Matemáticas antiguas
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Matemáticas en la antigüedad grecolatina
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Matemáticas antiguas
- 1. MATEMÁTICAS EN LA ANTIGÜEDAD GRECOLATINA Miguel Laborda y Jorge Palenciano
- 3. INTRODUCCIÓN En la Grecia Antigua (1200 a.c-146a.c.) se expande el conocimiento del ser humano en todas las áreas del saber, desde la filosofía, las artes, la política, la botánica, la medicina y, por supuesto, las matemáticas. Las matemáticas griegas alcanzan nuevos niveles de abstracción se desarrollan bajo una estructura lógica con axiomas, demostraciones y definiciones. De entre los pensadores de este período y del posterior Imperio Romano queríamos centrarnos en Pitágoras, Euclides, Diofanto e Hipatia:
- 4. PITÁGORAS Pitágoras (569 a.C. - 475a.C.) fue un filósofo y matemático de la antigua Grecia del cual destacan sus trabajos relacionados con la Matemática griega, geometría, aritmética y la música. Además, fue el creador de la Escuela Pitagórica, la cual también se interesaba por otras disciplinas como la medicina, la política o la ética. Entre sus mayores aportaciones a las matemáticas se encuentran el famoso Teorema de Pitágoras, la irracionalidad del número , y gracias a ello el descubrimiento de los números irracionales.
- 5. TEOREMA DE PITÁGORAS No se sabe a ciencia cierta como demostró Pitágoras este Teorema, ya que no se ha conservado ningún escrito original escrito por Pitágoras. Esto sucede porque los integrantes de la Escuela Pitagórica firmaban sus escritos a nombre de Pitágoras. Por eso, es difícil distinguir los escritos del maestro del de sus seguidores. Se cree que Pitágoras demostró su Teorema ayudándose de la semejanza de triángulos, cuando se dio cuenta de que los triángulos ABC, ACH y BCH eran semejantes. Entonces por proporcionalidad de los lados de triángulos semejantes dedujo: C
- 6. RELACIONES ENTRE NÚMEROS Los Pitagóricos creían que todas las cosas eran en esencia, números. Ellos reconocían los números como figuras, por ejemplo, el 3 era un triángulo o el 4 un cuadrado. Así descubrieron los números poligonales, que son números naturales que pueden recomponerse en polígonos regulares. También les gustaba mucho encontrar relaciones entre los números. Así nacieron las parejas de números amigos que son dos números cuya suma de todos los divisores de uno menos él mismo da como resultado el otro número (por ejemplo, el 220 y el 284). También inventaron los números perfectos, que son números amigos pero de sí mismos (es decir, la suma se sus divisores excepto él mismo de como resultado el propio número, como por ejemplo, el 6).
- 7. NÚMEROS IRRACIONALES Los Pitagóricos también creían que todas las relaciones, que tanto les gustaba encontrar, se podían escribir en forma de una fracción. Pero se dice que ellos mismos encontraron una relación la cual no cumplía con su creencia, es decir, no se podía escribir como una fracción. Este número, el cual era igual a la diagonal de un cuadrado de lado 1, era . Esto conllevó al descubrimiento de los números irracionales, aunque cuenta un mito que ellos mantuvieron el secreto de que esta clase de números existían, hasta que Hipaso de Metaponto, un miembro de la Escuela Pitagórica desveló el secreto y se dice que tuvo un final trágico.
- 8. EUCLIDES Euclides de Alejandría (325a.c.-265a.c.) es considerado el padre de la geometría y el fundador de la escuela de matemáticas de la ciudad de Alejandría. Su obra más destacada es Elementos, referencia a lo largo de la historia y uno de los tratados matemáticos con mayor difusión. El algoritmo de la división y el algoritmo de Euclides, la geometría euclídea y diversos avances en teoría de números y perspectiva son algunos de los más famosos logros de este pensador.
- 9. ELEMENTOS Como ya se ha dicho, es un conjunto de 13 libros y uno de los tratados matemáticos de mayor impacto a lo largo de la historia. En él, a partir de varios axiomas y mediante el uso sistemático de demostraciones, expone un gran número de teoremas en el campo de la aritmética y de la geometría. POSTULADOS: • Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta. • Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. • Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. • Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. • Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Análogo a este último postulado: Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela
- 10. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Dados dos números naturales a y b, con b distinto de 0, existe un único cociente q y un único resto r (números naturales), que cumplen: • a=bq+r • r<b Es decir:
- 11. ALGORITMO DE EUCLIDES Para hallar MCD(A,B): • Si A = 0 entonces MCD(A,B)=B, ya que el MCD(0,B)=B, y podemos detenernos. • Si B = 0 entonces MCD(A,B)=A, ya que el MCD(A,0)=A, y podemos detenernos. • Escribe A en la forma cociente y residuo (A = B ⋅Q + R). • Encuentra MCD(B,R) al usar el algoritmo de Euclides, ya que MCD(A,B) = MCD(B,R). • Cuando lleguemos a MCD(Rn,0) Rn será el MCD(A,B)
- 12. DIOFANTO DE ALEJANDRÍA Diofanto de Alejandría fue un matemático griego del que no se conoce mucho sobre su vida, nisiquiera el año de su nacimiento o muerte. Lo que sí se sabe es la edad a la que falleció, debido a que está escrita en forma de acertijo en su lápida, de la cual se deduce: Donde x es la edad de su muerte, 84 años. A Diofanto se le considera "el padre del álgebra moderna", ya que en una época de decadencia, su obra fue excepcional. Se le atribuye la introducción del cálculo algebraico y del uso de símbolos para potencias, para números negativos o para igualdades.
- 13. OBRA Y LEGADO Una de sus obras más importante es Arithmetica, una colección de 13 libros, de los cuales solo se conservan 6 de ellos. En estos libros, no se habla de álgebra, sino que son libros de problemas de ecuaciones de primer, segundo y tercer grado, problemas de triángulos rectángulos, problemas de cubos de números, entre otros. Siglos más tarde, a las ecuaciones del tipo , con a, b y c coeficientes enteros y soluciones enteras, se les llamo ecuaciones diofánticas lineales, en honor a él (que solo tienen solución en los números enteros si el mcd(a,b)=d y este d es divisor de c).
- 14. HIPATIA Hipatia de Alejandría fue una de las primeras mujeres en la ciencia de las que se tiene constancia. Fue una gran maestra y se situó a la cabeza de la escuela neoplatónica alejandrina (en la que había alumnos y alumnas de múltiples nacionalidades y religiones). Entre sus aportaciones destacan las del campo de la aritmética y en el estudio matemático de los movimientos celestes. Murió asesinada brutalmente a manos de fanáticos cristianos entre el 415 y el 416d.c. (seguramente debido a su ideología o a causas políticas por su gran influencia)
- 15. OBRA Y LEGADO No se conserva ninguna de sus obras, pero se conoce gracias a sus discípulos: • Comentario a la Aritmética de Diofanto • Canon astronómico • Comentario a las Secciones cónicas de Apolonio de Perga (las más destacada). • Tablas astronómicas. • Edición del comentario de su padre a Elementos de Euclides. Mejoró además el diseño de los antiguos astrolabios entre otras herramientas para medir el movimiento de los astros. Además, inventó el destilador, un aparato para medir la densidad de los líquidos y otro para medir el agua.