el campo de funciones de y, es decir
k = OY,y/my y el morfismo es inducido por OY → OY,y → k. Entonces
definimos a la fibra de y por F como F−1
(y) := X ×Y Spec(k).
• Si U, V son subesquemas abiertos (o cerrados) de X entonces definimos
la intersección esquemática de U, V como el esquema U ×X V.

102.
Extensión de escalares
Si A es un anillo y B es una A-álgebra, es decir si tenemos un morfismo de
anillos A → B entonces a todo esquema sobre A, es decir a todo morfismo
de esquemas X → Spec(A) le podemos asociar un esquema sobre B llamado
la extensión de escalares:
XA := X ×Spec(B) Spec(A) −→ Spec(A)
notar que tiene además un morfismo natural XA → Spec(A), es decir es un
esquema sobre A.

103.
Producto de esquemas
Notemos que todo esquema X siempre tiene un morfismo X → Spec(Z)
correspondiente a Z → OX(X). Así que podríamos definir X × Y := X ×Z Y
para cualesquiera esquemas. Sin embargo:
Ejemplo
Si X = Spec(Z/5Z) y Y = Spec(Z/3Z), entonces
X × Y = Spec(Z/(5) ⊗Z Z/(3)) = ∅

104.
S-esquemas
Definición
Sea S un esquema fijo (la base). La categoría de S-esquemas:
• Objetos: Morfismos X → S de esquemas.
• Morfismos: [X → S] → [Y → S] tal que el siguiente diagrama conmuta:
X //
Y

S
El producto en esta categoría es el producto fibrado.

105.
Equivalencia entre categorías
Sea R un anillo y S = Spec(R). Se tiene una equivalencia:
{S- esquemas afines} ⇐⇒ {R-algebras}
• En geometría algebraica compleja se trabaja en la categoría de
C-esquemas (es decir de Spec(C)-esquemas).
• En geometría algebraica real, se trabaja en la categoría de R-esquemas.
• En geometría aritmética se trabaja en la categoría de Z-esquemas.

106.
Puntos con valores en un esquema
Sean X, Y dos S-esquemas. Definimos:
X(Y) := {[Y → S] → [X → S]}
y este conjunto es llamado el conjunto de puntos de X con valores en Y o
bien el conjunto de puntos Y-racionales.

107.
Ejemplos
• Si X es un esquema sobre k un campo, entonces X(k) se identifica con
los puntos con coordenadas en k.
• Si L → K es una extensión de campos, y X es un L-esquema, entonces
X(K) son lo puntos en X con coordenadas en K.
• Dado un S-esquema X → S este determina un funtor (el funtor de
puntos):
X : {S-esquemas afines} −→ {conjuntos} Y → X(Y)

108.
Familias de Esquemas
Definición
Una familia de esquemas indexadas por Y es un morfismo de esquemas
f : X → Y.
Así para cada y ∈ Y es un punto cerrado, la familia se puede interpretar
como el conjunto de fibras Xy = X ×Y Spec(k(y)).
La familia es una buena familia, si f : X → Y es un morfismo plano, en cuyo
caso decimos que es una familia plana.
Recordemos que si x ∈ X y si y = f(x) ∈ Y tenemos un morfismo
OY,y → (f∗OX)x → OX,x.
Decimos que f es plano, si OX,x es plano como OY,y-algebras. Notemos que
ser plano es una propiedad local.

109.
Ejemplo
Sea X = {(0, 0), (a, b)} en A2
, con (a, b) = (0, 0). Queremos hacer tender a
(a, b) → (0, 0) por una curva de manera paramétrica (a(t), b(t)) tal que en
t = 0 recuperemos al punto (a, b).
Una parametrización corresponde a un morfismo
k[x, y] → k[t]; x → a(t), y → b(t).
Consideremos
Xt = {(0, 0), (a(t), b(t))} talque
t= 0.
Nos gustaría calcular la fibra límite, es decir l´ımt→0 Xt

110.
En términos de esquemas
• X = Spec(k[x, y]/I) con I = ((x, y)(x − a, y − b))
• Análogamente Xt = It.
• Para t = 0 tenemos que dimk
k[x,y]
It
= 2
• Al considerar I0 = (x2
, xy, y2
) la dimensión anterior es 3!
• Agregamos a I0 el elemento a(t)y − b(t)x dividido entre t. En este caso
I0 tiene codimensión 2 como deseado y la familia que obtenemos es
plana.

111.
Referencias
• Eisenbud, David, and Joe Harris. 2000. The Geometry of Schemes.
Springer Verlag.
• Hartshorne, Robin. 1977. Algebraic Geometry. Vol. 52. springer Verlag.
• Algebraic Geometry - D. Bump.
• 2010. “2010–2010 Q. Liu.Arithmetic Geometry,” August, 1–588.
• Masdeu, M. (2009). Lectures on Affine Algebraic Geometry (Adrian
Iovita).
• The Rising Sea (Fundations of Algebraic Geometry) (Ravi Vakil)