ANGULO EN POSICION NORMAL II

1. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
1. Ángulos Cuadrantales Donde:
Donde:
0 = Cero
Entenderemos por ángulo cuadrantal a 1 = Uno
N = No definido
aquel ángulo en posición normal cuyo lado
final coincida con cualquier semieje del
plano cartesiano. La medida de este ángulo COMPROBACIÓN
siempre tendrá la forma:
π y
“n ”; n ∈ Z ó “n. 90º”.
2
(0; r)
Ejemplo:
r
90º
Para diferentes valores enteros de “n” x
tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….
y r
n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 1. sen90º = = = 1
r r
360º;
x 0
2. cos 90º = = = 0
r r
El siguiente gráfico muestra algunos y r
Ángulos Cuadrantales y su medida. 3. tg90º = = = /
∃
r 0
y
La división de un
número entre 0
90º
180º (cero) es una
operación no
definida.
x
-90º
2. R. T. de Ángulos Cuadrantales 3. R. T. de Ángulos Coterminales
Si dos o más ángulos son coterminales
m∢ 0º, entonces las Razones Trigonométricas de
90º 180º 270º
360º sus medidas tienen el mismo valor
R.T. 0; 2π π/2 π 3π/2 numérico por ende diremos que son
Sen 0 1 0 -1 iguales.
Cos 1 0 -1 0 y
(a; b)
Tg 0 N 0 N R.T. α = R.T. θ
Ctg N 0 N 0
α
Sec 1 N -1 N
x
Csc N 1 N -1
θ
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a) a b) b c)
Son ∢s coterminales los que tienen a-1
el mismo lado inicial y final. d) b-1 e) ab
Ejemplos 2. Simplificar:
( a + b)2 sec 0º +( a − b)2 sen270º
E=
2ab csc 90º
a) a b) b c) 1
d) 2 e) 4
3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x
π
Calcular: “ f( ) ”
2
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x
π
Calcular: “ f( ) ”
4
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
Ejercicio Resueltos
1. Calcular:
Tarea Nº 01
(3Sen90º − Cos180º ) 2 + 1
E=
(2Sen270º − Cos360º ) 2 + 8 1. Calcular:
Solución: 2 2
(a + b) sec360º + (a - b) cos180º
E =
Reemplazando valores: 2abcsc270º
[ 3(1) − (-1) ] 2 + 1 a) 1 b) 2 c) 3
E=
d) -3 e) -2
[ 2(-1) − ( 1 ) ] 2 + 8
4 2 +1 2. Calcular:
E=
(-3) 2 +8 ( a + b)3 sen90º +( a − b)3 cos 360º
E=
E=
17 a2 sec 0º +3b2 csc 90º
17
a) a b) b c) 2a
∴ E=1 d) 2b e) ab
x x x
3. Si: f(x) = sen + cos + tg
Práctica Dirigida Nº 01 2 3 4
Calcular: “f(π)”
a) 1 b) 1,5 c) 2
1. Simplificar:
d) 2,5 e) 3
( a + b)sen90º − ( a − b) cos 0º
E=
2ab cos 360º
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d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x 5. Señale el signo de:
π 5 3 4
Calcular: “ f( ) ” Cos 160º.Tg 217º.Sen 310º
2 A =
3 5
a) 0 b) 1 c) 2 Sec 316º.Sen 190º
d) -1 e) -2 a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
5. Calcular:
E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º) 6. ¿A qué cuadrante pertenece ”θ”, si: Cosθ < 0;
a) 16 b) 17 c) 18 y Senθ < 0?
d) 19 e) 20 a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) Es cuadrantal
2 3 2 5 7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x
m Sen 90º + n Cos 180º
6. Reducir: C = π
mSen90º + nCos0º Calcular: “ f( ) ”
2
a) m + n b) m – n c) mn
2 2 2 2 a) 0 b) 1 c) 2
m +n m +n
d) e) d) -1 e) -2
m+n m−n
Tarea Nº 01 8. Si: β ∈ IIC, α ∈ IIIC ∧ θ ∈ IVC
Indicar el signo de la expresión:
csc α + cos β
1. Calcular: E=
tgβ − sec θ
E = (2Sen180º – Sen90º)2 + (3Cos180º – Cos90º)2
a) 8 b) 9 c) 10 a) + b) - c) + ó -
d) 11 e) 12 d) + ∧ - e) Todas son positivas
2. Reducir: π
2Sen( ) - Cosπ
3 3 2
m Sen90º −n Cos360º 9. Calcular: E =
J= 3π
2 2 3 Ctg( ) + Sec2π
m Cos0º −mnSen270º −n Sen 270º
2
a) m – n b) m + n c) m a) –1 b) 1 c) – 2
d) n e) n – m d) 3 e) 2 2
10. Señale el signo de:
3. Calcular:
3 5 2
(a + b) 2 Sec360º + (a − b) 2 Cos180º Sen 170º.Cos 214º.Tg 160º
A =
E= 4 3
2ab Csc270º Sec 200º.Cos 170º
a) 1 b) 2 c) 3 a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
d) -3 e) -2 d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
4. Señale el signo de:
Sen 340º.Ctg 124º
P=
Cos 316º
a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
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Para encontrar un ángulo coterminal
positivo y uno negativo con un ángulo dado,
puede sumar y restar 360° si el ángulo es
ÁNGULOS COTERMINALES medido en grados o 2π si el ángulo es
medido en radianes.
Los ángulos se pueden medir en el sentido Ejemplo 1:
del movimiento de las agujas del reloj (tiene Encuentre un ángulo coterminal positivo y
medida negativa) y al contrario del uno negativo con un ángulo de 55°.
movimiento de las agujas del reloj (con 55° – 360° = –305°
medida positiva). 55° + 360° = 415°
Un ángulo de –305° y un ángulo de 415°
 Dos o más ángulos se denominan son coterminales con un ángulo de 55°.
coterminales, cuando tienen el mismo
lado inicial y el mismo lado final.
 La diferencia entre dos o más ángulos
coterminales es el número de vueltas
sobre el lado inicial.
 Aquí es donde se justifica porque los
ángulos trigonométricos no tienen límites
en su magnitud, pues sólo se diferencian
en el número de vueltas.
Ejemplos
En General:
ϴ=2π(n)+α ó ϴ= 360°(n)+α
R.T[2π(n)+α]=R.T[α]
R.T[360°(n)+α]=R.T[α]
Ejercicios de Ángulos
Coterminales
Los siguientes ángulos están en la posición
Si dos o más ángulos son coterminales estándar, encuentre dos ángulos coterminales
entonces las Razones Trigonométricas de positivos y dos ángulos coterminales negativos en
sus medidas tienen el mismo valor cada caso.
numérico por ende diremos que son
iguales. 1) 120°
2) 135°
y 3) 240°
(a; b)
4) 315°
R.T. α = R.T. θ
5) 60°
α 6) 90°
7) -30°
x 8) -150°
9) 150°
θ 10) -45°
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PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICA
3. Del gráfico calcular:
QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
“ÁNGULOS EN POSICION NORMAL” E = 5 secy + 4 cot β
β
ESTUDIANTE:…………………………………… x
β
RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. Del siguiente gráfico calcular: (1; -2)
E = 10 senθ − 12 cot θ
y
x
θ
(1; -3)
4. Calcular:
2 2
(a + b) sec360º + (a - b) cos180º
E =
2abcsc270º
2. Si el punto P( −1; 3 ) pertenece al lado
final de un ángulo en posición canónica
cuya medida es “α”
calcular: E = cotα + cscα
5. Reducir:
3 3
m Sen90º −n Cos360º
J=
2 2 3
m Cos0º −mnSen270º −n Sen 270º
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