Aplicación en ejemplo práctico de la derivación

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA
PARTICULAR DE LOJA
Matemática
Aplicación de derivadas
Medina H. Raúl C.i. 1900816321
19 de noviembre del 2014

2. Aplicaciónde derivadas
La derivaciónescrucial encuantoal cálculose refiere,pero,¿para qué nossirve encálculoy las
derivadasenprimerlugar?
Bien,tomemosencuentaesto,el cálculoytodoloque conllevase consideraunpasomás adelante de
la matemáticaelemental,vamásallá,por así decir;resumiendo,lamatemáticaelemental es
constante,estática,fija,mientrasque el cálculoesdinámico se enfocaenmomentos,movimientos,
aproximaciones,etc. Porejemplo,aplicandolamatemáticaelemental,si quierosaberencuanto
tiempose consumiráuncigarrilloencendido,lopodemoshacerobteniendodatoscomoel tiempoen
que se consume 1 cm del cigarro,pero,si queremossaberen cuántose consume si lo estánfumando,
la frecuenciaaumenta,varíaconcada inhalación,enlaprimerase consumió2cm, enla segunda,½
cm, enla tercera3 cm, en este caso la matemáticaelementalpuedeque se quede atrás,paraeste caso
utilizaríamosel cálculoparadeterminarel tiempoenconsumirse;otroejemplo,si se vaenauto del
puntoA al B, cuyadistanciacomprende 64Km, con la matemáticaelemental,utilizaríamosuna
velocidadconstante paradeterminarvalores,comotiempos,oencasode notenerla,ladistancia…
perocuando se viajano se mantiene unamismavelocidadde principioafin¿osí?, no, hay
aceleraciones,retrasos,paros,yotrasvariacionesde velocidad,entoncesparadeterminarlosvalores
empleamosel cálculo.
El cálculoy derivadas,ademásde servirparavaloresvariables,tambiénayudaparaladeterminación
de áreas irregulares,enel casode límites,sirve paraobtenerlapendienteconsolo unpunto,ymuchos
usosmás. La derivaciónconsiste enlaconversiónde lasecuacionesordinariasatravésdel usode las
siguientesreglasde laderivación
Fig.1
Un campo donde se aplicanlasderivacionesde ecuacionestrigonométricasyproblemasde cónicases
el campo espacial,parasermás preciso,el campode la predicciónde posicionamientode satélites
artificialesenorbitascercanasala tierray superioresalos5000km.

3. Algoritmospara la predicciónde satélitesartificiales.- Desde 1957 lacantidadde satélites
lanzadosal espacioha crecidocasi de formaexponencial,
dandohasta la actualidadunapoblaciónde satélites
aproximadade 26000. Actualmente se le realiza
seguimientoanadamás que 8000 de estossatélites,
puestoque el restoestáfuerade órbita,de estos8000
satélitessolo560 se encuentranenfuncionamiento
mientrasque el restoesconsideradobasuraespacial como
se muestraen lafig.2Para darle seguimientoaestos
satélitesen1980 se desarrolló unmodelo determinístico o
algoritmocomputacional que norequeríamuchoesfuerzo
computacional,erael “Simple General Perturbations”o
SGP.
Fig.2
Pero,enla actualidad,graciasa lasmejorascomputacional se implementarotrosalgoritmos,por
ejemplo, paraorbitascercanasa latierra se derivadel SGPel SGP4 y para orbitassuperioresalos5000
Km se derivadel SGPel SDP4. La precisiónde cada algoritmoesinversamenteproporcional alos
incrementosde tiempoconlosque se realizael cálculo,similaraloque ocurre con la pendientede una
curva con un solopunto.
Otro ejemplomásespecificadoseríael del problemade losdoscuerposyel problemaprincipal del
satélite artificial.
El problemade los dos cuerpos.- Debidoaque las ecuaciones
empleadasparaladeterminaciónde laposición,fuerzasy
velocidadesde dichoscuerposcomprendenloque sonecuaciones
diferencialesde primerorden(mismasque porel momentosonmás
avanzadasde lo que abarca mi comprensión)nopodré ahondar
muchoen ladeterminaciónde dichasecuaciones.
Las ecuacionesindicadas enlafig.4sonecuacionesdiferencialesde
primerorden,derivadas de lasrazonestrigonométricasy
matemáticasvectoriales del planode lafig.5 Que tienenpor
objetivo el determinarenbase a condicionesinicialesdadasuna
soluciónque permitaencontrarlascomponentesdel vectorposición
y velocidad paracualquiertiempo.
El problemaprincipal del satélite artificial.- Cuandouncuerpo
como el satélite estáenel espaciose presentanmuchasvariantes
como cambiode presiones,otroscuerposaproximándose,uotros
tiposde fuerzaaproximándosese conoce comoperturbación Des
mismomodo,comose derivaronlasecuacionesparaobtenerlas
Fig.3
Fig.4
44
g.4
Fig.3
Fig.5
Fig.4

4. ecuacionesdiferencialesde primergrado.El potencial de uncuerpose puede presentarmediantela
expresión de lafig.6:
La primeraexpresióndescribe el comportamientode uncuerpoenel
espacioafectadosoloporla fuerzagravitacional.Todasestas
expresionesalgebraicasde ecuacionesdiferencialesde primerorden
restantesestánenfunciónaun planovectorial comoel de lafig.5
perocon la inclusiónde unacónicaque describe latrayectoriadel
cuerpoa estudiar,eneste caso,el satélite artificial.
Saltandodirectamenteaun ejemplopráctico,Si unsatélite orbitaabaja
alturapero desprecialaresistenciadel aire,se conoce que parael
instante t=0 el vectorposiciónyvelocidadenradioterrestre son
R.T.=6378. 14 y radioterrestre pordia(d) son:
Ahora,se deseadeterminarel valorvelocidadyposicióndel satélite para
un tiempode 3 días a partir del tiempoinicial,empleandolas
ecuacionesdiferencialesde primer ordenindicadasenlafig.7
tomandocomo valorde K = 107.0926758 R.T. 3/2 /d se obtiene
como resultadoparat= 3.0 d lossiguientesvalores:
Cabe decirque todoslos valoresestánenbase a las
coordenadascartesianas de lafig.8
Conclusionesyrecomendaciones.-
 Es recomendable practicarconstantementeladerivación,puestoque lacantidadde reglaslo
ameritan,ademásde practicaralgebraelementalparanotenerproblemasconla simplificación
de expresionesalgebraicas.
 Las derivacionessonindispensablesparatodocampoque incluye dinamismo
 Los componentestecnológicosresultaronungransaltoen el cálculo,evitandobochornosos
procesosalgebraicosantesnecesarios.
Bibliografía
-Jose GordilloPortilla.(1996). El problema delos doscuerposy el problema principal del satélite
artificialen ecuacionesdiferencialesde primer orden. [enlínea]:Universidadnacional de Colombia
Disponibleen: http://www.accefyn.org.co/revista/Vol_20/76/25-32.pdf
-Díaz Federico, Tinetti Fernando Gustavo, Casas Nicanor , De Luca Graciela, Martín
Sergio, Giulianelli Daniel Alberto. (octubre 2013). Análisis de rendimiento del algoritmo SGP4/SDP4
para predicción de posición orbital de satélites artificiales utilizando contadores de hardware. [en
linea]. XVIII Congreso Argentino de Ciencias de la Computación. Disponible en:
http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/32425
Fig.6
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g.4
Fig.4
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Fig.3
Fig.7
44
g.4
Fig.4
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Fig.3
Fig.8
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g.4
Fig.4
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Fig.3