Ripasso dei fasci di rette propri e impropri

1. Ripasso dei fasci di rette
propri e impropri!

2. In questa lezione vediamo…
!
1
2 Fasci impropri di rette
Fasci propri di rette
3 Studio di un fascio e applicazioni

3. Sfida
?!
Hai scoperto un gioco per PC molto simile alla battaglia
navale, ma con castelli e catapulte al posto di navi e
cannoni.
Il primo livello è molto semplice: le mura del castello sono
rettilinee e sul reticolo di gioco sono rappresentate da un
segmento di estremi e .
La catapulta del tuo esercito si trova nel punto
Quali indicazioni devi dare per essere sicuro di colpire le
mura e ridurle ad un colabrodo?
(0;2) (4;5)
(6;1)

4. Ora vediamo…
!
1
2 Fasci impropri di rette
Fasci propri di rette
3 Studio di un fascio e applicazioni

5. 1. Fasci propri di rette
Per introdurre i fasci di rette, facciamo un breve ripasso delle rette del piano.
Le rette del piano sono delle figure rappresentate dalle equazioni:
• in forma implicita ( e non possono essere nulli insieme!)
• in forma esplicita
0=++ cbyax
qmxy +=
a b
Il coefficiente angolare è
l’intercetta all’origine (l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse ) è
b
a
m −=
b
c
q −=
y

6. 1. Fasci propri di rette
Un fascio proprio completo è rappresentato
dalla coppia di equazioni:
Rm
xx
xxmyy
∈
"
#
$
=
−=− )(
0
00
)3;2( −P
y
x
0=m
2=x 1=m2=m
O
Facendo variare il coefficiente angolare possiamo trovare tutte le rette che
passano per , tranne una: la retta , parallela all’asse .
L’equazione si scrive: .)( 00 xxmyy −=−
0xx =
m
yP
Esempio: dato il punto , l’equazione del
fascio di rette passanti per è
La retta fa parte dal fascio ma la sua equazione
non corrisponde a nessun valore di !
)3;2( −P
)2(3 −=+ xmy
2=x
P
m
Un fascio proprio di rette è l’insieme delle rette che passano per un punto .);( 00 yxP

7. Ora vediamo…
!
1
2 Fasci impropri di rette
Fasci propri di rette
3 Studio di un fascio e applicazioni

8. 2. Fasci impropri di rette
Un fascio improprio di rette è un insieme di rette tutte parallele tra loro.
Il coefficiente angolare delle rette è costante, mentre varia il termine noto.
Infatti, se è un numero reale, un fascio improprio ha equazione:
• forma implicita
• forma esplicita
0=++ kbyax
kmxy +=
Esempio: kxy +=
rappresenta il fascio improprio di rette
parallele a , che è la bisettrice del I e
III quadrante e anche la retta base del
fascio (infatti la troviamo per ).
xy =
0=k
y
x
0=k
2−=k
1
O
2−
1=k
La retta del fascio che passa per l’origine (e che si
ottiene per ) si chiama retta base.0=k
k

9. Ora vediamo…
!
1
2 Fasci impropri di rette
Fasci propri di rette
3 Studio di un fascio e applicazioni

10. 3. Studio di un fascio e applicazioni
Esempio:
Studiamo il fascio di equazione kkykxk =−−−+− )1(3)1()1(2
Per capire se un fascio è proprio o improprio dobbiamo verificare se il parametro si trova o no
nel coefficiente angolare.
Scriviamo il fascio in forma esplicita:
k
k
xy
k
k
k
k
x
k
k
y
−
++−=⇒
−
+
−
−
+
−
−
−=
1
32
11
)1(3
1
)1(2
Attenzione! Possiamo semplificare al denominatore solo sek−1 1≠k
Il coefficiente angolare è costante uguale a -2 e k si trova solo al termine noto: il fascio
è improprio.
Esempio:
Studiamo il fascio di equazione 2++= kkxy
L’equazione è già in forma esplicita e è il coefficiente angolare: il fascio è proprio.k

11. 3. Studio di un fascio e applicazioni
In un fascio proprio raggruppiamo insieme tutti i termini che hanno , per trovare:
• le generatrici (le due rette da cui otteniamo tutte le altre del fascio) e
• il centro (cioè il punto per cui passano tutte le rette che appartengono al fascio):
GENERATRICE
0)2()1( =−++ yxk
GENERATRICE
Se mettiamo troviamo , che viene chiamata generatrice .0=k 2=y 0K
Invece, l’altra generatrice (il simbolo si legge «infinito») non corrisponde a nessun
valore reale di .k
k
∞K ∞

12. 3. Studio di un fascio e applicazioni
Vediamo le rette generatrici sul grafico.
Il centro del fascio è il punto di incontro delle due generatrici, ovvero .)2;1(−C
Immaginiamo di ruotare la in senso
antiorario, facendo perno sul centro : ad
un certo punto si sovrappone con la .
In questa rotazione, aumenta o
diminuisce?
0K
∞K
k
Per troviamo la retta ,
allora è passato da 0 a 1, cioè aumenta!
E diventa sempre più grande, tendendo a
infinito.
1=k 3+= xy
k
C
)2;1(−C
y
x
2:0 =yK
1: −=∞ xK
1=k +∞→k
O

13. Continuando la rotazione antioraria,
ritroviamo la : siamo ritornati
a , ma ci siamo arrivati dai numeri
negativi.
3. Studio di un fascio e applicazioni
Viceversa, girando in senso orario, diminuisce, tendendo a valori infinitamente piccoli,
che si indicano con il simbolo .
Cosa succede ai valori di se sorpassiamo la
generatrice ?
∞−
)2;1(−C
y
x
2:0 =yK
1: −=∞ xK
1=k +∞→k
−∞→k
∞K
Il modulo rimane molto grande, ma il
segno cambia e diventa negativo!
0K
0=k
O
k
k

14. 3. Studio di un fascio e applicazioni
Esempio:
PASSO 1: Troviamo per quali il fascio passa
per e per ; per farlo, basta sostituire le
loro coordinate nel fascio:
2200: −=⇒++= kkkO
3
1
13223: =⇒=⇒++= kkkkkA
)2;1(−C
y
x
2:0 =yK
1: −=∞ xK
+∞→k
−∞→k
O(0;0)
A(2;3)
2−=k
3
1
=k
Troviamo i valori di per cui le rette del fascio intersecano un certo segmento.k
Riprendiamo il fascio e
disegniamo il segmento di estremi e
2++= kkxy
)0;0(O A(2;3)
k
O A

15. PASSO 2: Verifichiamo se interseca il segmento: nel nostro caso no!
3. Studio di un fascio e applicazioni
3
1
2 ≤≤− x
∞K
Allora la soluzione del problema si trova prendendo i valori compresi tra e :
)2;1(−C
y
x
2:0 =yK
1: −=∞ xK
+∞→k
−∞→k
O
A(2;3)
2−=k
3
1
=k
3
1
2 <<− k
Infatti, partendo dalla retta
che otteniamo per e girando in
senso antiorario, diminuisce, si
annulla in corrispondenza della e
infine diventa quando ci
allineiamo con la retta .
3
7
3
1
+= xy
kA =
1
3
0K
kO = −2
xy 2−=
k
kO kA

16. 3. Studio di un fascio e applicazioni
E se la interseca il segmento?∞K
Proviamo a vedere cosa succede prendendo il segmento di estremi e .)0;0(O )0;2(−B
Dobbiamo prendere i valori esterni
22 ≥∨−≤ kk
)2;1(−C
y
x
2:0 =yK
1: −=∞ xK
+∞→k
−∞→k
OB(−2;0)
2−=k
22 ≥∨−≤ kk
2=k
La retta passante per si ottiene per
Ma la interseca : la soluzione con
valori interni è sbagliata!
0 = −2k +k +2 ⇒ kB = 2
22 ≤≤− k
∞K
B
OB

17. 3. Studio di un fascio e applicazioni
H
)2;1(−C
y
x
2:0 =yK
1: −=∞ xK
+∞→k
−∞→k
OB(−2;0)
2−=k
22 ≥∨−≤ kk
2=k
Infatti, partendo dalla retta con e
ruotiamo in senso antiorario,
diminuisce sempre di più e tende a
La soluzione corrisponde alla
intersezione con il segmento .
kO = −2
∞−
2−≤k
k
OH
Invece, se ruotiamo in senso orario a
partire dalla retta con , cresce e
tende a
La soluzione corrisponde alla
intersezione con il segmento .
kB = 2
∞+
2≥k
k
BH

18. A partire dal punto in cui ci
troviamo, cioè , vogliamo
che le rette intersechino il segmento .
Il fascio proprio di rette ha equazione :
la retta del fascio passante per è
mentre quella passante per si ha per
.
Quindi riusciamo a colpire le mura se
!!
Soluzione alla sfida
P(6;1)
y
x
K0 : y =1
K∞ : x = 6
O
A(0;2)m = −
1
6
m = −2
B(4;5)
A(0;2) B(4;5)
P(6;1)
)6(1 −=− xmy
2 −1= m(0 −6) ⇒ −6m =1⇒ mA = −
1
6
5−1= m(4−6) ⇒ −2m = 4 ⇒ mB = −2
−2 ≤ m ≤ −
1
6
AB
A
B
La catapulta riesce a colpire le mura se la
traiettoria del proiettile interseca il segmento
di estremi e .

19. Nell’interrogazione potrebbero chiederti…!
• Di che tipo sono i seguenti fasci?
035)1(.1 =−+−− kykkx
032 =+−+ kky. kx
k
k
x
k
k
y
1
2
1
.3
+
+
+
−
=
k
xy
1
8.4 +=
• Trova generatrici e centro del fascio proprio
e stabilisci per quali valori
di interseca il segmento di estremi e .
05)1()2( =−−+−+ kykxk
)6;1(A )5;4(Bk

20. Rewarded education!