thte

1. 1
1
Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Mục lục
Chương 1 Tập hợp và số thực.................................................................................... 2
1.1 Khái niệm về tập hợp ....................................................................................... 2
1.2 Số thực ............................................................................................................. 4
1.3 Ánh xạ.............................................................................................................. 9
1.4 Bài tập chương 1 ............................................................................................ 11
Chương 1. Tập hợp và số thực
Lê Văn Trực

2. 2
Chương 1
Tập hợp và số thực
1.1 Khái niệm về tập hợp
1.1.1 Tập hợp
Cho tập hợp M, để chỉ x là phần tử của tập M ta viết x M∈ (đọc là x thuộc M), để chỉ x
không phải là phần tử của tập M ta viết ∉x M (đọc là x không thuộc M).
Tập hợp M chỉ có một phần tử a, kí hiệu là { }a .
Tập hợp M không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅ .
Cho hai tập A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B ta nói rằng A là tập con
của B và ta viết ⊆A B .
Nếu A là tập con của B và ≠A B ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và
viết là ⊂A B . Trong trường hợp này tồn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là
phần tử của A. Ví dụ như tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỷ .
Cho A, B, C là ba tập hợp. Khi đó có tính chất sau:
a) A∅ ∈ (1.1.1)
)
)
⊆ ⊆ ⇒
⊂ ⊂ ⇒ ⊂
b
c
vµ = (1.1.2)
vµ (1.1.3)
A B B A A B
A B B C A C.
1.1.2 Một số tập hợp thường gặp
Trong các giáo trình đại số ở trường phổ thông trung học ta đã làm quen với tập hợp các
số tự nhiên
={ 0,1,2,…, n,…} (1.1.4)
*={1,2,… n,…}. (1.1.5)
Để xét nghiệm của phương trình x+n = 0 trong đó ∈n ta đưa thêm tập các số nguyên
:
{ }0, 1, 2,..., ,...= ± ± ±n . (1.1.6)
Để xét nghiệm của phương trình mx + n = 0 trong đó , ∈m n ta đưa thêm tập các số hữu
tỷ
| , 0,
⎧ ⎫
= = ≠ ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
m
x x n m,n
n
. (1.1.7)

3. 3
3
Ta đã biết bốn phép toán cơ sở (cộng, trừ, nhân, chia) của số hữu tỷ và cách sắp xếp
chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ, thì một trong chúng bé hơn số thứ hai). Tổng
a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương ( 0)
a
b
b
≠ của hai số hữu tỷ a,b lại là số hữu tỷ, nhưng với
các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, ta thấy những điều nêu trên không còn
đúng nữa. Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy. Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là
tìm một số x mà bình phương của nó bằng 2. Ta khẳng định rằng không có số hữu tỷ nào mà
bình phương của nó bằng 2. Giả sử rằng số hữu tỷ x như vậy tồn tại, ta có thể viết dưới dạng
phân số tối giản
p
q
, trong đó p và q chỉ có ước số chung là 1± . Khi đó
2
2 2
2
2; 2= =
p
p q
q
cho
nên p2
là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p = 2m, trong đó m là số nguyên, do đó
4m2
=2q2
, 2m2
=q2
cho nên q2
là số chẵn và vì thế q là số chẵn. Như vậy p,q là các số chẵn,
điều này mâu thuẫn với giả thiết là p,q chỉ có ước chung là 1± . Mâu thuẫn nhận được chứng
minh khẳng định trên.
Từ nguyên nhân này, trong toán học ta đưa thêm vào những số mới, đó là các số vô tỷ. Ví
dụ vể số vô tỷ là 2, 3,lg3, π , sin20o
…
Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực và kí hiệu là . Như vậy ta
có bao hàm thức:
.⊂ ⊂ ⊂ (1.1.8)
1.1.3 Các phép toán trên tập hợp
a) Hợp A B∪ của tập hợp A và tập hợp B, đọc là “A hợp B” là tập hợp được định nghĩa
bởi:
{ | }∪ = ∈ ∈A B x x A BhoÆc x . (1.1.9)
b) Giao A B∩ của hai tập hợp A và B, đọc là “A giao B” là tập hợp định nghĩa bởi:
{ | }A B x x A∩ = ∈ ∈vµ x B . (1.1.10)
c) Hiệu = ∈ ∉| { | vµ }A B x x A x B . (1.1.11)
Ta nói rằng các tập A và B là rời nhau nếu A B∩ = Φ .
d) Bổ sung CAB của B trong A ( ⊆B A ) là tập hợp định nghĩa bởi
= ∈ ∉{ | vµ }AC B x x A x B (1.1.12)
Phép giao, hợp và bổ sung có các tính chất sau:
i) ( ) ( )∩ ∩ = ∩ ∩A B C A B C (1.1.13)
ii) ( ) ( )∪ ∪ = ∪ ∪A B C A B C (1.1.14)
iii) ( ) ( ) ( )∩ ∪ = ∪ ∩ ∪A B C A C B C (1.1.15)
iv) ( ) ( ) ( )∩ ∪ = ∩ ∪ ∩A B C A C B C (1.1.16)
v) , A==∅ ∅ ∅A A (1.1.17)
vi) 1 2 1 2( )∪ = ∩A A AC B B C B C B (1.1.18)

4. 4
vii) 1 2 1 2( )∩ = ∪A A AC B B C B C B . (1.1.19)
1.1.4 Tích Đề các
Cho hai tập hợp A,B không rỗng. Tích Đề các của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A×B là
tập hợp các cặp (x,y) trong đó ,x A y B∈ ∈ , đồng thời (x,y)= (a,b) khi và chỉ khi x = a, y =
b.
Như vậy
A×B ={(x,y)| ,x A y B∈ ∈ } (1.1.20)
Thay cho A×A ta viết là A2
Ví dụ: {1,2}×{2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)}
Ngoài ra {1,2}2
={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}.
1.1.5 Các kí hiệu lôgic
Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phần tử của tập M.
Nếu phần tử x M∈ có tính chất t ta viết t(x). Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần tử của tập
M có tính chất t:
c(t) ={ x M∈ |x có tính chất t} (1.1.21)
hay
c(t) ={ x M∈ |t(x)} (1.1.22)
khi đó nếu
c(t) = M
thì mọi phần tử của M đều có tính chất t, ta nói rằng “với mọi x M∈ , x có tính chất t” và ta
viết x M∀ ∈ : t(x) hay ( )
x M
t x
∈
∀ .
Ký hiệu ∀ gọi là ký hiệu phổ biến.
Nếu ( )c t ∅≠ , thì có ít nhất một phần tử x M∈ , x có tính chất t”
và viết
: ( ) hay ( )
x M
x M t x t x
∈
∃ ∈ ∃
Ký hiệu ∃ gọi là ký hiệu tồn tại.
1.2 Số thực
1.2.1 Phép cộng và nhân các số thực
Xét tập hợp các số thực . Ta có thể xác định phép cộng và nhân hai số thực bất kì a và
b. Phép toán cộng cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được ký hiệu là a+b, phép
nhân cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được kí hiệu là a.b sao cho thoả mãn các
tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.
a) a+b = b+a (tính chất giao hoán),

5. 5
5
b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp),
c) a.b = b.a (tính chất giao hoán ),
d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp),
e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),
f) Tồn tại duy nhất số 0 sao cho a+0 = a ∀ ∈a ,
g) Với mọi a, tồn tại số – a sao cho a + (− a) = 0,
h) Tồn tại duy nhất số 1 0≠ sao cho a.1 = a ∀ ∈a ,
i) Với mọi số a≠ 0, tồn tại số a-1
sao cho a.a-1
= 1, số a-1
còn được kí hiệu là
1
a
.
Chú ý: Số (− a) và số a-1
nói trong tính chất g) và i) là duy nhất. Thật vậy, ví dụ như nếu tồn tại
số b≠ − a thoả mãn điều kiện a+b =0, thì a+b+ (− a)= − a, từ đây a+ (− a)+b=− a hay 0+b = −
a và b= − a, mâu thuẫn.
1.2.2 So sánh hai số thực a và b
Cho hai số thực bất kì a và b. Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:
a = b (a bằng b), a > b (a lớn hơn b) hay b > a (b lớn hơn a).
Mệnh đề “=” có tính chất: nếu a=b và b=c thì a=c.
Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.
a) Nếu a > b và b > c thì a > c
b) Nếu a > b thì a+c > b+c.
c) Nếu a > 0, b > 0 thì ab > 0.
Mệnh đề a≥ b nghĩa là hoặc a=b, hoặc a>b.
Các mệnh đề a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b được gọi là các bất đẳng thức. Các bất đẳng thức
a < b, a > b được gọi là các bất đẳng thức thực sự.
Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 được gọi là số dương.
Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a<0 được gọi là số âm.
1.2.3 Tính liên tục của tập hợp số thực
Định lí 1.2.1 Giả sử X và Y là hai tập hợp các số thực thoả mãn điều kiện sau:
x≤ y ,x X y Y∀ ∈ ∀ ∈ . (1.2.1)
Khi đó tồn tại một số c sao cho
≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈x c y x X, y Y . (1.2.2)
Chú ý rằng chỉ có tập hợp các số thực mới có tính chất này. Ví dụ như, giả sử
X = {x hữu tỉ | x < 2 } và

6. 6
Y = {y hữu tỉ | y > 2 }.
Khi đó đối với mọi ∈x X với mọi y Y∈ thoả mãn x≤ y, nhưng không tồn tại số hữu tỉ c
nào sao cho x c y≤ ≤ . Thật vậy, số như vậy chỉ có thể là 2 , nhưng 2 không phải là số
hữu tỉ.
Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh được rằng với hai số thực bất kì α β, trong
đó α < β luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số hữu tỉ r nằm giữa hai số đó (và
thành thử có một tập vô số các số vô tỉ như vậy nằm giữa α và β ).
1.2.4 Cận của tập hợp số
Giả sử M là tập hợp số (tức là tập hợp mà các phần tử của nó là những số thực). Tập hợp
M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực k sao cho
x k x M≤ ∀ ∈ . (1.2.3)
Số k bất kì có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M. Do đó tập hợp M là bị
chặn trên nếu có ít nhất một cận trên. Nếu tập M có một cận trên thì nó có vô hạn cận trên, bởi
vì nếu số k là cận trên thì bất kì số l nào lớn hơn k là cận trên. Một câu hỏi được đặt ra là liệu
có tồn tại số nhỏ nhất trong các cận trên của tập M. Số nhỏ nhất như vậy gọi là cận trên đúng
của tập M và kí hiệu là sup M.
Cận trên đúng của tập M có tính chất sau:
∀ > ∃ ∈ε ε0, sao cho > supx M x M - .
Thật vậy, nếu số x như vậy không tồn tại thì số supM −ε cũng là cận trên và khi đó số
supM không phải là cận trên đúng của tập M. Nói một cách khác, tính chất này nói lên supM
là số nhỏ nhất trong số các cận trên của M.
Ví dụ 1: Tìm cận trên đúng của tập
1 1 1
{1, , ,..., ,...}.
2 3
M
n
=
Giải: Ta thấy < ≤ ∀ ∈ *1
0 1 n
n
, vì thế tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số 1 là cận
trên. Ta hãy chứng minh số 1 là cận trên đúng của M. Thật vậy 0ε∀ > , ta phải tìm được số
tự nhiên n sao cho
1
1
n
ε> − . Số n này, ví dụ là n = 1.
Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] = 1.
Bây giờ ta có thể định nghĩa cận trên đúng của tập M một cách khác như sau:
Số supM được gọi là cận trên đúng của tập M bị chặn trên nếu
a) ≤ ∀ ∈supx M x M (1.2.4)
b) ∀ > ∃ ∈ε ε0, sao cho supx M x > M - (1.2.5)
Tập hợp số M được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số g sao cho
x g x M≥ ∀ ∈ . (1.2.6)

7. 7
7
Mọi số g có tính chất này gọi là cận dưới của tập hợp M. Do đó tập M bị chặn dưới, nếu
nó có ít nhất một cận dưới.
Số lớn nhất trong các cận dưới của tập M gọi là cận dưới đúng của M và được kí hiệu là
inf M.
Ví dụ 3: Xét tập M=(a,b)
Hiển nhiên số a và số bất kì bé hơn a là cận dưới của M. Hiển nhiên số a là cận dưới
đúng của tập M, tức là a= inf M.
Tương tự như đối với cận trên đúng, cận dưới đúng có tính chất sau:
∀ ∃ ∈ε, x M sao cho x < inf εM + . (1.2.7)
Ví dụ 4: Xét tập
1 1 1
{1, , ,..., ,...}
2 3
M
n
=
Ta chứng minh rằng số 0 là cận dưới đúng của tập M.
Thật vậy, 0ε∀ > , ta phải tìm được số tự nhiên n sao cho
< + ε
1
0 ,
n
hay < ⇒ >ε
ε
1 1
n
n
.
Điều này nghĩa là số 0 là cận dưới đúng của tập M, tức là inf M = 0.
Ví dụ 5: inf(0,1) = inf[0,1] = 0.
Trong các ví dụ trên, ta thấy sup M, inf M có thể thuộc M, cũng có thể không thuộc M.
Định lí 1.2.2 Tập hợp số không rỗng bất kì bị chặn trên (dưới) có cận trên (dưới) đúng.
Chứng minh: Giả sử X là tập hợp số không rỗng bị chặn trên. Khi đó tập hợp Y các số là
cận trên của tập X không rỗng. Theo định nghĩa của cận trên suy ra rằng đối với bất kì ∈x X
và bất kì ∈y Y ta có bất đẳng thức.
x y≤ .
Dựa vào tính chất liên tục của tập hợp các số thực, tồn tại một số c sao cho
≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈x c y x X, y Y . (1.2.8)
Từ bất đẳng thức thứ nhất trong (1.2.8) suy ra số c chặn trên tập hợp X, từ bất đẳng thức
thứ hai trong (1.2.8) suy ra c là số bé nhất trong các cận trên của X, tức là cận trên đúng của
tập X.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên
X= {…,−3, −2, −1,0,1,2,3,…}
không bị chặn trên, cũng không bị chặn dưới, tức là
supX= +∞ và inf X= −∞ .
Thật vậy, giả sử ngược lại, tập hợp X bị chặn trên. Khi đó theo định lí trên, nó có cận trên
đúng
c = sup X.

8. 8
Theo tính chất của cận trên đúng, đối với 1ε = , ta tìm được một số nguyên x X∈ sao
cho
x > c – 1
nhưng khi đó x+1> c. Bởi vì 1x X+ ∈ , điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúng
của tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói ở trên.
Ví dụ 7: Giả sử X và Y là hai tập hợp số. Hãy chứng minh rằng nếu Y X⊂ thì supX ≥ supY.
Giải: Giả sử supX = A, supY = B. Ta phải chứng minh B≤ A. Giả sử ngược lại B > A. Khi
đó dựa vào tính chất cận trên đúng, ε ε∀ > ∃ ∈ −0, sao cho >y Y y B .
Bởi vì: B− A >0, nên ta có thể lấy B Aε = − . Ta nhận được y >B −ε = B –B +A, tức là y
> A.
Nhưng y Y∈ và Y X⊂ nên y X∈ , theo định nghĩa sup suy ra y A≤ . Mâu thuẫn nhận
đựơc chứng tỏ rằng B A≤ .
Ta có thể chứng minh khẳng định trên bằng cách khác như sau:
Bởi vì Y X⊂ nên x X∀ ∈ và y Y∀ ∈ ta có
≤ ≤sup , supx X y X và ≤ supy Y .
Nhưng supY là số thực nhỏ nhất trong các cận trên của Y và supX là một trong số cận trên
của Y nên
sup Y≤ sup X.
Nếu tập M đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn.
Cuối cùng nếu tập M không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là +∞,
sup M = +∞. Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là
−∞ , inf M=− ∞ .
Ví dụ như sup(0,+ ∞ ) = +∞ , inf(−∞ ,0)= −∞ .
Giả sử M là tập hợp các số thực, nếu tồn tại một phần tử lớn nhất trong các phần tử của
tập M, thì ta kí hiệu phân tử đó là maxM. Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ nhất của tập M là
minM.
Ví dụ như max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5,
|x|=max {(–x,x)} x∀ .
1.2.5 Trục số thực
Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực.
Ta lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm 0 nào đó làm gốc. Ta chon
một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sang
phải sao cho trải khắp đường thẳng. Ví dụ như số 2 được biểu diễn bằng “điểm 2”, tức là điểm
ở bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 đơn vị.
Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng thực hay trục số. Bất kỳ một số thực nào
cũng được ứng với một điểm trên đường thẳng thực và ngược lại, bất kì một điểm nào trên
đường thẳng thực cũng được ứng với một số thực. Số thực a ứng với điểm M trên trục số được

9. 9
9
gọi là toạ độ của điểm M. Thông thường người ta không phân biệt “điểm a” nằm trên đường
thẳng thực và số thưc a (là toạ độ của điểm đó).
Tập hợp không có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực x bất
kì luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y< x< z (ví dụ y = x −1, z = x+1). Vì thế ta hãy bổ
sung vào tập hai phần tử mới mà ta ký hiệu là +∞ , −∞ và ta gọi chung là các điểm vô tận
của trục thực. Ta ký hiệu tập mới xuất hiện như vật là *
. Như vậy là
*
= ∪ {−∞ , +∞ }. (1.4.2)
Tập hợp R*
ta sẽ gọi là trục thực mở rộng. Cuối cùng ta chú ý thêm là
−∞ < a < +∞ , ∀ ∈a . (1.4.3)
1.3 Ánh xạ
Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một vài khái niệm về ánh xạ mà nó rất có ích cho
việc nghiên cứu lý thuyết hàm số sau này.
1.3.1 Định nghĩa
Cho hai tập hợp A và B. Ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B là một quy luật f cho tương
ứng mỗi phần tử x A∈ với một và chỉ một phần tử y B∈ .
Ví dụ 1: Cho A = B = .
Qui luật y = x3
cho tương ứng mỗi ∈x với một và chỉ một ∈y , nên qui luật trên là
một ánh xạ từ tới .
Ví dụ 2: Cho A = B = {x | ∈x , 0x ≥ }.
Qui luật y x= cho tương ứng mỗi x A∈ với một và chỉ một ∈y B , nên là một ánh xạ
từ A tới B
Để diễn tả f là ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B ta viết f: A→B hay ⎯⎯→f
A B và gọi
A là tập xác định của ánh xạ f.
Phần tử y B∈ tương ứng với x A∈ bởi qui luật f gọi là ảnh của x và x được gọi là
nghịch ảnh của y và ta viết:
( ) hay ( )y f x x y f x= = .
Ta gọi tập
( ) { | ( ), }= = ∈f A y y f x x A (1.3.1)
hay
( ) { | , ( )}= ∃ ∈ =f A y x A y f x (1.3.2)
là ánh xạ của tập A qua ánh xạ f.
Chú ý rằng ta luôn có ( ) ⊆f A B . Nếu f(A)=B, ta nói rằng f là ánh xạ từ tập hợp A lên tập
hợp B hay ánh xạ : →f A B là một toàn ánh.

10. 10
Ví dụ 3: Ánh xạ cho bởi qui luật = ∈( ) sin ,f x x x là ánh xạ tập tới tập và đồng thời
ánh xạ tập lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho 1 1y− ≤ ≤ .
Nếu như ⊂ ⊂M A thì ( ) ( )⊆f M f . (1.3.3)
1.3.2 Đơn ánh, song ánh
Ánh xạ :f A B→ gọi là ánh xạ đơn ánh nếu
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x= ⇒ = (1.3.4)
ví dụ như ánh xạ được cho bởi sinx là đơn ánh từ tập hợp { | 0 }
2
∈ < <x x
π
lên tập hợp
{ | 0 1}∈ < <y y .
Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho bởi qui luật 2
y x= . Vì phương trình = ∈2
,y x y có hai nghiệm
khác nhau x1 và x2 nếu y > 0, có nghĩa là f(x1) = f(x2) nhưng 1 2x x≠ , vậy ánh xạ này không
phải là đơn ánh.
Ánh xạ :f A B→ gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ 5: Ánh xạ : →f cho bởi qui luật 3
y x= là một song ánh
Ví dụ 6: Ánh xạ : +
→f cho bởi qui luật 2
y x= không phải là song ánh, nhưng ánh xạ
: + +
→f cho bởi qui luật 2
y x= là một song ánh.
Ví dụ 7: Cho ∈ ,x [x] ký hiệu phần nguyên của x (nghĩa là [x] là số nguyên lớn nhất không
lớn hơn x chẳng hạn [−4,5] = −4; [2] = 2; [2,5] = 2; [2,7] = 2). Ta có [x]≤ x≤ [x]+1.
Ánh xạ →:f cho bởi qui luật y=[x] không phải là song ánh.
1.3.3 Ánh xạ ngược
Giả sử f là một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B. Khi đó ứng với mỗi phần tử có một và chỉ
một x A∈ sao cho y f x( )= . Ánh xạ cho tương ứng phần tử y B∈ với phần tử x A∈ sao
cho y f x( )= gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f kí hiệu là f 1−
.
Như vậy f B A1
:−
→
f y x f x y1
( ) ( )−
= ⇔ = (với x A∈ , y B∈ ). (1.3.5)

11. 11
11
Hình 1.3.1
Ví dụ 8: Nếu A là tập hợp các vòng tròn đồng tâm nằm trên cùng một phẳng và f(x) là bán
kính của vòng tròn x, khi đó f là ánh xạ đơn trị tập A lên tập các số thực dương. Khi đó ánh xạ
ngược f 1−
tương ứng một số thực dương x với vòng tròn nằm trong tập A mà bán kính của nó
là x.
1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ
Cho hai ánh xạ:
: vµ :g M A f A B→ → .
Xét ánh xạ từ tập M tới tập hợp B được xác định như sau:
( ( ))x M z f g x B∈ → = ∈ . (1.3.6)
Ánh xạ này gọi là hợp của ánh xạ g và ánh xạ f (hay tích của g và f ), ký hiệu là f g
Như vậy
:f g M B→
( ) ( ( )),f g x f g x x M= ∈ . (1.3.7)
Ví dụ 9: Ánh xạ cho bởi qui luật sinx2
, ∈ Rx là hợp của ánh xạ trong cho bởi qui luật x2
,
∈x và ánh xạ ngoài được cho bởi qui luật siny, ∈y
Ánh xạ sin2
x, ∈x là hợp của ánh xạ trong cho bởi sinx, ∈x và ánh xạ ngoài cho bởi
y2
, ∈y .
1.4 Bài tập chương 1
1.1 Cho a là số vô tỉ, r là số hữu tỉ
1) Hãy chứng minh rằng a+r và a− r là các số vô tỉ
2) Giả sử 0≠r hãy chứng minh rằng các số , ,
a r
ar
r a
là các số vô tỉ.
1.2 Cho a,b∈ , gọi số

12. 12
( , ) | |= −d a b a b là khoảng cách giữa hai điểm a và b của trục số
Hãy chứng minh rằng
1) d(a,a) = 0
2) d(a,b)>0 khi a b≠
3) d(a,b) =d(b,a)
4) d(a,b) + d(b,c) ( , )≥ d a c .
1.3 Hãy chứng minh mệnh đề “tập hợp ⊂M là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số thực r>0
sao cho: |x|≤ r x M∀ ∈ .
1.4 Cho ⊂X . Định nghĩa: (−X) = {−x|x∈X}
Hãy chứng minh:
1) inf(−X) = −sup X
2) sup(−X)= −inf X
1.5 Cho ⊂,X Y . Định nghĩa
X+Y = { ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ = +R| , ,a x X y Y a x y}
{ R| , , }XY a x X y Y a xy= ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ =
Nghĩa là X+Y là tập hợp các số thực có dạng x+y với ,x X y Y∈ ∈ , còn XY là tập hợp
các số thực có dạng xy với ,x X y Y∈ ∈ .
1) Giả sử X,Y bị chặn trên, chứng minh:
sup(X+Y) = supX+ supY
2) Giả sử X, Y bị chặn dưới, chứng minh:
inf(X+Y) = inf X + inf Y
3) Giả sử X, Y bị chặn trên, + +
⊂ ⊂,X Y .
Chứng minh: sup(XY)= (sup X)(sup Y)
4) Giả sử X, Y bị chặn dưới, ,+ +
⊂ ⊂X Y .
Chứng minh: inf(XY) = (inf X)(inf Y).
1.6 Giả sử ≠ ⊂ ⊂φ *
M . Chứng minh rằng:
inf inf sup sup≤ ≤ ≤M M .
1.7 Cho ⊂A và { | : }F f f A A= → . Chứng minh rằng nếu f,g,h∈F và i là ánh xạ đồng
nhất trên tập A, tức là i(x) =x, ∀ x∈A thì:
1) ( ) ( )f g h f g h= ,
2) f i f= .
1.8 Cho F là tập hợp nói trên và

13. 13
13
*
{ | :F f f A A= → và f là đơn ánh}
Chứng minh rằng nếu f,g∈F*
thì
1) f g ∈ F*
2) 1
f f i−
=