1. Autor. Katherin Ostos
CI: 27542146
Matemáticas III
Propiedades de una Derivada direccional
Derivada direccional
La derivada direccional de f en (Xo,Yo) en la dirección de un vector unitario u= <a,b> es
si el límite existe.
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una dirección
marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada por
Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de φ y la
distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una dirección, y su
límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En un campo
bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la altura de una montaña,
esta interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica
no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.
2. Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas parciales. Supongamos
que queremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por . La aplicación del
límite nos da
pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse en la dirección
de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras dos constantes, esto es
esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando a y como
constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las derivadas
direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección marcada por es
Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su dirección
Propiedades
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas
direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones F y G definidas en
la vecindad de un punto P, donde son diferenciables:
3. Regla de la suma:
Dv(F+G) = DvF + DvG
Regla del factor constante:
Dv(cF) = cDvF
donde C es cualquier constante.
Regla del producto (o fórmula de Leibniz):
Dv(fg) = gDvF + FDvg
Regla de la cadena: Si g es diferenciable en el punto p y h es diferenciable
en g (p), entonces:
Dv(h o g)(p) = h^ (g(p)) Dvg(p)
