Funciones trascendentales, Derivadas e integrales

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA
Funciones trascendentales, Derivadas e integrales
Autor:
Reibis Cegarra. CI:22314816

2. Función logaritmo natural
La función logaritmo natural se denota por 𝑙𝑛, se define por
ln 𝑥 =
1
𝑥
1
𝑑𝑡
, 𝑥 > 0
El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto de los números reales positivos y su
rango es el conjunto de todos los números reales.

3. El siguiente teorema lista varias propiedades importantes de la función
logaritmo natural.
Teorema
Si 𝑎 𝑦 𝑏 son números positivos y 𝑟 es cualquier número racional,
entonces:
i. ln 1 = 0
ii. ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏
iii. ln
𝑎
𝑏
= ln 𝑎 − ln 𝑏
iv. ln 𝑎 𝑟 = 𝑟 ln 𝑎
Propiedades del logaritmo natural

4. Definición.
𝑦 = log 𝑎 𝑥 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 𝑦 = 𝑥
El dominio de la función 𝑦 = log 𝑎 𝑥 es igual al rango de la función 𝑦 = 𝑎 𝑥 y es igual a ℝ +
El Rango de la función 𝑦 = log 𝑎 𝑥 es igual al dominio de la función 𝑦 = 𝑎 𝑥
y es igual a ℝ.
Es decir −∞ log 𝑎 < + ∞
Ejemplo
Encuentre 𝐷 𝑥 ln 𝑥2 − 𝑥 − 2
Solución
Este problema tiene sentido, siempre que 𝑥2
− 𝑥 − 2 > 0. Ahora 𝑥2
− 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 𝑥 + 1 , que es
positiva con tal que 𝑥 < −1 𝑜 𝑥 > 2. Así, el dominio de ln 𝑥2
− 𝑥 − 2 es −∞, −1 ∪ 2, ∞ en
este dominio.
𝐷 𝑥 ln 𝑥2
− 𝑥 − 2 =
1
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝐷 𝑥 𝑥2
− 𝑥 − 2 =
2𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 2
Funciones Logarítmicas con Base a.

5. Se dice que una función f es uno a uno si cada número de su contradominio del
dominio de f corresponde a exactamente un número de su dominio; es decir,
para toda 𝑥1 𝑦 𝑥2
Si 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2
⇔ 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥1 = 𝑥2
Definición de función uno a uno

6. Si f es una función uno a uno considerada como el conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦) entonces existe
una función 𝑓−1, llamada inversa de f, que es el conjunto de pares ordenados(𝑥, 𝑦) definida por
𝑥 = 𝑓−1 𝑦 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
El dominio de 𝑓−1
es el contradominio de f y el contradominio de 𝑓−1
es el dominio de f.
En la definición anterior la condición de que f debe ser uno a uno asegura que 𝑓−1
( 𝑦) es única para
cada valor de y.
Definición de la inversa de una función

7. Definición
La inversa de 𝑙𝑛 se denomina función exponencial natural y se denota por exp. Así
𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥
Esta definición se deduce así
1. 𝑒𝑥𝑝 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0
2. 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 𝑦 = 𝑦, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑦
Como exp y 𝑙𝑛 son funciones inversas, la gráfica de 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑥 es solo la gráfica de 𝑦 =
𝑙𝑛 𝑥 reflejada respecto a la recta 𝑦 = 𝑥
Funciones Exponenciales

8. La letra 𝑒 denotada al único número real positivo tal que 𝑙𝑛 𝑒 = 1
Ejemplo
Encuentre 𝐷 𝑥 𝑒 𝑥.
Solución
Por medio de 𝑢 = 𝑥
𝐷 𝑥 𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
𝐷 𝑥 𝑥 = 𝑒 𝑥
∙
1
2
𝑥−1 2
=
𝑒 𝑥
2 𝑥

9. Definición
Para obtener inversas para seno y coseno restringimos sus dominios 𝑎 −𝜋 2 , 𝜋 2 𝑦 0 𝜋,
respectivamente. Así,
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1
𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
A veces se utiliza el símbolo arcsen para 𝑠𝑒𝑛−1
y, de manera análoga, arccos se utiliza para
𝑐𝑜𝑠−1
.Considere arcsen como “el arco cuyo seno es" o “el ángulo cuyo seno es”.
Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

10. Ejemplo
Calcule
a) 𝑠𝑒𝑛−1
2 2
b) 𝑐𝑜𝑠−1
−
1
2
c) cos 𝑐𝑜𝑠−1
0.6
d) 𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2
Solución
a) 𝑠𝑒𝑛−1 2
2
=
𝜋
4
b) 𝑐𝑜𝑠−1 −
1
2
=
2𝜋
3
c) cos 𝑐𝑜𝑠−10.6 = 0.6
d) 𝑠𝑒𝑛−1 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
3
= −
𝜋
2

11. Para obtener inversas de la tangente y la secante, restringimos sus dominios a
−𝜋 2, 𝜋 2 𝑦 )0, 𝜋 2 ∪ ( 𝜋 2 , 𝜋 , respectivamente así
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥, −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐−1 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝑥 ≠
𝜋
2
Calcule
a) 𝑡𝑎𝑛−1
1
b) 𝑡𝑎𝑛−1
− 3
c) 𝑡𝑎𝑛−1 𝑡𝑎𝑛 5.236
d) 𝑠𝑒𝑐−1 −1
e) 𝑠𝑒𝑐−1 2
f) 𝑠𝑒𝑐−1 −1.32
Solución
a) 𝑡𝑎𝑛−1
1 =
𝜋
4
b) 𝑡𝑎𝑛−1
− 3 = −
𝜋
3
c) 𝑡𝑎𝑛−1
𝑡𝑎𝑛 5.236 = −1.0471853
d) 𝑠𝑒𝑐−1
−1 = 𝑐𝑜𝑠−1
−1 = 𝜋
e) 𝑠𝑒𝑐−1
2 = 𝑐𝑜𝑠−1 1
2
=
𝜋
3
f) 𝑠𝑒𝑐−1
−1.32 = 𝑐𝑜𝑠−1
−
1
1.32
= 𝑐𝑜𝑠−1
0.7575758 =
2.4303875

12. Teorema
I. sen cos−1 𝑥 = 1 − 𝑥2
II. cos sen−1 𝑥 = 1 − 𝑥2
III. sec tan−1
𝑥 = 1 + 𝑥2
IV. tan sec−1 𝑥 =
𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

13. Definición de las funciones.
Un círculo unitario con centro en el origen sigue la fórmula 𝑥2 + 𝑦2 = 1; un punto dado por el
par ordenado 𝑥, 𝑦 se puede representar como función de un ángulo t de la siguiente manera
𝑥, 𝑦 = co s 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡. De igual manera, una hipérbola unitaria con centro en el origen sigue la
fórmula𝑥2 − 𝑦2 = 1; un punto dado por el par ordenado 𝑥, 𝑦 se puede representar como
función del ángulo t de la siguiente manera
𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑡, 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡. Estas funciones se denominan funciones trigonométricas hiperbólicas,
en particular, coseno hiperbólico y seno hiperbólico.
Derivadas de funciones trigonometricas
Funciones trigonométricas hiperbólicas.
Las funciones trigonométricas hiperbólicas presentan propiedades análogas a las de las funciones
trigonométricas o circulares. La función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 se define como 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =
𝑒 𝑥−𝑒−𝑥
2
,
mientras que la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 es
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 =
𝑒 𝑥−𝑒−𝑥
2

14. Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones trigonométricas hiperbólicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales.
   
 
   
 
 
 
 
  xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1
xhcsc
ee
2
xcosh
1
xhsec
ee
ee
xsenh
xcosh
xcoth
ee
ee
xcosh
xsenh
xtanh
















Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para
las funciones hiperbólicas se sabe qué
1xsenhxcosh 22


15. 1xsenhxcosh 22

11
1
4
4
1
4
2
4
2
1
4
ee2
4
ee2
1
4
eee2e
4
eee2e
1
2
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx2xx
22















 





 




Demostrar que
.
Gráfica de las funciones.
Sea la función
   
2
ee
xsenhxf
xx 


Las intersecciones se pueden encontrar igualando la función a cero.
 
0x
0x2
1lnx2
1e
1
e
e
ee
0ee
0
2
ee
x2
x
x
xx
xx
xx













La función seno hiperbólico tiene una sola raíz en x=0. Para obtener los puntos críticos, se iguala a cero la derivada de la función:
   
 
 1lnx2
1e
1
e
e
ee
0ee
0ee
2
1
ee
2
1
ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xx











 







Por lo tanto, no hay puntos críticos. Es interesante notar que la derivada de la función senh(x) es la función cosh(x).
Ejemplo

16. Por último, puntos inflexión se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero.
     xxxxxx
2
2
ee
2
1
ee
dx
d
2
1
ee
2
1
dx
d
dx
fd 

La segunda derivada nos llevó, nuevamente, a la función 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥). Esta función ya se igualó a cero
para encontrar las intersecciones. El resultado es que en x=0 hay una raíz que, a su vez, es un
punto de inflexión.
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
.

17.    
2
ee
xsenhxf
xx 


2
e
2
e
2
ee xxxx 


La misma función
Se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales:
La gráfica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial positiva) y verde
(exponencial negativa). La resta de ambas punto por punto es la función senh(x).
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

18.        ucosh
dx
du
usenh
dx
d
xcosh
2
ee
2
ee
dx
d
xsenh
dx
d xxxx







 


       usenh
dx
du
ucosh
dx
d
xsenh
2
ee
2
ee
dx
d
xcosh
dx
d xxxx







 


 
   uhsec
dx
du
utanh
dx
d
xhsec
xcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
d
xtanh
dx
d
2
2
22
22










 
   uhcsc
dx
du
ucoth
dx
d
xhcsc
xsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
d
xcoth
dx
d 2
22
22












 
     uhsecutanh
dx
du
uhsec
dx
d
hxsecxtanh
xcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
d
xhsec
dx
d
2






















 
     uhcscucoth
dx
du
uhcsc
dx
d
hxcscxcoth
senhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
d
xhcsc
dx
d
2






















Derivadas

19. Derivar la función
   3x4tanhxf 2

La función más externa es la raíz, por lo tanto, es la primera en derivarse.
 
   
 3x4tanh2
3x4hsecx8
3x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
22
2
2











Ejemplo

20. Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo se puede establecer que
   
   
   
   
     
      cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2












Integrales.

21.    
   dx
xcosh
xsenh
dxxtanh
   dxxsenhduxcoshu 
   
 
  cxcoshlnculn
u
du
dx
xcosh
xsenh
dxxtanh  
   
    cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh




Hallar la fórmula para la integral de la tangente hiperbólica.
Se hace un cambio de variable en dónde
Al sustituir, la integral anterior cambia a
Ejemplo
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes fórmulas.

22. Las funciones trigonométricas hiperbólicas tienen funciones inversas que, comúnmente, se denotan como
1
senh
o bien como arcsenh donde la función recibe el nombre de seno hiperbólico inverso. Dado que las funciones están
definidas en términos de exponenciales, es de esperarse que sus inversas incluyan logaritmos naturales.
Se pueden definir como
 
 
1x0para
x
x11
lnxhsec
1xpara
x1
x1
ln
2
1
xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
2
1
1
21
21








 
















Inversas.
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonométricas
inversas.

23. Ejemplo
Obtener la fórmula para la derivada de la función
 xsenhy 1

Dado que no se conoce la derivada del seno hiperbólico inverso pero sí la del seno hiperbólico, se pueden utilizar el concepto de la función inversa y la
derivada implícita para hallar la fórmula en cuestión.
 
 
 
 ycosh
1
´y
1y´coshy
xysenh
xsenhy 1



 
1ysenhycosh 22

1ysenhycosh 22

1xycosh 2

Se sabe que
Por lo tanto,
Y la función senhy=x, entonces,

24. 1x
1
´y
2


1u
dx
du
usenh
dx
d
2
1


1u,
1u
dx
du
ucosh
dx
d
2
1



1u,
u1
dx
du
utanh
dx
d
2
1



1u0,
u1u
dx
du
uhsec
dx
d
2
1



Al sustituir se obtiene
El mismo método se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes fórmulas.