Dokumen tersebut membahas tentang momentum sudut dan benda tegar, mencakup definisi momentum sudut partikel tunggal dan sistem partikel, hukum-hukum Kepler tentang gerak planet, serta konsep-konsep seperti momen inersia dan kekekalan momentum sudut.

1. MOMENTUM SUDUT DAN
BENDA TEGAR
DISUSUN OLEH :
1. DINI BISMUTIKA
2. MAY RAPIKA
3. MELINDA
4. NOVIA SARI
5. SUCI AMALIA

2. MOMENTUM SUDUT
DALAM GERAK PLANET
MOMEN INERSIA
BEBERAPA BENDA TEGAR
MOMENTUM SUDUT
PARTIKEL TUNGGAL
DINAMIKA BENDA TEGAR
GERAK SATELIT
GERAK MENGGELINDING
MOMENTUM SUDUT
SISTEM PARTIKEL
KEKEKALAN MOMENTUM
PADA BENDA TEGAR
BENDA TEGAR
GIROSKOPI
MOMENTUM SUDUT
BENDA TEGAR
STATIKA BENDA TEGAR

3. MOMENTUM SUDUT DALAM
GERAK PLANET
Usaha untuk mempelajari sistem tata suryasecara ilmiah
dirintis oleh orang-orang Yunani kuno. Deskripsi yang terperinci
tentang kesimpulan yang diperoleh orang-orang Yunani ini
diberikan oleh Ptolomeus pada abad kedua. Teori tentang sistem tata
surya yang diberikan oleh Ptolomeus disebut sistem geosentrik.
Pada abad ke-enambelas Copernicus menyatakan bahwa
deskripsi gerak benda-benda langit akan lebih sederhana jika
dianggap bahwa matahari terletak pada pusat jagad. Teori ini
disebut teori Copernicus, atau heliosentris. Dalam teori ini bumi
adalah suatu planet yang berputar pada sumbunya dan bergerak
mengelilingi matahari, dan planet-planet yang lain juga melakukan
gerak serupa.

4. Adanya pertentangan antara dua teori tersebut
membuat para mahasiwa astronomi berusaha untuk
memperoleh data pengamatan yang lebih teliti. Data
semacam ini dikumpulkan oleh Tycho Brahe (15461601) yang melakukan pengamatannya tanpa teleskop.
Teleskop pertama kali dibuat oleh Galileo pada tahun
1609. data tentang gerak planet dari pengamatan Brahe
dianalisa oleh Johannes Kepler (1571-1630) yaitu
asisten Brahe, selama dua puluh tahun. Kepler
menemukan adanya keteraturan dalam gerak planetplanet, keteraturan ini dinyatakan dalam tiga hukum
Kepler untuk gerak planet.

5. Hukum Keppler
Hukum keppler merupakan hukum – hukum yang menjelaskan
tentang gerak planet.
Orbit Planet
Perihelium
Aphelium
Jarak terdekat
planet dari
matahari
Jarak terjauh
planet dari
matahari
Garis edar planet ( orbit ) lintasan yang dilalui planet saat
mengitari matahari
Hukum I Keppler
Orbit planet berbentuk elips dimana matahari terletak
pada salah satu titik fokusnya.

6. Hukum II Keppler
Garis yang menghubungkan planet ke matahari dalam waktu
yang sama menempuh luasan yang sama
• Jika waktu planet untuk
berevolusi dari AB sama
dengan waktu planet untuk
berevolusi dari CD sama
dengan waktu planet untuk
berevolusi dari EF
• Maka luas AMB = luas CMD
= luas EMF
• Sehingga kecepatan revolusi planet dari AB lebih besar kecepatan
revolusi planet dari CD dan kecepatan revolusi planet dari CD lebih
besar kecepatan revolusi planet dari EF.
• Semakin dekat matahari kecepatan revolusi planet semakin besar
• Semakin jauh dari matahari kecepatan revolusi planet semakin lambat.

7. Hukum III Keppler
Kuadrat kala revolusi planet sebanding dengan pangkat tiga
jarak rata – rata planet ke matahari
d2
T12
T22
d1
d13
3
d2
T1 = Periode revolusi planet 1
T2 = Periode revolusi planet 2
d1 = jarak rata – rata planet 1 ke matahari
d2 = jarak rata – rata planet 2 ke matahari

8. Momentum Sudut Partikel Tunggal

9. momentum sudut sebuah partikel yang
berputar terhadap sumbu putar
didefenisikan sebagai hasil kali momentum
linear partikel tersebut terhadap jarak
partikel ke sumbu putarnya.
Maka:
L = r.p

10. Vector L selalu tegak lurus dengan p dan r.
besarnya ditentukan dengan L=p sin θ.
r. dimana θ merupaan sudut antara p dan r,
Karena θ=90⁰ maka diperoleh L=p.r.
Oleh karena p=m.v dan v=ω.r,
dengan ω adalah kecepatan sudut maka
besarnya momentum sudut terhadap sumbu
putarnya, yaitu:
L=m.v.r
L=m.r2. ω => L=I. ω
•

11. Momentum sudut pada sebuah partikel
didefinisikan l = r x p, dengan p = mv
Besarnya momentum sudut  l = r p sin
rumusan ini dapat diubah menjadi :
l = r (p sin ) = r p atau l = p (r sin ) = p r
dimana p adalah : komponen p yang tegak
lurus r dan r adalah : komponen r yang
tegak lurus p Dari definisi momentum sudut l
= r x p, bila dideferensialkan doperoleh :

12. dl/dt = d (r x p)/dt
dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)
dl/dt = (r x F) + (v x mv)
diperoleh
dl/dt =
dp/dt= F

13. Gerak Satelit atau Planet
• Gerak planet dan semua nggota
tata surya mengikuti hukum
grafitasi universal
F
R
Mp = massa planet
Mm = massa maahari
R = jarak antara massa
F = gaya tarik matahari
pada planet
• Hukum Grafitasi Universal.
• Planet bumi dan planet yang
lainnya bergerak mengitari
matahari karena pengaruh gaya
grafitasi matahari.
• Gerak satelit mengelilingi planet
disebabkan ada gaya grafitasi
planet pada satelit.
• Planet bergerak mengelilingi
matahari karena matahari
memiliki massa lebih besar dari
planet.
• Satelit mengelilingi planet karena
planet memiliki massa lebih besar
dari satelit.

14. Besar gaya tarik matahari pada planet adalah
sebanding dengan besar massa masing-masing dan
berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara pusat
massa masing – masing.
F=G
•
•
•
•
•
M 1 .M 2
2
R
F
R
F = gaya tarik ( N )
M1 = massa matahari (kg)
M2 = massa planet (kg)
R = jarak rata- rata matahari dengan planet ( m )
G = konstanta grafitasi umum ( 6,67 . 10 – 11 N m2/kg2)

15. DEPARTMEN
IKA ITB
Momentum Sudut Sistem
Partikel
 Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
dp
Momentum kekal jika
FEXT
FEXT 0
dt
 Bagaimana dng Gerak Rotasi?
Untuk Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi 
Analog momentum p adalah
r F
L r p
momentum sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-15

16. DEPARTMEN
IKA ITB
 Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel
memiliki kecepatan sudut yang sama, maka
momentum sudut total:
n 

   
L l1 l2 l3
ln
li
i 1

dL
dt
n
i 1

dli
dt
n

net ,i

net
i 1
Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan
oleh torsi gaya luar saja.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-16

17.  Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang
x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah
masing2 momentum sudut partikel:
DEPARTMEN
IKA ITB
L
i
ri pi
i
mi ri v i
i
ˆ
mi ri v i k
(krn ri dan vi tegak lurus)
v1
Arah L sejajar sumbu z
m2
Gunakan vi = ri , diperoleh
r2
L

L
i
I
mi ri

2
ˆ
k
v2
j
i r1 m 1

m3
r3
v3
Analog dng p = mv !!
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-17

18. DEPARTMEN
IKA ITB
Vektor Momentum Sudut
 DEFINISI
Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi
tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen
inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap
sumbu rotasi tersebut.

L
I

 Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk
gerak rotasi):


dL
dt

d (I )
dt
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

d
I
dt
I

Bab 6-18

19. DEPARTMEN
IKA ITB
Vektor Momentum Sudut
L
I
 Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil
perkalian antara I dan w kekal
I
mi ri
2
L
I
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
L
I
Bab 6-19

20. DEPARTMEN
IKA ITB
Benda Tegar
Benda Tegar adalah benda yang tidak mengalami
perubahan bentuk meskipun dipengaruhi oleh suatu
gaya.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-20

21. DEPARTMEN
IKA ITB
Torsi – Momen gaya
 Torsi didefenisikan
sebagai hasil kali
besarnya gaya
dengan panjangnya
lengan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-21

22. DEPARTMEN
IKA ITB
Torsi – Momen gaya
 Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan
rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
 Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-22

23. DEPARTMEN
IKA ITB
Momentum Sudut Benda Tegar
Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap
sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total
L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu
searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah
hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut
. Sehingga dapat dirumuskan :
L=I.
Bab 6-23

24. DEPARTMEN
IKA ITB
Bagaimana persamaan tersebut diperoleh?
Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut
terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan
massa m yang bergerak dengan kecepatan V
(memiliki momentum P = mv) didefinisikan
dengan perkalian vektor,
L=R P
atau L = R mV
L = mR V
Bab 6-24

25. DEPARTMEN
IKA ITB
Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang
tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R
dan v.
Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai
pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak
lurus.
V = R Sehingga L = m R v
L=mR R
L = m R2 Arah L dam adalah sama, maka:
L = m R2 atau L = I
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-25

26. DEPARTMEN
IKA ITB
= dθ
dt
maka : L = m R2 dθ
dt
L = I dθ
dt
Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap
titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara
vektor ditulis:
L = R P = m (R v)
karena
Bab 6-26

27. DEPARTMEN
IKA ITB
Bila diturunkan, menjadi:
dL = dR x P R dP
dt dt dt
dL = (V x Mv) + (F x R)
dt
dL = 0 + F x R
dt
karena = F R
maka = dL
dt
Bab 6-27

28. DEPARTMEN
IKA ITB
Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai
memontum sudut total L, dan sistem mempunyai
momentum sudut total akhir L’, setelah
beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan
momentum sudut. Perhatikan seorang penari
balet yang menari sambil berputar dalam dua
keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama,
penari merentangkan tangan mengalami putaran
yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua,
penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar
dengan putaran yang cepat.
Bab 6-28

29. DEPARTMEN
IKA ITB
momentum sudut total awal = momentul sudut
total akhir
L = L’
L1 + L2 = L1’ + L2’
Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai
berikut.
I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’
Bab 6-29

30. Momen Inersia Beberapa
Benda Tegar
DEPARTMEN
IKA ITB
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar
didefenisikan sebagai
I
mi ri
2
m1r
1
2
m2 r2
2
...
i
I = momen inersia benda tegar,
menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi
terhadap sumbu putarnya
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

31. DEPARTMEN
IKA ITB
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu,
momen inersianya diberikan dalam bentuk integral
I
mi ri
2
2
I
r dm
i
I
ρr dV
2
2
r dm
z
y
x
Dimana Elemen Volume
dV
rdr d
dm
dl
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-31

32. DEPARTMEN
IKA ITB
dV
rdr d
dl
 dimana rdr : perubahan radius,
 dθ : perubahan sudut,
 dl : perubahan ketebalan.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-32

33. DEPARTMEN
IKA ITB
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen
inersia dalam bentuk integral
I
r
2
rdr d
dl
Asumsi rapat massa ρ konstan
 Kita dapat membaginya dalam 3
integral sbb:
I
R
0
2
r rdr
2
0
d
L
0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
dl
Bab 6-33

34. DEPARTMEN
IKA ITB
4
Hasilnya adalah
r
4
I
R
2
0
l
L
0
0
4
Massa dari lempengan
tersebut
M
R
2
4
I
L
2
R L
Momen Inersia benda
I
1
2
MR
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-34

35. DEPARTMEN
IKA ITB
Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu
putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui
titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat
ditentukan dengan menggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar
I
I cm
Mh
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-35

36. DEPARTMEN
IKA ITB
Momen Inersia:
1
ml 2
12
I
ℓ
I
1 2
ml
3
R
R
I
I
mR
I
2
1
m(a 2 b 2 )
12
a
ℓ
b
1
mR 2
2
I
2
mR 2
5
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-36

37. Dinamika Benda Tegar
DEPARTMEN
IKA ITB
 Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh
momen gaya didefenisikan sbb:
W
2
1
d
2
1
I d
1
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
I
2
2
1
2
I
2
1
Bab 6-37

38. DEPARTMEN
IKA ITB
Energi Kinetik Rotasi
 Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi
kinetik akibat rotasi adalah
K
K
1
mi
2
1
I
2
ri
2
1
2
mi ri
2
2
2
 Dimana I adalah momen inersia,
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
I
mi ri
2
Bab 6-38

39. DEPARTMEN
IKA ITB
Energi Kinetik Rotasi
 Linear
K
Massa
Kecepatan
Linear
 Rotasi
1
2
Mv
2
K
1
I
2
2
Momen
Inersia
Kecepatan
Sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-39

40. Prinsip Kerja-Energi
DEPARTMEN
IKA ITB
 Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak
rotasi menjadi:
2
W
2
d
1
W
Bila
K rot
I d
0
dimana
,maka
0
I
2
1
K rotasi

1
W
K rotasi
0
1
2
2
2
1
I
2
1
I
2
2
sehingga
Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-40

41. DEPARTMEN
IKA ITB
Menggelinding
 Menggelinding adalah peristiwa translasi dan
sekaligus rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-41

42. Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
DEPARTMEN
IKA ITB
s
R
Ban bergerak dengan laju ds/dt
vcom
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
d
dt
R
Bab 6-42

43. DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-43

44. DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
The kinetic energy of rolling
2
K
1
2
IP
K
1
2
I com
2
1
2
K
1
2
I com
2
1
2
IP
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
I com
MR 2
2
com
Mv
MR 2
2
Kr
Kt
Bab 6-44

45. DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Menggelinding Di Bidang Miring
Gunakan:

N
torsi = I
R Fg sin

Rf s
Fg sin
acom
R
x
Maka:
MR 2 g sin
P

Fg
Fg cos
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
IP
IP
acom
I com
I P acom
MR 2
g sin
2
1 I com / MR
Bab 6-45

46. Menggelinding
DEPARTMEN
IKA ITB
 Total energi kinetik benda yang menggelinding
sama dengan jumlah energi kinetik translasi
dan energi kinetik rotasi.
K
1
2
1
2
0
mv
2
I0
2
V0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-46

47. DEPARTMEN
IKA ITB
Hukum Kekekalan Energi Mekanik
Total Dengan Gerak Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-47

48. Giroskop
Giroskop adalah roda berat yang berputar
pada jari-jarinya. Sebuah giroskop mekanis
terdiri dari sebuah roda yang diletakkan
pada sebuah bingkai. Roda ini berada di
sebuah batang besi yang disebut dengan
poros roda. Ketika giroskop digerakkan,
maka ia akan bergerak mengitari poros
tersebut. Poros tersebut terhubung dengan
lingkaran-lingkaran yang disebut gimbal.
Gimbal tersebut juga terhubung dengan
gimbal lainnya pada dasar lempengan. Jadi
saat piringan itu berputar, unit giroskop itu
akan tetap menjaga posisinya saat pertama
kali dia diputar.

49. torsi yang disebabkan oleh dua
kekuatan yang berlawananFg dan –Fg
menyebabkan perubahan momentum
sudut L dalam arah yang torsi (karena
torsi adalah turunanterhadap waktu
dari momentum sudut). Hal ini
menyebabkan bagian atas
untuk presesi. Dalam sistem
tertutup momentum sudut adalah
konstan. Hukum konservasi ini
secaramatematis berikut dari arah
simetri kontinu ruang (tidak ada arah
dalam ruang yang berbeda dari arah
lain).

50. Turunan waktu dari momentum sudut disebut
torsi:
(cross product kecepatan dan momentum
adalah nol, karena vektor ini adalahsejajar.)
Jadi memerlukan sistem yang akan "tertutup"
di sini adalah secara matematis setara dengan
nol torsi eksternal yang bekerja pada sistem:

51. di mana τe x t adalah setiap torsi diterapkan pada
sistem partikel. Diasumsikan bahwa kekuatan
interaksi internal taat hukum ketiga Newton
tentang gerak dalam bentuk yang kuat, yaitu,
bahwa kekuatan-kekuatan antara partikel adalah
sama dan berlawanan dan bertindak di sepanjang
garis antara partikel.Dalam orbit, momentum
sudut didistribusikan antara putaran planet itu
sendiri dan momentum sudut dari orbitnya

52. DEPARTMEN
IKA ITB
Kesetimbangan Benda Tegar
 Suatu benda tegar dikatakan setimbang
apabila memiliki percepatan translasi sama
dengan nol dan percepatan sudut sama
dengan nol.
 Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan
gaya yang bekerja harus sama dengan nol,
dan resultan torsi yang bekerja juga harus
sama dengan nol:
Fx = 0 dan Fy = 0
=0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-52

53. Keseimbangan Partikel

Syarat keseimbangan
partikel
F

0
Syarat keseimbangan
gaya-gaya pada bidang xy
Fx
0
Fy
0

54. Keseimbangan Benda Tegar
 Momen
gaya
“ukuran efektivitas suatu
gaya dalam menghasilkan
rotasi benda mengelilingi
sumbu putarnya”
τ
Fd
= momen gaya (N m)
F = gaya (N)
d = lengan momen (m)
o
o
Momen gaya searah jarum jam
diberi tanda positif
momen gaya berlawanan arah jarum
jam diberi tanda negatif

55. Keseimbangan Benda Tegar
 Momen
Kopel
“merupakan pasangan dua
buah gaya yang sejajar dan
sama besar, namun
arahnya berlawanan
M
Fd
= momen kopel (N m)
F = gaya (N)
d = jarak antara kedua
gaya (m)
o
o
Momen kopel searah jarum jam
diberi tanda positif
momen kopel berlawanan arah
jarum jam diberi tanda negatif

56. Keseimbangan Benda Tegar

Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan
Jika sejumlah gaya bekerja pada bidang xy, maka setiap gaya tersebut
dapat diuraikan atas komponen-komponenya
y
R y xR
xR
xR
1y
F1 y x1
F1 y x1
...
2y
F2 y x2
F2 y x2
Ry
Fny xn
Ry
ny
... Fny xn
... Fny xn
x
Ry yR
yR
yR
1x
2x
F1 x y1
F1 x x1
F2 x y2
nx
... Fnx yn
F2 x x2 ... Fnx xn
Rx
Fnx xn
Rx
...

57. Syarat Keseimbangan Benda Tegar

Syarat keseimbangan benda tegar
F

0
0
Syarat keseimbangan benda tegar Jika gaya-gaya
yang bekerja pada bidang xy
Fx
0
Fy
0
0

58. Titik Berat



Setiap benda terdiri atas partikel-partikel
yang masing-masing memiliki berat.
Resultan dari seluruh berat partikel disebut
gaya berat benda
Titik tangkap gaya berat inilah yang
dinamakan titik berat

59. Menentukan titik berat
dengan percobaan

60. Menentukan titik berat
dengan perhitungan
x0
W1 x1 W2 x2 ... Wn xn
W1 W2 ... Wn
y0
W1 y1 W2 y2 ... Wn yn
W1 W2 ... Wn
Wn xn
Wn
Wn yn
Wn
titik berat benda pejal homogen

61. Jenis Keseimbangan

Keseimbangan labil
Keseimbangan yang dialami benda dimana jika
dipengaruhi oleh gaya atau gangguan kecil tidak akan
segera kembali ke posisi semula

62. Jenis Keseimbangan

Keseimbangan stabil
Keseimbangan yang dialami benda dimana jika
dipengaruhi oleh gaya atau gangguan kecil akan
segera kembali ke posisi semula

63. Jenis Keseimbangan

Keseimbangan indeferen (netral)
Keseimbangan yang dialami benda dimana jika
dipengaruhi oleh gaya atau gangguan tidak
mengalami perubahan.

64. SELESAI