Turunan Fungsi Kompleks; Fungsi Harmonik; Fungsi Analitik; Persamaan Chaucy Riemann.

1. 0
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS
Makalah ini diajukan untuk memenuhi tugas kelompok mata kuliah Fungsi Variabel
Kompleks
Defi Indah Permatasari, M.Pd.
Oleh:
Naila Adyana A. N. 15421003
Diah Ayu Lestari 15421004
Rochimatul Laili 15421013
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN ILMU PEDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH GRESIK
2018

2. 1
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS
Jika 𝑓(𝑧) bernilai tunggal dalam suatu daerah ℜ di bidang z, maka turunan fungsi
𝑓(𝑧) didefinisikan sebagai
𝑓′
( 𝑧) = lim
∆𝑧→0
𝑓( 𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
asalkan limit ini ada, yaitu tidak bergantung dari caranya ∆𝑧 → 0. Dalam hal ini kita
mengatakan bahwa 𝑓(𝑧) mempunyai turunan (differentiable) di z.
Contoh 1.
Gunakan definisi untuk menentukan turunan dari 𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑧3
− 2𝑧 di titik a) 𝑧 = 𝑧0 dan
b) 𝑧 = −1.
Cara penyelesaian:
a) Berdasarkan definisinya, turunan di 𝑧 = 𝑧0 maka
𝑓′
( 𝑧0) = lim
∆𝑧→0
𝑓( 𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
(𝑧0+∆𝑧)3−2(𝑧0+∆𝑧)−{𝑧0
3−2𝑧0}
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
𝑧0
3+3𝑧0
2∆𝑧+3𝑧0∆𝑧2+∆𝑧3 −2𝑧0−2∆𝑧−{𝑧0
3−2𝑧0}
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
3 𝑧0
2
+ 3𝑧0∆𝑧 + (∆𝑧)2
− 2
= 3𝑧0
2
− 2
Secara umum, 𝑓′
( 𝑧) = 3𝑧2 − 2 untuk semua 𝑧.
b) Jika 𝑧 = −1, maka 𝑓′
( 𝑧) = 3(1)2 − 2 = 3 − 2 = 1.
PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN
Syarat yang diperlukan agar fungsi 𝑓 terdiferensial di 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 adalah syarat
Chauchy Riemann, yang menghubungkan derivative-derivatif parsial tingkat pertama dari
fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari 𝑓.
Teorema 3.2.1 Jika 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦) terdifferensial di 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0, maka
𝑢(𝑥, 𝑦) dan 𝑣(𝑥, 𝑦) mempunyai derivative parsial pertama di ( 𝑥0, 𝑦0) dan di titik ini dipenuhi
persamaan Chachy Riemann
𝑢 𝑥 = 𝑣 𝑦 dan 𝑢 𝑦 = − 𝑣𝑥
atau dapat di tulis persamaan Cauchy Riemann adalah:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
dan
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥

3. 2
derivatif 𝑓 di 𝑧0 dapat dinyatakan dengan
𝑓′
( 𝑧0) = 𝑢 𝑥( 𝑥0, 𝑦0) + 𝑖𝑣 𝑥( 𝑥0, 𝑦0) terhadap 𝑥
dan
𝑓′
( 𝑧0) = 𝑢 𝑦( 𝑥0, 𝑦0) − 𝑖𝑣 𝑦( 𝑥0, 𝑦0) terhadap y
Jika persamaan Chaucy Riemann tidak dipenuhi di ( 𝑥0, 𝑦0) maka 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) +
𝑣(𝑥, 𝑦) tidak terdifferensial di 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0.
Contoh 2.
Buktikan 𝑓(𝑧) = |𝑧|2
tidak terdifferensiasi di 𝑧 ≠ 0.
Bukti:
𝑓(𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
sehingga 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
dan 𝑣(𝑥, 𝑦) = 0
Persamaan Chaucy Riemann
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2𝑥 dan
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 2𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0 dan −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
⇔ 2𝑥 = 0 (1)
dan
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
⇔ 2𝑥 = 0 (2)
(1) dan (2) tidak dipenuhi jika 𝑥 ≠ 0 atau 𝑦 ≠ 0, jadi pasti 𝑓 tidak terdiferensial.
PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN PADA KOORDINAT KUTUB
Jika 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius, maka
dengan menggunakan hubungan
𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 dan 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑
diperoleh
𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 𝑟 sin 𝜑
sehingga
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝜑) + 𝑖 𝑣(𝑟, 𝜑) dalam sistem koordinat kutub.
Teorema 3.2.2 Jika 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝜑) + 𝑖 𝑣(𝑟, 𝜑) terdifferensial dan kontinu pada suatu
kitar (𝑟0, 𝜑0) dan jika dalam kitar tersebut 𝑢 𝑟, 𝑢 𝜑, 𝑣 𝑟, 𝑣 𝜑 ada dan kontinu di (𝑟, 𝜑) dan
dipenuhi Chaucy Riemann yaitu:
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
1
𝑟
𝜕𝑣
𝜕𝜑
dan
1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝜑
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑟
, 𝑟 ≠ 0

4. 3
Maka 𝑓′
( 𝑧) = ada di 𝑧 = 𝑧0 dan
𝑓′
( 𝑧) = (cos 𝜑0 − 𝑖 sin 𝜑0) [𝑢 𝑟( 𝑟0, 𝜑0) + 𝑖 𝑣 𝑟( 𝑟0, 𝜑0)]
Contoh 3.
Diketahui 𝑓(𝑧) = 𝑧−3
. Tentukan 𝑓′(𝑧) dalam bentuk koordinat kutub!
Cara penyelesaian:
𝑓(𝑧) = 𝑧−3
= 𝑟−3
(cos 3𝜑 − 𝑖 sin 3𝜑), maka:
𝑢 = 𝑟−3
cos 3𝜑, sehingga
𝜕𝑢
𝜕𝑟
= −3𝑟−4 cos3𝜑
𝜕𝑢
𝜕𝜑
= −3𝑟−3
sin 3𝜑
𝑣 = −𝑟−3
sin 3𝜑, sehingga −
𝜕𝑣
𝜕𝑟
= −3𝑟−4
sin 3𝜑
𝜕𝑣
𝜕𝜑
= −3𝑟−3
cos 3𝜑
Keenam fungsi ini kontinu dan syarat Chaucy Riemann dipenuhi untuk semua 𝑧 ≠ 0.
Jadi 𝑓(𝑧) = 𝑧−3
terdiferensial untuk 𝑧 ≠ 0.
Dengan demikian 𝑓′(𝑧) dalam koordinat kutub adalah:
𝑓′
( 𝑧) = (cos3𝜑 − 𝑖 sin3𝜑)(−3𝑟−4 cos3𝜑 − 𝑖 3𝑟−4 sin 3𝜑)
= 𝑐𝑖𝑠 (−3𝜑)(−3𝑟−4)𝑐𝑖𝑠 (−3𝜑)
= −3𝑟−4
𝑐𝑖𝑠 (−6𝜑)
FUNGSI ANALITIK
Jika turunan fungsi 𝑓′
( 𝑧) ada di semua titik z dari suatu daerah ℜ, maka 𝑓(𝑧)
dikatakan analitik dalam ℜ dan dinyatakan sebagai fungsi analitik dalam ℜ. Istilah regular
(teratur) dan holomorfik (holomorphic) seringkali digunakan sebagai pengganti istilah
analitik.
Suatu fungsi 𝑓(𝑧) dikatakan analitik di suatu titik 𝑧0 jika terdapat suatu lingkungan
| 𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 sehingga 𝑓′
( 𝑧) ada di setiap titik pada lingkungan tersebut.
Rumus fungsi analitik dapat ditulis sebagai berikut:
𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑢 (𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
Contoh 4.
Tunjukkan keanalitikan dari persamaan 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧2
− 4𝑧 + 3𝑖!.
Cara penyelesaian:
Misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,
maka

5. 4
𝑓(𝑧) = 𝑖(𝑥 + 𝑖𝑦)2
− 4(𝑥 + 𝑖𝑦) + 3𝑖
= 𝑖(𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2) − 4𝑥 + 4𝑦𝑖 + 3𝑖
= 𝑥2
𝑖 − 2𝑥𝑦 − 𝑦2
𝑖 − 4𝑥 − 4𝑦𝑖 + 3𝑖
= (−2𝑥𝑦 − 4𝑥) + (𝑥2
− 𝑦2
− 4𝑦 + 3)𝑖
u v
• 𝑢(𝑥, 𝑦) = −2𝑥𝑦 − 4𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= −2𝑦 − 4
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −2𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
terpenuhi
• 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
− 𝑦2
− 4𝑦 + 3
−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −2𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −2𝑦 − 4
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
terpenuhi
∴ Jadi 𝑓(𝑧) merupakan fungsi analitik yang memenuhi persamaan persamaan Chaucy
Riemann.
Contoh 5.
Tentukan fungsi analitik 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) apabila diketahui 𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2
− 𝑦.
Cara penyelesaian:
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2
− 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −2𝑦 − 1 = −(2𝑦 + 1)
Konjugat harus memenuhi
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
dan
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
Sehingga,
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 2𝑦 + 1
𝑣 = ∫(2𝑦 + 1) 𝜕𝑥
𝑣 = 2𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑐
Diperoleh fungsi analitiknya adalah:
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
= 𝑥2
− 𝑦2
− 𝑦 + 𝑖(2𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑐)
FUNGSI HARMONIK
Jika turunan parsial kedua dari 𝑢 dan 𝑣 terhadap 𝑥 dan 𝑦 ada dan kontinu dalah suatu
daerah ℜ, maka dari persamaan Cauchy Riemann kita memperoleh
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2 =
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2 = 0 ,
𝜕2
𝑣
𝜕𝑥2 =
𝜕2
𝑣
𝜕𝑦2 = 0

6. 5
Ini mengakibatkan bahwa di bawah syarat ini bagian rill dan khayal dari suatu fungsi
analitik memenuhi persamaan Laplace yang dinyatakan dengan
𝜕2
Ψ
∂x2 +
𝜕2
Ψ
∂y2 = 0 atau ∇2
Ψ = 0 dimana ∇2
≡
𝜕2
𝜕𝑥2 +
𝜕2
𝜕𝑦2
Operator ∇2
seringkali dinamakan Laplacian.
Fungsi dimana 𝑢(𝑥, 𝑦) dan 𝑣(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan Laplace dalam suatu daerah
ℜ dinamakan fungsi harmonik dan dikatakan harmonik dalam ℜ.
Contoh 6.
Selidiki apakah fungsi 𝑓(𝑢) = 𝑥2
– 𝑦2
− 2𝑥𝑦 – 2𝑥 + 3𝑦 merupakan fungsi harmonik dan
tentukanlah 𝑓(𝑧)!
Cara penyelesaian:
𝑓(𝑢) = 𝑥2
– 𝑦2
− 2𝑥𝑦 – 2𝑥 + 3𝑦
maka:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 2𝑦 − 2 ⇒
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2 = 2
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −2𝑦 − 2𝑥 + 3 ⇒
𝜕2
𝑣
𝜕𝑦2 = −2
Diperoleh,
∇2
=
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
= 2 − 2 = 0
∴ 𝑓(𝑢) merupakan fungsi harmonik.
Persamaan Cauchy Riemann
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 2𝑥 − 2𝑦 − 2
𝑣 = ∫(2𝑥 − 2𝑦 − 2) 𝜕𝑦
𝑣 = 2𝑥𝑦 − 𝑦2
− 2𝑦 + 𝑐
∴ Jadi 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 = (𝑥2
– 𝑦2
− 2𝑥𝑦 – 2𝑥 + 3𝑦) + 𝑖(2𝑥𝑦 − 𝑦2
− 2𝑦 + 𝑐)
TURUNAN FUNGSI ELEMENTER
Dalam kasus fungsi yang memiliki cabang, yaitu bernilai banyak, maka cabang di ruas kanan
dipilih sebagai cabang fungsi yang berkaitan dengan fungsi diruas kiri. Perhatikan bahwa
hasilnya sama dengan kalkulus elementer.
1.
𝑑
𝑑𝑧
( 𝑐) = 0
2.
𝑑
𝑑𝑧
𝑧 𝑛 = 𝑛𝑧 𝑛−1
3.
𝑑
𝑑𝑧
𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑧
4.
𝑑
𝑑𝑧
𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑧 ln 𝑎

7. 6
5.
𝑑
𝑑𝑧
sin 𝑧 = cos 𝑧
6.
𝑑
𝑑𝑧
cos 𝑧 = −sin 𝑧
7.
𝑑
𝑑𝑧
tan 𝑧 = sec2 𝑧
8.
𝑑
𝑑𝑧
cot 𝑧 = −csc2 𝑧
9.
𝑑
𝑑𝑧
sec 𝑧 = sec 𝑧tan 𝑧
10.
𝑑
𝑑𝑧
csc 𝑧 = csc 𝑧 cot 𝑧
11.
𝑑
𝑑𝑧
log 𝑒 𝑧 =
𝑑
𝑑𝑧
ln 𝑧 =
1
𝑧
12.
𝑑
𝑑𝑧
log 𝑎 𝑧 =
log 𝑎 𝑒
𝑧
13.
𝑑
𝑑𝑧
sin−1
𝑧 =
1
√1−𝑧2
14.
𝑑
𝑑𝑧
cos−1 𝑧 =
−1
√1−𝑧2
15.
𝑑
𝑑𝑧
tan−1
𝑧 =
1
1+𝑧2
16.
𝑑
𝑑𝑧
cot−1
𝑧 =
−1
1+𝑧2
17.
𝑑
𝑑𝑧
sec−1 𝑧 =
1
𝑧√ 𝑧2−1
18.
𝑑
𝑑𝑧
csc−1 𝑧 =
−1
𝑧√ 𝑧2−1
19.
𝑑
𝑑𝑧
sinh 𝑧 = cosh 𝑧
20.
𝑑
𝑑𝑧
cosh 𝑧 = sinh 𝑧
21.
𝑑
𝑑𝑧
tanh 𝑧 = sech2
𝑧
22.
𝑑
𝑑𝑧
coth 𝑧 = −csch2
𝑧
23.
𝑑
𝑑𝑧
sech 𝑧 = − sech 𝑧 tanh 𝑧
24.
𝑑
𝑑𝑧
csch 𝑧 = − csch 𝑧coth 𝑧
25.
𝑑
𝑑𝑧
sinh−1
𝑧 =
1
√1+𝑧2
26.
𝑑
𝑑𝑧
cosh−1
𝑧 =
1
√ 𝑧2−1
27.
𝑑
𝑑𝑧
tanh−1
𝑧 =
1
1−𝑧2
28.
𝑑
𝑑𝑧
coth−1
𝑧 =
1
1−𝑧2
29.
𝑑
𝑑𝑧
sech−1
𝑧 =
−1
𝑧√1−𝑧2
30.
𝑑
𝑑𝑧
csch−1
𝑧 =
−1
𝑧√ 𝑧2+1
Contoh 7.
Buktikan deferensialkan fungsi bahwa
𝑑
𝑑𝑧
tan 𝑧 = sec2 𝑧!
Cara penyelesaian:
𝑑
𝑑𝑧
tan 𝑧 =
𝑑
𝑑𝑧
(
sin 𝑧
cos 𝑧
)
Misal:
𝑢 = sin 𝑧 𝑣 = cos 𝑧
𝑢′ = cos 𝑧 𝑣′ = − sin 𝑧
maka:
𝑢′ 𝑣 − 𝑣′ 𝑢
𝑣2
=
(cos 𝑧)(cos 𝑧) − (− sin 𝑧)(sin 𝑧)
cos2 𝑧
=
cos2
𝑧 + sin2
𝑧
cos2 𝑧
=
1
cos2 𝑧
= sec2
𝑧 (terbukti)

8. 7
LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Carilah 𝑓′(𝑧) dengan menggunakan definisi:
a. 𝑓(𝑧) =
2𝑧−𝑖
𝑧+2𝑖
Jawab:
𝑓′
( 𝑧) = lim
∆𝑧→0
𝑓( 𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
2(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑖
𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖
−
2𝑧 − 𝑖
𝑧 + 2𝑖
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
2𝑧 + 2∆𝑧 − 𝑖
𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖
−
2𝑧 − 𝑖
𝑧 + 2𝑖
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
[(𝑧 + 2𝑖)(2𝑧 + 2∆𝑧 − 𝑖)] − [(𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖)(2𝑧 − 𝑖)]
(𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
[2𝑧2
+ 2𝑧∆𝑧 − 𝑧𝑖 + 4𝑧𝑖 + 4∆𝑧𝑖 + 2] − [2𝑧2
− 𝑧𝑖 + 2𝑧∆𝑧 − ∆𝑧𝑖 + 4𝑧𝑖 + 2]
(𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
[2𝑧2
+ 2𝑧∆𝑧 + 3𝑧𝑖 + 4∆𝑧𝑖 + 2] − [2𝑧2
+ 2𝑧∆𝑧 − ∆𝑧𝑖 + 3𝑧𝑖 + 2]
(𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
2𝑧2
+ 2𝑧∆𝑧 + 3𝑧𝑖 + 4∆𝑧𝑖 + 2 − 2𝑧2
− 2𝑧∆𝑧 + ∆𝑧𝑖 − 3𝑧𝑖 − 2
(𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
5∆𝑧𝑖
(𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
5𝑖
(𝑧 + ∆𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖)
=
5𝑖
(𝑧 + 0 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖)
=
5𝑖
( 𝑧 + 2𝑖)2
b. 𝑓(𝑧) = cos 𝑧
Jawab:
𝑓′
( 𝑧) = lim
∆𝑧→0
𝑓( 𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
cos(𝑧 + ∆𝑧) − cos 𝑧
∆𝑧

9. 8
= lim
∆𝑧→0
cos 𝑧 cos ∆𝑧 − sin 𝑧 sin ∆𝑧 − cos 𝑧
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
cos 𝑧 cos ∆𝑧 − cos 𝑧 − sin 𝑧 sin ∆𝑧
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
− cos 𝑧 (1 − cos ∆𝑧) − sin 𝑧 sin ∆𝑧
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
− cos 𝑧 (
1 − cos ∆𝑧
∆𝑧
) − sin 𝑧 (
sin ∆𝑧
∆𝑧
)
= lim
∆𝑧→0
− cos 𝑧 (
1 − cos ∆𝑧
∆𝑧
) − sin 𝑧
= − cos 𝑧 (
1 − cos(0)
0
) − sin 𝑧
= − cos 𝑧 (0) − sin 𝑧
= − sin 𝑧
2. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan 𝑓(𝑧) = (1 + 𝑖)𝑧2
!
Jawab:
Misal: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Maka: 𝑓(𝑧) = (1 + 𝑖)𝑧2
= (1 + 𝑖)(𝑥 + 𝑖𝑦)2
= (1 + 𝑖)(𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
)
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
+ 𝑥2
𝑖 − 2𝑥𝑦 − 𝑦2
𝑖
= (𝑥2
− 𝑦2
− 2𝑥𝑦) + (𝑥2
− 𝑦2
+ 2𝑥𝑦)𝑖
Berdasarkan persamaan diatas diperoleh
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2
− 2𝑥𝑦
𝑣 = 𝑥2
− 𝑦2
+ 2𝑥𝑦
Sehingga,
• 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
− 𝑦2
− 2𝑥𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 2𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −2𝑦 − 2𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(terpenuhi)
• 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
− 𝑦2
+ 2𝑥𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −2𝑥 − 2𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −2𝑦 + 2𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(terpenuhi)
∴ Jadi terbukti bahwa 𝑓(𝑧) merupakan fungsi analitik yang memenuhi persamaan
persamaan Chaucy Riemann.

10. 9
3. Diketahui 𝑓(𝑣) = 3𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
− 𝑦3
− 2𝑦2
a. Buktikan apakah 𝑓(𝑣) merupakan fungsi harmonik?
Jawab:
𝑓(𝑣) = 3𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
− 𝑦3
− 2𝑦2
maka:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦 + 4𝑥 ⇒
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2 = 6𝑦 + 4
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 3𝑥2
− 3𝑦2
− 4𝑦 ⇒
𝜕2 𝑣
𝜕𝑦2
= −6𝑦 − 4
Diperoleh,
∇2
=
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
= 6𝑦 + 4 − 6𝑦 − 4 = 0
∴ 𝑓(𝑢) merupakan fungsi harmonik.
b. Tentukan 𝑓(𝑧).
Jawab:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 3𝑦2 − 4𝑦
𝑢 = ∫(3𝑥2
− 3𝑦2
− 4𝑦 ) 𝜕𝑥
𝑢 = 𝑥3
− 3𝑥𝑦2
− 4𝑥𝑦 + 𝑐
∴ Jadi 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 = (𝑥3
− 3𝑥𝑦2
− 4𝑥𝑦 + 𝑐) + 𝑖(3𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
− 𝑦3
− 2𝑦2 )
4. Diketahui 𝑓(𝑧) = 𝑧−5
. Tentukan 𝑓′(𝑧) dalam bentuk koordinat kutub!
Cara penyelesaian:
𝑓(𝑧) = 𝑧−5
= 𝑟−5
(cos 5𝜑 − 𝑖 sin 5𝜑), maka:
𝑢 = 𝑟−5
cos 5𝜑, sehingga
𝜕𝑢
𝜕𝑟
= −5𝑟−6
cos 5𝜑
𝜕𝑢
𝜕𝜑
= −5𝑟−5 sin 5𝜑
𝑣 = −𝑟−5
sin 5𝜑, sehingga −
𝜕𝑣
𝜕𝑟
= −5𝑟−6
sin 5𝜑
𝜕𝑣
𝜕𝜑
= −5𝑟−5
cos 5𝜑
Keenam fungsi ini kontinu dan syarat Chaucy Riemann dipenuhi untuk semua 𝑧 ≠ 0.
Jadi 𝑓(𝑧) = 𝑧3
terdiferensial untuk 𝑧 ≠ 0.
Dengan demikian 𝑓′(𝑧) dalam koordinat kutub adalah:

11. 10
𝑓′
( 𝑧) = (cos5𝜑 − 𝑖 sin5𝜑)(−5𝑟−6
cos5𝜑 − 𝑖 5𝑟−6
sin 5𝜑)
= 𝑐𝑖𝑠 (−5𝜑)(3𝑟2)𝑐𝑖𝑠 (−5𝜑)
5. Tunjukkan apakah 𝑓(𝑧) = cos 2𝑧 merupakan analitik?
Jawab:
Misal: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Maka: 𝑓(𝑧) = cos 2𝑧
= cos 2(𝑥 + 𝑖𝑦)
= cos 2𝑥 + cos 2𝑦𝑖
= cos 2𝑥 + (cos 2𝑦)𝑖
Berdasarkan persamaan diatas diperoleh
𝑢 = cos 2𝑥
𝑣 = cos 2𝑦
Sehingga,
• 𝑢(𝑥, 𝑦) = cos 2𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= −2sin 2𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
≠
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(tidak terpenuhi)
• 𝑣(𝑥, 𝑦) = cos 2𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −2 sin 2𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(terpenuhi)
∴ Jadi 𝑓(𝑧) = cos 2𝑧 bukan fungsi analitik.

12. 11
Daftar Pustaka
Fidaus, Surga. Bilangan Kompleks. 05 November 2018. https://www.slideshare.net/
nadachusna5/bilangan-kompleks-46106102.