1. ÁLGEBRA LINEAL Y
MATRICES
Ingeniería en Administración. Prof. Rubén Rodríguez.
Semestre 01-
2013
Santiago de Chile

2. UNA MATRIZ ESTÁ FORMADA POR UN DOBLE
SUBÍNDICE DE ELEMENTOS SITUADOS EN FILAS Y
COLUMNAS.
A 
a11 ,, a1n
a21 ,, a2n
   
am1 ,, amn










 Aij 

3. VECTOR FILA
[1 x n] matriz
   jn aaaaA ,,21 

4. VECTOR COLUMNA
[m x 1] matrix
 i
m
a
a
a
a
A
2
1
















5. MATRIZ CUADRADA: MISMO NÚMERO DE FILAS Y
COLUMNAS
B 
5 4 7
3 6 1
2 1 3









6. LA MATRIZ IDENTIDAD: ES UNA MATRIZ CUADRADA
CON PUROS UNOS EN LA DIAGONAL Y CEROS EN LOS
OTROS ESPACIOS.
I 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1











7. MATRIZ TRANSPUESTA: UNA MATRIZ
TRANSPUESTA ES CUANDO LAS FILAS SE
CONVIERTEN EN COLUMNAS Y LAS
COLUMNAS SE CONVIERTEN EN FILAS

















mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
,,
,,
,,
21
22212
12111
´

8. SUMA DE MATRICES: DA COMO RESULTADO
UNA NUEVA MATRIZ C QUE ES DEFINIDA
COMO LA COMBINACIÓN DE LAS MATRICES A
Y B DONDE: C=A+B
Cij   Aij   Bij 
* Las tres matrices deberán tener la misma dimensión

9. SUMA DE DOS MATRICES:
A 
a11 a12
a21 a22



 B 
b11 b12
b21 b22




C 
a11  b11 a12  b12
a21  b21 a22  b22





10. EJEMPLO:
A  B 
3 4
5 6





1 2
3 4



 
4 6
8 10



  C

11. RESTA DE MATRICES:
C = A - B
Es definida
por:
Cij   Aij   Bij 

12. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:
Las matrices A y B tienen estas dimensiones:
[r x c] y [s x d]

13. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: LAS MATRICES A Y
B PODRÁN SER MULTIPLICADAS SI:
[r x c] and [s x d]
c = s

14. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
La matriz resultante tendrá las dimensiones:
[r x c] and [s x d]
r x d

15. PRODUCTO DE LAS MATRICES: AXB=C
A 
a11 a12
a21 a22



 [2 x 2]
B 
b11 b12 b13
b21 b22 b23




[2 x 3]









232213212222122121221121
231213112212121121121111
babababababa
babababababa
C
[2 x 3]

16. CALCULE: AXB=C
A 
2 3
1 1
1 0








and B 
1 1 1
1 0 2




[3 x 2] [2 x 3]
A y B podrán ser multiplicadas

























111
312
825
12*01*110*01*111*01*1
32*11*110*11*121*11*1
82*31*220*31*251*31*2
C

17. CALCULE: AXB=C
A 
2 3
1 1
1 0








and B 
1 1 1
1 0 2





























111
312
825
12*01*110*01*111*01*1
32*11*110*11*121*11*1
82*31*220*31*251*31*2
C
[3 x 2] [2 x 3]
El resultado es 3 x 3

18. MATRIZ INVERSA
B1
B  BB1
 I
Como el inverso
de un número en
matemáticas
escalar
Un número igual que en
matemáticas escalar

19. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
a) Seis arrestos en la semana pasada divididos entre delitos y faltas.
b) Nueve arrestos - había dos veces delitos como el a).

20. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
92:)
6:)
21
21


xxb
xxa

21. SOLUCIÓN: 





12
11
* Inversa de: es 







12
11


















9
6
*
12
11
2
1
x
x
9
6
*
12
11
*
12
11
*
12
11
2
1


































x
x
3
3
*
10
01
2
1


















x
x












3
3
2
1
x
x

22. FORMA GENERAL: N ECUACIONES EN N VARIABLES


n
j
ijij bAxobxa
1
Los valores desconocidos de la variable x pueden ser
encontrados usando la inversa de la matriz A, tal que:
x  A
1
Ax  A
1
b

23. EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS:
1. Dadas las matrices
Calcular si es posible:





 

23
12
A 







24
10
B
12
31

C
1
5
ABCa) )() 2
1
ABCb T

2
))()( AAAc 

24. EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS:
Dadas las matrices:
Calcule :












126
590
362
A











753
242
111
B
BA
AB
)2
)1  
22
2
2)4
)3
BABA
BA


  BABA
BA


)6
)5 22