Resistencia de los Materiales - Deformación Unitaria

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Ampliación Maracaibo
Plataforma SAIA
Materia: Resistencia de los Materiales II
TRABAJO SOBRE DEFORMACION UNITARIA
Autor:
GOMEZ PEÑA, Robin
C.I.: 9.799.075
Maracaibo, Mayo de 2016

2. INTRODUCCION
El objetivo principal del estudio de la mecánica de materiales es suministrar al futuro
ingeniero los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas y estructuras
portadoras de carga. Tanto el análisis como en el diseño de una estructura dada
involucran la determinación de esfuerzo y deformación.
El análisis estructural de las vigas suele dividirse en vigas isostáticas e hiperestáticas.
Recordemos que esta división corresponde a las condiciones de apoyo que presente el
elemento a analizar Si la viga tiene un número igual o inferior a tres incógnitas en sus
reacciones, bastará con aplicar las condiciones de equilibrio estático para resolverla.
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
Si en cambio, la viga presenta un mayor número de incógnitas, no bastará con las
ecuaciones antes indicadas, sino que será necesario incorporar nuevas expresiones.
Para abordar el análisis de las vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas
resulta necesario analizar las deformaciones que experimentará la viga, luego de ser
cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la
barra, y a su vez la hacen deformarse. El análisis de las deformaciones tiene
básicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que
traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas.
Y por otra parte, las deformacion3es en sí, deben ser limitadas. Los envigados de
madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseñados por resistencia,
vale decir, no se romperán bajo la carga, pero podrán deformarse más allá de lo
deseable, lo que llevaría consigo el colapso de elementos de terminación como cielos
falsos o ventanales. No resulta extraño entonces que muchos dimensionamientos
queden determinados por la deformación y no por la resistencia.

3. 1. CONCEPTOS PREVIOS
Viga es una estructura diseñada para soportar fuerzas perpendiculares a su eje
longitudinal. Estas fuerzas se han de aplicar en un plano que pasa por el centroide de la
sección trasversal de la viga de manera que se garantice la ausencia de momentos
torsionales en la viga.
1.1 RELACIONES ENTRE LA CARGA, EL CORTE Y EL MOMENTO FLECTOR
Cuando una viga llevas más de una, dos o más cargas distribuidas, para graficar el
cortante y el momento flector resulta muy complicado. La construcción del diagrama de
fuerza cortante y, especialmente del diagrama de momento flector, facilitará en gran
medida el análisis de una viga cuando se toman ciertas consideraciones en la relación
3que existe entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector.
Considere una viga simplemente apoyada AB que lleva una carga distribuida “ω” por
unidad de longitud como se aprecia en la figura 1.1, y sean C y C’ dos puntos en la viga
a una distancia “∆x” uno del otro. El cortante y el momento flector en C se denotaran por
V y por M, respectivamente, y se supondrán positivos; el cortante y el momento flector
en C’ se denotara por V + ∆V y por M + ∆M.
Figura 1.1 Viga simplemente apoyada con carga distribuida w(x)
Ahora se desprende la porción de la viga CC’ y se dibuja su diagrama de cuerpo libre.
Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo libre incluyen una carga de magnitud ω ∆x y
fuerzas y pares internos en C y en C’. Ya que el corte y el momento flector se han
supuesto positivos, las fuerzas y pares se dirigirán como se indica en la figura siguiente:

4. Figura 1.2 Elemento diferencial de una viga
RELACIONES ENTRE LA CARGA Y EL CORTANTE. Escribiendo que la suma de la
componentes verticales de la fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre CC’ son cero, se
tiene que
+↑ΣFy=0; V – ( V + ΔV ) - ωΔx = 0
ΔV = - ω Δx
Dividendo ambos componentes entre Δx y haciendo que Δx se aproxime a cero (0, se
tiene que:
(Ecuación α)
La ecuación (α) indica que, para una viga cargada como se muestra en la figura
respectiva, la pendiente dV/dx de la curva de cortante es negativa; el valor numérico de
la pendiente en cualquier punto es igual a la carga por unidad de longitud en dicho
punto.
Integrando la ecuación α entre los puntos C y D, se escribe:

5. Advierta que este resultado también podría haberse obtenido considerando el equilibrio
de la porción de la viga CD, ya que el área bajo la curva de carga representa el total de
la carga aplicada entre C y d.
Debe también observarse que la ecuación α no es válida en un punto donde se aplique
una carga concentrada; la curva de cortante es discontinua en tal punto, como se vio en
la sección anterior. De manera similar, las ecuaciones resultantes después de haberla
integrado dejan de ser validas cuando se aplican cargas concentradas entre C y D,
debido a que no consideran el cambio súbito en el cortante causado por la carga
concentrada. Por lo tanto, las ecuaciones resultantes deberán aplicarse solo entre
cargas concentradas sucesivamente, en otras palabras cargas distribuidas.
RELACION ENTRE EL CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR. Regresando al
diagrama de cuerpo libre de la figura respectiva, y escribiendo ahora que la suma de
momentos alrededor de C’ es cero, se tiene que:
+↑ΣMC’=0; (M + ΔM) – M – V.Δx + ωΔx .(Δx/2) = 0
ΔM =VΔx - ω (Δx)2
/2
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre Δx y haciendo que Δx se aproxime a
cero, se obtiene:
(Ecuación β)
La ecuación β indica que la pendiente dM/dx de la curva de momento flector es igual al
valor del cortante. Esto es cierto en cualquier punto donde el cortante tenga un valor
bien definido, esto es, en cualquier punto donde no se encuentre aplicada una carga
concentrada. La ecuación β también muestra que V =0 en puntos donde M es máximo.
Esta propiedad facilita la determinación de los puntos donde es posible que la viga falle
bajo flexión.
Integrando la ecuación β entre los puntos C y D, se escribe:

6. Note que el área bajo la curva de cortante deberá considerarse positiva donde el
esfuerzo cortante es positivo y negativo donde el esfuerzo cortante es negativo. Las
ecuaciones resultantes son válidas aun cuando se aplican cargas concentradas entre C
y D, en tanto la curva de cortante haya sido correctamente dibujada Las ecuación dejan
de ser validas, sin embargo, si un par se aplica en un punto entre C y D, ya que no
toman en consideración el cambio súbito de momento cortante causado por un par.
1.2 METODO GRAFICO PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE
Y MOMENTO FLEXIONANTE
Tomamos una sección diferencial de una viga
Figura 1.3 Elemento diferencial de una viga
De la ecuación α:
Pendiente del diagrama de fuerza
cortante en cada punto.
=
- Intensidad de la carga distribuida en
cada punto.

7. De la ecuación β:
Pendiente del diagrama de momento
flexionante en cada punto.
= Fuerza cortante en cada punto.
Figura 1.4 Grafica de la cortante y momento flector de una viga con carga distribuida.
Del análisis grafico deducimos que el cambio de valor de la fuerza cortante (ΔV) es el
área bajo la carga distribuida: ΔV =
Del mismo modo deducimos que el cambio de valor del momento flector (ΔM) es el área

8. bajo el diagrama del esfuerzo cortante: ΔM =
2. ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS
En la sección anterior se vio que una carga transversal aplicada a una viga resultara en
esfuerzos normales y cortantes en cualquier sección transversal dada de la viga. Los
esfuerzos normales se crean por el momento flector M en dicha sección y los esfuerzos
cortantes por el cortante V. Como el criterio dominante en el diseño de un viga por
resistencia es el máximo valor del esfuerzo normal en la viga, en el capítulo anterior el
análisis se limitó a la determinación de los esfuerzos normales .Los esfuerzos cortantes,
sin embargo son importantes, particularmente en el diseño de vigas cortas y gruesas y
su estudio será el tema de la primera parte de este capítulo.
Figura 6.1 Fuerza cortante y momento flector

9. Figura 6.2 Esfuerzo cortante
2.1 CORTANTE EN LA CARA HORIZONTAL DE UNA VIGA:
Considere una viga prismática AB con un plano vertical de simetría que soporta varias
cargas concentradas y distribuidas (figura 6.3). A una distancia “x” del extremo A se
desprende de la viga un elemento CDD´C´ con la longitud Δx que se extiende a través
del ancho de la viga desde la superficie superior de la viga hasta una plano localizado a
una distancia y1 del eje neutro (figura 6.4).
Figura 6.3 Fuerzas cortantes en una viga

10. Figura 6.4 Seccion de la viga
Las fuerzas ejercidas sobre este elemento consiste de las fuerzas cortantes verticales
V´C y V´D, una fuerza cortante horizontal ΔH ejercida sobre la cara inferior del elemento,
las fuerzas normales elementales horizontales scdA y sDdA y posiblemente una carga
ωΔx (figura 6.5). Se escribe la ecuación de equilibrio.
Figura 6.5 Sección de corte de la viga
Donde la integral se extiende por el área sombreada α de la sección localizada sobre la
línea y=y1 .despejando ΔH de esta ecuación y utilizando la ecuación s=My/l, para

11. expresar los esfuerzos normales en términos de los momentos flectores en C y D, se
tiene:
La integral de la ecuación representa el primer momento con respecto al eje neutro de
la porción α de la sección transversal de la viga que se localiza por encima de la línea y
= y1 y se denotara por Q. Se sabe que:
Al sustituir en la ecuación se obtiene la siguiente expresión para el corte horizontal
ejercido sobre el elemento de la viga.
Figura 6.6 Sección de corte de la viga
Lo mismo se habría obtenido si se hubiera utilizado como cuerpo libre el elemento
inferior C´D´D´´C´´, en lugar del elemento superior CDD´C´(figura 7) ya que las fuerzas
cortantes ΔH y ΔH´, ejercidas por los dos elementos uno sobre el otro son iguales y
opuestas . Esto nos lleva a observar que el primer momento Q de la porción α´ de la
sección transversal localizada bajo la línea y=y1 (figura6.8) es igual en magnitud y
opuesto en sentido al primer momento del área de toda la sección transversal con
respecto a su eje centroidal y, por lo tanto, debe ser cero. Esta propiedad en ocasiones

12. utilizarse para simplificar el cálculo de Q. se advierte que Q es máximo para y1= 0, ya
que los elementos de la sección transversal localizada por encima del eje neutro
contribuye positivamente la integral que define a Q, mientras que los elementos
localizados por debajo de dicho eje contribuye negativamente. El corte horizontal por
unidad de longitud, que se denotara por la letra q, se obtiene ambos miembros de la
ecuación ΔH = ( VQ / I ) Δx entre Δx:
Recuerde que Q es el primer momento con respecto al eje neutro de la porción de la
sección transversal localizada bien por encima o bien por debajo del punto en el que se
calcula, y que l es el momento centroidal de inercia de toda el área de la sección
transversal. El corte horizontal por unidad de longitud q también se conoce como flujo
cortante.
2.2 DETERMINACION DE LOS ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA
Considere de nuevo en una viga con un plano vertical de simetría, sometida a varias
cargas concentradas o distribuidas que se aplican sobre ese plano. Se vio en la sección
precedente que, si por medio de dos corte verticales y uno horizontal, se desprende de
la viga un elemento de longitud Δx (figura 6.7), la magnitud ΔH de la fuerza cortante
ejercida sobre la cara horizontal del elemento puede obtenerse de la ecuación
ΔH = ( VQ / I ) Δx . El esfuerzo cortante promedio tprom en dicha cara del elemento se
obtiene dividiendo ΔH entre el área ΔA de la cara. Observando que ΔA =tΔx, donde t es
el espesor del elemento ene el corte, se escribe:

13. Figura 6.7 Esfuerzo cortante en una sección de la viga
Se nota que, como los esfuerzos cortantes txy y tyx ejercidos respectivamente sobre un
plano transversal y en un horizontal a través de D´ son iguales, la expresión obtenida
representa también el valor promedio de txy en la línea D´1 D´2 (figura 9) Observe que
txy=0, en las caras superior e inferior de la viga , puesto que no se ejercen fuerzas
sobre estas caras se sigue que a lo largo de los bordes superior e inferior de la sección
transversal (figura 10) .también se nota que , aunque Q es máximo para y=0, no puede
concluirse que tprom será máximo a lo largo del eje neutro , ya que depende del ancho
t de la sección como de Q .
Figura 6.8 Esfuerzo cortante en la sección de la viga
Siempre que el ancho de la viga permanezca pequeño comparado con la altura , el
esfuerzo cortante solo varia suavemente a lo largo de la línea D´1 D´2 (figura 9), y
puede usarse la ecuación de tprom para calcular txy en cualquier punto a lo largo de
D´1 D´2 .en realidad txy es mayor en D´1 D´2 que en D´, pero la teoría de la elasticidad
muestra que , para una viga de sección rectangular , de ancho b y la altura h, y siempre
que b≤h/4 , el valor del esfuerzo cortante en los puntos C1 y C2 (figura 10) no excede
más del 0.8 % el valor promedio del esfuerzo calculado a lo largo del eje neutro.

14. Figura 10 Esfuerzos en el eje
2.3 ESFUERZOS CORTANTES txy EN TIPOS COMUNES DE VIGAS
En la sección anterior se vio que para una viga rectangular delgada, es decir para una
viga de sección rectangular de ancho b y altura h con b≤h/4 , la variación del esfuerzo
cortante a través de ancho de la viga es menor que el 0.8% de tprom . Puede entonces
usarse la ecuación:
Donde t es igual al ancho b de la viga y Q es el primer momento del área sombreada A
con respecto al eje neutro (figura 11).

15. Figura 11
Observando que la distancia desde el eje neutro al centroide C’ de A es
, y recordando que, se escribe:
Recordando, por otra parte, que:
Notando que el área transversal de la viga es A=2bc
La ecuación anterior muestra que la distribución de esfuerzos cortantes en una sección
transversal de una viga rectangular es parabólica como se aprecia en la figura 12.
Como ya se observó en la sección anterior, los esfuerzos cortantes son cero en la parte
superior y en la base de la sección . Haciendo y=0 en la ecuación anterior, se

16. obtiene el valor del esfuerzo cortante máximo en una sección dada de una viga
rectangular delgada.
Figura 12 Distribución de esfuerzos cortantes de la sección transversal de una viga
La relación obtenida muestra que el valor máximo del esfuerzo cortante en una viga de
sección rectangular es un 50% mayor que el valor V/A que se hubiera obtenido
suponiendo, erróneamente, una distribución uniforme a través de toda la sección
transversal.
En el caso de una viga estándar americana (viga S) o una viga de aleta ancha (viga W),
la ecuación siguiente puede usarse para calcular el valor promedio del esfuerzo
cortante txy ejercido sobre una sección aa’ o bb’ de la sección transversal de la viga
como se observa en la figura 14.
Donde V es fuerza cortante vertical, t el ancho de la sección a la elevación considerada.
Q el primer momento del área sombreada con respecto al eje neutro cc’ e I el momento
de inercia de toda la sección transversal con respecto a cc’. Dibujando tprom contra la
distancia vertical y, se obtiene la curva de la figura. Se notan las discontinuidades

17. existentes en esta curva, que reflejan la diferencia entre los valores de t
correspondientes, respectivamente a las aletas ABGD y A’B’G’D’ y al alma EFF’E’.
Figura 13
En el caso del alma, el esfuerzo cortante txy varía sólo muy ligeramente a través del
corte bb’ y puede suponerse igual al promedio tprom. Esto no es cierto sin embargo,
para las aletas. Por ejemplo considerando la línea horizontal DEFG se nota que txy es
cero entre D y E y entre F y G, ya que estos segmentos son parte de la superficie libre
de la viga. Por otra parte, el valor de txy entre E y F puede obtenerse haciendo t= EF en
la ecuación tprom =VQ / It. En la práctica generalmente se supone que toda la carga
cortante la soporta el alma y que una buena aproximación del valor máximo del
esfuerzo cortante en la sección se obtiene dividiendo V entre el área del alma.
No obstante debe notarse que mientras la componente vertical txy del esfuerzo cortante
en las aletas puede despreciarse, su componente horizontal txy tiene un valor
significativo.
2.4 ANALISIS ADICIONAL SOBRE LA DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN UNA

18. VIGA
Figura 14 Fuerza aplicada sobre una viga empotrada
Considere una viga en voladizo, de sección transversal rectangular de ancho b y altura
h, sometida a una carga P, en su extremo libre (figura 14). Como la fuerza cortante V de
la viga es constante e igual en magnitud a P
De la ecuación A se nota que los esfuerzos cortantes dependen solo de la distancia y
del eje neutro. Son independientes, por tanto, de la distancia desde el punto de
aplicación de la carga, se sigue que todos los elementos localizados a la misma
distancia de la superficie neutra sufren la misma deformación por cortante como se
muestra en la figura. Aunque las secciones planas no permanezcan planas, la distancia
entre dos puntos correspondientes D y D` localizados en distintas secciones, se
mantiene igual. Esto indica que las deformaciones normal єx y los esfuerzos normales
σx no se afectan por los esfuerzos cortantes y que la hipótesis formulada en la sección
anterior. Se justifica para la condición de carga de la figura 15.

19. Figura 15
Se concluye que el análisis de los esfuerzos en un voladizo de sección transversal
rectangular, sometido a una carga P en su extremo libre, es válido. Los valores
correctos del esfuerzo cortante en la viga están dados por la ecuación anterior y los
esfuerzos normales a una distancia x del extremo libre se obtiene haciendo.
La validez de esta proposición depende, sin embargo, de las condiciones de extremo. Si
la ecuación (A) se aplica en todas partes, entonces la carga P debe distribuirse da
manera parabólica sobre la sección de extremo libre. Además, el soporte empotrado
debe ser tal que permita el tipo de deformación por cortante indicado en la figura (15).
El modelo resultante (16) es muy difícil de encontrar en la práctica. Sin embargo del
principio de saint-vernant se sigue que, para otros modos de aplicación de aplicación de
la carga y para otros tipos de soportes empotrados, las ecuaciones (A) y (B) todavía
proporcionan la distribución correcta de esfuerzos, excepto cerca a los extremos de la
viga.

20. Figura 16
Cuando una viga de sección rectangular se somete a varias fuerzas concentradas como
indica en la siguiente figura, puede usarse el principio de superposición para determinar
esfuerzos normales y cortantes en secciones localizadas entre los puntos de aplicación
de las cargas. Sin embargo, como las cargas P1, P2, P3, etc., se aplican en la
superficie de la viga y no puede suponerse que estén distribuidas parabólicamente a
través de la sección, los resultados obtenidos dejan de ser validos en la inmediata
vecindad del punto de aplicación de las cargas.
Figura 17 Fuerzas sobre la viga empotrada
Cuando la viga se somete a una carga distribuida como en la siguiente figura el corte
varia con la distancia del extremo de la viga y así lo hace el esfuerzo cortante a una
elevación dada y. Las deformaciones por cortante resultantes son tales que la distancia
entre dos puntos correspondientes de diferentes secciones transversales, como D1, D`1

21. o D2, D`2 dependerá de su elevación.
Figura 18: fuerzas distribuidas sobre la viga empotrada
Debe notarse también que en porciones de la viga localizadas bajo una carga
concentrada o distribuida, los esfuerzos normales σy se ejercerán sobre las caras
horizontales de un elemento cubico de material, además de los esfuerzos τxy
mostrados en la figura.
3. ESFUERZO NORMAL
3.1 DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DE LA FLEXIÓN
Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por
flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momento flexionante se expresan
mediante la fórmula de la flexión Para su deducción se sigue el mismo procedimiento
que desarrolló para deducir la fórmula de la torsión , es decir, las deformaciones
elásticas junto con la ley de Hooke determinan la forma de la distribución de esfuerzos,
y mediante las condiciones de equilibrio se establece la relación entre los esfuerzos y
las cargas.

22. Fig.3-1a Fig.3-1b
Figura 3-1. Deformaciones
La figura 3-1a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas una distancia dx.
Debido a la flexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran una con
respecto a la otra un pequeño ángulo dθ , como se ve en la figura 3-1b, pero
permanecen planas y sin distorsión de acuerdo con la hipótesis 1.
La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En algún punto entre
ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud no varía. Trazando la línea c’d’ por f,
paralela a ab, se observa que la fibra ac se ha acortado una longitud cc’ y está, pues,
comprimida, mientras que a fibra bd se ha alargado la longitud d’d y está sometida a
tensión.
El plano que contiene todas las fibras como la ef se llaman superficie neutra, ya que
tales fibras no varían de longitud y, por tanto, no están sujetas a esfuerzo alguno. En
seguida veremos que la superficie neutra pasa por los centros de gravedad de las
secciones transversales de la viga.
Consideremos ahora la deformación de una fibra cualquiera gh situada a una distancia
y de la superficie neutra. Su alargamiento hk es el arco de circunferencia de radio y
ángulo dθ y viene dado por:

23. La deformación se obtiene dividiendo el alargamiento entre la longitud ef de la fibra
Llamando al radio de curvatura de la superficie neutra, la longitud es igual a , por lo que
la deformación unitaria vale
Suponiendo que el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke, hipótesis 2 el
esfuerzo en la fibra gh viene dado por:
Esta expresión indica que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a
su distancia y a la superficie neutra, ya que se ha supuesto que el módulo elástico es
igual a tensión que a compresión, hipótesis 3, y el radio de curvatura p de la superficie
neutra es independiente de la ordenada y de la fibra. Ahora bien, los esfuerzos no
deben sobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso contrario dejaría de
cumplir la ley de Hooke en la que se ha basado la determinación de la forma de
distribución de los esfuerzos. Para completar la deducción de la fórmula de la flexión se
aplican las condiciones de equilibrio. Las fuerzas exteriores que actúan a un lado de la
sección en estudio quedan equilibradas por la fuerza cortante y el momento flexionante
resistentes. Para que se produzca este equilibrio, un elemento diferencial cualquiera de
la sección de exploración está sometido a las fuerzas que indica en la figura 3-2. La
intersección de la superficie neutra con la sección se llama eje neutro, abreviadamente
E. N. Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componente
según el eje , hipótesis 5, se tiene:
En donde σx, equivale a σ de la ecuación (a). Sustituyendo σx por su valor Ey/p y
resulta

24. Figura 3-2 Fuerzas que actúan sobre un elemento de área de la sección recta
Los términos E y p, constantes, se han sacado fuera del signo integral. Como y da es el
momento estático del área diferencial dA respecto de E. N., la integral es el
momento estático total del área. Por tanto,
Sin embargo, como solamente y en esta expresión puede ser nulo, se deduce que la
distancia a E. N., eje de referencia, del centro de gravedad de la sección recta debe ser
cero, es decir, que la línea neutra pasa por el centroide del área de la sección
transversal. La condición que da V=V1 conduce a la fórmula del esfuerzo
cortante, cuya deducción se deja para más adelante. De momento. Se hace observar
solamente que la fuerza cortante V1 resistente es la suma de todas las fuerzas
cortantes TxydA , es decir:
La condición conduce a que

25. . Puesto que las fuerzas exteriores no tienen componente según el eje Z, en
el sistema de fuerzas cortantes está en equilibrio. También se verá como el plan
de las fuerzas puede no ser el plano XY, sino uno paralelo a él. En estos casos, las
cargas producen un momento con respecto al eje X que es equilibrado por
para cumplir la ecuación . Esta condición se verifica
automáticamente para secciones simétricas respecto del eje Y, ya que cualquier
elemento tiene otro simétrico y, por lo tanto, las integrales se anulan. Como
consecuencia, para secciones simétricas con respecto del eje Y, el plano de fuerzas
exteriores debe coincidir con el plano XY, y si no ocurre así, la viga estará sometida a
torsión.
Consideremos ahora la condición . Las fuerzas exteriores no producen
momento con respecto al eje Y, ni tampoco las fuerzas cortantes interiores. Por tanto:
Sustituyendo σx, por Ey/p, resulta:
La integral es el producto de inercia Pxyz que es nulo solamente si Y y Z son
ejes de simetría o ejes principales de la sección. Esto constituye la justificación de la
hipótesis 5. La última condición de equilibrio requiere que el momento
flexionante sea equilibrado por el momento resistente, es decir, M=My. El momento
resistente con respecto a E. N. de un elemento cualquiera es y(σxdA), por tanto.
Sustituyendo σx, por Ey/p, resulta:
Puesto que es el momento de inercia* I del área con respecto al eje de
referencia, que en este caso es E. N., que pasa por el centro de gravedad, se obtiene

26. finalmente,
Pues era necesario considerar el eje que pasa por el centroide de la sección de
exploración, como eje con respecto al cual se calcula el momento flexionante; de esta
manera se tiene un eje común para calcular e igualar M y My. La fórmula más común de
escribir la ecuación (b) es
DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE.
Para construir los diagramas de fuerza cortante y momentos flexionantes es necesario
primero determinar las reacciones en los apoyos de la viga aplicando las ecuaciones de
equilibrio a toda la viga.
El siguiente paso es establecer un sistema de referencia donde el origen del eje X, ge-
neralmente, se ubica en el extremo izquierdo de la viga con dirección positiva hacia la
derecha; el eje Y perpendicular al eje x y positivo hacia arriba. El origen de este sistema
coincide con el centro de gravedad de la sección transversal de la viga.
Para determinar la distribución de la fuerza cortante y del momento flexionante analiza-
remos la viga por tramos. Cada tramo está determinado por las cargas aplicadas sobre
la viga. Para determinar las ecuaciones de distribución de la fuerza cortante y momento
flexionante haremos tantos cortes como tramos tenga la viga. En la figura 4-6 se mues-
tra una viga simplemente apoyada, a la que le vamos a determinar las distribuciones de
fuerza cortante y momento flexionante. Estas distribuciones se conocen como diagra-
mas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes de la viga. Generalmente se cons-
truyen en la parte inmediatamente inferior de la representación de la viga.
Obtenidos los diagramas se ubican en ellos los valores máximos y la posición en la cual
se presentan. Con estos valores máximos procedemos a calcular los esfuerzos máxi-
mos producidos en la viga.
Ejemplo 1. Determinar las ecuaciones de distribución de la fuerza cortante y del mo-
mento flexionante para la viga mostrada en la figura 4-6a.

27. Figura 4-6a
SOLUCION: El primer paso es la determinación de las reacciones R1 y R2 aplicando
las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos respecto del punto A.
Para ello, previamente determinamos el valor de la fuerza equivalente de la carga dis-
tribuida que esta aplicada sobre el tramo AB, aplicado la ecuación.